1

(hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!)

•  1900: Planckin säteilylaki •  1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle •  1913: Bohrin atomimalli •  1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi •  1925: Heisenbergin matriisimekaniikka •  1926: Schrödingerin yhtälö •  1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate •  1928: Diracin yhtälö •  1949: Quantum Electrodynamics (QED) •  1964: Higgsin mekanismi •  1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) •  1967: sähköheikko vuorovaikutus •  1973: asymptoottinen vapaus •  1971-1976: supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria,

supergravitaatio

Kvan%fysiikan  historiaa  

Diracin  yhtälö  •  Kvan%mekaniikka  on  epärela8vis8nen  teoria.  

•  Schrödingerin  yhtälö  on  rakenne=u  klassisen  mekaniikan  liike-­‐energiasta  läh8en,  joten  se  on  kovarian%  (eli  säily=ää  muotonsa)  Galilei-­‐muunnoksissa,  ei  Lorentz-­‐muunnoksissa.  

 •  Kvan%mekaniikka  on  siis  ris8riidassa  suppean  suhteellisuusteorian  

kanssa.  

i!!!!t

= "!2

2m!2

!x2+V (x)

#

$%

&

'(!E = 1

2mv2 = p2

2mH =

p2

2m+V (x)

2  

•  Galilei-­‐muunnos:  

i!!!!t

= "!2

2m!2

!x2+V (x)

#

$%

&

'(!

) i!!!!t '

" i!v !!!x '

= "!2

2m!2

!x '2+V (x ')

#

$%

&

'(!

t! t ' = tx! x ' = x " vt

!!t=!!t '

" v !!x '

, !!x

=!!x '

3  

! ' = e!im!vx!imv

2

!t!

•  Schrödingerin  yhtälö  ei  säilytä  muotoaan.  Todennäköisyys8heys  säilyy  kuitenkin  samana.  Jos  määritellään                                                        ,  niin  saadaan  

i!!! '!t '

= "!2

2m!2

!x '2+V (x ')

#

$%

&

'(! '

•  Lisäksi                      .  ! '(t ', x ') 2 = !(t, x) 2

t! t ' = ! t " vx / c2( )x! x ' = ! x " vt( )! #1/ 1" v2 / c2

•  Lorentz-­‐muunnoksen  kohdalla  samaa  temppua  ei  voi  tehdä.  

!!t= !

!!t '

"!v !!x '

!!x

= !!!x '

"!vc2

!!t '

i!!!!t

= "!2

2m!2

!x2+V (x)

#

$%

&

'(!

) i!" !!!t '

" v !!!x '

#

$%

&

'(= "

!2

2m" 2

!2

!x '2+" 2v2

c4!2

!t '2" 2 "

2vc2

!!x '

!!t '

#

$%

&

'(+V (x ')

*

+,

-

./!

4  

•  Yhtälön  muoto  ei  säily.  

•  Miten  yleistetään?  Tarkastellaan  vapaata  hiukkasta,  V(x)=0.  

•  Schrödingerin  yhtälö  mo8voi8in  epärela8vis8sella  yhtälöllä  ja  fotonien  relaa8oilla      .              

 •  Suppeassa  suhteellisuusteoriassa  pätee                                                            .  

•  Haluamme  edelleen  vapaalle  hiukkaselle  aaltoratkaisun,  

•  Muokataan  siis    

 

•  Tämä  on  Klein-­‐Gordon-­‐yhtälö.    Ongelma:  yhtälöllä  on  kaksinkertainen  määrä  ratkaisuja  Schrödingerin  yhtälöön  verra=una,  ja  puolella  näistä  on  nega8ivinen  energia!    

i!!"!t

= #!2

2m$2"

%#!2 !2"!t2

= #!2c2$2" +m2c4"

E = p2

2mE = !!, p = !k

E 2 = p2c2 +m2c4

E 2! = p2c2! +m2c4!

! = eikx"i!t.

5  

•  Mitä  tehdä?  

•  Suppean  suhteellisuusteorian  Lorentz-­‐kovarianssi                →  aika-­‐  ja  paikkaderivaa=ojen  asteen  pitää  olla  sama.  

•  Aikaderivaa=ojen  asteen  nostamisen  sijaan  voidaan  laskea  paikkaderivaa=ojen  aste=a.  

•  Halutaan  yhtälö,  jonka  neliönä  saadaan  suhteellisuusteorian  energian  lauseke    .  

•  Osoi=autuu,  e=ä  tämä  on  mahdollista  vain,  jos  kyseessä  on  matriisiyhtälö:  

E 2 = p2c2 +m2c4

i!!"!t

= #i!c $i=1

3!i

!!xi

+"mc2%

&'

(

)*" Diracin  yhtälö  

4x4-­‐matriiseja   4-­‐komponen%nen  vektori  

6  

•  Matriisit  toteu=avat  

•  (Nämä  4x4-­‐matriisit  lii=yvät  laskuharjoituksissa  oleviin  Paulin  spin-­‐2x2-­‐matriiseihin;  ei  mennä  yksityiskoh8in!)  

 •  Diracin  yhtälö  kertoo,  e=ä  yhden  aaltofunk8on  sijaan  niitä  on  neljä.  

•  Diracin  yhtälö  ennustaa  spinin:  tämä  seli=ää  yhden  tekijän  kaksi.  

