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METODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

La expresión de la fórmula de integración por partes es:

!𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 − !𝑣𝑑𝑢

Vamos a crear un esquema para determinar en cada momento a que llamamos 𝑢 y a que llamamos 𝑑𝑣, de esta elección dependerá que hagamos bien o mal la integral.

Llamaremos 𝑢a una función dependiendo del siguiente orden descendiente:

𝐴𝐿𝑃𝐸𝑆

→ 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝐴𝑟𝑐𝑜→ 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠

→ 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠→ 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

→ 𝑆𝑒𝑛𝑜, 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

En muchas ocasiones tendremos que aplicar este método de integración en mas de una ocasión.

La regla mnemotécnica que podemos utilizar para aprender esta expresión es la siguiente:

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METODO DE CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN

Este método es uno de los mas amplios para el calculo de integrales, debido a la gran variedad de sustituciones que podemos hacer.

El éxito o fracaso en el calculo de la integral con este método, dependerá de la función elegida, ya que una sustitución mala nos llevará frecuentemente a integrales mas complicadas que la propuesta por el enunciado.

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

CASO 1.- POTENCIAS PARES DE SENO Y COSENO

Tenemos que aplicar la formula del ángulo mitad tanto de seno como de coseno:

𝑠𝑒𝑛!𝑥 =1 − cos 2𝑥

2𝑐𝑜𝑠!𝑥 =

1 + cos 2𝑥2

!𝑐𝑜𝑠!𝑥𝑑𝑥 = !GH1 + cos 2𝑥

2I

!

𝑑𝑥 = !1 + cos 2𝑥

2𝑑𝑥 =

12!1 + cos 2𝑥𝑑𝑥 =

12J𝑥 +

12𝑠𝑒𝑛2𝑥K + 𝐶

Integral !𝑎"𝑑𝑥 !𝑒"𝑑𝑥 !𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 !𝑥𝑎𝑟𝑐 … 𝑑𝑥 !(𝑠𝑖𝑛𝑥)#(𝑐𝑜𝑠𝑥)$

Cambio recomendado

𝑡 = 𝑎" 𝑡 = 𝑒" 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 … 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑚𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑖𝑚, 𝑛𝑝𝑎𝑟

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CASO 2.- POTENCIAS IMPARES DE SENO Y COSENO

Tenemos que recordar la identidad trigonométrica:

𝑠𝑒𝑛!𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!𝑥 = 1

!𝑠𝑒𝑛%𝑥𝑑𝑥 = !J1 − cos 2𝑥

2K!𝑑𝑥 = !

1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!2𝑥4

𝑑𝑥 =

14!𝑑𝑥 −

24! cos 2𝑥𝑑𝑥 +

14! 𝑐𝑜𝑠!2𝑥𝑑𝑥 =

14𝑥 −

14𝑠𝑒𝑛2𝑥 +

14!1 + cos 4𝑥

2𝑑𝑥 =

14𝑥 −

14𝑠𝑒𝑛2𝑥 +

18𝑥 +

132𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝐶

CASO 3.- CON EXPONENTE PAR E IMPAR

El exponente que sea impar se transforma en uno par y otro impar.

!𝑠𝑒𝑛&𝑥𝑑𝑥 = !𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛!𝑥𝑑𝑥 = !𝑠𝑒𝑛𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠!𝑥)𝑑𝑥 = !𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠!𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 +13𝑐𝑜𝑠&𝑥 + 𝐶

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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Cuando tengamos una integral de una función racional tenemos que seguir el siguiente procedimiento:

• ¿Arriba tengo la derivada o puedo tener la derivada de los de abajo? o Si → 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜𝑐𝑜𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜. o 𝑁𝑜 → 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 →

• ¿El grado de lo de arriba es mas grande o igual al grado de lo de abajo? o Si → 𝐻𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠𝑙𝑎𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠. ∫ !(#)

%(#)𝑑𝑥 = ∫𝑍(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ &(#)%(#)

𝑑𝑥

o 𝑁𝑜 → 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 → • ¿El grado de arriba es mas pequeño que el grado de abajo?

o S𝑖 → 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝑙𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑑𝑒𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑄(𝑥) = 0. § Tiene raíces reales entonces aplicamos uno de los tres procedimientos

• Raíces simples • Raíces múltiples • Raíces simples y múltiples

§ No tiene raíces reales, estamos trabajando con arco tangente. En algunas ocasiones también tendrás un integral del tipo arco tangente + logaritmo.

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