Sistem Persamaan Linear

DIC 126 Kuliah 4Referensi: Mary L. Boas, Mathematical methods in the physical sciences, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York, 1983 : Bab 23hal 81 142

K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006: Bab 3 hal 83 - 103

Tujuan:mampu mengaplikasikan konsep matriks untuk memecahkan sistem persamaan linear inhomogen dan homogen (persamaan nilai eigen) Relevansi:Banyak permasalahan fisika dapat diselesaikan melalui solusi persamaan linear dengan beberapa variabel. Dengan demikian diperlukan kemampuan untuk menyelesaikan persamaan linear

Sistem Persamaan LinearBanyak permasalahan di fisika berupa pemecahan persamaan linear yang memiliki beberapa variabel. Ada beberapa cara untuk mencari solusi persamaan linear yaitu metoda substitusi sederhana, metoda Cramer, metoda eliminasi Gauss.Sistem persamaan linear dapat dibedakan sebagai persamaan linear inhomogen dan persamaan linear homogenPersamaan linear inhomogenPersamaan linear homogen

1. Sistem Persamaan Linear inhomogenSecara umum untuk n buah persamaan linear dengan n buah variabel

A. Solusi dengan Metoda CramerMetoda ini, khususnya, dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan linier yang koefisiennya bukan angka.Contoh:Untuk mengeleminasi y, kalikan persamaan I dengan b2 dan persamaan II dengan b1, lalu kedua persamaan dikurangkan sehingga didapatkan (a1b2 a2b1) x = c1b2 c2b1Contoh:

Aturan Cramer:D: determinan 0Prosedur menentukan determinan D:Tuliskan persamaan dalam bentuk standarDeterminan D pada penyebut adalah array dari koefisien pada persamaan sebelah kiriDeterminan Di pada pembilang x didapat dengan menghapus koefisien x, a1 dan a2 pada D dan menggantikannya dengan konstanta c1 dan c2Determinan Dj pada pembilang y didapat dengan menghapus koefisien y, b1 dan b2 pada D dan menggantikannya dengan konstanta c1 dan c2

Aturan Cramer untuk n buah persamaan linear dengan n buah variabelSolusinya:

Contoh pemecahan menggunakan metoda Cramer

B. Metoda eliminasi Gauss (reduksi baris)Metoda ini biasa digunakan untuk komputasi numerik untuk menyelesaikan persamaan linear yang bentuknya kompleks/rumit.Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan metoda eliminasi Gauss, persamaan tersebut diubah menjadi bentuk matriks.Contoh:Solusi persamaan tersebut didapat dengan melakukan operasi baris elementer (elementary row operation) pada matriks yang bersangkutan.

Operasi-operasi baris yang dapat dilakukan meliputi: Menukar dua baris Mengalikan atau membagi baris dg konstanta yang tidak nol Menambah atau mengurangkan baris dengan hasil kali baris yang lain

Tujuan dari operasi baris yang dilakukan adalah untuk menghasilkan matriks yang elemen bagian kiri bawah diagonal bernilai nol.Prosedur eliminasi GaussTulis persamaan linear dalam bentuk matriks standarLakukan operasi baris (penukaran baris atau penjumlahan/pengurangan baris) sehingga bagian kiri bawah diagonal matrik bernilai nolSolusi persamaan linear didapat dengan nilai bagian paling bawah matriks dan lakukan substitusi balik

Contoh 1:Substitusi persamaan baris ketiga menghasilkan z = 1.Substitusi z = 1 pada persamaan baris kedua menghasilkan y = -1Substitusi z = 1 dan y = -1 pada persamaan baris pertama menghasilkan

Jadi solusi persamaan linear diatas adalah (x,y,z) = ( , -1, 1)

Contoh 2:Matriks di atas berkaitan dengan persamaanSubstitusi balik menghasilkan -6w = 24, w = 4 - z + 4 = 5, z = -1 2y = 1, y = 0.5; x + w = 1, x = -3Solusi (x, y, z, w) = (-3, 0.5, -1, 4)