•  Jäljelle  jää  vielä  toinen  tekijä  kaksi:  taas  on  riesana  nega8ivisen  energian  ratkaisuja  ⇒  voivatko  posi8ivisen  energian  elektronit  pudota  nega8ivisen  energian  8loihin?  Onko  teoria  epästabiili?  

•  Nega8ivisen  energian  elektronit  tulkitaan  posi8ivisen  energian  an8-­‐elektroneiksi.  (Dirac  1931)  

•  Nämä  positronit  löyde%in  1932  kosmisista  säteistä.  

•  Diracin  yhtälö  ennus8  an8hiukkaset.  

7  

!i! j +! j!i = 0 (kun i ! j), !i" +"!i = 0, !i2 = " 2 =1.

•  Yrite=äessä  kuvata  yhtä  elektronia  rela8vis8ses8  haaviin  jäikin  kaksi  (tai  neljä)  hiukkasta!  Tämä  johda=aa  kvan%ken=äteoriaan,  missä  hiukkasista  ei  voi  puhua  yksinään.  (An8hiukkasten  kunnollinen  käsi=ely  vaa8i  kvan%ken=äteorian.)  

•  Entäpä  fotonit?  Tähän  as8  niillä  ei  ollut  kunnollista  kvan%mekaanista  kuvausta.  Millainen  teoria  kuvaa  fotoneita  ja  niiden  vuorovaikutusta  elektronien  kanssa?  

8  

9

(hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!)

•  1900: Planckin säteilylaki •  1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle •  1913: Bohrin atomimalli •  1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi •  1925: Heisenbergin matriisimekaniikka •  1926: Schrödingerin yhtälö •  1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate •  1928: Diracin yhtälö •  1949: Quantum Electrodynamics (QED) •  1964: Higgsin mekanismi •  1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) •  1967: sähköheikko vuorovaikutus •  1973: asymptoottinen vapaus •  1971-1976: supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria,

supergravitaatio

Kvan%fysiikan  historiaa  

Kvan%ken=äteoria  

10  

•  Quantum  Electrodynamics  eli  QED  oli  ensimmäinen  kvan%ken=äteoria.  (Ks.  Feynman:  QED  –  valon  ja  aineen  ihmeellinen  teoria.)  

•  Tavoite:  yhdistetään  suppea  suhteellisuusteoria  ja  kvan%mekaniikka,  kuvataan  fotoneita,  elektroneita  ja  niiden  vuorovaikutusta  kvan%mekaanises8.  

•  Lähtökohta:  Maxwellin  yhtälön  ”kvan8=aminen”  eli  klassisen  sähkömagne8smin  yhtälöiden  kvan%mekaaninen  yleistys  ja  Diracin  yhtälön  kunnollinen  käsi=ely.  

11  

•  Kvan%mekaniikka  on  epärela8vis8nen  teoria  hiukkasista.  

•  Kvan%ken=äteoria  on  rela%vis%nen  teoria  ken%stä.    •  Kvan%mekaniikka  kertoo,  miten  8e=y  määrä  hiukkasia  käy=äytyy,  kun  

niiden  välinen  vuorovaikutus  on  anne=u.  

•  Kvan%ken=äteoria  kertoo  mitä  on  ”hiukkanen”,  millaisia  hiukkasia  on  olemassa  ja  millaisia  vuorovaikutuksia  niillä  on.  

•  Vuorovaikutukset  (esim.  Coulombin  poten8aali)  eivät  ole  lähtökoh8a  kuten  kvan%mekaniikassa,  vaan  ne  voidaan  johtaa  perusoletuksista.  

•  Hiukkasten  luonne  seli=yy  (ja  virtuaaliset  hiukkaset  tulevat  mukaan).    Kvan8ken:äteoria  on  (tämän  hetken)  perustavanlaatuisin  teoria  aika-­‐avaruuden  ainesisällöstä  ja  muista  kuin  gravitaa@ovuorovaikutuksesta.    (Vastaavas8  yleinen  suhteellisuusteoria  on  tämän  hetken  perustavanlaatuisin  teoria  aika-­‐avaruudesta  ja  gravitaa8ovuorovaikutuksesta.)  

12  

•  Kvan%mekaniikassa  systeemissä  on  N  hiukkasta.  Jokaista  hiukkasta  kuvaa  aaltofunk8o,  ja  jokaisella  hiukkasella  on  oma  paikkaoperaa=ori  ja  liikemääräoperaa=ori.  

•  Koko  systeemin  energiaa  vastaa  yksi  Hamiltonin  operaa=ori...  mu=a  aika  on  vain  luku,  ei  operaa=ori.  

•  (Huom!  Kvan%mekaniikassa  hiukkasen  paikka  on  epämääräinen,  mu=a  aika  ja  avaruus  ovat  samanlaisia  kuin  klassisessa  mekaniikassa:  tarkkaan  määrä=yjä,  staa%sia  ja  ikuisia.  Sama  pätee  kvan%ken=äteoriassa.)  

•  Suhteellisuusteoriassa  hiukkasen  aika  &  paikka  ja  energia  &  liikemäärä  muodostavat  nelivektorit:  

•  Miten  tämä  toimii,  jos  aika  on  luku  ja  paikka  operaa=ori?  (Pitäisikö  ajasta  tehdä  operaa=ori?  (Tässä  olisi  suuria  vaikeuksia:  ei  voi  toimia  kuten  paikan  ja  liikemäärän  tapauksessa,  koska  energian  spektri  on  diskree%.)  

