Kupola Krešimir Ćosić

UDK 624.91.001.2:624.046 Primljeno 19. 7. 2010.

GRAEVINAR 62 (2010) 10, 875-886 875

Oblikovanje i proraun kupole dvoraneKreimir osi u Zadru Damir Lazarevi, Milutin Aneli, Mario Uro

Kljune rijei

dvorana Kreimir osi, kupola,metoda duljine luka, poslijekritino ponaanje, osjetljivost prema imperfekciji, sloeno izvijanje

D. Lazarevi, M. Aneli, M. Uro Izvorni znanstveni rad

Oblikovanje i proraun kupole dvorane Kreimir osi u Zadru U radu je opisano ponaanje statikog sustava dvorane i numeriki postupci primijenjeni u proraunu konstrukcije. Detaljnije su objanjeni problemi prouzroeni oblikovanjem kupole, s osvrtom na nune zahvate potrebne za njihovo uklanjanje. Ukratko su opisani algoritmi upotrijebljeni za dokaz nosivosti, s neto detaljnijim pristupom proraunu stabilnosti. Upozoreno je i na neke tekoe nastale pri proraunu graevine koje, ponajprije zbog premalo pokusa, jo nisu rijeene.

Key words

Kreimir osi Hall, dome,arc-length method, post-critical behaviour, imperfection sensitivity, compound buckling

D. Lazarevi, M. Aneli, M. Uro Original scientific paper

Shaping and analysis of dome structure for the Kreimir osi Hall in Zadar

The behaviour of the static system of the hall, and numerical procedures applied in structural analysis, are described in the paper. Problems caused by dome shape, and interventions needed to eliminate such problems, are presented in some detail. Algorithms used for proving bearing capacity are briefly presented, and the approach adopted in stability analysis is described in more detail. An emphasis is placed on some difficulties identified during structural analysis that have still remained unsolved, which is primarily due to insufficient number of experiments.

Mots cls

Salle de Kreimir osi,dme,mthode longueur d'arc, comportement postcritique, sensibilit l'imperfection, flambement complexe

D. Lazarevi, M. Aneli, M. Uro Ouvrage scientifique original

Le faonnage et l'analyse du dme de la salle de Kreimir osi Zadar

Le comportement du systme statique de la salle, et les procds numriques appliqus dans l'analyse structurelle, sont dcrits dans l'ouvrage. Les problmes causs par la forme du dme, et les interventions ncessaires pour liminer ces problmes, sont prsents en dtail. Les algorithmes utiliss afin de dmontrer la capacit portante sont prsents dans les grandes lignes, et l'approche adopte dans l'analyse de stabilit est dcrite en plus de dtail. L'accent est mis sur quelques difficults rencontres au cours de l'analyse structurelle qui restent encore irrsolues, ce qui est surtout d aux essais inadquats.

K ,, ,, ,

. , M. , M. Op

K . , . , , , . , , . , ,, , - , .

Schlsselworte Halle "Kreimir osi",Kuppel, Verfahren der Bogenlnge, postkritisches Verhalten, Empfindsamkeit gegen Imperfektion,zusammengesetzte Knickung

D. Lazarevi, M. Aneli, M. Uro Wissenschaftlicher Originalbeitrag

Gestaltung und Berechnung der Kuppel der Halle "Kreimir osi" in Zadar Im Artikel beschreibt man das Verhalten des ststischen Systems der Halle und die in der Berechnung angewendeten numerischen Verfahren. Detailliert erklrt man die Probleme die die Gestaltung der Kuppel verursachten, mit Hinblick auf die ntigen Eingriffe fr deren Beseitigung. Kurz beschreibt man die fr den Nachweis der Tragfhigkeit gebrauchten Algorytmen, mit etwas detaillierterem Zutritt zur Berechnung der Stabilitt. Es wird auch auf einige Schwierigkeiten hingewiesen die bei der Berechnung des Bauwerks auftraten, die vorerst wegen Mangel an Experimenten noch nicht gelst sind.

Autori: Prof. dr. sc. Damir Lazarevi, dipl. ing. gra.; prof. emer. dr. sc. Milutin Aneli, dipl. ing. gra.;Mario Uro, dipl. ing. gra., Sveuilite u Zagrebu Graevinski fakultet, Zagreb

Proracun kupole dvoraneKresimir Cosic D. Lazarevic, M. Andelic, M. Uros

1 Uvod

Dvorana

Kresimir Cosic u Zadru novi je sportski, po-najprije kosarkaski centar koji je dostojno zamijenio do-trajalo zdanje poklonika kosarke poznatu dvoranu u Ja-zinama. Ubrzo nakon izvedbe dvorana je, zbog osobitogizgleda, postala urbanistickim i sportskim obiljezjem su-vremenog Zadra. Projekt dvorane izradila je tvrtka Arhi-tektonski atelier Hrzic, projektiranje i gradenje, d. o. o. izZagreba, (glavni projektant prof. dr. sc. Marijan Hrzic),a projekt konstrukcije tvrtka D&Z, d. o. o., (projektantkonstrukcije Davor Uglesic, dipl. ing. grad.). Na po-ziv tvrtke IGH, d. d. iz Zagreba koja je obavljala nad-zor izvedbe dvorane (nadzorni inzenjer Josip Bosnjak,dipl. ing. grad.), djelatnici Katedre za statiku dinamikui stabilnost konstrukcija Zavoda za tehnicku mehanikuGradevinskog fakulteta u Zagrebu izvrsili su nuzne iz-mjene [1] radi jednostavnije izvedbe i uklanjanja manjka-vosti izvornog projekta. Pri tome je analizirano i nekolikonacina podupiranja svjezeg betona, uz provjeru glavnihnosivih elemenata skele. Nakon preliminarnih proracunaodluceno je preoblikovati i prednapeti temeljni prsten,ukrutiti podrucje oko otvora i zamijeniti dio punostijenekupole resetkastom inacicom.

2 Oblik konstrukcijeSrednja je ploha kupole rotacijska, definirana tragom kojiostavlja kruzni luk rotacijom oko uspravne osi polozenenjegovim tjemenom. Radi se zapravo o odsjecku sferepromjera 140m i visine 30m. Sredisnji kut odsjecka iz-nosi 92, a glavni je polumjer sfere 194m (slika 1.a).

Slika 1. Geometrijski opis kupole: a) presjek, b) tlorisDo visine od 20m kupola je izgradena od armiranog be-tona, a ostatak, raspona 90m i visine 10m, izveden je u

celiku. Omjer visine prema rasponu (smjelost) citave ku-pole iznosi 1/4,7, a celicnog dijela 1/9, sto smatramoplitkom kupolom.Na slici 1.b oznacene su tipicne cetvrtine kupole. Dvijenasuprotne cetvrtine ab dijela sadrze po devet pribliznopravokutnih otvora sirine 10m i visine 23m. Razmacisu medu otvorima priblizno 5m. Preostale su cetvr-tine jedini punostijeni dijelovi kupole. Duljina cetvr-tine pri temelju iznosi 110m, a u podnozju celicne ku-pole 71m. Lucni je raspon ab dijela oko 35m. Ovakooblikovane cetvrtine cine kupolu samo dvoosno sime-tricnom. Celicni dio tvori posebno oblikovana mrezacijevnih profila, zavrsena tjemenim prstenom promjera12m. Oblik konstrukcije odreduje osnovne sastavnice iponasanje statickog sustava.

3 Staticki sustav

Radi lakseg objasnjenja principa nosivosti kupole,staticki sustav mozemo rasclaniti na tri osnovna dijela:resetkastu kupolu, zakrivljeni visepoljni okvir i punos-tjenu ljusku. Resetkasti se dio oslanja na ostatak kupolepreko zavrsnog ab prstena, a citava kupola na tlo prekoab temeljnog prstena (slika 2.).

