Lösningar Heureka 2 Kapitel 15 Universum

Andreas Josefsson

Tullängsskolan Örebro

Losningar Fysik 2 Heureka Kapitel 15 15.1)

a)I triangeln gäller: (Ljusår betecknas i fortsättningen ly)

1(𝑝𝑐) ∙ 𝑡𝑎𝑛1``

2=

1𝐴𝐸2

Vinkeln är så liten att vi kan ersätta tangens av vinkeln med vinkeln själv i radianer.

1`` =1°

3600=

𝜋180

3600𝑟𝑎𝑑 =

𝜋180 ∙ 3600

𝑟𝑎𝑑

1𝑝𝑐 =0,5𝐴𝐸

𝑡𝑎𝑛 1``

2

=0,5𝐴𝐸

12 ∙

𝜋180 ∙ 3600

=0,5 ∙ 1,496 ∙ 108𝑘𝑚

12 ∙

𝜋180 ∙ 3600

= 3,086 ∙ 1013𝑘𝑚

b) 1𝑙𝑦1𝑝𝑐

=3 ∙ 105 ∙ 3600 ∙ 24 ∙ 365 𝑘𝑚

3,086 ∙ 1013𝑘𝑚= 0,3066 → 1𝑙𝑦 = 0,3066𝑝𝑐

15.2) a)

2 ∙ 6,02 ∙ 1023 ∙ 0,1 ∙ 10−9 = 1,2 ∙ 1014𝑚

Avstånder mellan jorden och solen är 1AE=1,496 ∙ 108𝑘𝑚

1,2 ∙ 1014𝑚1,496 ∙ 1011𝑚

= 802,𝑑𝑣𝑠 𝑐𝑎 800𝑔𝑔𝑟 𝑎𝑣𝑠𝑡å𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑎𝑛 𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑜𝑐ℎ 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛

b) Låt en kant av kuben vara x. Antalet atomer som finns längs en kant är:

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟 =𝑥

10−10

I kuben har vi 2 ∙ 6,02 ∙ 1023𝑎𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟

(𝑥

10−10)3 = 2 ∙ 6,02 ∙ 1023 ↔ 𝑥3 = 2 ∙ 6,02 ∙ 1023 ∙ 10−30 = 1,204 ∙ 10−6

𝑥 = �1,204 ∙ 10−63 ≈ 0,011𝑚 = 11𝑚𝑚

Lösningar Fysik 2 Heureka Tullängsskolan Örebro Andreas Josefsson

1

15.3)

a) Einstein sade att

𝐸 = 𝑚 ∙ 𝑐2 ↔ ∆𝐸 = ∆𝑚 ∙ 𝑐2 ↔ ∆𝑚 =∆𝐸𝑐2

=4 ∙ 1026

9 ∙ 1016= 4,44 ∙ 109𝑘𝑔

Ca. 4,5 miljoner ton i sekunden.

b) Solens massa är: 2·1030 kg.

En procent av solens massa blir: 2·1028 kg

𝑡 =2 · 1028

4,44 ∙ 109= 4,5 ∙ 1018𝑠 =

4,5 ∙ 1018𝑠3600 ∙ 24 ∙ 365 𝑠 å𝑟�

= 1,42 ∙ 1011 å𝑟

Det är ca.140 miljarder år.

15.4)

a) De två avstånden måste vara lika stora eftersom ljushastigheten är konstant.

b) Enligt avståndsformeln blir sträckan PF:

𝑃𝐹 = �𝑥2 + (𝑦 − 𝑎)2

𝑃𝑆 = 𝑦 − (−𝑎) = 𝑦 + 𝑎

𝑃𝐹 = 𝑃𝑆 ↔ �𝑥2 + (𝑦 − 𝑎)2 = 𝑦 + 𝑎 ↔ 𝑥2 + (𝑦 − 𝑎)2 = (𝑦 + 𝑎)2 ↔

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑦 + 𝑎2 = 𝑦2 + 2𝑎𝑦 + 𝑎2 ↔ 𝑥2 = 4𝑎𝑦 ↔ 𝑦 =𝑥2

4𝑎

c) Sambandet vi fick är parabelns ekvation. Se figuren. Vi deriverar parabelns ekvation medavseende på x och sätter in x koordinaten för punkten P, 𝑥𝑃. Vi får då riktningskoefficienten för tangenten till parabeln i punkten P som vi betecknar med 𝑘1.

Lösningar Fysik 2 Heureka Tullängsskolan Örebro Andreas Josefsson

2

𝑦 , =2𝑥4𝑎

=𝑥

2𝑎→ 𝑘1 =

𝑥𝑃2𝑎

Vi räknar nu ut riktningskoefficienten för linjen FS med s.k. deltaformeln.

