Upload
huurang
View
217
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ky Thuat Nhiet
Citation preview
95
.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh 9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt 9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n cña dÉn nhiÖt nh− sau: Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é. BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: ,dtagrq λ−= d¹ng v« h−íng lµ:
.tndtgradtq λ−=λ−=
Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:
∫ ∂∂
λ−=F
dF.ntQ
Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng:
dF.ntQ
∂∂
λ−=
§Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt. 9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ
HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier gradt
q=λ , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt.
HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu. 9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét
ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt.
9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh
XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t nhiÖt qv.
96
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã: [§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] +
[l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ:
τ+τ−=τ∂∂
ρ d.dV.qd.dV.divqtC.dV. vv ,
hay:
v
v
v C.q
qdivC.1t
ρ+
ρ=
τ∂∂
Theo ®Þnh luËt fourier ,dtagrq λ−=
khi λ = const ta cã: )dtagr(div)dtagr(divqdiv λ−=λ−=Trong ®ã:
Div(gra dt) = tzt
zyt
yxt
x2∇=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
,
Víi:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ϕ∂∂
+ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇z) , r, trô dé to¹ (trong ,
z) y, x,víi gãc vu«ng dé to¹ (trong ,
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
ztt
r1
rt.
r1
rt
zt
yt
xt
t
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi trªn, cã d¹ng:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛λ
+∇=ρ
+∇ρλ
=τ∂∂ v2
v
v2
v
qta
C.q
tC.
t
víi a = vC.ρ
λ, m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é
tiªu t¸n nhiÖt trong vËt. 9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0
Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, 0t=
τ∂∂
, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 0t2 =∇ . Trong v¸ch
ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c
®Þnh theo ph−¬ng tr×nh 0dx
td2
2
= . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt,
tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô:
0drdt
r1
dxtd2
2
=+ .
9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ
97
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa nhiÒu h»ng sè tuú ý chän. ®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. 9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau: - §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V. - §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn
trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ nt.ntq λ−=
∂∂
λ−=λ , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë
d¹ng:
),0(,W¦M),M(q),M(tq
),M(tt
n
w ∞∈τ∀∈∀⎭⎬⎫
τ=τλ−=τ=
λ
hoÆc .
§iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh. 9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho theo c¸c lo¹i sau ®©y: - §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng: tw1 = t(M1, τ). - §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ: q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ). §Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2.
- §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ].
- §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ).
98
- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng:
qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + rτ
ρd
dx. 5 .
trong ®ã:
τd
dx 5 lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5,
r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg. - §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã
chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈ W6 cã d¹ng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T
4(M6, τ). - §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã
sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈ W7 cã d¹ng:
qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k].
§KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: qλ = )TT( kw −α víi )TT/()TT( kw
4k
4w0 −−εσ+α=α , ®−îc gäi lµ hÖ
sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh. 9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt
Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t)
gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3):
⎪⎩
⎪⎨⎧ ∇=
τ∂∂
dkdt c¸c t¶ m« trinh ph−ong C¸c
tat)t(
2
Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn. 9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng 9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1 9.4.1.1. Bµi to¸n Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2 vµ kh«ng ®æi. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng:
99
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=δ=
=
(3)
(2)
(1)
2
1
2
2
t)(tt)0(t
0dx
td
)t(
9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):
⎪⎩
⎪⎨⎧
−δ
=→=+δ=δ
==
)tt(1CtCC)(t
tC)0(t)t(
121221
12
VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = x)tt(1t 211 −δ
− , cã d¹ng ®−êng
th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2). 9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:
Rttt
dxdtq 21 ∆
=
λρ−
=λ−= , (W/m2),
víi R = λδ
, (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng.
9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1 9.4.2.1. Bµi to¸n
100
Cho v¸ch ph¼ng n líp, mçi líp thø i dµy δ, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ, 2 mÆt biªn cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi, ph©n bè ®Òu vµ b»ng t0, tn cho tr−íc. TÝnh dßng nhiÖt q qua v¸ch vµ nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc ti, ∀i = 1 ÷ (n-1). 9.4.2.2. Lêi gi¶i
Khi æn ®Þnh, dßnh nhiÖt q qua mäi líp lµ kh«ng ®æi:
n
n
n1n
i
i
1ii
1
1
10 ttttttq
λδ−
=
λδ−
=
λδ−
= −+
§©y lµ hÖ n ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cña Èn sè ti vµ q. b»ng c¸ch khö c¸c Èn sè ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1), sÏ t×m ®−îc:
∑∑∆
=
λδ−
=
=
in
1i i
i
n0
Rttt
q , (W/m2).