•  Kvan%ken=äteoria  lähestyy  ongelmaa  eri  suunnasta:  systeemin  rakennuspalikat  eivät  ole  hiukkasia,  vaan  ken%ä.  

x! = (ct, xi ) , p! = (E / c, pi )

13  

•  Klassisessa  mekaniikassa  ken:ä  on  olio,  joka  täy=ää  koko  avaruuden  ja  jolla  on  8e=y  arvo  avaruuden  jokaisessa  pisteessä.  (Esimerkiksi  sähköken=ä,  joka  on  vektori  ja  jolla  on  siis  kolme  komponen%a.)  

•  Kvan%mekaniikassa  ”kvan8tetaan”  pistemäiset  hiukkaset,  ja  kvan%ken=äteoriassa  ”kvan8tetaan”  kentät.  (”Toinen  kvan@:aminen”)  

•  Kvan%ken=ä  ei  liitä  avaruuden  jokaiseen  pisteeseen  lukua,  vaan  operaa=orin.  Kvan%mekaniikassa  oleellisia  operaa=oreita  ovat                        ,  kvan%ken=äteoriassa                                                              .  

•  Ken=ä                            ei  kuvaa  yhden  elektronin  todennäköisyysjakaumaa,  vaan  kaikkia  elektroneita  (ja  positroneita)  kerralla.  

•  Yksi=äinen  elektroni  on  liikkuva  paikallinen  aalto  kvan%kentässä.  

•  (Sanalla  ”hiukkanen”  on  kaksi  merkitystä:  se  tarkoi=aa  sekä  yksi=äistä  kentän  8hentymää  e=ä  kentän  lajia.  On  siis  elektroniken=ä,  fotoniken=ä  jne.,  jonka  ”kvan=eja”  ovat  elektronit,  fotonit  jne.)  

Kvanttikenttäteoria = kvanttifysiikka + suppea suhteellisuusteoria + kenttäteoria

!(t, x) ja !!(t, x)x ja p

!(t, x)

14  

!(t, x) = !(t, x) +"!(t, x)

ken=äoperaa=ori   kentän  odotusarvo   kentän  fluktuaa8o  

•  Ken=äoperaa=ori  voidaan  jakaa  kentän  odotusarvoon,  joka  vastaa  klassista  ken=ää,  ja  fluktuaa8oihin  kentän  ympärillä.  

•  Samaan  tapaan  kuin  paikan  odotusarvo  on  (hajonnan  ollessa  pieni)  suunnilleen  sama  kuin  klassisen  hiukkasen  rata,  kentän  odotusarvo  vastaa  suunnilleen  klassisen  fysiikan  kentän  käy=äytymistä.  

•  Kvan%mekaniikka  kuvaa  8e=yä  määrää  hiukkasia,  ja  siinä  lasketaan  todennäköisyyksiä  sille,  missä  nämä  hiukkaset  ovat,  mikä  niiden  liikemäärä  (ja  spin  ja  niin  edelleen)  on.  

•  Kvan%ken=äteoriassa  lasketaan  lisäksi  todennäköisyyksiä  sille,  mitä  hiukkasia  on  ylipäänsä  olemassa.  

15  ATLAS-­‐detektorin  ensimmäinen  7  TeV:n  hiukkastörmäys.  

16  

•  Kvan%ken=äteoriassa  hiukkasia  syntyy  ja  tuhoutuu.  

•  Ei  voida  laskea  sitä,  mitä  hiukkasia  törmäyksessä  syntyy,  ainoastaan  todennäköisyysjakauma  niiden  syntymiselle.  

 •  Kiinnostuksen  kohteena  on  todennäköisyysamplitudi:  

•                 on  todennäköisyys  havaita  8e=y  loppu8la,  jos  lähdetään  8etystä  alku8lasta  ja  jos  systeemi  vuorovaiku=aa  tavalla,  jota  kuvaa  operaa=ori  S,  jonka  nimi  on  S-­‐matriisi.  

•  S-­‐matriisi  kuvaa  alku8lan  loppu8laksi.  Sen  matemaa%nen  muoto  määräytyy  siitä,  millaisia  vuorovaikutuksia  systeemissä  on.  

A = lopputila S alkutila

A 2

17  

•  Kvan%mekaniikassa  systeemi  on  määritelty,  kun  kerrotaan  montako  hiukkasta  siinä  on,  ja  kerrotaan  kunkin  massa,  spin  ja  sen  kokema  vuorovaikutuspoten8aali.  (Lisäksi  tarvitaan  8etys8  alkuehdot.)  

•  Kvan%ken=äteoriassa  kerrotaan  sen  sijaan,  montako  hiukkaslaatua  on  olemassa,  ja  mitkä  niiden  massat  ja  spinit  ovat,  ja  miten  ne  vuorovaiku=avat  keskenään.  

•  Kvan%ken=äteoriassa  hiukkasten  vuorovaikutus  ei  ole  mielivaltainen,  vaan  kun  hiukkaset  on  lue=eloitu,  on  vain  äärellinen  määrä  tapoja,  joilla  ne  voivat  vuorovaiku=aa.  

•  Hiukkaset  voidaan  jakaa  kahteen  lajiin:  bosoneihin  ja  fermioneihin.  

! = n1l1m1sz1 n2l2m2sz2 ! n1l1m1sz1;n2l2m2sz2

•  Fermionien  ja  bosonien  seli=ämiseksi  palataan  hetkeksi  kvan%mekaniikkaan.  

