Lí do chọn đề tài: · Web viewTrong suốt quá trình ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng

Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP

Phần 1. Mục lục:

Mục lục …………………………….. trang 1

Đặt vấn đề .…………………………….. trang 2

Cơ sở khoa học ……………………………... trang 4

Nội dung giải quyết vấn đề ……………………………. trang 5

Kết quả thực nghiệm ……………………………… trang 23

Kết luận ……………………………… trang 23

Tài liệu tham khảo ………………………………. trang 24

1


Phần 2. Đặt vần đề:

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm

lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên

tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết.

Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không

tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển

cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự

nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS

đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được

xem nhẹ vấn đề này. Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư

duy trừu tượng, tư duy lí luận ... của học sinh. Điều quan trọng là giáo

viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh

một cách tốt nhất.

Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài

tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả

bài toán. Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số

học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được. Đây là cách học

hết sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy.

Đối với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm

hết được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu

được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh,

sau đó tạo ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát

triển được tư duy.

Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất

đẳng thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng 2


của môn Đại Số. Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức

cùng dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài

tập bất đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể

nắm được một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của

bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. Vì vậy mà giáo

viên cần đưa cho học sinh bài tập có hệ thống và liên hệ các bài tập cùng

dạng với nhau giúp các em tự tin hơn.

Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu

cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu

sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là

làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm

vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh

hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó

đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể

tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy.

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách

nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với

lứa tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc trong 3 tiết, biến

đổi thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức

khó hơn. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán

lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp

ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại.

3


Phần 3. Cơ sở khoa học:

1. Cơ sở lí luận:

Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo

từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc

biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần

phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học

sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học

sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc

học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài

tập toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho học sinh, mục đích

phát triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục

phù hợp với học sinh đại trà. Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng thức

trong quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình

thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn.

2. Cơ sở thực tiễn:

Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn,

trường có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý

thức tốt nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho

kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chính

vì vậy vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh. Năm học 2006-2007, tôi

được phân công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số

lượng được dự thi là 4HS. Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển

tư duy cho nhóm HS đó. Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài

chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực

hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập

tương tự giao về nhà cho HS4


Phần 4. Nội dung: Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học

cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.

Bài toán xuất phát:

Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a3 +b3 ab(a+b). (*)Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :

(a+b)(a2 –ab+b2) – ab(a+b) 0

(a+b)(a2 -2ab +b2) 0

(a+b)(a-b)2 0 đúng với mọi a,b dương.

Đẳng thức xảy ra khi a = b. Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:

Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành : ab

a2 – ab + b2 ab

( a - b)2 0 (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không

có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập

này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:

Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số

dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng

thức khác?

Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:

+ b2 a(a+b) ( do b>0)

+ b2 a2 + ab

5


Tương tự với a,b,c dương thì :

+ c2 b2 + bc

+ a2 c2 + ac

Từ đó ta có bài toán hay:

Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng :

+ + ab +bc+ca

Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật

của bất đẳng thức CôSi thì rất khó.

Học sinh có thể thử bằng cách như sau: + b2 2a dấu “=” xảy ra

khi a = b

Tương tự + c2 2b

+ a2 2c

Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác:

+ + 2a +2b +2c - (a2+b2+c2)

Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi:

Hai bất đẳng thức + + ab +bc+ca

và + + 2a +2b +2c - (a2+b2+c2)

thì bất đẳng thức nào chặt hơn?

Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ

nhận thấy ab +bc+ca 2a +2b +2c - (a2+b2+c2)

GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.6


Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số

dương, ta có hướng biến đổi khác:

Từ a3 +b3 ab(a+b) (*) suy ra: a+b

tương tự c+b

a+c Với a,b,c là các số dương.

Từ đó ta có bài toán:

Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

+ + 2(a+b+c)

Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều

cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si = 2

Tương tự ta có: + + 2 + 2 + 2

Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức:

+ + 2(a+b+c)

+ + 2 + 2 + 2

thì bất đẳng thức nào chặt hơn?

Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất

đẳng thức: 2(a+b+c) 2 + 2 + 2 (a,b là số dương)

Như vậy bài tập + + 2 + 2 + 2 hay hơn bất

đẳng thức trong bài tập 3.

Ta có bài tập sau:

Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:7


+ + 2 + 2 + 2

GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất

đẳng thức a3 +b3 ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào

để có lập phương của một tổng?”.