Thay q vµo lÇn l−ît mçi ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc:
ti = ti-1 - x)tt(1i1i
i
−δ − , ∀ i = 1 ÷ n.
Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø I lµ ®o¹n th¼ng cã d¹ng:
ti(x) = ti-1 - x)tt(1i1i
i
−δ − , ∀ i = 1 ÷ n.
9.4.3. V¸ch mét líp, biªn lo¹i 3 9.4.3.1. Bµi to¸n Cho v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, mÆt x = 0 tiÕp xóc víi chÊt láng 1 cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1, mÆt x = δ tiÕp xóc víi chÊt láng 2 cã nhiÖt ®é tf2 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α2, t×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) trong v¸ch. M« h×nh bµi to¸n cã d¹ng:
101
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
δλ−=−δα
λ−=−α
=
(3)
(2)
(1)
dx)(dtt)(t
dx)0(dt)0(tt
0dx
td
)t(
2f2
1f1
2
2
9.4.3.2. T×m ph©n bè t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo (2) vµ (3):
⎩⎨⎧
λ−=−+δαλ−=−α
12f212
121f1
C)tCC(C)Ct(
Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
αλ
+=
αλ
+δ+αλ
−=
12
1f2
21
2f1f1
CtC
ttC
Do ®ã ph©n bè t(x) cã d¹ng:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
+
αλ
+δ+αλ
−−=
1
21
2f1f1f x
ttt)x(t
§å thÞ t(x) lµ ®o¹n th¼ng ®i qua 2 ®iÓm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
− 1f1
1 t,R vµ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
+δ 2f2
2 t,R
®−îc gäi lµ c¸c ®iÓm ®Þnh h−íng cña §KB lo¹i 3. 9.4.3.3. TÝnh doang nhiÖt q Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:
21
2f1f1 11
ttC
dxdtq
α+
λδ
+α
−=λ−=λ−= , (W/m2),
Theo biÓu thøc t(x) cã thÓ tÝnh nhiÖt ®é t¹i 2 mÆt v¸ch theo:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
+δ
αλ
+δ+αλ
−−=δ=
αα
+λδα
+
−−==
1
21
2f1f1f2w
2
11
2f1f1f1w
ttt)(tt
1
ttt)0(tt
102
9.5. DÉn nhiÖt trong v¸ch trô 9.5.1. Trô mét líp, biªn lo¹i 1 Bµi to¸n: Cho v¸ch trô 1 líp ®ång chÊt, b¸n kÝnh trong r1, ngoµi r2, λ = const, hai mÆt biªn cã nhiÖt ®é t1, t2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong trô vµ nhiÖt l−îng
ql = ,lQ
(W/m), truyÒn qua 1m dµi mÆt trô. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n trªn
cã d¹ng:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
=+
(3)
(2)
(1)
22
11
2
2
t)r(tt)r(t
0drdt
r1
drtd
)t(
9.5.1.2. T×m ph©n bè t(r)
§æi biÕn drdtu = th× ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng:
0ru
drdu
=+ hay rdr
udu
−= .
LÊy tÝch ph©n lÇn 1 ta cã:
Lnu = - ln r + ln C1 = rln
Cln 1 hay rdtCdt
rC
udrdt
11 =→== .