Slika 2. Sastavnice statickog sustava kupole: 1 resetka-sta kupola, 2 zavrsni prsten, 3 punostjena lju-ska, 4 zakrivljeni visepoljni okvir, 5 temeljniprsten

Citatelji mogu prepoznati

zastarjelu hijerarhijsku rasclambuod

krova prema temelju koja vise nije potrebna radi proracunakonstrukcije. Suvremenim pristupom kupolu proracunavamokao cjelinu, metodom konacnih elemenata. Ipak, smatramo dasu rasclanjenja nuzna jer pridonose razumijevanju principa no-sivosti, toka unutarnjih sila i tumacenju rezultata numerickihproracuna.

U sljedecim cemo odjeljcima razjasniti sastavnicestatickog sustava, uz isticanje problema koji su uvjetovalinjihovo oblikovanje.3.1 Resetkasta kupola

Kupolu tvori jednoslojna mreza celicnih cijevi promjera323,9mm, debljine stijenke 7,1mm sa cvorovima u za-varenoj izvedbi. Tezina konstrukcije iznosi 0,34kN/m2.

876 GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886

D. Lazarevic, M. Andelic, M. Uros Proracun kupole dvoraneKresimir Cosic

Prstenaste sile izravno preuzimaju kruzno polozene ci-jevi, a lucne se sile preuzimaju posredno, cijevima poli-gonalno zakrivljenim prema meridijanima kupole. Zbogprekida cijevi lucnog smjera kupola je ukrucena tjeme-nim prstenom izvedenim od zakrivljenog cijevnog profilapromjera 508mm, debljine stijenke 12,5mm.Mreza je nastala preoblikovanjem resetkaste kupole spriblizno trokutnim poljima, pomicanjem prstenastih ci-jevi u lucnome smjeru za polovinu medusobne udalje-nosti (slika 3.). Na taj se nacin u cvoru spajaju samotri stapa (prstenasti prolazi kontinuirano, a lucni se pre-kidaju), sto olaksava izvedbu, ali dokaz stabilnosti cinislozenijim jer propisima i preporukama nije obuhvacenovako specifican oblik kupole. Zbog toga smo pristu-pili proracunima poslijekriticnih grana nosivosti pertur-bacijom idealne geometrije modela odabranim oblicimaizbocenja. Isti su oblici posluzili i za pristup imperfekci-jama (vidjeti pododjeljak 4.3.2).

Slika 3. Oblikovanje resetkaste kupoleU oblikovanju resetke sudjelovao je mr. sc. E.Hemerich[2], a sa suradnikom I. Sosicem, dipl. ing. grad. (obojicadjelatnici IGH, d. d. iz Zagreba) izradio je i izvedbenudokumentaciju celicnog dijela kupole.3.2 Zavrsni armiranobetonski prstenOslanjanje celicnog dijela kupole na armiranobetonskiostvareno je armiranobetonskim prstenom 70/125cm,koji je zbog problema izbocenja gornjeg ruba ab dijelatrebalo ojacati ukrutom 40/100cm (slika 4.a). Iako bi-smo, staticki gledano, ukrutu mogli ucinkovitije posta-viti (vidjeti pododjeljak 4.3.1), odabrani polozaj ne smetagledateljima na vrhu tribina, omogucuje jednostavni de-talj oslanjanja celicnog dijela (slika 4.b) i stvara dodatniprostor za smjestaj instalacija.

Slika 4. Zavrsni ab prsten: a) oblik i dimenzije, b) oslonacresetkaste kupole

3.3 Punostjena ljuskaNa punostijenom dijelu kupola nosi kao tanka ljuska,debljine 20cm, pozitivne Gaussove zakrivljenosti. Do-

miniraju, dakle, membranske sile: u horizontalnim pre-sjecima kupole prstenaste (obrucne), a u vertikalnim pre-sjecima lucne (meridijalne) sile (slika 5.).Na bocnim rubovima ljuske postoji prekid prstenastihsila, pa prostorni prijenos opterecenja biva bitno narusen.Slab doprinos prstenastog smjera cini slobodne (ne-ukrucene) pobocke ljuske deformabilnima jer nose viseravninski (lucno). Da bismo sprijecili pretjerane progibe,rubove je trebalo ukrutiti lucnim gredama 50/70cm.Slicno tomu, na gornjem i donjem rubu ljuske postojiprekid lucnih sila, pa je gornji rub ukrucen spomenu-tim zavrsnim prstenom, a donji je ojacan podebljanjemna 30cm, uz izvedbu spoja upetoga u temeljni prsten.

Slika 5. Punostjeni dio kupole s polozajima rubnih eleme-nata

3.4 Zakrivljeni visepoljni okvirU statickom smislu, podrucje kupole oko otvora mozemosmatrati zakrivljenim visepoljnim okvirom koji lezi nasrednjoj plohi sfere (slika 6.). Okvir tvore blago zakri-vljeni stupovi i visoka, zakrivljena precka. Stupove mo-zemo smatrati upetima u temeljni prsten, a precku upe-tom u punostjenu ljusku. Debljina stijenki poprecnih pre-sjeka iznosi 20cm, uz podebljanje na 30cm u podrucjuupetosti stupova.

Slika 6. Elementi zakrivljenoga visepoljnog okvira; istak-nut je prekid prstenastih i lucnih sila

Stupovi se ponasaju kao klasicni BernoulliNavierovistapovi. Razlog je tomu mala debljina stupova premavisini i polozaju otvora koji prekidaju prstenaste sile

GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886 877


(slika 6.), pa djelovanje ljuske nije moguce. Prema tome,stupovi nose dominantno poduzno (lucno), ponajprijeuzduznim tlacnim silama, a u manjoj mjeri i savijanjemoko slabije osi. Zbog djelovanja momenata i problemaizvijanja, potaknutog zakrivljenom osi, stupove je trebaloojacati ukrutama 30/70cm (slika 7.a).Stupove mozemo smatrati i zakrivljenim gredama s jasno defi-niranim rasponom, poprecnim preuzimanjem opterecenja i dje-lovanjem savijanja (momenata i poprecnih sila u vertikalnojravnini polozenoj kroz os). Medutim, zbog dominantnog utje-caja uzduznih sila, manje uobicajenog za gredu i ponasanja po-drucja s otvorima kao visepoljnog okvira, odlucili smo ove no-sive elemente ipak zvati stupovima.Zaista, uzduzna tlacna sila centrira rezultantu u presjeku, cimeumanjuje ucinke savijanja i omogucuje malu debljinu stupova(70cm) prema rasponu (23m). Pri savijanju bez uzduznih sila,debljina bi grede iznosila najmanje 1/15 raspona (oko 150cm).Otvori prekidaju i lucne sile (slika 6.), pa se ni uprecki ne moze aktivirati princip nosivosti ljuske. Ona,prema tome, nosi dominantno prstenasto, kao visokos-tjeni kontinuirani nosac velike visine prema rasponu(sirini otvora). I precka je pretezno opterecena uzduznimtlacnim silama i savijanjem, ali protivno stupovima sa-vijanje djeluje oko jace osi. Zbog problema izvija-nja, dodatno naglasenog savijanjem, gornji je rub preckeukrucen zavrsnim prstenom, a donji je, zbog prekida, alii skretanja lucnih sila oko otvora, trebalo ojacati rubnomgredom (slika 7.b).

Slika 7. Poprecni presjeci elemenata visepoljnog okvira:a) vitkog stupa, b) visokostjene precke

3.5 Temeljni prstenPotisak kupole preuzima centricno prednapeti temeljniprsten 230/120cm (slika 8.a). Na prstenu je izvedenoosam lizena za unos prednaponske sile i sidrenje natega(slika 8.b). Pri izboru izmjera poprecnog presjeka vodilose racuna o vertikalnom pritisku na tlo, najvecem tlacnomnaprezanju u prstenu (prije rasterecenja kupolom) i pros-toru za smjestaj natega i armature, posebno u podrucjulizena.Pomoc pri izradi glavnog i izvedbenog projekta predna-pinjanja pruzio je Marijan Stekovic, dipl. ing. grad., iztvrtke Viadukt, d. d. iz Zagreba.