Khi đó HS biến đổi (*) 3(a3 +b3) 3ab(a+b)

4(a3 +b3) a3 + b3+ 3ab(a+b).

4(a3 +b3) (a+b)3.

Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:

Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng: 8(a3 +b3 +c3 ) (a+b)3 +(c+b)3 +(a+c)3

Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương

đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh.

Ta đã có: 4(a3 +b3) (a+b)3

Tương tự: 4(b3 +c3) (b+c)3

4(a3 +c3) (a+c)3

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải

chứng minh.

Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được

điều gì?

Học sinh thấy ngay (a+b)3 (2 )3 = 8ab

(b+c)3 8bc

(a+c)3 8ac

Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5.

8


Bài 6: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 ab +bc +ac

Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó:

ab = ; bc = ; ac =

Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6.

Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a3 +b3 +c3 + +

Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để

chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra

được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này.

Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 2(a3 +b3 +c3) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có:

a3 +b3 ab(a+b)

b3 +c3 bc(b+c)

a3 +c3 ca(c+a)

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

2(a3 +b3 +c3) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương

a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ta có a + b 2 ; b + c 2 và c + a 29


Khi đó ta có một bài toán mới:

Bài 9: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 ab + bc + ac

GV đưa bài tập này ra không bình luận gì thêm. Nếu học sinh nào làm

theo hướng làm của bài tập 8 thì thật máy móc. Bài tập đơn giản như vậy

mà phải áp dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức CôSi.

Dùng kĩ thuật tách hạng tử và bất đẳng thức CôSi là đủ. Khi đó lời giải sẽ

rất gọn gàng và thể hiện được tính sáng tạo của học sinh.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương ta có:

a3 +b3 2ab

b3 +c3 2bc

a3 +c3 2 ac

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được:

a3 +b3 +c3 ab + bc + ac

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a3 +b3 ab(a+b)(*) theo hướng

sau:

a3 +b3 +abc ab(a+b) +abc

a3+ b3 +abc ab(a+b+c)

Tương tự ta có:

10


Suy ra:

+ + + +

+ +

Ta có bài toán sau:

Bài 10: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng :

+ +

Đây là một bài toán khó nếu học sinh lần đầu gặp thì không biết sẽ bắt

đầu từ đâu. Tuy nhiên bài toán này có trong hầu hết các quyển sách viết

về bất đẳng thức. Các lời giải đều gọn gàng nhưng không tự nhiên. Sự

hướng dẫn của Giáo viên sẽ giúp cho học sinh thấy tự nhiên hơn và thấy

bài toán “đơn giản” hơn.

Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc = 1. Ta có bài toán mới

(bài thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999)

Bài 11: Cho a,b,c dương và abc = 1. Chứng minh rằng:

+ + 1

Lời giải bài toán này giống như bài 8, khi sử dụng kết quả bài toán này ta

sẽ chứng minh được bài toán sau đây:

Bài 12: Cho a,b,c là các số dương và abc = 1. Chứng minh rằng:

Ta sẽ chứng minh cho

+ + 1

11


bằng cách chứng minh:

Thật vậy

a5 +b5 +ab ab( a3 +b3 +1)

a5 +b5 ab( a3 +b3 )

a5 +b5 ba4 +ab4

(a-b)(a4 –b4) 0

(a-b)(a2-b2)(a2+b2) 0

(a-b)2(a2+b2)(a+b) 0 đúng. Dấu “=” xảy ra khi a=b

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Chúng ta xét một bài bất đẳng thức khó trong tập “Chuyên đề Bất đẳng

thức, trang 7, tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001”

Bài 13: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

+ +

GV hướng dẫn học sinh tìm cách đánh giá a2+ab+b2 ≤ ???

Chắc chắn học sinh sẽ nghĩ đến bất đẳng thức

ab ≤ hoặc ab ≤ ( )2

nếu sử dụng ab ≤ thì a2+ab+b2 ≤ (a2+b2)

Suy ra

12


Tương tự

Như vậy

+ + + +

Công việc tiếp theo của học sinh không hề đơn giản. Đến đây bài toán trở

lên khó hơn rất nhiều.