•  Hiukkasilla  ei  ole  muuta  iden8tee%ä  kuin  niiden  kvan%luvut.  Niinpä  monihiukkas8lassa  havaintosuureiden  pitää  pysyä  samana,  kun  vaihdetaan  kaksi  samat  kvan%luvut  omaavaa  hiukkasta.  

•  Tila  voi  sil8  muu=ua,  koska  havaintosuureet  eivät  riipu  8lan  vaiheesta.  

•  Tarkastellaan  esimerkiksi  heliumatomia  (Z=2)  ja  jätetään  elektronien  keskinäiset  vuorovaikutukset  sikseen.  Tila  on  silloin  

18  

Pitää  siis  olla  

n2l2m2sz2;n1l1m1sz1 = ei! n1l1m1sz1;n2l2m2sz2 (  α  on  reaalinen)  

Spin-­‐sta8s8ikka-­‐teoreema  

19  

•  Kvan%ken=äteoriassa  voidaan  osoi=aa,  e=ä    1)  Ainoastaan  arvot                ovat  mahdollisia.    2)  Merkin  ja  spinin  s  välillä  on  yhteys  (spin-­‐sta@s@ikka-­‐teoreema)*:    Toisin  sanoen:    

 Jos  hiukkasen  spin  on  kokonaisluku,  8la  on  symmetrinen  (+merkki).    Jos  hiukkasen  spin  on  puoliluku,  8la  on  an8symmetrinen  (-­‐merkki).  

 •  Hiukkasia,  joiden  spin  on  kokonaisluku,  kutsutaan  bosoneiksi,  ja  hiukkasia  

joiden  spin  on  puoliluku,  kutsutaan  fermioneiksi.    (*Mielenkiintoinen  yksityiskohta:  Tulos  pätee  vain  kun  avaruuden  ulo=uvuuksia  on  kolme  tai  enemmän.  Kahdessa  ulo=uvuudessa  on  anyoneja,  joille  α  voi  olla  mikä  tahansa  reaaliluku.)  

ei! = ±1

! = i2"s

n2l2m2sz2;n1l1m1sz1 = ei! n1l1m1sz1;n2l2m2sz2

•  Spin-­‐sta8s8ikkateoreemasta  seuraa  Paulin  kieltosääntö,  jonka  mukaan  kaksi  saman  lajin  fermionia  (elektroni,  positroni,  myoni,  protoni,  ...)  ei  voi  olla  samassa  8lassa  (eli  omata  samoja  kvan%lukuja).  

 Esimerkiksi  heliumatomin  (Z=2)  perus8lassa  molemmilla  elektroneilla  on  n=1,  l=0  ja  m=0,  mu=a  sz  on  erilainen.    Mu=a  jo  li8umin  (Z=3)  tapauksessa  alimmalle  energiatasolle  ei  enää  mahdu    elektroneja,  joten  perus8lassa  yhden  elektronin  on  pakko  olla  8lassa  n=2.    Alkuaineiden  elektronikuorten  rakenne  (ja  siten  erilainen  käy=äytyminen)  seuraa  Paulin  kieltosäännöstä.  

20  

Kemia  pohjaa  kvan7ken8äteoriaan!  

Paulin  kieltosääntö  

21  

•  Kvan%ken=äteorian  määri=ävät  kaksi  tekijää:  

1.  Millaisia  hiukkasia  teoriassa  on.  

2.  Millaisia  vuorovaikutuksia  hiukkasilla  on.  

•  Kvan%ken=äteorian  rakenne  sitoo  nämä  kaksi  seikkaa  yhteen.  Vaa8mukset  siitä,  e=ä  teoria  on  rela8vis8nen,  vuorovaikutusten  suhteen  lokaali  ja  matemaa%ses8  toimiva  ovat  hyvin  rajoi=avia.  

•  Eräs  rajoi=ava  tekijä  ovat  teorian  symmetriat,  eli  muunnokset  joissa  teoria  säilyy  samanlaisena.  

•  Esimerkki  tästä  ovat  aika-­‐avaruuteen  lii=yvät  symmetriat  kuten  Lorentz-­‐kovarianssi.  

•  Symmetriat  voivat  myös  lii=yä  muunnoksiin  ken%en  avaruudessa.  

Kvan%ken=äteorian  rakenteesta  

•  Havainnollistetaan  yhtey=ä  mi=asymmetrian  ja  vuorovaikutuksen  välillä  QED:n  tapauksessa.  

•  Kvan%ken=äteoriassa,  kuten  kvan%mekaniikassa,  todennäköisyys8heys  ei  muutu  muunnoksessa  

Mi=asymmetria  QED:ssä  

22

!(t, x)! ei"!(t, x) , missä " on reaalinen vakio

•  QED:ssä  vaaditaan,  e=ä  teoria  on  invarian%  muunnoksessa  

!(t, x)! ei" (t,x )!(t, x) , missä "(t,x) on reaaliarvoja saava funktio

•  Tällaista  muunnosta,  missä  muunnosparametrin  8lalla  on  funk8o,  kutsutaan  mi:amuunnokseksi  ja  muu=uma=omuus  sen  suhteen  on  nimeltään  mi:asymmetria.  