Slika 8. Temeljni prsten: a) dimenzije, polozaj armature inatega, b) detalj lizene

4 Proracun konstrukcijeU nastavku cemo razjasniti neke posebnosti proracunakonstrukcije koje bi, prema nasem misljenju, mogle za-nimati citatelje. Spomenimo odmah da su staticki i di-namicki proracuni provedeni programom SAP 2000 [3],a proracun stabilnosti programom otvorenog koda FEAP(izvorno pisanog u f77) [4], kojemu je algoritam za ana-lizu stabilnosti dopunjen s nekoliko rutina. Vazne sas-tavnice projekta, poput proracuna skele, dimenzioniranjapresjeka i oblikovanja detalja, trebalo bi obraditi u poseb-nom clanku.

4.1 Numericki modeliModeli se sastoje od stapnih i plosnih elemenata, temelje-nih na teoriji drugog reda i malim deformacijama (SAP),odnosno geometrijski tocnom pristupu i konacnim de-formacijama (FEAP). U potonjem je slucaju odabranalinearnoelasticna veza izmedu Lagrangeova tenzora de-formacija i drugog PiolaKirchhoffova tenzora napreza-nja [5, 6]. Usvojeni (SaintVenantKirchhoffov) zakonponasanja posjeduje odredene slabosti pri velikim de-formacijama (bez obzira na iznose pomaka i kutova za-okreta), ali o uzrocima slabosti i njihovu svladavanju ov-dje ne bismo raspravljali [7, 8]. Konacni su elementiravni, na mjestima vecih ekscentricnosti povezani apso-lutno krutim kinematickim ogranicenjima.Proracuni su provedeni uporabom dvaju numerickihmodela. Jedan je model klasican, s plosnim pristu-pom stijenci i stapnim pristupom temeljnom prstenu,ukrucenjima i resetkastoj kupoli (slika 9.a).

Slika 9. Pristupi podrucju s otvorima: a) plosni, b) stapni,s istaknutim polozajima kinematickih ogranicenja

878 GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886


U drugome je modelu, prema zapazanjima iz odjeljka3.4, citavo podrucje oko otvora modelirano stapno, uzprimjenu spomenutih ogranicenja u podrucjima cvorovaokvira (slika 9.b). To su mjesta visestrukih sjecistagreda koje ukrucuju stupove i precku, sto takva po-drucja cini vrlo krutima, ponajprije u vlastitoj ravnini. Uskladu sa stapnim pristupom, visokostjeni je nosac preckeaproksimiran Timosenkovim stapom. Premda se radio nesto losijoj aproksimaciji precke (zbog velike visineprema rasponu), pogorsanoj popustanjem cvorova ok-vira, ustanovljeno je dobro podudaranje medu rezulta-tima proracuna usvojenih modela. Time je potvrdenapretpostavka o priblizno okvirnom (zapravo stapnom)ponasanju kupole u podrucju otvora.Stoga, iako je vanjski oblik konstrukcije kupola, samose punostjene cetvrtine ponasaju kao klasicna ljuska kojutreba modelirati plosnim elementima. Stovise, radi dobreaproksimacije momenata lucnog smjera, gusca je mrezapotrebna samo pri rubovima gdje promjena debljine iupetost ljuske u rubne elemente uzrokuju lokalni eks-trem koji brzo iscezava s odmakom od ruba, pa poda-lje, stoga, prevladava membransko stanje naprezanja kojemozemo aproksimirati puno vecim elementima. Zbogdobre aproksimacije i uvjetovanosti modela velicina ele-menata mora biti razumna, a promjena gustoce mrezepostupna.Opisanim pristupom dominantno stapni model sadrziupola manje nepoznanica od pretezito plosnog modela,sto je omogucilo brze proracune veceg broja inacica,posebno pri provjerama stabilnosti kupole. Stovise,stapni modeli pridonose razjasnjenju toka unutarnjih sila,ucinkovitom postavljanju armature i provjeri slozenijihinacica temeljenih na konacnim elementima, kojima in-tegracija naprezanja po presjeku moze stvarati teskoce.Istaknimo na kraju znatan porast broja uvjetovanosti jakonelinearnih, velikih modela jer treba iteracijski rijesitiveliki sustav jednadzbi. Brojne operacije koje pri tometreba izvrsiti uzrokuju akumulaciju pogreske zaokruziva-nja koja utjece na tocnost proracuna [9]. Prema tome,treba teziti sto manjem sustavu koji jos uvijek dobroaproksimira problem koji rjesavamo. Pri tome je poznatpovoljan ucinak kinematickih ogranicenja kojima elimi-niramo clanove s velikim krutostima.

4.2 Staticki proracun

Staticki proracun konstrukcije za djelovanje vlastitetezine i prednapona napravljen je u tri faze. Najprije jeizvrsen proracun modela temeljnog prstena s prednapo-nom, zatim je prikljucen ab dio i konacno je dodana reset-kasta kupola. Takav pristup jamci pravilan unos pred-naponske sile u numericki model. Postupak je ocito ne-linearan jer postoji promjena statickog sustava (matricekrutosti i vektora opterecenja) tijekom proracuna. Ostalaopterecenja djeluju na kupolu kao cjelinu.

4.2.1 Proracun temeljnog prstenaVlacna sila u prstenu ponistena je prednapinjanjem.Prednaponska sila iznosa 15000 kN odredena je na te-melju potiska faktoriranoga osnosimetricnog opterecenja(vlastite tezine, stalnog i pokretnog tereta). Radi se okonacnom iznosu sile preostalom nakon svih gubitaka.Zbog dominantnog utjecaja uzduzne sile prednapinjanjeje obavljeno centricno, sa sest natega po poprecnom pre-sjeku temelja i cetiri natege po njegovu opsegu (ukupno24 natege). Mali doprinos savijanja postoji samo u po-drucju otvora (slika 10.), jer koncentrirano djelovanjeuzduznih sila u stupovima unosi poremecaj u membran-sko stanje naprezanja.

Slika 10. Dijagram momenata savijanja u temeljnom pr-stenu

Na punostjenom dijelu dominira jednoliki radijalni poti-sak ljuske. Tlacna je linija, poput osi temelja, prakticnokruzna pa je utjecaj savijanja gotovo zanemariv. Postoji,doduse, utjecaj koncentriranog potiska rubne grede, aliprema Saint Venantovu principu brzo iscezava s odma-kom od ruba. Mozemo zamijetiti da oblik momentnog di-jagrama potvrduje okvirno djelovanje kupole u podrucjuotvora. Utjecaji potresa preuzeti su dodatnom mekom ar-maturom plostine 200cm2. Opterecenje vjetrom nije sepokazalo mjerodavnim.Treba istaknuti da se ovim pristupom ne oslanjamo namoguce povoljno djelovanje horizontalne krutosti tla napreuzimanje potiska kupole. Iako je procijenjen zna-tan iznos krutosti, trosnost i malo vertikalno opterecenjepovrsinskog tla, a posebno moguci radovi u blizini (pri-mjerice iskopi za potrebe temeljenja ili provodenja infras-trukture novog objekta) mogu smanjiti predlozene vrijed-nosti. Time bi nosivost prstena, pa i citave konstruk-cije, bila ugrozena jer je poznata osjetljivost kupole nahorizontalne pomake temelja. Zbog toga smo smatralirizicnim rabiti horizontalnu krutost tla kao vaznu sastav-nicu statickog sustava kupole.

