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LA BILLE QUI REBONDIT, UNE EXPERIENCE SIMPLE DE
PHYSIQUE DU CHAOS- du 14/03/05 au 17/05/05 –
encadrant M Boissel
Aurélien CROCCécilia GIOVANETTI
Anica LEKICCéline RICHARD
Introduction au chaos
• le chaos déterministe définition : - classe de phénomènes où l’imprédictibilité est présente- ordre sous-jacent
• Réalisation du chaos pour notre expérience :- une bille sur un pot vibrant- fréquence des oscillations entre 20 et 30 Hz- apparition du chaos en augmentant l’amplitude- mouvement de la bille enregistré par un cristal piézoélectrique
• Les thèmes étudiés :
- la transition vers le chaos- le mouvement de la bille- les attracteurs étranges- la sensibilité aux conditions initiales
- le contrôle du chaos- la simulation numérique
Décomposition de l’expérience
Ordinateur 1 création d’un
signal sinusoïdal
Pont diviseur et am-plification du signal
carte d’acqui- sition
Electronique
pot vibrant
La bille rebondit surle cristal piézoélectrique. La pression exercée déclenche un signalélectrique.
Voltmètre
Oscilloscope
Ordinateur 2acquisition des données
carte d’acqui- sition
ordinateur 2 : acquisition des données
Bille et pot vibrant
montage électronique
amplificateur commandépar le 1er ordinateur
Décomposition de l’expérience : montage
carte d’acquisition
pont diviseur
oscilloscope et voltmètre ordinateur1
LA TRANSITION VERS LE CHAOS : DIAGRAMMES DE
BIFURCATION
La transition vers le chaos : le diagramme de bifurcation
• diagramme de bifurcation : définition
- tracé de la différence de temps entre deux chocs relatifs de la bille en fonction de l’amplitude du pot vibrant
- il permet de suivre l’évolution du système
• Etude théorique du système
- bifurcations : valeurs propres
fenêtres d’ordre dans le chaos
régimes périodiques stables
deuxième bifurcation (deuxième attracteur)
doublement et quadruple -ment de période
chaos
d’une matrice caractéristique du système (matrice de Floquet)- bifurcations par hystérésis : bifurcations de Hopf (2 valeurs propres complexes
conjuguées) - bifurcations par doublement de période : cascades sous-harmoniques (valeur
propre = -1)
en jaune : amplitude montanteen vert : amplitude descendante
Diagramme de bifurcation
régimes périodiquesstables
doublement et quadruplementde périodique
fenêtres d’ordre dans le chaos
deuxième attracteur
transition vers le chaos du deuxième attracteur
1er hystérésis
2ème hystérésis
Bistabilité, hystérésis
La mesure du rapport d’échelle
• Rapport d’échelle : définition - grandeur universelle pour les systèmes chaotiques : identique quel que soit le diagramme de bifurcation étudié
- il tend asymptotiquement vers
- il est donné par la formule
avec Ai = ordre de la ième bifurcation
1
1
AA
AA
• Résultat expérimental:
1/ 4.6692016
δ = 1/ 4 ± 0.3
A2 A4 A8
Calcul du coefficient d’élasticité µ de la bille
2
2
1
12)(cotan
2
)sin( 22
cAA
• coefficient d’élasticité :- opposé du rapport des vitesses
relatives finales et initiales- calcul du coefficient d’élasticité :
avec τ2 = la phase pour le doublement de période ω = la pulsation
On obtient alors
cotan(ωτ2) étant calculé grâce à la formule
• Résultat expérimental :
pour valeur théorique de 0.5
)(cotan2
)(cotan2
2
2
A2Ac
μ = 0.52
LA TRAJECTOIRE DE LA BILLE
La trajectoire de la bille.
régime périodique doublement de période
chaos fenêtre d’ordrequadruplement de période
ExpérimentalementExpérimentalement : une cellule photoélectrique est placée au dessus de la bille.
Résultats :Résultats : mouvement de la bille (jaune) mouvement du pot vibrant (vert) en parallèle.
La trajectoire de la bille en régime périodique
Trajectoire pour le doublement de période
Trajectoire pour un quadruplement de période
Trajectoire en régime chaotique
Trajectoire pour une fenêtre d’ordre
ATTRACTEUR ETRANGE : INTRODUCTION
Etude mathématique de l’attracteur étrangeEspaceEspace des phases des phases : espace mathématique : E
Coordonnées : les variables dynamiques indépendantes du système, degrés de libertéComportant autant de dimensions que de paramètres à considérer.
ici à 2 D à t donné {position + vitesse}.