•  QED:ssä  vapaata  elektronia  kuvaava  ken=ä  toteu=aa  Diracin  yhtälön  (ken=ä  on  nelikomponen%nen  vektori,  mu=a  se  on  nyt  epäoleellista):  

23

i! !!t+ c "

i=1

3!i

!!xi

#

$%

&

'(" = #mc2"

•  Diracin  yhtälö  ei  säilytä  muotoaan  mi=amuunnoksessa  

•  Yhtälöön  pitää  siis  lisätä  joku  toinen  ken=ä  A,  joka  muuntuu  siten,  e=ä  yhtälö  säily=ää  muotonsa.  

•   (Vrt.  suppean  suhteellisuusteorian  Lorentz-­‐muunnokset:  klassisen  mekaniikan  liikeyhtälö  ei  säilytä  muotoaan,  joten  sitä  pitää  muokata.)  

!(t, x)! ei" (t,x )!(t, x)

•  Yhtälö  

24

•  Kyseessä  ei  ole  enää  vapaan  hiukkasen  liikeyhtälö.  

•  Tässä  A  kuvaa  sähkömagnee%sta  ken=ää  ja  termi  eAψ  kuvaa  sähkömagnee%sen  kentän  ja  elektronin  vuorovaikutusta.  Vakio  e  on  elektronin  sähkövaraus.  

•  Suppean  suhteellisuusteorian  Lorentz-­‐symmetria  rajoi=aa  mahdollisten  vuorovaikutusten  muotoa.  Kvan%ken=äteorian  mi=asymmetria  määrää  vuorovaikutuksen  muodon  täysin.  (Vain  sen  voimakkuus  jää  vapaaksi.)  

i! !!t+ c "

i=1

3!i

!!xi

#

$%

&

'(" = #mc2" + eA",

!(t, x)! ei" (t,x )!(t, x)

A(t, x)! A(t, x)" !e#"#t+ c $

i=1

3#i#"#xi

%

&'

(

)*

+

,-

.-

missä  A  on  uusi  ken=ä  ja  e  on  vakio,  säily=ää  muotonsa  mi=amuunnoksessa  

•  Vuorovaikutukset  lii=yvät  siis  elimellises8  teorian  symmetriaan,  eli  muu=uma=omuuteen  jossain  muunnoksissa.  

•  Jos  oletetaan,  e=ä  on  olemassa  sähköises8  vara=u  elektroni,  niin  QED:n  rakenne  vaa8i,  e=ä  on  olemassa  myös  fotoni,  ja  kertoo  miten  se  vuorovaiku=aa  elektronin  kanssa.    

•  QED:ssa  ei  ole  mitään  muuta  vapau=a  kuin  se,  mikä  on  elektronin  massa,  spin  ja  sähkövaraus.  

 •  Vuorovaikutuksiin  lii=yy  väli:äjähiukkanen,  joka  väli=ää  

vuorovaikutuksia  hiukkasten  välillä.  QED:ssä  tämä  on  sähkömagnee%sta  ken=ää  kuvaava  fotoni.  

•  Hiukkasia,  jotka  eivät  ole  väli=äjähiukkasia,  sanotaan  ainehiukkasiksi.  (Joskus  tämä  nimi  varataan  vain  fermioneille.)  

•  Vuorovaikutukset  määräävät  täysin  sen,  millaisia  väli=äjähiukkasia  teoriassa  on.  Ne  myös  rajoi=avat  teorian  ainesisältöä:  hiukkasia  voi  olla  olemassa    vain  8etyissä  yhdistelmissä.  (Tästä  lisää  hiukkasfysiikan  Standardimallin  yhteydessä.)   25

26  

•  Kvan%ken=äteorian  yhtälöt  ovat  liian  vaikeita  ratkaistavaksi  eksak8s8  silloin  kun  vuorovaikutukset  otetaan  huomioon,  eli  kun  hiukkaset  eivät  liiku  vapaas8.  

•  Kaksi  pääasiallista  tapaa  lähestyä  ongelmaa:  tutkitaan  lähes  vapaita  hiukkasia  (häiriöteoria,  perturbaa@oteoria,  perturba@on  theory)  tai  tehdään  eksakteja  numeerisia  laskuja  8etokoneella.  

•  Tarkastellaan  perturba@ivista  kvan%ken=äteoriaa  QED:n  esimerkin  kau=a.  

•  QED:ssä  on  kaksi  ken=ää:  elektroniken=ä  ja  fotoniken=ä.  Ken%en  käy=äytymistä  voidaan  laskea  approksimoimalla,  e=ä  elektroni  ja  fotoni  ovat  vapaita  melkein  aina,  ne  vain  toisinaan  vuorovaiku=avat  keskenään.  

•  Perturbaa8oteoria  voidaan  esi=ää  käteväs8  Feynmanin  diagrammien  (eli  Feynmanin  graafien)  avulla.  

Perturbaa8oteoria  

•  Feynmanin  graafit    ovat  tapa  visualisoida  kvan%ken=äteorian  häiriöteorian  laskuja  ja  pitää  kirjaa  niistä.  Niillä  on  suuri  merkitys  kvan%ken=äteorian  tekemisessä  intui8ivisemmaksi.  

•  Graafien  avulla  kuvataan  hiukkasten  vuorovaikutuksia  silloin  kun  ne  ovat  heikkoja.  

•  Vapaata  hiukkasta  kuvaa  viiva,  vuorovaikutusta  kuvaa  viivojen  risteys  eli  verteksi.  Kaikki  hiukkasreak8ot  perturbaa8oteoriassa  voidaan  kuvata  piirtämällä  viivoja  ja  verteksejä.  