4.2.2 Proracun armiranobetonskog dijela kupoleNeprekinutost i uzajamno podupiranje prstenastih ilucnih trajektorija jamce veliku nosivost kupole. U nasemslucaju, na zalost, veliki otvori prekidaju prirodan tok,ponajprije prstenastih sila, cime je narusen ovaj, temeljni,princip nosivosti. Dolazeci iz punostjenog dijela, prste-naste trajektorije moraju zaobici podrucje s otvorima pasu prisiljene naglo se razdvojiti i skrenuti u precku i te-

GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886 879


meljni prsten (slika 11.a). Prirodan, usporedni tok tra-jektorija do ruba punostjenog dijela nije moguc jer uvjetravnoteze okomito na neoptereceni rub zahtijeva isceza-vanje prstenastih sila, odnosno vrijedi Np = 0 (slika 11.b).Vazno je zamijetiti da skretanjem dijela trajektorija u te-melj i precku nastaje lom prstenastih sila cija rezultanta,zapravo skretna sila Ns, daje znatna vlacna naprezanja urubnoj gredi. Zbog toga je greda armirana prilicno ve-likom simetricnom armaturom (78,5cm2, = 2,24%).Pojavu je lako objasniti poligonom membranskih sila ipolozajem rezultante na krajevima grede (slika 11.b).

Slika 11. Skica trajektorija membranskih sila: a) globalnitijek, b) detalj skretanja oko otvora

Promatanjem trajektorija mozemo uociti jos nekoliko za-nimljivosti. Najprije, izravno djelovanje prstenastih silana rubnu gredu sprijeceno je rasteretnim ucincima: skre-tanjem trajektorija i lucnim djelovanjem. Nadalje, bli-sko polozene prstenaste trajektorije pri uglovima prvogotvora dokaz su velikoga lokalnoga tlacnog naprezanja(potvrdenog mjerenjem). Konacno, gusta se raspodjelatrajektorija pruza i dalje, u temeljni prsten i precku. Kon-centraciju je lako objasniti zapazanjem da rezultanta pr-stenastih sila istog iznosa prolazi odabranim presjecimaA i B, ali je plostina poprecnog presjeka na mjestu Bpuno manja (slika 11.a). Gusce trajektorije znace i veceuzduzne sile: vlacne u temelju, ponistene prednapinja-njem, i tlacne u precki koju je trebalo ojacati protiv izvi-janja. Zamjecujemo da podalje od poremecaja krajnjimotvorima (u presjeku A) prevladava klasicna razdioba pr-stenastih i lucnih trajektorija, svojstvena punostjenoj ku-poli.Veliki otvori cine i izvedbu kupole slozenijom jer nijemoguce zatvoriti prstenaste trajektorije do samoga krajaizvedbe. Tek izvedbom precke i zavrsnog prstena posti-zemo kontinuitet prstenastih sila i u tom smislu cinimokupolu zatvorenom. Stalna

otvorenost kupole tijekomizvedbe i mjestimicno velika iskoristenost skele prevag-nula je (nakon provjere nekoliko inacica) u korist podupi-ranja citave kupole. Zbog toga je utrosena velika kolicinaoplate i skele.Osjetljivost kupole prema imperfekciji zahtijeva preciznu iz-vedbu i vrlo krutu skelu koja ne dopusta pretjerane progibe podteretom svjezeg betona. To se najbolje postize niskom razinomnaprezanja, odnosno predimenzioniranjem elemenata podupira-nja koju, na zalost, nismo mogli u potpunosti ostvariti.

Problem grubog prekida prstenastih sila mogao se rijesitipreoblikovanjem kupole na dva nacina: postupnim sma-njivanjem visine otvora prema punostjenom dijelu (slika12.a) ili potpunim otvaranjem kupole nizom jednakih o-tvora (slika 12.b). U prvome bismo slucaju postigli punoblaze skretanje trajektorija u precku i manje skretne sile.U drugome bi slucaju skretanje trajektorija i svi popratniucinci u potpunosti isceznuli.

Slika 12. Preoblikovanje ab dijela: a) postupno smanjenjevisine otvora, b) potpuno otvaranje ab dijela

Jasno je da otvori prekidaju i lucne trajektorije koje,prema tome, moraju skrenuti u stupove okvira. Zbog togaraste koncentracija trajektorija i tlacne sile u stupovima,sto je zahtijevalo provjeru protiv izvijanja. Ipak nije teskozamijetiti da vece teskoce nastaju zbog prekida prstenas-tih nego lucnih trajektorija.Skicama trajektorija smo po-kusali, pomalo zaboravlje-nim pristupom, objasniti te-meljne principe nosivosti iprobleme prouzrocene obli-kovanjem kupole. Sekunda-rne ucinke, poput blagog kri-vljenja trajektorija na spoje

Slika 13. Lokalno krivljenjetrajektorija

vima stupova s temeljnim prstenom i preckom (slika 13.) ni-smo crtali jer nemaju utjecaja na globalni tok membranskih sila,nego unose samo slab, lokalni poremecaj.Dodavanjem resetkaste kupole raspodjela membranskihsila na ab dijelu kupole ostaje prakticki nepromijenjena.Razlog je jednostavan: tezina celicnog dijela iznosi ma-nje od 5% tezine ab dijela. Ipak, potisak resetkaste kupoleutjece na stabilnosti ab dijela.4.3 Proracun stabilnostiZa takav slozeni staticki sustav nema teorijskog rjesenja,propisanog postupka ili preporuke za procjenu nosivosti.Kupoli, doduse, pripada linearna prijekriticna (primarna)grana funkcije ravnoteze, pa mozemo primijeniti rjesenjeproblema vlastitih vrijednosti. Prema tome, moguce jeodrediti kriticno opterecenje (vlastitu vrijednost) i pri-padni oblik izbocenja (vlastiti vektor). Na zalost, dobi-veni je iznos opterecenja redovito veci od realnog (ekspe-rimentalno odredenog), ponajprije zbog osjetljivosti ku-

880 GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886


pole prema imperfekcijama. Razlozi osjetljivosti leze uprisutnosti kubnog clana u izrazu za energiju koji uzro-kuje pad poslijekriticne (sekundarne) grane funkcije rav-noteze i u pojavi visestrukih ili bliskih vlastitih vrijed-nosti (grozda) koje taj pad ponekad cine vrlo strmim.Smanjenju kriticne sile pridonosi i plasticno popusta-nje, ali je cesto od sekundarnog znacenja, jer velike vit-kosti kupola i mali iznosi propisanih imperfekcija cestoodgadaju plasticno popustanje na poslijekriticnu granu,nakon gubitka stabilnosti.Nije lako odrediti koeficijent smanjenja kriticnog opterecenja(engl. knockdown factor), odnosno koeficijent sigurnosti zbogovih ucinaka [10]. Naslucujemo da rjesenje lezi u velikom brojuraznovrsnih pokusa do sloma, poput onih koji se provode nastapnim uzorcima i koji su temelj vecine propisa. Na zalost, cje-loviti su objekti najcesce unikati pa se takvi pokusi ne provode,osim iznimno na umanjenim modelima i malom broju uzoraka.U slucaju velikog iznosa kriticnog opterecenja (10 i vise putaveceg od zadanog), konstrukciju smatramo sigurnom pa de-taljna provjera stabilnosti nije potrebna. Ovako visoki iznos si-gurne razine opterecenja ne znaci da kupola mora preuzeti desetputa vece opterecenje nego da, osim nepouzdanosti opterecenjai materijala, utjecaji imperfekcija znatno ugrozavaju njezinu no-sivost. Vrijednost je, doduse, odredena ispitivanjem punostje-nih, vrlo vitkih, uzduzno opterecenih cilindara i radijalno pri-tisnutih sfera kao poznatih primjera izrazite osjetljivosti premaimperfekciji. Resetkaste kupole dvorana su manjih vitkosti, paje ovako visoka razina sigurnosti cesto pretjerana. Ipak, ma-nji koeficijent sigurnosti ne jamci stabilnu konstrukciju. Trebaprovesti stroze dokaze.U nedostatku pokusa preostaje numericki procije-niti nosivost kupole na temelju funkcija ravnotezeodredenih primjenom geometrijski i materijalno neline-arnog proracuna. Pri tome nije tesko zadati iznos maksi-malne imperfekcije koju bismo trebali postovati prilikomizvedbe, ali mjerodavni oblik (moguca prostorna razdi-oba) koji daje najmanju nosivost ostaje nepoznat. Nada-lje, u uvjetima izrazite nelinearnosti rjesenje nije jedins-tveno (postoji vise mogucnosti), pa iteracijski postupciu kojima treba istodobno zadovoljiti geometrijske i ma-terijalne kriterije konvergencije mogu odvesti prema po-gresnom rjesenju.I pri proracunu stabilnosti treba voditi racuna o diskre-tizaciji modela i opterecenja. Proguscenje mreze ko-nacnih elemenata pridonosi boljoj aproksimaciji oblikaizbocenja (valova u prstenastom i lucnom smjeru), a po-djela stapnih elemenata aproksimaciji lokalnog izvijanjamedu cvorovima resetkaste kupole. Prirasti opterecenjau podrucju visestukih ili bliskih vlastitih vrijednosti mo-raju biti dovoljno mali, a pokazatelji koji potvrduju pre-koracenje tih vrijednosti vrlo pouzdani, jer algoritamproracuna moze