Attracteur étrangeAttracteur étrange : :
C’est un attracteur car :
C’est une région finie de l’espace des phases,
Les trajectoires de la bille y sont attirées vers un ou des bassins d’attractions,
1 condition initiale dans bassin d'attraction = 1 trajectoire dans E + 1 façon unique de parcourir l'attracteur.
Il est étrange car :
Phénomène sensible aux conditions initiales,
Phénomène chaotique malgré des équations déterministes,
Fractal (dimension non entière), les points ne repassent jamais au même endroit.
Sections de Poincaré et Portraits de Phase
Section de PoincaréSection de Poincaré::
Intersection entre un attracteur d’un système à n degrés de liberté et un sous ensemble de l’espace de Rn .
Lieu particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du temps.
Tracé de l’attracteur obtenu pour une amplitude donnée.
On étudie le temps au choc n par rapport au temps au choc (n – 1).
Portrait de PhasePortrait de Phase::
C’est l’ensemble des trajectoires de phase ( = courbes de l’espace des phases) l’évolution dynamique du système {bille + pot vibrant} .
On observe le chaos en représentant la vitesse en fonction de la position (amplitude du pot vibrant).
Sert à vérifier la contraction des aires pour les systèmes dissipatifs.
SECTIONS DE POINCARE
Attracteur de la bille lorsqu’elle est presque collée
Attracteur pour le régime périodique
Attracteur pour le doublement de période
Attracteur étrange pour le quadruplement de période
Attracteur étrange du premier chaos
Attracteur étrange d’une fenêtre d’ordre
Attracteur étrange pour les 2 chaos
PORTRAITS DE PHASE
Portraits de phase : vitesse en fonction de la position
régime périodique
doublement de période
quadruplement de période
chaos: 1er attracteur
1ère fenêtre d’ordre
Dimension fractale de l’attracteur étrange
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
m=2.017l=1.196
m=1.143l=3.299
axes des x en log 10 : nombre de points dans le cercle de rayon r
axe
de
s y
en
log
10
: r
ayo
n d
u c
erc
le
Courbe permettant de mesurer la dimension de l'attracteur
surface
dimension de l’attracteurentre ligne et surface
au delà de dimension
attracteur
Expérimentalement: - découpage de l’attracteur en petits cercles - augmentation de la taille des cercles
Résultats : - petit rayon : dimension d’une surface - rayon moyen : dimension de l’attracteur - grand rayon : tout l’attracteur est dans le cercle
Conclusions : - dimension entre ligne et surface (entre 1 et 2) - c’est une dimension fractale : dimension non entière
axe
des
y e
n lo
g10
: r
ayo
n d
u c
ercl
e
SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES
Sensibilité aux conditions initiales.
La propriété de S.C.I. se traduit par :
La divergence exponentielle des trajectoires dans l’espace des phases.
Distance entre 2 attracteurs pour 2 conditions initiales très proches :
Le tracé en échelle log : la distance croit de manière exponentielle.
On peut lire la pente de la droite : valeur de l’exposant de Lyapunov λ.
Le système chaotique quand λ >0.
CONTRÔLE DU CHAOS
Contrôle du chaosPourquoiPourquoi ? ?
On agit sur le système dans le but de l’amener à évoluer d’une certaine manière.
Il y a plusieurs formes de contrôle :
Forcer le système à rester dans chaos. Imposer une évolution périodique au système.
MéthodesMéthodes:
Le contrôle doit toujours être :
Réalisable, la transition chaos / contrôle rapide, durable et non destructif.
MoyensMoyens :
Un électro-aimant « commandé » par l’ordinateur.
RésultatsRésultats :
La mise en place du contrôle.
La diminution de la correction maintien du régime contrôlé.