 •   Jokainen  Feynmanin  graafi  vastaa  8e=yä  todennäköisyysamplitudia  

hiukkasreak8olle.  Jokaista  viivaa  ja  verteksiä  vastaa  8e=y  matemaa%nen  lauseke.  Lai=amalla  nämä  lausekkeet  yhteen  graafin  kertomalla  tavalla  voidaan  laskea  halutun  prosessin  todennäköisyys.  

27  

Feynmanin  graafit  

27  

•  QED:ssä  on  vain  kaksi  hiukkasta  elektroni  ja  fotoni.  (Positroni  on  ero=amaton  osa  elektronia.)  

•  QED:ssä  on  vain  yksi  alkeisvuorovaikutus.  

•  Vapaiden  hiukkasten  viivoja  on  siis  kahdenlaisia  ja  verteksejä  on  vain  yksi.  

•  Kaikki  QED:n  (perturba8iviset)  prosessit  voidaan  kuvata  näillä  visuaalisilla  elementeillä.  

28  

QED:n  Feynmanin  graafit  

28  

•  Vapaata  elektronia  tai  positronia  kuvaa  suora  viiva,  fotonia  aaltoviiva:  

29  

elektroni  e-­‐  (yl.  spin-­‐1/2  fermioni)  

fotoni  

29  

γ  

positroni  e+  (yl.  spin-­‐1/2  an8fermioni)  

p  p’  

q  γ  

p  +  q  =  p’  

ajan  suunta  

fotoni  

•  Vuorovaikutusta  kuvaa  verteksi,  jossa  kaksi  elektroniviivaa  ja  yksi  fotoniviiva  kohtaavat:  

30  

•  Vuorovaikutusta  kuvaa  vuorovaikutusverteksi:  

•  Tässä  p,  q  ja  p’  ovat  neli-­‐impulsseja  (indeksi  α  jätetään  kirjoi=ama=a)  ja  g  on  kytkentävakio.  

 •  Vuorovaikutuksessa  (ja  siten  verteksissä):  

•  Sähkövaraus  säilyy  •  Spinin  z-­‐komponen%  säilyy  •  Neliliikemäärä  (eli  energia  ja  kolmiliikemäärä)  säilyy  

p  p’  

q  γ  

p  +  q  =  p’  

ajan  suunta  

g  

31  

•  Vuovaikutusverteksiä  vastaava  matemaa%nen  lauseke  on  verrannollinen  kytkentävakioon  g,  joka  kertoo  kuinka  voimakas  vuorovaikutus  on.  QED:ssä  kytkentävakio  on  sähkövaraus,  elektronille  siis  -­‐e.    

•  Todennäköisyysamplitudissa  on  vähintään  yksi  e,  joten  todennäköisyydessä  niitä  on  vähintään  kaksi  (ja  aina  parillinen  määrä).  

•  Kytkentävakio  esiintyy  yhdistelmänä    •  Todennäköisyys  löytää  8e=y  loppu8la  kun  tunnetaan  alku8la  voidaan  

siis  kirjoi=aa  

•  QED:ssä  

•  α  <<1  ⇔  vuorovaikutus  on  heikko,  joten  perturbaa8oteoria  voi  toimia.  (Mu=a  ei  ole  taa=ua,  e=ä  se  toimii.  Yllä  oleva  summa  ei  väl=ämä=ä  suppene!)  

g2

4!"0!c=

e2

4!"0!c!!.

P(lopputila,alkutila) = Pn!n

n=1

!

" = P1! +P2!2 +P3!

3 +…

! !1137

.

32  

•  Jos  kytkinvakio  on  α  ≥  1,  perturbaa8oteoria  ei  toimi.  (Palaamme  tähän  QCD:n  kohdalla.)  

33  

•  Todennäköisyysamplitudi  8etylle  prosessille  saadaan  seuraavas8:    •  Määritellään  ensin  loppu8la  ja  alku8la,  eli  kerrotaan  mitä  hiukkasia  

niissä  on.  •  Päätetään,  mihin  kytkentävakion  potenssiin  (eli  mihin  tarkkuuteen)  

as8  lasku  tehdään.  •  Piirretään  kaikki  mahdolliset  Feynmanin  graafit,  jotka  yhdistävät  

alku8lan  ja  loppu8lan  ja  joissa  on  korkeintaan  halu=u  määrä  kytkentävakion  potensseja.  

•  Kirjoitetaan  graafeja  vastaavat  matemaa%set  lausekkeet  Feynmanin  sääntöjen  mukaises8.  

•  Summataan  kaikkia  graafeja  vastaavat  todennäköisyysamplitudit.  •  Otetaan  itseisarvon  neliö.  

•  Jokainen  QED:n  Feynmanin  graafi  rakennetaan  ylläolevista  kolmesta  viivasta  ja  yhdestä  verteksistä  ja  se  kuvaa  todennäköisyysamplitudia  8etylle  vuorovaikutukselle.  

 •  Feynmanin  graafeja  on  kullekin  reak8olle  ääretön  määrä.  