preskociti neku (najopasnije je prvu)vlastitu vrijednost i nastaviti nekontrolirani proracun polabilnoj grani. Pojava je posebno opasna u uvjetima pot-pune simetrije [11].

4.3.1 Problem stabilnosti ab dijela kupoleU vertikalno opterecenom ab dijelu kupole, oslonjenomna prednapeti temeljni prsten, djeluju samo tlacne sile.Na mjestima prekida trajektorija jednog smjera ucinakmedusobnog podupiranja slabi. Prekid lucnih sila isticeproblem izbocenja gornjeg ruba ljuske, a prekid prstenas-tih sila izvijanje stupova. Izbocenje gornjeg ruba (za-pravo zavrsnog prstena i precke) nastaje u smjeru nor-male na kupolu (slika 14.a), pa je prirodna zamisao iz-vesti ukrutu koja izravno povecava moment tromosti okoslabije osi presjeka, odnosno u smjeru normale (ispreki-dano na slici 14.b).

Slika 14. Stabilnost gornjeg ruba ab dijela kupole: a) oblikizbocenja, b) polozaj ukrute

Medutim, zbog nespretnog polozaja (zadiranja u pros-tor najgornjih sjedista) ojacanje je postavljeno horizon-talno, cime je izgubilo na ucinkovitosti, ali je ipak osigu-ralo dovoljno povecanje krutosti u smjeru normale. Za-mjecujemo da potisak resetkaste kupole smanjuje tlacnusilu u zavrsnom prstenu (slika 15.a), cime pridonosi nje-govoj stabilizaciji. Prema tome, problem izbocenja gor-njeg ruba izrazen je nakon otpustanja oplate ab dijela,prije montaze resetkaste kupole. Nasuprot tome, potisakuzrokuje porast uzduznih sila u stupovima, pa izvijanjetreba provjeriti za konacno stanje (slika 15.b).

Slika 15. Potisak resetkaste kupole [pod a)], oblik izbocenjas dominantnim izvijanjem stupova [pod b)]

Ukrute 30/70cm pridonose dovoljnom povecanju mo-menta tromosti stupova, sto rjesava problem njihova iz-vijanja.Ovim su ukrucenjima postignuti veliki iznosi kriticnogopterecenja ab dijela (9 i vise) pa nije trebalo provestidetaljan proracun stabilnosti. Na zalost, pri proracunuresetkaste kupole nasli smo se u puno slozenijoj situaciji.

GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886 881


4.3.2 Problem stabilnosti resetkaste kupolePri djelovanju vertikalnog opterecenja, svi su stapoviplitke resetkaste kupole tlacni. Nedostatak vlacnih pr-stenastih sila koje stabiliziraju lucni smjer cini problemstabilnosti vrlo izrazenim. Stovise, rjesenjem problemavlastitih vrijednosti dobiven je mali iznos prve vlastitevrijednosti (samo 4,16) koji, bez strogog dokaza stabil-nosti, ne jamci nosivost konstrukcije.Slozena se provjera moze dijelom pojednostavniti (i ubr-zati) uporabom spomenutoga hijerarhijskog pristupa kojiomogucuje zasebnu analizu resetkaste kupole (ili ab di-jela). Treba samo zamijetiti veliku krutost (nepopustlji-vost) ab prema celicnome dijelu. Prema tome, prilikomanalize ab (ili celicnog) dijela mozemo odbaciti celicni(ili ab) dio i na mjestima medusobnih spojeva zamijenitiga opterecenjem (ili nepomicnim lezajima). U nastavkucemo razjasniti glavne sastavnice algoritma odabranog zaproracun stabilnosti celicnog dijela na nepomicnim (pre-ciznije zglobnim) osloncima. Nesto detaljniji opis pos-tupka moze se pronaci u [12].Pristup proracunu. Algoritam proracuna temelji sena inkrementalnoiteracijskom pristupu rezidualnoj jed-nadzbi r(u,) = fKu = 0. Radi se zapravo o metodiprediktorkorektor, jer inkrement (prirast) mozemo sma-trati prediktorom, a iteracije tumaciti korektorom inkre-mentalnog pokusaja [13]. Jednadzbi r(u,) = 0 pripadanelinearni sustav Ku = f, gdje je K matrica krutosti, uvektor pomaka, a f i vektor i razina opterecenja. Kodproblema stabilnosti, sustav redovito nema jedinstvenorjesenje za svaki . Zbog toga je rezidualna jednadzbarijesena inacicom (preciznije ogranicenjem) potpune me-tode NewtonRaphson, poznatom kao linearizirana me-toda duljine luka (engl. linearised arclength method).Odabrano je ogranicenje oblika hiperravnine, okomite natangentu funkcije ravnoteze [14,15]. Primjena metode zajedan stupanj slobode prikazana je na slici 16.a).

Slika 16. Proracun stabilnosti: a) linearizirana metoda du-ljine luka, b) analizirane funkcije ravnoteze

Ogranicenjem dobivamo dodatnu jednadzbu potrebnu zaodredivanje parametra . Ne radi se, dakle, o una-prijed odredenom iznosu, svojstvenom metodi NewtonRaphson s fiksnim prirastom sile, nego o dodatnojnepoznanici koju treba odrediti primjenom odabranogogranicenja. Matematicki gledano, matricu sustava koji

treba rijesiti tvori matrica krutosti prosirena izboromogranicenja. Postupak rjesavanja temelji se na parti-cijskom pristupu matrici sustava (eliminaciji po bloko-vima) jer time se koristimo simetrijom matrice krutosti.U svakoj je iteraciji (linearni) sustav jednadzbi rijeseninacicom rastava matrice krutosti prema CholeskomeLTDL, gdje je L donja trokutna, a D dijagonalna matricarastava. Na taj je nacin moguce rijesiti sustave s inde-finitnom matricom krutosti, odnosno s negativnim pivo-tima (clanovima matrice D) nastalim nakon gubitka sta-bilnosti. Tako je moguce pratiti labilne grane funkcijeravnoteze.Tijekom proracuna primijenjeno je jednostavno heuri-sticko pravilo [16] promjene prirasta (duljine tangente)s. Pravilo se temelji na broju neuspjelih (uspjelih) ko-raka iteracije unutar inkrementa. Na taj su nacin glatkapodrucja funkcije ravnoteze (primjerice blizu ishodista)odredena primjenom velikih, a podrucja naglih skreta-nja ili lomova (u okolisu kriticnih tocaka) primjenom vrlomalih prirasta.