Nên giáo viên hướng dẫn học sinh đi theo con đường khác: làm xuất hiện

biểu thức a2+ab+b2 từ bất đẳng thức a3 +b3 ab(a+b)(*)

Ta có (*) 3a3 2a3 +2a2b +2ab2 –ab2 –a2b – b3

3a3 (2a-b)(a2+ab+b2)

Không những tạo ra a2+ab+b2 mà còn tạo ra được cả biểu thức

Như vậy


Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh.

Bài tập khó như vậy nhưng được biến đổi từ bài tập rất bình thường!

Điều đó giúp HS thấy tự tin hơn, chỉ cần bình tĩnh và chắc chắn kiến thức

cơ bản là có thể làm được.

Đến đây giáo viên nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ về hướng

làm trước đã thất bại. Sau khi chứng minh được thì hướng làm trước có

thực hiện được không?

13


Ta đã có : + + + +

Cần chứng minh: + +

Qua việc chứng minh bằng cách trên chúng ta có ý tưởng gì chứng minh

bài này?

Bằng cách tuơng tự học sinh sẽ nghĩ ra:

Chứng minh:

Đến đây thì thật đơn giản để chứng minh các bất đẳng thức này:

Thật vậy:

b(b – a)2 0 (đúng)

Dấu “=” xảy ra khi a = b

Như vậy hướng làm đầu tiên vẫn thực hiện được nhưng phức tạp, lời giải

không đẹp. Tuy nhiên, điều đáng mừng là chúng ta đã tìm ra bất đẳng

thức chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh trong bài 13.

Kết quả khi tìm tòi lời giải bài 13 ta có bài toán mới:

Bài 14: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

+ + a + b + c

Từ bất đẳng thức a3 +b3 ab(a+b) (*) ta có hướng phát triển khác:

Tương tự ta có :

14


Từ đó suy ra + + + +

+ + + + (1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm:

Ta có + 2 = a3

Như vậy a3 -

Tương tự: b3 -

c3 -

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều này ta có:

+ + a3 + b3 + c3 – ( + + )

Kết hợp với (1) ta có một kết quả đẹp:

+ + a3 + b3 + c3 – ( + + )

Từ đó ta có bài toán tiếp theo:

Bài 15: Cho các số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

+ +

Chỉ qua một số kĩ thuật biến đổi cơ bản ta đã có một bất đẳng thức

đẹp. Mặc dù biết được cách biến đổi để tạo ra bài 15 nhưng nếu HS

không sâu sắc khi yêu cầu chứng minh bài 15 cũng là một việc hết sức

khó khăn đối với HS. Khi đến bài tập này, GV cần cho HS thời gian để tư

duy, nhớ lại một số bước khi biến đổi. Sau khi thực hiện được bài tập này

thì HS trưởng thành rất nhiều kể cả tư duy và kĩ năng trình bày.

15


Nếu biến a3 +b3 ab(a+b) (*) theo cách giống như tạo ra bài 5

thì (*) 4(a3 +b3) (a+b)3


Suy ra 8 2

Với nhiều học sinh bất đẳng thức Nesbit trở nên rất quen thuộc

+ + (x,y,z >0)

Nên . =

Như vậy ta lại tạo ra được bài toán mới.

Bài 16: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

+ +

Có nhiều hướng khác nhau tổng quát bất đẳng thức (*) nhưng chủ

yếu có hai hướng. Một là tổng quát số mũ; hai là tổng quát số hạng tử.

Hướng thứ nhất, ta có bài tập sau:

Bài 17: Cho a,b dương n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: an +bn (a+b) (**)

Thật vậy, Với n = 1 đẳng thức xảy ra.

16


Với n 2 do vai trò a,b như nhau không làm mất tính tổng quát,

giả sử a b suy ra an-1 bn-1. Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép ta có:

an +bn = a. an-1+b. bn-1 (a+b)

(Bất đẳng thức đã được chứng minh)

Những bài toán tổng quát giúp HS phát triển tư duy trừu tượng ở mức

độ cao hơn nhưng việc hình thành nên bài toán tổng quát là tương đối

khó. Thông thường tìm các bài toán tổng quát bằng cách dự đoán hoặc

bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn. Đối với HS trung học cơ sở

thì không yêu cầu học sinh đi tìm các bài toán tổng quát. Tuy nhiên những

bài toán tổng quát có ý nghĩa rất lớn trong việc phát triển tư duy cho học

sinh, sau đây là một số ví dụ:

Với n = 2 thì an +bn (a+b) trở thành a2+b2 (a+b) (2)

Với n = 3 thì an +bn (a+b) trở thành a3+b3 (a+b)ab (3)

Với n = 4 thì an +bn (a+b) trở thành a4+b4 (a+b)ab (4)

Với n = 5 thì an +bn (a+b) trở thành a5+b5 (a+b)a2b2 (5)

…

Như vậy ta có bài tập đơn giản sau:

Bài 18: Cho a,b dương. Chứng minh rằng a2 + b2 (a+b) (2)

Học sinh đã rất quen thuộc với bất đẳng thức a2+b2 2ab

Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức kép a2+b2 (a+b) 2ab

Khi GV đưa riêng yêu cầu chứng minh a2+b2 (a+b) với a,b là các

số dương. Nhiều học sinh không làm được do ảnh hưởng bởi bất đẳng

thức tổng quát chứng minh bằng bất đẳng thức Trêbưsép. Lúc này vấn đề

là GV phải khơi dậy được ở học sinh tính sáng tạo.

17


GV gợi ý bất đẳng thức a2+b2 (a+b) (2) xảy ra dấu “=” khi nào?

HS sẽ nhận thấy dấu “=” xảy ra khi a = b

Từ đó HS sẽ có ý tưởng biến đổi a2+b2 (a+b) (2)

2(a2+b2) 2(a+b)

(a - )2+(b - )2+(a-b)2 0 (đúng)

Dấu “=” xảy ra khi a = b

Đối với bất đẳng thức a4+b4 (a+b)ab (4) cách chứng minh tương tự

như đối với bất đẳng thức a2 + b2 (a+b) (2)

Với n =5 ta có bài toán thú vị

Bài 19: Cho a,b dương. Chứng minh rằng: a5 +b5 a2b2(a+b) (5)

Khi tôi yêu cầu chứng minh bất đẳng thức này thì HS không làm được,

nói chung những bài toán tổng quát là khó nhưng có những bài toán đặc

biệt không đơn giản chút nào.

Để làm được bài này thì kĩ năng sử dụng bất đẳng thức CôSi phải tốt.

Sau đây là kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức CôSi vào bài tập này:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a5, a5, a5, b5, b5

ta có: a5 + a5 + a5 +b5+ b5 5.a3b2

3a5 + 2b5 5.a3b2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a5, a5, b5, b5, b5

ta có: a5 + a5 + b5 +b5+ b5 5.a2b3

2a5 + 3b5 5.a2b3

Từ đó suy ra:

a5 +b5 a2b2(a+b) (đpcm).

Khai thác bất đẳng này theo hướng khai thác bất đẳng thức (*) ta có

một số bài tập tương tự. Yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập.18


Bài 20: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng: 2(a5 +b5 +c5) a2b2(a+b) +b2c2(b+c) +c2a2(c+a)

Bài 21: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng: a5 +b5 +c5 a2b2 +b2c2 +c2a2

Bài 22: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

+ + a+b+c

Ba bài tập này giống hệt như các bài tập khi biến đổi từ bất đẳng thức (*)

nên yêu cầu học sinh về nhà làm các bài tập tương tự này để rèn kĩ năng.

Quay trở lại bài tập 8, chứng minh bất đẳng thức sau:

2(a3 +b3 +c3) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Nếu thêm vào điều kiện abc = 2 suy ra ab = nên ab(a+b) =

Tương tự ta có: bc(b+c) = ; ac(a+c) =

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài 23: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: abc = 2. Chứng minh rằng:

a3 + b3 + c3 + +

Việc chứng minh bài tập 23 không khó khăn gì nhưng khi có được bài

tập 23 thì chúng ta tạo ra được bài tập mới hay hơn.

Bài 24: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : abc = 2 Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 a + b +c

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski cho 6 số ta có:

(a + b +c )2 = ( + + )2

(a3 +b3 +c3)( + + )

19


Áp dụng bài 22 ta có: a3 + b3 + c3 + +

Suy ra (a3 +b3 +c3)2 (a3 +b3 +c3) ( + + )

(a + b +c )2

suy ra điều phải chứng minh.