Perturbaa8oteorian  ideana  on  se,  e=ä  monimutkaisempien  graafien  kontribuu8o  on  pienempi,  koska  kytkentävakio  on  pieni.  

aika  

e-­‐  

p  p’  

q  

neli-­‐impulssi  

γ  

vuorovaikutusverteksi  

todennäköisyysamplitudi  fotonin  emi=oimiselle  tai  absorboimiselle  

neli-­‐impulssi  säilyy:  p  =  p´+  q  

g  kytkentävakio  

34  

QED:n  Feynmanin  graafit  

Kaikki  QED:n  prosessit  voidaan  rakentaa  tästä  ja  viivoista.  

aika  

e-­‐  

aika  

e+  elektroni  emi=oi/absorboi  fotonin  

positroni  emi=oi/absorboi  fotonin  

35  

g   g  

•  QED:ssä:  jos  prosessi  on  mahdollinen,  myös  aikakäänne=y  prosessi  on  mahdollinen,  ja  sen  todennäköisyys  on  sama.  (Tämä  ei  päde  kaikille  kvan%ken=äteorioille.)  

•  Esimerkki:  

e+  

aika  e-­‐   e+  

aika  

e-­‐  

elektroni-­‐positroni-­‐pari  annihiloituu  fotoniksi  

ajankääntö  

g   g  

36  

fotoni  muu7uu  elektroni-­‐positroni-­‐pariksi  (parinmuodostus)  

Esimerkki  1:  

e-­‐  

e+  e+  

e-­‐  

γ  

e-­‐  e+→  e-­‐  e+  

g  

g  

Ael (e!e+ " e!e+ ) =! fel (k1,k2, p1, p2 )

37  

p1  

p2  

k1  

k2  

Tarkastellaan  prosessia,  jossa  alku8lan  elektroni  ja  positroni  vuorovaiku=avat  ja  päätyvät  elektroniksi  ja  positroniksi.  

e+   e+  

e-­‐  e+  

e-­‐  

e+  

e-­‐  

Reak<o  voi  tapahtua  myös  seuraavas<  

g   g  

38  

+  g   g  

Aann (e!e+ " e!e+ ) =! fann (k1,k2, p1, p2 )

Kokonaisuudessaan  prosessin  todennäköisyys  on  

P(e+e! " e+e! ) = An (e+e! " e+e! )

n=1

#

$2

= Ael + Aann +O(!2 )

2

%! 2 fel + fann2

39  

elektronin  ja  positronin  törmätessä  ne  voivat  myös  annihiloitua  fotoneiksi:  

e+  

e-­‐  

e-­‐  e+→  γγ  

P(e!e+ " !! )#" 2

e+  

e-­‐  

Myös  aikakäänne=y  prosessi  on  mahdollinen:   γγ  →  e-­‐  e+    

2  fotonia  kinemaa8ses@  ok!  

g  

g  

40  

•  Feynmanin  graafien  sisäisiä  viivoja  vastaavat  hiukkaset  ovat  virtuaalisia.  

•  Tämä  tarkoi=aa  sitä,  e=ä                                        ,  eli  hiukkasen  neli-­‐impulssin  neliö  ei  ole  massan  neliö  *  c2.  

41  

Virtuaaliset  hiukkaset  

p1  

γ  

g  

g  k2  

p2  

k1  

q  

neli-­‐impulssi  säilyy:  

impulssin    kulkusuunta  

e  

e  

e  

e  

q2 = (p1 ! p2 )2 = p1

2 + p22 ! 2p1 " p2 = 2me

2c2 ! 2E1E2 / c2 + 2p1 "p2

p1 = q+ p2k1 + q = k2

valitaan  koordinaa8sto  siten,  e=ä  p1 +p2 = 0

q2 = 2me2c2 ! 2E 2 / c2 ! 2p1

2 = !4p122 " 0

p2 !m2c4

Vastaavas8:  

p  

k  

q  

neli-­‐impulssi  säilyy:  22 )( kpqqkp +=⇒=+

q2 = p2 + k2 + 2E+E! / c2 ! 2k "p = 2me

2c2 + 2E+E! / c2 ! 2k "p

valitaan  massakeski-­‐pistekoordinaa-­‐8sto:  

q2 = 2me2c2 + 2E 2 / c2 + 2k2 = 4me

2c2 + 4k2 ! 0

0=+ pk reaaliset  elektroni  ja  positroni  eivät  voi  annihiloitua  yhdeksi  fotoniksi  

42  

g  

43  

•  Sisäisten  viivojen  hiukkasten  neli-­‐impulssin  neliö  ei  ole  sama  kuin  havai=avien  hiukkasten.  Se  voi  olla  posi8ivinen  tai  nega8ivinen,  vaikka  fysikaalisella  hiukkasella  se  on  massan  neliö*c2.  

•  Pitää  keski=yä  siihen,  mitä  voidaan  havaita:  sisäisiä  viivoja  ei  nähdä,  ainoastaan  alku8la  ja  loppu8la  havaitaan.  Virtuaaliset  hiukkaset  eivät  esiinny  alku-­‐  tai  loppu8loissa.  

•  Virtuaalisten  hiukkasten  olemassaolo  voidaan  päätellä  siitä,  miten  ne  vaiku=avat  mita=avien  hiukkasten  käy=äytymiseen.  

•  Onko  sellainen  asia  olemassa,  jota  ei  voi  koskaan  suoraan  havaita?  Vai  onko  virtuaalisissa  hiukkasissa  kyse  vain  todellisten  hiukkasten  vuorovaikutuksen  parametrisoinnista?  

