Kumpulan Tugas Graf

BUKU MONTGOMERY, HALAMAN 7 NO1.5

Buatlah cerita sekreatif mungkin dari soal 1.5

Jawab :

Minho dibawa ke suatu tempat yang tidak ia ketahui, disana ia bertemu dengan anak-anak lain seusia dengannya. Disaat mereka berkumpul, ternyata mereka menyadari bahwa mereka diberikan sebuah kertas dan kertas itu merupakan petunjuk agar mereka dapat keluar dari tempat tersebut. Didalam kertas itu terdapat gambar sebuah peta dengan 13 titik yang dilambangkan dengan huruf abjad. Mereka berada dititik A dan jalan keluarnya ada dititik L. Akhirnya mereka sepakat untuk mendiskusikan cara agar dapat keluar dari tempat itu. Bagaimana mereka menemukan jalan keluar dan ada berapa cara agar mereka sampai dititik L tersebut ? buatlah jalan keluar tersebut dalam bentuk graf ? Berikut disertai juga peta yang mereka peroleh

Jawab:

Rute 1 : AB, BD, DF, FG, GH, HJ, JM, ML

Rute 2 : AB, BD, DG, GH, HJ, JM, ML

Rute 3 : AB, BD, DE, EG, GH, HJ, JM, ML

GRAF L

M

CF

A

I

H

J

KG

E

B

D

TEOREMA HAVEL HAKIMI

Sebuah barisan S, d1, d2, …, dp bilangan bulat positif dengan

adalah graf jika dan hanya jika barisan adalah

graf

Bukti :

( <= ) misalkan S1 adalah graf

Maka terdapat graf sederhana G’ dengan

Sebuah graf baru yaitu graf G dapat digambarkan dengan menambahkan sebuah titik baru

yaitu dan menghubungkan

Tampak bahwa G adalah graf sederhana dan mempunyai barisan derajat

sehingga S adalah graf

(=>) misalkan S adalah barisan graf, maka terdapat graf G dengan barisan derajat S dan

untuk Hal ini mempunyai dua kemungkinan

yaitu :

i. jika adjacent dengan maka graf mempunyai barisan derajat

sehingga merupakan graf

ii. jika tidak adjacent dengan semua titik maka terdapat titik

dengan adjacent dengan tetapi tidak dengan . Jika maka

titik dapat diubah tanpa mempengaruhi derajat-derajatnya. Misalkan

, oleh karena derajat dari dan terdapat titik sedemikian sehingga

adjacent dengan tetapi tidak dengan

contoh :

Misalkan graf G’ adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghapus garis dan dan

menambahkan garis

G G’

Hasilnya graf G’ mempunyai barisan derajat d akan tetapi, di G’ jumlah derajat-derajat dari titik-

titik yang adjacent dengan lebih besar daripada di G. Akibatnya, jika dilanjutkan prosedur ini

akan diakhiri saat sebuah graf dengan barisan derajat d dimana memenuhi hipotesis dari

kemungkinan pertama . Jadi S adalah graf .

V1

V5

Vr

Vt

V1 Vr

V5 Vt

ALGORITMA BARISAN BILANGAN BULAT POSITIF

1) jika beberapa bilangan pada barisan melebihi p – 1, maka barisan bukan sebuah graf. Jika tidak melebihi p – 1 maka lanjutkan ke langkah selanjutnya

2) jika semua bilangan pada barisan adalah 0, maka barisan adalah graf. 3) Jika barisan terdapat bilangan negative maka barisan bukan graf , jika tidak maka

lanjutkan ke langkah selanjutnya4) Susun angka dari yang besar ke yang terkecil5) Hilangkan angka pertama, misalkan n dari barisan dan kurangkan dengan satu dari angka

setelah n sebanyak n angka pada barisan, lanjutkan ke langkah 1

Contoh :

Apakah barisan berikut merupakan graf ? jika ya kontruksi grafnya

ALGORITMA DJIKSTRA

Input : Graf bobot G dengan

Step 1 : Labeli titik dengan dan untuk setiap titik selain .