Odredivanje kriticnih tocaka. Matrica prosirenog sus-tava je singularna u kriticnoj tocki. U slucaju tocke raz-granjenja (engl. bifurcation point) singularitet je bezu-vjetan, a u granicnoj je tocki (engl. limit point) poslje-dica rastava matrice. Srecom, postupak proracuna rijetkokonvergira tocno u kriticnu tocku. Ako se to slucajnoi dogodi dovoljno je vratiti se korak unatrag i ponovnokrenuti naprijed s malo izmijenjenim iznosom prirasta.Zahvat je poznat kao

covjek u petlji(engl. man in theloop) i uz mogucnost kontroliranog prekida i pokretanjaproracuna (engl. save and restart) dio je svakog suvreme-nog algoritma za proracun stabilnosti. Kako bismo, u tre-nutku pristupa kriticnoj tocki, izbjegli nekontrolirani pre-kid postupka proracuna, algoritam mora (tijekom dekom-pozicije) ustanoviti smanjenje ranga matrice krutosti. (Kprelazi iz pozitivno definitne u pozitivno semidefinitnumatricu.) Ukratko, cim je jedan ili vise pivota jednak(ili blizak) nuli, moguce su ucinkovite izmjene redakamatrice koje jamce kontrolirani prekid (ili stabilan tijek)postupka eliminacije odozgo [17]. Istovremena izmjenastupaca (koja nije uvijek moguca) cuva simetriju matricekrutosti sto pridonosi ucinkovitom rjesavanju sustava.Opisanim postupkom mozemo sigurno prekoraciti, aline i preciznije odrediti kriticnu tocku (osim pukimslucajem). Jedna od metoda kojom je to ipak moguceuciniti jest bisekcija, temeljena na pracenju promjenepredznaka pivota pri premasivanju kriticne tocke.Bisekcija je sporija, ali cesto stabilnija od drugih pristupa, jer neovisi o derivaciji funkcije. To moze biti presudno za ukljeste-nje kriticne tocke (engl. bracketing) jer je glatkost funkcije rav-noteze tada cesto narusena.

Nakon premasenja kriticne tocke algoritam mijenja smjeropterecenja i vraca se natrag za pola koraka. Jednoznacnu

882 GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886


promjenu smjera, bez obzira na tip kriticne tocke, jamciBerganov trenutni parametar krutosti = k/k0, gdje jek = fTu/(uTu), k0 ishodisna vrijednost od k, a i u su prirasti opterecenja i pomaka. Pronalaskomrjesenja (u, ) provjerimo iznos vlastite vrijednosti inastavljamo postupak raspolavljanja dok ne postane bli-ska nuli (do zadovoljenja kriterija). Blizu kriticne tockesustav jednadzbi je izrazito lose uvjetovan (detK 0,condK ), pa proracun vlastitih vrijednosti mozemostabilizirati malim pomakom (engl. shift), odnosnotreba rijesiti sustav (KI)= I, gdje je I jedinicnamatrica, vlastiti vektor, a translatirana vlastita vri-jednost (= +). Ovaj je dio proracuna temeljen naiteraciji po potprostoru, dimenzije jednake broju vlastitihvektora uvecanom za dva, ali najvise osam, sto se po-kazalo dobrim izborom. Rezultat ukljestenja je kriticnatocka (ukr,kr) s jednim ili vise vlastitih vektora i. (Na-ravno, pripadni je 0.) Ako joj pripada jedan vlas-titi vektor (i = 1) zovemo je izoliranom, a u slucajuveceg broja vektora (i = 1, . . . ,n) visestrukom kriticnomtockom. Konacno, provjerom skalarnog produkta Tftreba odrediti tip kriticne tocke. Ako je jednak nuli radise o tocki razgranjenja ( iscezava), a ako je razlicit odnule o granicnoj tocki ( proizvoljan).Ovim je pristupom, osim prve (dvostruke) kriticne tocke(1,kr = 2,kr = 4,16), izolirana jos jedna bliska (takoderdvostruka) kriticna tocka (11,kr = 12,kr = 4,48), a po-tom i nesto udaljeniji grozd s pet vrlo bliskih oblikaizbocenja (20,kr = 7,52 do 24,kr = 7,53). Ove tocke,ustanovljene kao tocke razgranjenja (slika 16.b) treba is-pitati jer grupiranje vlastitih vektora uzrokuje vecu osjet-ljivost prema imperfekciji. Medu njima lezi jos (izoli-ranih!) kriticnih tocaka, ali ih mala osjetljivost ne cinimjerodavnima. Postoje i vise kriticne tocke koje su zbogcesceg grupiranja osjetljivije. Medutim, radi velikog pri-padnog opterecenja nisu zanimljive. Treba istaknuti do-

bro podudaranje kr i i s rezultatima klasicnog problemavlastitih vrijednosti (K0I)= 0, gdje je K0 ishodisnamatrica krutosti jer je prijekriticna grana kupole gotovolinearna. (Razlika medu rezultatima iznosi oko 8%.)Prekoracenje nizih vlastitih vrijednosti i pracenje labilnegrane ostvareno je kinematickim ogranicenjem u oblikulinearne kombinacije vlastitih vektora (bez potrebe zavodecim cvorom). Temeljna je zamisao vektor pomakauciniti ortogonalnim na postojece vlastite vektore, a timei na bilo koju linearnu kombinaciju tih vektora. Matricuogranicenja stalno prosirujemo umetanjem novih vlasti-tih vektora (stupaca) cime suzavamo potprostor mogucihrjesenja jer su pomaci sprijeceni u smjeru sve vecegbroja vektora. Na taj nacin

pridrzavamo model po la-bilnoj grani. Bit je postupka, dakle, matricu krutosti(vec prosirenu ogranicenjem oblika hiperravnine) do-datno prosiriti kinematickim ogranicenjem. Algoritam iprogramsku realizaciju u FEAP-u trebalo bi obraditi u po-sebnom clanku.

Odredivanje poslijekriticne grane. Nakon primarnegrane i kriticnih tocaka koje smo smatrali zanimlji-vima treba odrediti poslijekriticne grane koje iz njihproizlaze. Svladavanje kriticne tocke i prijelaz na se-kundarnu granu (engl. branch switching) temelji se naperturbaciji modela oblikom izbocenja (engl. bucklingmode injection). Zamisao je poremetiti deformiranioblik modela u kriticnoj tocki dodavanjem pripadnogoblika izbocenja. Takva je perturbacija logicna jer vek-toru pomaka (deformiranom modelu) i vlastitom vek-toru (obliku izbocenja) pripada ista razina opterecenjau kriticnoj tocki. Stovise, vlastiti su vektori tangenci-jalni na poslijekriticnu granu u toj tocki pa predstav-ljaju dobar izbor pocetnog pokusaja. U skladu s FEAP-om, takav pokusaj jest: ui = ukr + |ukr|/( |i|)i, gdjeje = 100ukri/(|ukr||i|)+1, iznos predlozene pertur-bacije, iako mozemo usvojiti i puno manji iznos. Na-

Slika 17. Analiza prve (dvostruke) tocke razgranjenja: a) funkcije osjetljivosti, b) funkcije ravnoteze

GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886 883


Slika 18. Analiza bliske (dvostruke) tocke razgranjenja: a) funkcija osjetljivosti, b) funkcije ravnoteze

ime, ako je kriticna tocka precizno odredena, dovoljan jevrlo mali poremecaj ( 0) koji

gurne model na pos-lijekriticnu granu. U slucaju visestruke kriticne tocke svivlastiti vektori i i njihove kombinacijeii mogu odre-diti mjerodavni pocetni smjer, pa ih treba pojedinacno is-pitati umetanjem u izraz za ui. U dvostrukim kriticnimtockama treba ispitati tri smjera 1, 2 i (1 +2),iako se moglo pokusati i 1 1 + 22. U slucaju pet bli-skih oblika izbocenja treba ispitati 15 smjerova. Mjero-davan je smjer koji odreduje tangentu na poslijekriticnugranu s globalnim minimumom. Za prvu i drugu kriticnutocku radi se o kombinaciji obaju vlastitih vektora, a uslucaju grozda svih pet. Pojedinacni smjerovi i (i =1,11 i 20) daju malo vise iznose minimuma pa su, jednos-tavnosti radi, zajedno s pripadnim funkcijama odabraniza daljnju analizu (slike 17.b) i 18.b) za 0 i slika 19.).