𝑘2 =𝑎 − (−𝑎)

0 − 𝑥𝑃=

2𝑎−𝑥𝑃

→ 𝑘2 = −2𝑎𝑥𝑃

𝑘1 ∙ 𝑘2 =𝑥𝑃2𝑎

∙ �−2𝑎𝑥𝑃� = −1

Detta betyder att tangenten i punkten P och linjen FS är vinkelräta mot varandra.

Detta betyder också att normalen till parabeln (linjen som är vinkelrät mot tangenten) är parallell med linjen FS.

d) Enligt resonemanget ovan är infallsvinkeln vid P lika med vinkeln PSF som likbelägnavinklar. Reflektionsvinkeln vid P är lika med vinkeln SFP, som alternatvinklar.

Triangeln FPS är likbent som betyder att vinkeln PSF är lika stor som vinkeln SFP, med andra ord, infallsvinkeln i är lika med reflektionsvinkeln r. Se figuren.

15:5)

𝑧 =𝜆𝑜𝑏𝑠 − 𝜆𝑒𝑚

𝜆𝑒𝑚, 𝜆𝑒𝑚 ä𝑟 𝑣å𝑔𝑙ä𝑛𝑔𝑑𝑒𝑛 𝑛ä𝑟 𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠

𝜆𝑜𝑏𝑠 = 582,5 ∙ 10−9𝑚, 𝜆𝑒𝑚 = 121,6 ∙ 10−9𝑚

𝐻0 ∙ 𝑟𝑐

= 2 �1 −1

√1 + 𝑧� ,𝐻0 = 2,5 ∙ 10−18𝑠−1

Lösningar Fysik 2 Heureka Tullängsskolan Örebro Andreas Josefsson

3

Vi räknar ut z först och sedan avståndet r.

𝑧 =𝜆𝑜𝑏𝑠 − 𝜆𝑒𝑚

𝜆𝑒𝑚=

582,5 ∙ 10−9 − 121,6 ∙ 10−9

121,6 ∙ 10−9= 3,7903

𝐻0 ∙ 𝑟𝑐

= 2 �1 −1

√1 + 𝑧� ↔ 𝑟 =

2 ∙ 𝑐 ∙ �1 − 1√1 + 𝑧

�

𝐻0=

2 ∙ 3 ∙ 108 ∙ �1 − 1√1 + 3,7903

�

2,5 ∙ 10−18

𝑟 = 1,3 ∙ 1026𝑚 =1,3 ∙ 1026

3 ∙ 108 ∙ 3600 ∙ 24 ∙ 365= 1,377 ∙ 1010𝑙𝑗𝑢𝑠å𝑟 ≈ 14𝑚𝑖𝑙𝑗𝑎𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑗𝑢𝑠å𝑟

15.6)

Kraften som lyfter föremålet räknar vi med hjälp av gravitationslagen.

𝐹 = 𝐺 ∙𝑚 ∙ 𝑀𝑟2

,

𝑚 = 𝑓ö𝑟𝑒𝑚å𝑙𝑒𝑡𝑠 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎,𝑀 = 𝐽𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎,

𝑟 = 𝑎𝑣𝑠𝑡å𝑛𝑑 𝑡𝑖𝑙𝑙 𝐽𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢𝑚

Bi betecknar Jordens radie med R.

Vi tar en godtycklig punkt som ligger på avståndet a från Jordens centrum. Vi beräknar arbetet för att lyfta föremålet från Jordens yta till punkten och sedan låter vi avståndet a gå mot oändlighet.(gränsvärdesproblem)

Arbetet blir:

�𝐹𝑑𝑟 = �𝐺 ∙𝑚 ∙ 𝑀𝑟2

𝑑𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀�1𝑟2

𝑎

𝑅

𝑎

𝑅

𝑎

𝑅

𝑑𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀 ∙ �−1𝑟�𝑅

𝑎

= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀 �1𝑅−

1𝑎�

lim𝑎→∞

𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀 �1𝑅−

1𝑎� =

𝐺𝑚𝑀𝑅

𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚 lim𝑎→∞

1𝑎

= 0

Vi betecknar flykthastigheten med v. Föremålets ursprungliga rörelseenergi ska räcka för att utföra detta arbete.

𝑚 ∙ 𝑣2

2=𝐺𝑚𝑀𝑅

↔𝑣2

2=𝐺𝑀𝑅

↔ 𝑣2 =2𝐺𝑀𝑅

↔ 𝑣 = �2𝐺𝑀𝑅

Nu sätter vi in värdena:

𝐺 = 6,6743 · 10−11𝑁 · 𝑚²/𝑘𝑔², 𝑀 = 6 ∙ 1024𝑘𝑔, 𝑅 = 6,38 ∙ 106𝑚

Lösningar Fysik 2 Heureka Tullängsskolan Örebro Andreas Josefsson

4

𝑣 = �2𝐺𝑀𝑅

= �2 ∙ 6,6743 · 10−11 ∙ 6 ∙ 1024

6,38 ∙ 106= 11,204 ∙ 103 𝑚⁄𝑠 = 11,2 𝑘𝑚�𝑠