Labeli titik dengan (dalam praktek diganti dengan bilangan yang

“sangat besar”

Tulis

Step 2 : Misalkan minimum

Step 3 : Jika , STOP dan beri pesan “Panjang lintasan terpendek dari ke adalah

”

Step 4 : Untuk setiap sisi , , ganti label dengan

Step 5 : Tulis , dan kembali ke step 2

Contoh :

Carilah jalan terpendek dari dari graf bobot diatas

Jawab :

-

Titik

0Titik

λ 0

T - - -

V1

V3V2 V4 V5

V6

V7

V8 V9 V10 V11

V12

14

3 5 6

28

1

2 5

5 33

4 7 6

12

-

-

Titik

λ 0

T -

-

-

-

Titik

λ 0

T - -

-

-

0

-

-

-

Titik

λ 0

T - - - -

Titik

λ 0

T - - - - -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Titik

λ 0

T - - - - - -

Titik

λ 0

T - - - - - - -

Titik

λ 0

T - - - - - - - -

Titik

λ 0

T - - - - - - - - - - - -

Karena terkait dengan ,

tetapi bukan merupakan anggota

T lagi maka, sudah bernilai tetap.

terkait dengan lain dimana

lain tersebut bukan merupakan anggota T

lagi sehinga semua sudah bernilai tetap.

Karena label permanen dari adalah

panjang lintasan terpendek dari

dari graf bobot diatas adalah 8.

Dengan metode telusur balik dari ,

perhatikan bahwa :

Jadi,

dengan demikian sebuah lintasan terpendek

dengan panjang 8 dari di graf

bobot diatas adalah lintasan

BLOK PADA GRAF

Blok dari suatu graf adalah graf tak kosong terhubung yang tidak memiliki cut-vertex. Setiap 2 blok mempunya satu titik yang sama yang disebut cut-vertex

Contoh :

Bloknya

V1V2

V3

V4 V5

V6 V7

V8

V9 V10

V1 V2

V3

V3

V5

V5V4

V5

V6 V7

V8

V8

V9 V10

1)

B2

B1

B4

B3

B5

3)2)

V1 V2V3 V4 V5

bloknya

bloknya

Teorema 1

Sebuah graph G dengan adalah block jika dan hanya jika untuk setiap 2 titik di G berada pada

sikel di G.

Akibat

Sebuah graph G dengan adalah block jika dan hanya jika terdapat 2 lintasan yang berada

di G.

Teorema 2

Misal G adalah graph terhubung dengan satu atau lebih cut-vertex sekurang-kurangnya terdapat 2

block di G yang mana setiap block termuat tepat satu cut-vertex.

Teorema 3

Misal G adalah graph yang memuat sekurang-kurangnya satu cut-vertex, kemudian

V1 V2

V3 V4

V2

V5

B1B2

V1

V2V3

V4 V5

V1

V2

V2

V3

V3

V4 V5

Teorema 4

Pusat dari setiap graph terhubung G terdapat pada block tunggal di G.

Teorema 5

Setiap block kritikal yang sekurang-kurangnya memiliki 4 titik yang memuat sebuah titik berderajat

2.

Akibat

Jika G adalah block minimal yang sekurang-kurangnya memiliki 4 titik, maka G memuat sebuah titik

yang berderajat 2

SEJARAH GRAF HAMILTON

Pada tahun 1859, Sir William R Hamilton membuat suatu permainan yang kemudian menawarkannya ke sebuah pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut dari kayu berbentuk DODECAHEDRON beraturan yakni sebuah Polihedron dengan dua belas muka dengan dua puluh titik sudut. Tiap muka berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap titik sudutnya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap titik sudut dari dodecahedron tersebut diberi nama ibu kota Negara terkenal seperti London, New York, Paris dll.

Permainan yang dapat dilakukan adalah membentuk perjalanan keliling dunia, yang mengunjungi setiap ibukota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal. Persoalan ini dinamakan mencari sirkuit Hamilton. Berikut gambar bentuk pola dodecahedron.

Syarat cukup graf hamilton

Teorema

Jika G graph sederhana dengan n titik dan untuk setiap dua titik dan yang tidak

berhubungan secara langsung di G berlaku , maka G graph Hamilton.