Slika 19. Oblici izbocenja i odabrana funkcija ravnotezepromatranog grozda; istaknut je oblik zasluzan zaperturbaciju

Da bismo izbjegli vizualne zamke pri odredivanju tipakriticne tocke [18], treba provjeriti oblik funkcija rav-noteze u jos nekim cvorovima i stupnjevima slobode, s

mogucim presijecanjem medu poslijekriticnim granama.Statickim je pristupom tesko razluciti visestruke i bliskevlastite vrijednosti, a posebno njihov utjecaj na poslije-kriticno ponasanje. Zbog toga je dobro rezultate provje-riti dinamickim proracunom jer inercijalni ucinci nakondostizanja kriticne tocke

gurnu model u fizikalno is-pravnom smjeru. Odabrana je stabilna metoda vremen-ske diskretizacije HilberHughesTaylor alfa (HHT),realizirana SAPom. Zadan je blagi prirast statickih op-terecenja, kako bismo izbjegli znacajnije ubrzanje na pri-jekriticnoj grani. Upotrijebljena je matrica koncentrira-nih translacijskih masa, Rayleighijevo prigusenje i, na-ravno, geometrijski nelinearna matrica krutosti. Najprijesu primijenjeni veci vremenski koraci ( t = 0,01) i ko-eficijent (numerickog prigusenja) = 1/3, a zatim suobje velicine postupno smanjene ( t do 0,001, a donule), jer tada metoda daje najbolje rezultate.Prijekriticne grane dobivene statickim i dinamickim pris-tupom prakticki se podudaraju, a poslijekriticne grane su,u slucaju statickog proboja prema naprijed (engl. snapthrough) horizontalne, dok su pri proboju prema natrag(engl. snapback) vertikalne jer dinamickim proracunommozemo slijediti samo stabilni dio sekundarne grane,cesto vrlo udaljen od primarnog dijela funkcije ravnoteze.Osjetljivost prema imperfekciji. Uobicajeno je zadatiimperfekciju u obliku linearne kombinacije vlastitih vek-tora ii (|i| > 0). U ovome je projektu imperfekcijaproporcionalna jednom vlastitom vektoru (i) jer takvaperturbacija idealne geometrije daje poslijekriticnu granublisku mjerodavnoj. Zadavanjem pocetne imperfekcijekriticne tocke postaju izolirane granicne tocke, a nu-mericki problemi, ponajprije odredivanje i prekoracenjetih tocaka prakticki iscezavaju (funkcije na slikama 17.b)i 18.b) za > 0). Spajanjem kriticnih vrijednosti op-terecenja i pripadnih imperfekcija dobivamo tocke funk-cije (elasticne) osjetljivosti prema imperfekciji (engl. im-

884 GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886


perfection sensitivity curve) [slike 17.a) i 18.a)]. U skladus Koiterovim zakonom imperfekcije na jednu polovinu(engl. halfpower law), druga je kriticna tocka osjetljivaprema imperfekciji (dominira clan 1/2). Uocavamo strmipad funkcije u podrucju malih imperfekcija, naglasenvertikalnom tangentom u kriticnoj tocki na osi ordinata.Sto se grozda tice, treba naglasiti da nije teorijski mjero-davan, ali ga treba razmotriti jer su popratne analize po-kazale da ukljucenje nosaca i pokrova u numericki modeluzrokuje porast kriticnog opterecenja i grupiranje sime-tricnih oblika izbocenja, bas onakvih kakve sadrzi grozd(slika 19.). Iako grozdu pripada velika kriticna sila, mini-mum mjerodavne poslijekriticne grane lezi vrlo nisko, arazlog je izrazita osjetljivost prema imperfekciji. Zaista,utvrden je ekstremni oblik proboja prema nazad (slika19.), s malim razmakom izmedu prijekriticne i poslije-kriticne grane (samo 7,5mm). Prema tome, zbog iz-nimno male imperfekcije model moze

preskociti naposlijekriticnu granu i postici stabilnu ravnotezu tek pri = 2,54. To je tri put manje od idealne vrijednostikriticne sile koju, ocito, niti vrlo preciznim pokusom nebismo dosegnuli. Drugim rijecima, dio primarne graneiznad minimuma (istaknuto na slici) vrlo je opasan jerga prakticki nije moguce slijediti. Funkciju osjetljivostnecemo crtati, ali naslucujemo da je vrlo strma. Raz-lozi su takvog ponasanja dvojaki. Prvo, nastaje fenomenslozenog izvijanja (engl. compound buckling) u kojemuistovremeno sudjeluju globalni oblici izbocenja kupole ilokalno izvijanje mnogih stapova. I drugo, funkcija rav-noteze ne vrijedi samo asimptotski za male, nego zboggeometrijski tocnog pristupa i za velike poslijekriticneprogibe. Drugim rijecima, izraz za potencijalnu energijuili funkciju ravnoteze konacnog elementa sadrzi vise cla-nove Taylorova reda.Prema tome, nedvojbena krutost pokrova pridonosipovecanju kriticne sile, ali moze prouzrociti veliku osjet-ljivost prema imperfekciji. Intuitivno jasne staticke re-zerve nosivosti koje se kriju u pokrovu treba uvijekoprezno razmotriti sa gledista stabilnosti.Nakon podrobnih analiza, kratko opisanih u ovomeodjeljku, usvojen je maksimalni iznos imperfekcije od = 10cm. Taj iznos uzrokuje smanjenje kriticnog op-terecenja sa 4,16 na 3,5 za prvu, odnosno sa 4,48 na3,24 za drugu kriticnu tocku [oznaceno na slikama 17.a)i 18.a)]. Moze se pokazati da i minimum koji pripadagrozdu pada s 2,54 na 2.Ove analize vrijede za sumu osnosimetricnih opterecenjakoja sadrzi i jednoliki zamjenski snijeg. Nesimetricnadjelovanja snijega ili vjetra, koja poticu nesimetricneoblike izbocenja, nisu razmatrana. Razlozi su malo op-terecenje snijegom za podrucje Zadra i odizuce djelova-nje vjetra na vrhu kupole. Jedino znacajno nesimetricnoopterecenje jest potres, ali se zbog male tezine celicnogdijela nije pokazalo mjerodavnim za izbocenje.

4.4 Ucinak plasticnog tecenjaDo sada smo razmatrali samo utjecaj geometrijske neli-nearnosti. Ipak, na slikama deformiranog modela (pri-mjerice 17. i 19.) mozemo uociti veliku zakrivljenoststapova u ekstremnim tockama valova koje sadrze obliciizbocenja. Ocito je da takve deformacije nisu mogu-ce bez plasticnog tecenja. U ovome su projektu naj-prije odredene razine opterecenja koje uzrokuju pocetakplasticnog popustanja na primarnoj grani. Potom je, uzpripadne iznose imperfekcija, odredena funkcija osjet-ljivosti pri tecenju (slika 17.a). Plasticno popustanje naposlijekriticnoj grani nismo razmatrali. U skladu s pris-tupom, utjecaj plasticnog popustanja uzrokuje smanjenjenosivosti prve kriticne tocke sa 3,5 na 3,07 (oznaceno naslici 17.a). Slicno tomu, kriticno opterecenje grozda padasa 2 na 1. Druga kriticna tocka nije pod utjecajem tecenjana primarnoj grani, pa razina opterecenja odredena funk-cijom elasticne osjetljivosti ostaje mjerodavnom.Ucinak plasticnog popustanja (koeficijent sigurnosti)moze se odrediti i Gerardovom formulom= (ESET )1/2,gdje su ES i ET sekantni i tangentni moduli elasticnosti[19]. U okolisu granice tecenja mozemo uzeti ES = 0,7Ei ET = 0,35E, gdje je E modul elasticnosti celika, pa do-bivamo = 0,5. Konacnu funkciju nosivosti odredujemomnozenjem elasticne funkcije osjetljivosti sa (slika17.a). Time prvo kriticno opterecenje pada s 3,5 na1,75. (Drugo ostaje na utvrdenih 3,24) I pripadni mi-nimum grozda mozemo pomnoziti sa cime dobivamo2 0,5 = 1, sto potvrduje rezultat preciznijeg pristupatecenju. To je ujedno i najniza vrijednost nosivosti kojumozemo smatrati dostatnom i mjerodavnom.Mozemo zakljuciti: nosivost perturbiranog modela, mo-dela s imperfekcijom i modela s ucincima plasticnogtecenja odredena je osjetljivoscu poslijekriticne granegrozda prema imperfekciji.