•  Kvan%ken=äteoria  antaa  uuden  näkökulman  kysymykseen  siitä,  mikä  on  todellista  ja  mitä  on  olemassaolo.  

elektroni  (alkeishiukkanen)  voi  emi=oida  virtuaalisen  fotonin  ja  absorboida  sen  myöhemmin  

p   p  

q  

p  =  q+k  

k  

virtuaalinen  fotoni  

virtuaalinen  elektroni   k2 !me2c2

todennäköisyysamplitudi  emi=oida  ja  absorboida  virtuaalinen  fotoni   A(e! " e!!" e! )#"

havai=ava  efek8:  esim.  vetyatomin  Lambin  siirtymä  (tuplaviiva  on  y8meen  sido=u  elektroni)  

Sidotun  elektronin  energia  (ja  sen  emi=oiman  fotonin  energia)  muu=uu  hieman.  

44  

Itseisvuorovaikutus  

h=ps://www.llnl.gov/str/May06/Beiersdorfer.html  

myös  tyhjö  voi  emi=oida  ja  absorboida  virtuaalisia  hiukkasia:  

aika  

e-­‐  

e+  A(tyhjö! e"e+ ! tyhjö)#!

e-­‐  

e+  

e-­‐  

e+  

A!! 2 A!! 4 jne.  

”tyhjö  kuplii  virtuaalisia  hiukkasia”  

KVANTTIKENTTÄTEORIAN  TYHJÖ  ON  DYNAAMINEN  

0fys= 0 +! e!e+ +! 2 e!e+"" +...kvan%mekaanises8  

virtuaalisia  hiukkasia  

45  

46  

•  Kvan%ken=äteorioiden  tyhjö  voi  olla  monimutkainen.  

•  Virtuaaliset  prosessit  aiheu=avat  korjauksia  tyhjön  energiaan.  

•  QED:ssä    ja  muissa  kokeellises8  varmennetuissa  kvan%ken=äteorioissa  tyhjön  energia  on  mielivaltainen.  

•  Ilman  gravitaa8ota  tyhjön  energia  on  joka  tapauksessa  epäfysikaalinen,  koska  ainoastaan  energiaeroja  voi  mitata.  (Kun  yleinen  suhteellisuusteoria  otetaan  mukaan,  8lanne  muu=uu.)  

•  QED:ssä  tyhjö  ei  aiheuta  kummoisempia  hankaluuksia,  mu=a  näemme  myöhemmin,  e=ä  QCD:n  kohdalla  8lanne  on  monimutkaisempi.  

•  Kaikissa  hiukkasfysiikan  teorioissa  kaikki  vuorovaikutukset  voidaan  ymmärtää  hiukkasten  vaihtona  Feynmanin  graafien  avulla.  (Ainakin  perturbaa8oteoriassa.)  

•  Käsi=eet  ”voima”  ja  ”poten8aali”  ovat  approksimaa8oita.  

Esim.  vetyatomi  kvan%mekaniikassa:  staa%nen  poten8aali  

y8mellä  on  staa%nen  poten8aali  

V (r) = ! e2

4!"0!cr

ei  poten8aalia  vaan  fotonien  vaihtoa  

efek8ivises8  poten8aali  suurilla  etäisyyksillä  

47  

Kvan%ken=äteoria:  

vetyatomi    kvan7ken8äteoree7ses<  

e  

p  

V(r)  =  p   p  

p   p  

+  

+   +   +...  

elektroni  ja  protoni  vaihtavat    virtuaalisia  hiukkasia  

!e2

4!"0r + korjauksia " ! e2

4!"0r kun  r,    t    →  ∞  

48  

Sähkövarauksen  synny=ämän  poten8aalin  muoto  riippuu  siitä,  miltä  etäisyydeltä  esim.  elektronia  katsotaan  –  eli  sähkövarauksen  arvo  riippuu  siitä,  millaisia  virtuaalisia  hiukkasia  varausta  luotaava  fotoni  kohtaa  

elektronia  ympäröi  virtuaalisten  hiukkasten  pilvi  

fotonin  aallonpituus  määrää  sen,  miten  syvälle  pilveen  se  ”näkee”  

elektronin  sähkövaraus  riippuu  energiasta,  jolla  sitä  mitataan  49  

50  

Juokseva  kytkentävakio  

Häiriöteoriassa:  

γ  

e(q)  

q  γ  

e0  

q  

≡  

+  γ  

q  

e(q) = e0 f0 (q)+ e03 f1(q)+...

+  ...  e0  e0   e0  

100  GeV  

logE  

α  

1/137  

1/127  sähkövaraus  kasvaa  kun  energia  kasvaa,  eli  pituusskaala  pienenee  

”kytkentävakio  juoksee”  

51  

→→→

52  

53  

•  QED:n  sähkövarauksen  juokseminen  on  kokeellises8  todenne=u  ilmiö.  

•  Kysymys  on  vain  siitä,  e=ä  

•  Teoree%ses8  sähkövaraus  kasvaa  energian  myötä  ja  saavu=aa  ääre=ömän  arvon  jollain  äärellisellä  energialla.  

•  Tällöin  QED:n  matema8ikka  ei  enää  toimi.  

•  QED  on  siis  efek@ivinen  teoria,  joka  pätee  vain  8etyn  energian  alapuolella.  

•  Käytännössä  asialla  ei  ole  juuri  merkitystä,  koska  on  olemassa  muitakin  hiukkasia  kuin  elektroni  ja  fotoni,  ja  muitakin  vuorovaikutuksia  kuin  sähkömagnee%nen  vuorovaikutus.  

•  QED  on  osa  hiukkasfysiikan  Standardimallia.