LÊy tÝch ph©n lÇn 2 ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1ln r + C2, C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc tÝnh theo §KB (2) vµ (3):
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−−=
→⎭⎬⎫
+==+==
1112
1
2
211
22122
21111
rlnCtCrr
ln
ttC
CrlnCt)r(tCrlnCt)r(t
VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch trô cã d¹ng:
1
1
2
211 r
rln
rr
ln
ttt)r(t
−−=
§−êng cong t(r) cã d¹ng logarit ®i qua 2 ®iÓm (r1, t1) vµ (r2, t2). 9.5.1.3. TÝnh nhiÖt l−îng Dßng nhiÖt qua 1m2 mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ:
1
2
211
rr
lnr
)tt(r
Cdrdtq
−λ=λ−=λ−= , w/m2,
103
lu«n gi¶m khi r t¨ng. L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ:
l
1
2
211l R
t
rr
ln21
)tt(C2
lrl2.q
lQq ∆
=
πλ
−=πλ−=
π== , (w/m),
Víi 1
2l r
rln
21Rπλ
= , (mK/W) lµ nhiÖt trë cña 1m trô. V× ql = const víi mäi
mÆt trô, kh«ng phô thuéc vµo b¸n kÝnh r nªn ql ®−îc coi lµ 1 ®¹i l−îng ®Æc tr−ng cho dÉn nhiÖt qua v¸ch trô. 9.5.2. Trô n líp biªn lo¹i 1 9.5.2.1. Bµi to¸n Cho v¸ch trô n líp, b¸n kÝnh trong r0, r1, . . . ri, . . . rn, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λi, cã nhiÖt ®é 2 mÆt biªn kh«ng ®æi t0, tn. T×m l−îng nhiÖt ql , qua 1m dµi mÆt trô, nhiÖt ®é ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) c¸c mÆt tiÕp xóc vµ ph©n bè nhiÖt ®é ti(r) trong mçi líp. 9.5.2.2. Lêi gi¶i V× ql = const víi mäi líp nªn cã hÖ ph−¬ng tr×nh:
,n1i,
rr
ln2
1)tt(
q n
1i 1i
i
i
i1il ÷=∀
πλ
−=
∑= −
−
B»ng c¸ch khö (n-1) Èn ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) se thu ®−îc:
,
rr
ln2
1)tt(
q n
1i 1i
i
i
n0l
∑= −πλ
−= , (W/m)
trong ®ã: ,rr
ln2
1Rn
1i 1i
i
il ∑
= −πλ= , (mK/W) lµ tæng nhiÖt trë cña 1m v¸ch trô n líp.
TÝnh ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) lÇn l−ît theo ql ta ®−îc:
),1n(1i,rr
ln2
1tt1i
i
i1ll −÷=∀
πλ−=
−−
Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø i cã d¹ng:
),1n(1i,rr
ln
rr
ln
ttt)r(t
1i
1i
i
1iill −÷=∀
−−=
−
−
−
104
lµ ®−êng cong logarit ®I qua 2 ®iÓm (ri-1, ti-1) vµ (ri, ti). 9.5.3. V¸ch trô mét líp biªn lo¹i 3 9.5.3.1. Bµi to¸n T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô ®ång chÊt cã r1, r2, λ cho tr−íc, mÆt trong tiÕp xóc víi chÊt láng nãng cã tf1, α1, mÆt ngoµi tiÕp xóc víi chÊt láng l¹nh cã tf2, α2. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n cã d¹ng:
[ ][ ]⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
λ−=−αλ−=−α
=+
(3)
(2)
(1)
)r(tt)r(t)r(t)r(tt
0drdt
r1
drtd
)t(
2r2f22
1r11f1
2
9.5.3.2. T×m ph©n bè t(r)
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
λ−=−+α
λ−=−−α
2
12f2212
1
12111f1
rC
)tCrlnC(
rC
)CrlnCt(
Gi¶i ra ta ®−îc:
;
rrln
rr
ttC
1
2
2211
1f2f1
+αλ
+αλ
−= vµ C2 = tf2 + C1;
VËy:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
++
αλ
+αλ
−−=
111
1
2
2211
2f1f1f rr
rln
rr
lnrr
ttt)r(t .
§å thÞ t(r) cã d¹ng loarit tiÕp tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
− 1f1
11 t,rR vµ tiÕp
tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αλ
+ 2f2
22 t,rR .
9.5.3.3. TÝnh nhiÖt l−îng q1
L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô kh«ng ®æi vµ b»ng:
105
1
2
2211
2f1frll
rr
ln21
r21
r21
)tt(l
rl2tl
πλ+
απ+
απ
−=
πλ== , (w/m),
NhiÖt ®é c¸c mÆt biªn lµ:
1
2
2211
112f1f
1f11w
rr
lnrr
r)tt(
t)r(tt+
αλ
+αλ
αλ
−−==
1
2
2211
111
22f1f
1f22w
rr
lnrr
)rr
r)(lntt(
t)r(tt+
αλ
+αλ
αλ
+−−== .
9.6. DÉn nhiÖt qua c¸nh Khi muèn t¨ng c−êng truyÒn nhiÖt, ng−êi ta th−êng g¾n c¸c c¸nh trªn mÆt to¶ nhiÖt, ch¼ng h¹n trªn xilanh hoÆc stato cña c¸c ®éng c¬. Theo kÕt c©u, ng−êi ta cã thÓ g¾n c¸nh th¼ng, c¸nh trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi, h×nh thang hoÆc tam gi¸c. §Æc ®IÓm cña c¸nh lµ chiÒu dµy δ cña c¸nh rÊt bÐ so víi c¸c kÝch th−íc kh¸c, do ®ã nhiÖt ®é t¹i mçi tiÕt diÖn f ®−îc coi lµ ph©n bè ®Òu vµ chØ thay ®æi theo chiÒu cao x cña c¸nh. 9.6.1. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua c¸nh ph¼ng cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi
T×m ph©n bè nhiÖt ®é vµ l−îng nhiÖt truyÒn qua 1 c¸nh th¼ng cã diÖn tÝch f = δL vµ chu vi tiÕt diÖn u = 2(L + δ) kh«ng ®æi, khi nã tiÕp xóc chÊt láng nãng cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1 vµ t¹i ®Ønh c¸nh lµ αl, biÕt chiÒu cao l vµ nhiÖt ®é t¹i gèc lµ t0.
[ ][ ]⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
λ−=−αλ−=−α
=+
(3)
(2)
(1)
)r(tt)r(t)r(t)r(tt
0drdt
r1
drtd
)t(
2r2f22
1r11f1
2
9.6.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é T¹i ®é cao x xÐt ph©n tè dV = f.dx cña c¸nh. Ph©n tè nµy cã biªn lo¹i 3 t¹i mÆt udx nªn nã kh«ng ph¶i ph©n tè trong, kh«ng tu©n theo ph−¬ng tr×nh
tat 2∇=τ∂∂
, Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV lµ:
δQα = Qx - Qx+dx .
106
NÕu gäi θ(x) = t(x) – tf th× ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng:
,dxdxdffdx
dxd
dxdf
dxdudx 2
2θλ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ θ
+θλ+θ
λ−=αθ hay
0m"fu" 2 =θ−−θ=θ
λα
−θ
víi m = ,fu
λα
(m-1).
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: θ(x) = C1eml + C2e
-ml. C¸c h»ng sè C1 vµ C2 t×m theo §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 vµ lo¹i 3 t¹i x = l:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−λα
−=−
+=θ→
⎭⎬⎫
θα=λθ−θ=−=θ
−− )eCeC(emCemC
CC
)i()l('tt)0(
ml2
ml1
1ml2
ml1
210
2
0f0
Gi¶i ra ta ®−îc:
[ ] [ ]
)ml(shm
)ml(ch
)xl(mshm
)xl(mch)x(
1
1
0
λα
+
−λ
α+−
θ=θ
Trong tÝnh to¸n kü thuËt, cã thÓ coi α1 = 0 (do f<< ul), khi ®ã ph©n bè nhiÖt
®é trong c¸nh cã d¹ng: [ ]
)ml(ch)xl(mch)x( 0
−θ=θ , hay:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λα
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
λα
−
−+=
fu.lch
fu).x1(ch
)tt(t)x(t f0f .
Víi thanh trô dµi v« han cã f = const, ph©n bè nhiÖt ®é sÏ lµ:
[ ] mx00
l
e)ml(ch
)xl(mch)x( lim −∞→
θ=−
θ=θ
9.6.3. TÝnh l−îng nhiÖt qua gèc c¸nh
)ml(thm
1
)ml(thmfm)0('fQ
1
1
0
λα
+
+λ
α
θλ=θλ−= , (w)
Khi coi α1 = 0 th× Q = mλfθ0th(ml). Víi thanh dµi v« h¹n th× Q = mλfθ0. L−îng nhiÖt truyÒn qua c¸c lo¹i c¸nh kh¸c th−êng ®−îc tÝnh gÇn ®óng theo c«ng thøc cña c¸nh th¼ng t−¬ng øng råi nh©n víi 1 hÖ sè hiÖu chØnh cho tõng lo¹i c¸nh.