Bukti :

(G)

Andaikan G bukan graph Hamilton, maka G bukan graph komplit . Akibatnya, terdapat 2

titik di G yang tidak berhubungan langsung.

Karena G bukan graph Hamilton maka dengan menambahkan beberapa sisi akan diperoleh

maximal-non-Hamilton . non Hamilton, maka terdapat 2 titik di yang tidak berhubungan

langsung.

(G*)

Bentuk graph yaitu . Graph adalah graph Hamilton. Akibatnya, lintasan

Hamilton di yang berawal di titik dan berakhir di titik . , maka .

Karena jika tidak maka di akan terdapat sikel Hamilton. Pada ini bertentangan bahwa non

Hamilton.

Sehingga, jika , maka ( karena sederhana )

kontradiksi dengan (1) (terbukti)

TRAVELING SALESMAN PROBLEM (TSP)

Traveling Salesman Problem (TSP) ditemukan pada tahun 1800 oleh matematikawan

Irlandia Sir William Rowan Hamilton dan matematikawan Inggris Thomas Penyngton Kirkman,

Traveling Salesman Problem (TSP) adalah suatu permasalahan dimana seorang sales harus

melalui semua kota yang ditunjuk dengan jarak yang paling pendek dan setiap kota hanya boleh

dilalui satu kali. Penyelesaian dalam TSP adalah jalur yang dilalui oleh salesman sesuai dengan

batasan diatas. Penyelesaian terbaik adalah jalur dengan jarak terpendek. TSP adalah salah satu

contoh permasalahan kombinatorial dengankemungkinan penyelesaian yang sangat banyak.

Aplikasi TSP:

1. Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut

kota.

2. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam

sebuah jalur perakitan.

3. Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.

ALGORITMA TSP

Algoritma exhaustive, yaitu dengan mencari semua kombinasi yang mungkin terjadi,

kemudian memilih kombinasi perjalanan dengan jarak terdekat, algoritma ini mempunyai

kompleksitas .

Permasalahan :

Diberikan n buah kota serta diketahui jarak antara setiap kota satu dengan kota yang lain.

Temukan perjalanan (tour) terpendek yang melalui setiap kota lainnya dengan hanya sekali

melewati kota-kota tersebut dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

Permasalahan TSP ini dimodelkan sebagai graf lengkap dengan n buah simpul. Bobot

pada setiap setiap sisi menyatakan jarak antara dua buah kota yang bertetangga.

Permasalahan TSP tidak lain adalah menemukan sirkuit Hamilton dengan bobot paling

minimum.

Algoritma exhaustive search untuk persoalan TSP :

- Enumerasikan (list) semua sirkuit Hamilton dari graf lengkap dengan n buah simpul.

- Hitung (evaluasi) bobot setiap sirkuit Hamilton yang ditemukan pada langkah 1.

- Pilih sirkuit Hamilton yang mempunyai bobot paling terkecil.

Aplikasi TSP Pada Kota :

1. TSP Dengan 3 Kota.

TSP dengan 3 kota (1, 2, 3) hanya mempunyai satu kemungkinan seperti gambar dibawah

ini :

TSP dengan 3 kota tidak perlu diselesaikan menggunakan komputer.


Graf di atas memiliki sirkuit Hamilton Misalkan simpul a adalah kota

tempat dimulainya perjalanan (starting city). Enumerasikan semua sirkuit hamilton

sebagai berikut :

I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) ==> panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) ==> panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) ==> panjang = 10 + 5 + 9 + 8 = 32

http://3.bp.blogspot.com/-5yGjUs1_mlM/UWgVQt5HFII/AAAAAAAAAFc/HOeOj5zS438/s1600/1.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-y1CO82TAuOw/UWgVWm3wfEI/AAAAAAAAAFk/_Kj9N8yaqZc/s1600/2.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-9BOj4gT5z50/UWgVnT9V6XI/AAAAAAAAAFs/RX2MjqL1ZxQ/s1600/2.jpg

Jadi, sirkuit Hamilton terpendek adalah I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.


