LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA

UNIDAD 13

Ejercicios Resueltos

OBJETIVOS

OBJETIVO

OBJETIVO

OBJETIVO

OBJETIVO

Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar

geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

Objetivo 2.

1. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2, 4) y B(6, -2)

C(h, k) = punto medio de

Radio = distancia de C a A

AB

1 2

2

x xh

2 6

2

4

22

1 2

2

y yk

4 2

2

21

2

C(2, 1)

2 22 2 4 1

CAr d

916 25 5 5r

Cont…ejercicio resuelto 1

Ecuación de la circunferencia:

2512 22 yx

0251244 22 yyxx

0202422 yxyx

2. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo centro está situado en la recta

Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k):

C(h, k) es un punto de la recta por lo tanto satisface su ecuación:

0113 yx

CBCA dd

2222 1132 khkh

2222 1132 khkh

12129644 2222 kkhhkkhh

01146 kh

6 4 11 0 ....................(1)h k

3 11 0 ...............(2)h k

0113 yx

Cont…..ejercicio resuelto 2.Se resuelven las ecuaciones (1) y (2)

simultáneas:01146 kh

0113 kh

113 kh

01141136 kk

5522 k2

5k

112

53

h 7

2

2

5,

2

7C

Cont…..ejercicio resuelto 2.

La ecuación de la circunferencia es

o, en la forma general,

4

130

2

5

2

722

yx

04

130

4

255

4

497 22 yyxx

0145722 yxyx

3. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas:

El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

Ver la siguiente figura

0932:

0623:

02132:

3

2

1

yxR

yxR

yxR

Cont….ejercicio resuelto 3Ecuación de la bisectriz

(1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2:

Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R1 y R3:

2222 23

623

32

2132

yxyx

13

623

13

2132

yxyx

6232132 yxyx

01555 yx

03 yx

13

932

13

2132

yxyx

9322132 yxyx

0126 y

Cont…..ejercicio resuelto 3Con estas dos bisectrices se encuentra el punto

donde se intersectan las tres, que es el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k):

De la bisectriz (2):

En la bisectriz (1):

El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3:

La ecuación de la circunferencia es:

0126 y12

2= k6

y

03 yx 2 3 1 = hx

2 2

2 1 3 2 9

2 3r

13

13

13

=

1321 22 yx

0134412 22 yyxx

084222 yxyx Índice

Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo

grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes

independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos

para resolver problemas.

Objetivo 3.

Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una circunferencia real, un

punto o ningún lugar geométrico real.

1.

Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.

2.

Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.

0296822 yxyx

9162996168 22 yyxx

434 22 yx

066633 22 yxyx

022222 yxyx1121212 22 yyxx

411 22 yx

3. Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).

Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):

De (4):

2 2 21 2 ......................(1)h k r

2 2 25 2 ......................(2)h k r

2 2 23 4 ......................(3)h k r

2 2 2 21 2 5 2 ........(4)h k h k

2 2 2 21 2 3 4 ........(5)h k h k

2222 4410254421 kkhhkkhh

3

248

h

h

Cont….ejercicio resuelto 3

De (5):

Sustituyendo h:

El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)En (1):

Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es:

2222 816694421 kkhhkkhh 2044 kh 5 kh

2

53

k

k

222 21 rkh

2

222

04

2231

r

r

423 22 yxÍndice

Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar

geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma

general.

Objetivo 4.

1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola

El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la parábola tiene:

Vértice en (0, 0) Foco en

Directriz Eje de la parábola y = 0

Lado recto

xy 83 2

23 8y x 2 8

3y x

84

3p

2> 0

3p

0,3

2

3

2x

3

8LR

2. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta eje horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y

Eje horizontal →

El punto (3, –5) pertenece a la parábola →

El punto pertenece a la parábola →

V(h, k) pertenece a la recta →

0437 yx

1,2

3

hxpky 42

hpk 345 2

hpk

2

341 2

1,2

3

0437 kh

Cont….ejercicio resuelto 2Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se

debe resolver el sistema de ecuaciones:

en el que dos de las ecuaciones son de segundo

grado.  Al restar una de otra se pueden eliminar los

términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:

225 10 12 4k k p ph 04121025 2 phpkk21 2 6 4k k p ph

04621 2 phpkk

0437 kh

Cont……..ejercicio resuelto 2.

En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del sistema original se puede despejar h en función de k:

2

2

10 12 4 25 0

2 6 4 1 0

12 6 24 0

k k p ph

k k p ph

k p

12 6 24 0

2 4 0

2 4

k p

k p

p k

7 3 4 0

7 4 3

4 3

7

h k

h k

kh

Cont….ejercicio resuelto 2.

Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en la segunda) queda: 2 4 3

2 6 2 4 4 2 4 1 07

kk k k k

2 4 32 12 24 8 16 1 0

7

kk k k k

27 14 84 168 8 16 4 3 7 0k k k k k

2 27 98 168 32 24 64 48 7 0k k k k k

217 114 97 0k k 217 114 97 0k k

2114 114 4 17 97

34k

971 y 17k k

Cont….ejercicio resueltos 2.Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:

a) k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación:

b) L

Ecuación:

181 2 xy

17

97k

119

359h

17

5044 p

119

359

17

504

17

972

xy

3. Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del arco parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base.

Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el origen el punto medio de la base, como la base mide 24m los dos puntos en que el arco cruza al eje x son (–12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto situado a 8m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)

Cont….ejercicio resuelto 3.

La ecuación es de la forma:

La curva pasa por (12, 0), de modo que

Ecuación de la parábola: Altura del arco a 8m del centro:

Altura: 10m

kyphx 42

1840 2 ypx 1842 ypx

180412 2 p2

72144

p

p

)18(82 yx

1888 2 y10

8

80

641448

y

y

Índice

Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una

parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.

Objetivo 5.

1. Determina el lugar geométrico que representa la ecuación

En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma canónica es:

de modo que el vértice es:

Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y.

742 xy

742 xy

742 xy

4

740 2 xy

0,4

7V

Índice