-1
0
1
2
3000 4500 6000
-2
0
2
4
0 2000 4000 6000 8000 10000
nombre de points
ampl
itude
Passage de la periode 1 a la période 2 et au chaos
Passage du régime chaotique au régime périodique simple
Contrôle d’une fenêtre Contrôle d’une fenêtre d’ordred’ordre
SIMULATION NUMERIQUE
Capture d’écran de la simulation numérique
Théorie de la simulation
• Plateau :
- mouvement
- accélération
• Bille :
- mouvement
- accélération
• Coeficient d’élasticité :
ftz 2cos
ftfAa 2cos2 2
002
2
1ztvgtz
ga
pbpb VVVV '
Conclusions• Aborder une expérience dans sa globalité :
- sur la durée
- en effectuant un travail de recherche
- en développant la simulation numérique du phénomène
• L’utilisation de nos connaissances théoriques pour une expérience concrète
- en informatique
- en électronique
• Une expérience simple pour aborder le chaos
• La physique chaos : un domaine vaste
- une façon d’accéder à la topologie
- des applications multiples (la météo, les fluides, la thermodynamique, les populations, la mécanique céleste,...)
- une physique assez récente qui ouvre de multiples horizons
Attracteur de Gurmonski
Etude théorique du système, complément
• La théorie de Floquet, principe :
- c’est l’étude de la stabilité d’une solution périodique (cycle limite)
- on introduit un faible écart initial à la solution périodique
- au bout d’une période, on a avec M = matrice de Floquet
- si l’écart par rapport à la solution périodique :
* a diminué, il y a stabilité
* a augmenté, il y a instabilité
- la perte de stabilité de la solution périodique se traduit par une bifurcation
• Le type de la bifurcation :
- déterminé grâce aux valeurs propres de la matrice de Floquet
- il y en a trois types :
* la bifurcation par noeud col ( valeur propre = + 1)
* la bifurcation par cascade sous-harmonique (valeur propre = -1)
* la bifurcation de Hopf (2 valeurs propres complexes conjuguées)
0
0
Schéma du montage
ordinateur : recueil les
données
ordinateur : contrôle de
l’alimentation du pot vibrant
Ch II
oscilloscope
Ch I
amplificateur
carte d’acquisition
résistance variable : pont diviseur
carte d’acquisition
montage électronique
pot vibrant
cristal piézoélectrique
scotch
Pâte à fixe
aimant
Schéma de principe du montage
Ordinateur 1 création d’un
signal sinusoïdal
Ordinateur 2acquisition des données
Voltmètre
Oscilloscope
Electronique
Pont diviseur et am-plification du signal
pot vibrant et bille
carte d’acqui- sition
carte d’acqui- sition
La carte d’acquisition est unconvertisseur analogique/numérique et inversement
Schémas de l’électronique
+
+
-
-
Montage du côté bille
Montage du côté générateur
ordinateur
ordinateur
alimentation de la labdec
bille
générateur
R3
optocoupleur
optocoupleurR1
R1R2
R2 = 3 x 106 ΩR1 = 103Ω R3 = 2 x 103Ω
Le montage électronique pour le portrait de phase (vitesse/position)
+-
R1
R3
R4
R2
VsV+ V-
Ve1
Ve2
R1 = 5,1 kΩ R2 = 100 kΩ
R3 = 10 kΩ R4 = 10 kΩ
Ve1 ~ 3 V Ve2 ~ 15 V
V+ = (Ve2 × R4) / (R3+R4)
Vs – V_ = R2 × i
V_ - Ve1 = R1 × i
V+ = V_ G = 10
R2 et R4 sont variables
R1 × ( Vs – V_) – R2 × ( V_ - Ve1) = 0Vs = ( R2 / R1 ) × ( V_ - Ve1) + V_Vs = V_ × ( R2 / R1 + 1 ) – ( R2 / R1 ) × Ve1Vs = Ve2 × ( ( R4 ) / (R4 + R3) ) × ( ( R2 + R1) / R1) – ( R2 / R1 ) × Ve1 Vs = - ( ( R2 / R1 ) × Ve1 - α × Ve2 )
Schéma de l’alimentation de l’électro-aimant utilisé pour le contrôle du chaos
entrée
+-
+15 V -15 V
électro-aimant
transistors sur radiateur
AOP
capacité céramique
capacités100 nF
potentiomètre
diodes qui protègent de l’inversion de courant
carte d’acquisition de l’ordinateur
Capacités électrolytiques
170μF
Bille
+-
Schéma de l’alimentation de l’électro-aimant utilisé pour le contrôle du chaos
VSS
VCC
S1
M1
M2
E1
M
VS
VC VCC
VSS
Documents internet : attracteurs
L’attracteur de GurmonskiAnimation d’un attracteur