Graf di atas memiliki sirkuit Hamilton Misalkan simpul a adalah kota

tempat dimulainya perjalanan (starting city). Enumerasikan semua sirkuit hamilton

sebagai berikut :

I1 = (1, 2, 3, 4, 5,1) atau (1, 5, 4, 3, 2,1)

I2 = (1,2,5,4,3,1) atau (1,3,4,5,2,1)

I3 = (1,2,3,5,4,1) atau (1,4,5,3,2,1 )

:

:

:

I12 =………………………………………

http://3.bp.blogspot.com/-7--f2B70grU/UWgV65sdycI/AAAAAAAAAF0/n56zgwfiul4/s1600/2.jpg

http://4.bp.blogspot.com/-r_6srE-ELsc/UWgWOGwQLfI/AAAAAAAAAF8/_BT6tPjcUY4/s1600/2.jpg

TSP dengan 5 kota mulai perlu diselesaikan menggunakan komputer. Teknik yang

dipakai bisa berupa mencoba semua kemungkinan dan dibandingkan jaraknya untuk

memperoleh jarak paling pendek.

4. TSP Dengan N Kota.

TSP dengan n kota (1, 2, 3, 4, 5,…, n) mempunyai kemungkinan.

TSP dengan 15 kota mempunyai atau 4,3589 x 1010 kemungkinan. Metode

pencarian satu-satu memerlukan waktu yang sangat lama.

TSP dengan 20 kota mempunyai atau 6,08 x 1016 kemungkinan, suatu jumlah yang

sangat besar. Dengan menganggap bahwa komputer mampu menyelesaikan 1 Giga (109)

proses per-detik maka untuk mencari semua solusi diperlukan 6,08 x 107 detik atau 1,69 x

104 jam atau 704 hari. Waktu yang sangat lama.

ALGORITMA KRUSKAL

Algoritma Kruskal adalah algoritma untuk mencari pohon merentang minimum secara

langsung didasarkan pada algoritma MST (Minimum Spanning Tree) umum. Pada algoritma

Kruskal sisi-sisi di dalam graf diurut terlebih dahulu berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar.

Sisi yang dimasukkan ke dalam himpunan T adalah sisi graf G sedemikian sehingga T adalah

pohon. Pada keadaan awal, sisi-sisi sudah diurut berdasarkan bobot membentuk hutan (forest).

Hutan tersebut dinamakan hutan merentang (spanning forest). Sisi dari graf G ditambahkan ke T

jika tidak membentuk sirkuit di T. Sisi dari Graf G ditambahkan ke T jika ia tidak membentuk

cycle.

Langkah-langkah untuk mencari bobot minimum:

Input : Graph bobot terhubung dengan titik

Step 1 : Buat graph hanya terdiri dari titik saja

Step 2 : Pilih sisi dengan bobot minimum

Step 3 : Jika sisi telah terpilih ( , STOP dan beri pesan adalah pohon

rentang minimal di . Jika , kembali ke Step 2

Contoh :

carilah pohon rentang minimum dari graf berikut dengan menggunakan dan algoritma kruskal

C 23 G

A 32 B F

D 19 E

Jawab :

Berdasarkan gambar di atas, maka dilakukan pengurutan sisi pada graf mulai dari sisi dengan

bobot terkecil sampai terbesar dapat dilihat pada tabel berikut:

Bobot Sisi

17 18

22

2530

17 (A,C)

18 (G,F)

19 (D,E)

20 (E,F)

23 (C,G)

25 (D,G)

26 (A,D)

30 (C,E)

32 (A,B)

C G

A B F penambahan sisi AC

D E

C G

A B F penambahan sisi GF

D E

C G

A B F penambahan sisi DE

D E

C G

A B F penambahan sisi EF

D E

C G

A B F penambahan sisi CG

D E

C G

A B F penambahan sisi DG

tidak bisa dilakukan karena

membentuk sikel

D E

C G

A B F penambahan sisi AD


membentuk sikel

D E

C G

A B F penambahan sisi CE


membentuk sikel

D E

C G

A B F penambahan sisi AB

Sehingga membentuk pohon

rentang minimun

D E

Jumlah dari pohon rentang minimum diatas adalah

AC + GF + DE + EF + CG + AB = 17 + 18 + 19 + 20 + 23 + 32 = 129

ALGORITMA PRIM

Menurut definisi dari Wikipedia, Algoritma Prim adalah sebuah algoritma dalam teori

graf untuk mencari pohon rentang minimum untuk sebuah graf berbobot yang saling terhubung.

Bila graf tersebut tidak terhubung, maka graf itu hanya memiliki satu pohon rentang minimum

untuk satu dari komponen yang terhubung. Algoritma Prim dimulai pada simpul (vertex) yang

mempunyai sisi (edge) dengan bobot terkecil. Sisi yang dimasukkan ke dalam himpunan T

(Tree ) adalah sisi graf G yang bersisian dengan sebuah simpul di T, sedemikian sehingga T

adalah pohon. Sisi dari graf G ditambahkan ke T jika ia tidak membentuk cycle.

Langkah-langkah untuk mencari bobot minimum:

Input : Graph bobot terhubung dengan titik

Step 1 : Pilih sebuah titik di dan tulis

Step 2 : Pilih sebuah sisi dengan bobot minimal yang menghubungkan sebuah titik

dengan sebuah titik yang bukan titik di .

Jika terdapat lebih dari satu sisi yan demikian, pilih salah satu sebarang. Tulis

.

Step 3 : Jika sisi telah terpilih ( , STOP dan beri pesan adalah pohon

rentang minimal di . Jika , kembali ke Step 2.

Contoh :

carilah pohon rentang minimum dari graf berikut dengan menggunakan dan algoritma prim

C 23 G

A 32 B F

17 18

22

2530

D 19 E

Jawab :

Langkah 1 : pilih

A

Langkah 2 : pilih dengan bobot 17

C

A


C G

A


C G

A F


C G

A F

E


C G

A F

D E


C G

A B F

D E

Jumlah dari pohon rentang minimum diatas adalah

AC + GF + DE + EF + CG + AB = 17 + 18 + 19 + 20 + 23 + 32 = 129

MEMAHAMI T.A GRAF

APLIKASI TEORI GRAF PADA KNIGHT’S TOUR

(PERJALANAN KUDA CATUR)

A. Aplikasi teori graf pada permainan knight’s tour

Pada permainan ini agar mudah dimengerti dapat dimodelkan dalam sebuah graf ,

dimana setiap 2 titik dihubungkan oleh 1 sisi dengan syarat membentuk langkah kuda.

Langkah kuda dalam knight’s tour adalah langkah kuda tertutup dimana setiap kotak dari

papan catur dapat dilewati kuda tepat satu kali dan kembali pada posisi semula. Untuk

menentukan langkah kuda tertutup ini digunakan sirkuit Hamilton.

Cara menentukan sirkuit Hamilton pada knight’s tour adalah melihat adanya

sirkuit Hamilton dalam papan catur berukuran

B. Eksistensi sirkuit Hamilton pada papan catur berukuran

Papan catur berukuran terkecil yang memungkinkan adanya sirkuit Hamilton

yaitu :

Papan catur berukuran

Pada gambar diatas terlihat bahwa tidak terdapat sirkuit Hamilton pada papan catur

karena terdapat satu titik yang tidak dilewati oleh kuda. jadi, kuda tidak dapat

melewati semua titik pada papan catur tepat satu kali.


Pada gambar diatas terlihat bahwa tidak terdapat sirkuit Hamilton namun terdapat

lintasan Hamilton pada papan catur karena kuda dapat melewati semua titik

pada papan catur tepat satu kali tapi tidak bisa kembali posisi awal.



karena terdapat titik yang tidak dilewati oleh kuda. jadi, kuda tidak dapat




karena terdapat satu titik yang tidak dilewati oleh kuda. jadi, kuda tidak dapat












karena darimanapun kuda mulai melangkah terdapat satu titik yang tidak

dilewati oleh kuda. jadi, kuda tidak dapat melewati semua titik pada papan catur tepat

satu kali.






















Pada gambar diatas terlihat bahwa terdapat sirkuit Hamilton pada papan catur

karena kuda dapat melewati semua titik pada papan catur tepat satu kali dan dapat

kembali posisi awal.





























C. Membuktikan pada papan catur berukuran terdapat lintasan Hamilton atau

sirkuit Hamilton

Uuntuk menunjukkan bahwa terdapat lintasan Hamilton pada setiap papan catur

berukuran dengan dan terdapat sirkuit Hamilton dalam setip papan

catur berukuran dengan adalah bilangan genap, maka terlebih dahulu akan

dibuktikan pola yang menunjang pernyataan tersebut.

Pola 1

Setiap papan catur ukuran dengan memiliki sebuah lintasan Hamilton yang

berawal pada petak sudut kiri bawah dan keluar pada petak kanan bawah atau pada kotak

kanan atas.

Bukti :

Dalam pembuktian ini akan ditunjukkan bahwa terdapat sebuah lintasan Hamilton yang

berawal pada petak kiri bawah dan berakhir pada petak kanan bawah atau petak kanan

atas untuk papan catur berukuran dengan

Untuk R = 5

Maka papan catur berukuran akan ditunjukkan terdapat lintasan hamilton

pada gambar (a) kuda mulai bergerak dari petak sudut kiri bawah (no.1) dan berakhir

pada petak kanan bawah (no.25). Pada gambar (b) kuda mulai bergerak dari petak

kiri bawah (no.1) dan berakhir pada petak kanan atas (no.25). Dari dua gambar diatas

terbukti bahwa terdapat lintasan Hamilton pada papan catur berukuran karena

setiap petak papan catur dapat dilewati kuda tepat satu kali tapi kuda tidak bisa

kembali ke posisi awal.

Untuk R = 6

Maka papan catur berukuran akan

ditunjukkan terdapat lintasan hamilton

(a) (b)

Pada gambar (a) kuda mulai bergerak dari petak sudut kiri bawah (no.1) dan berakhir

pada petak kanan bawah (no.30). Pada gambar (b) kuda mulai bergerak dari petak kiri

bawah (no.1) dan berakhir pada petak kanan atas (no.30). Dari dua gambar diatas terbukti

bahwa terdapat lintasan Hamilton pada papan catur berukuran karena setiap petak

papan catur dapat dilewati kuda tepat satu kali tapi kuda tidak bisa kembali ke posisi

awal.

Untuk R = 7


(a) (b)







Untuk R = 8


(a) (b)







Untuk R = 9


Pada gambar diatas kuda mulai bergerak dari petak kiri bawah (no.1) dan berakhir

pada petak kanan bawah (no.45). Dari gambar diatas terbukti bahwa terdapat lintasan

Hamilton pada papan catur berukuran karena setiap petak papan catur dapat

dilewati kuda tepat satu kali tapi kuda tidak bisa kembali ke posisi awal.

Selanjutnya untuk kasus dapat ditulis M = 5T + R dengan

terbentuk sebuah lintasan Hamilton untuk papan berukuran dengan

yang berawal dipetak sudut kiri bawah dab berakhir pada petak kanan bawah.

Dari pembuktian diatas dapat disimpulkan bahwa pola tersebut lintasan Hamilton.

Pola 2

Setiap papan berukuran dengan memiliki sebuah lintasan Hamilton yang

berawal di petak sudut kiri bawah dan berakhir pada petak kiri atas dan juga memiliki

sirkuit Hamilton.

Bukti :

Dalam pembuktian ini akan ditunjukkan bahwa terdapat sebuah lintasan Hamilton yang

berawal pada petak sudut kiri bawah dan berakhir pada petak kiri atas atau untuk papan

catur berukuran dengan

Untuk R = 5

Papan catur berukuran akan ditunjukkan terdapat lintasan hamilton


pada petak kiri atas (no.30). Dari gambar diatas terbukti bahwa terdapat lintasan


dilewati kuda tepat satu kali tapi kuda tidak bisa kembali ke posisi awal.

Untuk R = 5

Papan catur berukuran akan ditunjukkan terdapat sirkuit Hamilton


pada petak kiri bawah (no.30). Dari gambar diatas terbukti bahwa terdapat sirkuit


dilewati kuda tepat satu kali tapi kuda dapat kembali ke posisi awal.

Dari pembuktian diatas dapat disimpulkan bahwa pola tersebut memiliki sebuah sirkuit

Hamilton.

Pernyataan :

Setiap papan catur berukuran dengan NM genap , memiliki sebuah

sirkuit Hamilton .

Bukti :

Asumsikan N genap dan . Partisi papan menjadi dua sub papan yaitu papan

berukuran dan sebuah papan berukuran .

Contoh pola pada papan catur 5 x 5 dimulai dari sudut kanan bawah

C1 adalah titik awal dan F1 adalah titik akhir lintasan Hamilton pada papan 5 x M.

Kemudian perhatikan gambar berikut

Contoh pola pada papan catur berukuran 5 x 5 dimulai dari sudut kanan atas

C2 adalah titik awal dan F2 adalah titik akhir lintasan Hamilton pada papan (N-5) x M.

Sebagai titik awal pilih petak sudut kiri atas dari papan berukuran (N-5) x M. karena N-5

adalah ganjil, dimana terdapat sebuah lintasan Hamilton yang berakhir pada sebuah petak

yang dapat masuk ke pertak sudut kanan bawah dari papan berukuran 5 x M.

Dengan mencerminkan “lintasan” yang diperoleh pada pola 1 terhadap sumbu vertical,

diperoleh sebuah lintasan Hamilton pada papan berukuran 5 x M. Yang berawal pada

petak sudut kanan bawah dan keluar pada petak kiri bawah, masuk ke petak kiri atas

papan berukuran (N-5) x M.

Contoh gabungan pola pada papan catur berukuran 5 x 5

Dari gambar diatas jika dimulai C2 maka akan kembali ke C2 akibatnya diperoleh sebuah

sirkuit Hamilton. Jika asumsinya adalah M genap dan , maka argumentasi yang

sama dapat digunakan dengan penukaran baris dan kolom.

Contoh pernyataan diatas dapat diaplikasikan pada papan catur berukuran 10 x 10

Dengan menerapkan pernyataan diatas jika kita mulai dari F1 maka akan kembali ke F1,

akibatnya diperoleh sebuah sirkuit Hamilton. Dalam grafnya dapat dibuat sebagai berikut.

Dari pembahasan diatas dapat dibuat table sebagai berikut :

M

N1 2 3 4 5 6 7 8

1 - - - - - - - -

2 - - - - - - - -

3 - - - LH - - LH LH

4 - - LH - LH - LH LH

5 - - - LH LHSH

LHLH

SH

LH

6 - - - -SH

LH

SH

LH

SH

LH

SH

LH

7 - - LH LH LHSH

LHLH

SH

LH

8 - - LH LHSH

LH

SH

LH

SH

LH

SH

LH

Keterangan :

LH : Lintasan Hamilton

SH : Sirkuit Hamilton

Dari table diatas dapat dinyatakan pada papan catur berukuran , , ,

, , terdapat lintasan Hamilton, pada papan catur berukuran ,

terdapat lintasan Hamilton dan pada papan catur berukuran, , , , terdapat

sirkuit Hamilton, pada papan catur berukuran , , , , terdapat sirkuit

Hamilton , pada papan catur berukuran , , , terdapat lintasan

Hamilton dan , terdapat sirkuit Hamilton, pada papan catur berukuran ,

terdapat lintasan Hamilton dan , , , terdapat sirkuit

Hamilton. Jika pada papan catur terdapat sirkuit Hamilton maka juga terdapat lintasan

Hamilton pada papan catur tersebut. Bentuk dari papan catur ini dapat digunakan untuk

papan catur yang lebih besar dari

D. Kesimpulan

Pada permainan knight’s tour terdapat sirkuit Hamilton. Dan untuk setiap papan catur

berukuran dimana NM genap dan , memiliki sebuah sirkuit Hamilton.

Documents

Kumpulan Tugas Graf