5 Dinamicki proracun

Dinamicki je proracun proveden SAPom, spomenu-tom HHT metodom ( t od 0,02 do 0,005), uz do-datnu provjeru (brzom) metodom modalne superpozicije( t = 0,02), temeljenom na potprostoru Ritzovih vek-tora. Modalne su jednadzbe rijesene egzaktno jer vri-jedi poligonalna aproksimacija potresnih zapisa. Time su(uz dobru diskretizaciju pobude) uklonjeni problemi sta-bilnosti i numerickog prigusenja koji cesto prate metodevremenske diskretizacije. Superpozicija modalnih dopri-nosa za jedan smjer pobude odredena je prema praviluCQC3, a za sva tri smjera pravilom SRSS, uz dodatnuprovjeru poznatim pravilom 30%. Odabran je koefici-jent vaznosti gradevine I = 1,2. U skladu s propisima,ucinci plasticnog popustanja i raspucavanja mogu se uzetiposredno: smanjenjem fleksijske i posmicne krutosti ele-menata na polovinu punih vrijednosti.

GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886 885


Potresni su zapisi prilagodeni spektralnoj krivulji, ho-rizontalnom vrsnom ubrzanju tla (ahg = 0,2g), uda-ljenoscu od rasjeda, geoloskim uvjetima sireg podrucjai lokalnim uvjetima temeljenja. U nedostatku zapisa slokacije odabrali smo nekoliko domacih i stranih zapisakoji se priblizno podudaraju s ovim zahtjevima (jedan jeprikazan na slici 20.a).

Slika 20. Model opterecenja potresom: a) jedan od zapisa,b) glavni smjerovi pobude

Analizom spektralnih krivulja svakog zapisa odabrano jeonih sedam koji pobuduju vazne periode titranja kupole.Dimenzioniranje je provedeno na temelju srednjih vrijed-nosti odziva. Glavni smjer djelovanja potresa odredenje polozajem poprecne sile koja pripada prvom transla-cijskom obliku titranja. Okomito na njega postavljen je

drugi smjer djelovanja (slika 20.b). Smjerovi se podu-daraju s osima simetrije gradevine. U obzir je uzeta ivertikalna pobuda, maksimalnog ubrzanja avg = 0,9ahg.

6 ZakljucakIako je vecina postupaka obradenih u ovome clanku do-bro utemeljena i istrazena, postoje otvoreni problemi koji,ponajprije zbog nedostatka pokusa, jos nisu rijeseni. Tose posebno odnosi na izbor mjerodavnog oblika imper-fekcije, istaknutog pojavom slozenog izvijanja koje mozedodatno smanjiti ionako veliku osjetljivost kupole premarazlicitim poremecajima. Zbog toga je pozeljno osimprve (i cesto mjerodavne) kriticne tocke istraziti posto-janje bliskih, visestrukih kriticnih tocaka i grozdova jeriz razlicitih razloga (nepouzdanosti ili nepotpunosti mo-dela) poslijekriticne grane i pripadne funkcije osjetljivostitih tocaka mogu postati mjerodavne.U slucaju resetkaste kupole s pravilnim oblikom mreze(primjerice s trokutnim ili trapeznim poljima) moguceje uspostaviti analogiju s izotropnom (ili jos bolje ani-zotropnom) kontinuiranom kupolom i zatim primijenitivelik broj rezultata pokusa za procjenu nosivosti [20].Medutim, za slozeni oblik mreze, poput ovoga, primjenatakvog postupka nije uvijek jasna, a ponekad moze biti iopasna.

ZAHVALA

Autori se zahvaljuju prof. emer. dr. sc. Josipu Dvorniku na prijedlozima, savjetima i poticanju korisnih rasprava priprojektiranju gradevine, a posebno na zamislima realiziranim algoritmom za proracun stabilnosti.

LITERATURA

[1] Hrzic, M.; Uglesic, D.; Pesusic, O.: Visenamjenska gradska dvo-rana u sklopu

SRC Visnjik Zadar, glavni projekt, izmjene i do-pune, Zadar, 2004.

[2] Hemerich, E.; Lazarevic, D.; Andelic, M.; Sosic, I.: Welded tu-bular structure for the Zadar dome, 12th International Symposiumon Tubular Structures, (ISTS12), Shanghai, China, 2008.

[3] SAP2000 Analysis Reference Manual, Computers and Structures,Inc., Berkeley, California, 2002.

[4] Taylor, R. L.: FEAP A Finite Element Analysis Program, Ver-sion 7.5, Programmer Manual, Berkeley, California, 2005.

[5] Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L.: The Finite Element Met-hod, Volume 2, Solid Mechanics, Fifth edition, ButterworthHeinemann, Oxford, 2000.

[6] Taylor, R. L.: FEAP A Finite Element Analysis Program, Ver-sion 7.5, Theory Manual, Berkeley, California, 2005.

[7] Hjelmstad, K. D.: Fundamentals of Structural Mechanics, SecondEdition, Springer Science+Business Media, Inc., 2005.

[8] Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, A Continuum Ap-proach for Engineering, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester,2008.

[9] Higham, N. J.: Accuracy and Stability of Numerical Algorit-hms, 2nd edition, Society for Industrial and Applied Mathematics,(SIAM), Philadelphia, 2002.

[10] Galambos, T. V.: Guide to stability design criteria for metal struc-tures, Fifth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[11] Bushnell, D.: Computerized buckling analysis of shells, MartinusNijhoff Publishers, Dordrecht, 1985.

[12] Lazarevic, D.; Uros, M.; Gidak, P.: Postbuckling Behaviour ofShallow Lattice Dome, Spatial Structures Permanent and Tem-porary, Proceedings of the International Association for Shell andSpatial Structures, (IASS) Symposium, Shanghai, 2010.

[13] Fellipa, C., A.: Nonlinear Finite Element Method, University ofColorado, Boulder, Colorado, 2001.

[14] Riks, E.: The application of Newtons method to the problemof elastic stability, Journal of Applied Mechanics, 39 (1972) 4,10601066.

[15] Schweizerhof, K.; Wriggers, P.: Consistent linearization for pathfollowing methods in nonlinear feanalysis, Computer Methodsin Applied Mechanics and Engineering, 59 (1986) 3, 261279.

[16] Wriggers, P.: Nonlinear Finite Element Methods, SpringerVerlag, Berlin, 2008.

[17] Bathe, K. J.: Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jer-sey, 1996.

[18] Thompson, J. M. T.; Hunt, G. W.: A General Theory of ElasticStability, John Wiley & Sons, Ltd., London, 1973.

[19] Allen, H. G.; Bulson, P. S.: Background to Buckling, McGrawHill, London, 1980.

[20] Kollar, L.; Dulacska, E.: Buckling of Shells for Engineers, JohnWiley & Sons, Chichester, 1984.

886 GRA-DEVINAR 62 (2010) 10, 875886

Documents

Kupola Krešimir Ćosić