Hướng thứ hai ta có bài tập sau:

Bài 25: Cho a1, a2, …am là các số dương, n m. Chứng minh rằng:

a1n +a2

n+ …+amn a1 a2…am(a1

n-m +a2n-m + …+am

n-m)

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho n số dương ta có :

an1 +… an

1 +a2n+…+am

n n

(n-m+1) a1n +a2

n+ …+amn n a1

n-m+1 a2…am

Tương tự : (n-m+1) a2n +a3

n+ …+amn +a1

n n .a2n-m+1.a1…am

(n-m+1) amn +a1

n+ …+am-1n n .am

n-m+1.a1…am-1

Cộng từng vế của các bất đẳng thức ta suy ra được bất đẳng thức cần

chứng minh.

Áp dụng các bất đẳng thức mở rộng ở trên ta làm các bài tập sau:

Bài 26: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc =1. Chứng minh:

cb

a

6

+ +

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

cb

a

6

+4cb 2 = a3

a3 -

Tương tự: b3 -

20


c3 -

Suy ra + + a3 +b3 +c3 - 2cba

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có ngay: a3 +b3 +c3 - 2

cba

Suy ra + + (đpcm).

Phần 5. Kết quả thực nghiệm: Trong suốt quá trình ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận

thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong chuyên đề

“Phát triển tư duy của học sinh qua một bài toán bất đẳng thức” kĩ năng

trình bày một bài toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh của học

sinh tiến bộ đáng kể đặc biệt là phương pháp tách hạng tử. Học sinh tự tin

hơn, không còn sợ những bài bất toán lạ, bước đầu biết tìm tòi mò mẫm.

Kết quả khả quan hơn cả là chuyên đề này giúp học sinh yêu toán hơn,

các em đã có ý thức tự đọc sách, tự tìm tòi và làm bài tập trong các quyển

sách “Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số và Hình 9 - của tác giả V.D

Thụy và N.N Đạm” “Toán bồi dưỡng của tác giả Vũ Hữu Bình”

21


Chính vì sự cố gắng đó điểm kiểm tra của một số em tốt hơn các bạn ở

trên lớp, nhiều lần đạt điểm tuyệt đối.

Kết quả thi HSG năm học 2006-2007 các em đã mang về cho trường 4

giải (1 giải nhất, 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích).

Phần 6. Kết luận: Bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh

nhưng các bất đẳng thức từ (*) suy ra thì không phải học sinh nào cũng có

thể làm được một cách gọn gàng. Rất nhiều bài trong số các bài tập trên

xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học nhưng tất cả các bài

tập đó đều xuất phát từ bài tập cơ bản. Qua hệ thống bài tập này tôi muốn

giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về một bài bất đẳng thức và giúp các

em có ý thức hơn khi học các bài toán cơ bản.

Trong thực tế giảng dạy, tôi chỉ áp dụng khi dạy học sinh giỏi. Tất cả các

em đều hào hứng với dạng bài tập như vậy, các em đã tự tin hơn khi làm

các bài tập về bất đẳng thức và các bài tập liên quan. Mặc dù đây là loại

22


toán rất rộng và khó nhưng tôi cũng mạnh dạn hướng dẫn các em tự tìm

tòi, mò mẫm và sáng tạo vì nghị quyết TW2 ghi rõ: "Đổi mới mạnh mẽ

phương pháp giáo dục đào tạo khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn

luyện nếp tư duy sáng tạo cho người học… phát triển mạnh phong trào tự

học, tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân nhất là thanh

niên"

Đây chỉ là ý tưởng dạy học của tôi chắc chắn còn nhiều sai sót rất mong

được đồng nghiệp giúp đỡ.

Nhân Hòa, ngày 15 tháng 2 năm 2006

Xác nhận của lãnh đạo Người thực hiện

GV: Đoàn Quốc Việt

Phần 7. Tài liệu tham khảo:1, Tâm lí lứa tuổi

Nhà xuất bản ĐH sư phạm Hà Nội

2, Phương pháp dạy toán THCS

Nhà xuất bản GD

3, Chuyên đề Bất đẳng thức

Trần Văn Hạo (chủ biên)- Nhà xuất bản giáo dục

4, 180 bài bất đẳng thức

Võ Đại Mau - Nhà xuất bản TP HCM

5, Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

Trần Phương - Nhà xuất bản giáo dục23


6, Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cấp II

Nguyễn Vũ Thanh- Nhà xuất bản giáo dục

24

Documents

Lí do chọn đề tài: · Web viewTrong suốt quá trình ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng