TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN - junioyjulio.files.wordpress.com · 8.1 Integración por partes 437 J udv = uv - J v du (2) Fórmula de integración por partes Esta fórmula expresa una

8TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

INTRODUCCIÓN El teorema fundamental nos dice cómo evaluar una integral definida, unavez que tenemos una antiderivada para la función integrando. La tabla 8.1 resume las formasde antiderivadas para muchas de las funciones que hemos estudiado, mientras que el mé-todo de sustitución nos ayuda a utilizar la tabla para evaluar funciones más complicadas queincluyan a las básicas. En este capítulo estudiaremos otras técnicas importantes para deter-minar antiderivadas (o integrales indefinidas) para muchas combinaciones de funciones cuyasantiderivadas no pueden determinarse utilizando los métodos presentados hasta ahora.

TABLA 8.1 FórmuLas básicas de integración

12. J tanxdx = In [sec x] + e

13. J cotxdx = In [sen x] + e

14. J secxdx = In [sec x + tan x] + e

15. J cscxdx = -In [csc x + cot x] + e

16. J senhx dx = coshx + e

17. J coshx dx = senhx + e

18. Jk = sen" (~) + e

(cualquier número k)

19. J dx - 1 -1 (x)a2 + ~ - ti tan ti + e

1. J k dx = la + e

J x"+12. x" dx = -- + e

n + 1(n =fe. -1)

20. J dx = 1. -1 I ~ I + e,~ asec axv~ - a2

3. J~ = In [x] + e

4. J ¿ dx = et + e

5. J ct dx = I~xa + e

6. J senxdx = -cosx + e

(a > 0, a =fe. 1)

7. J cos x dx = sen x + e

8. J sec/ xdx = tanx + e

9. J csc2xdx = -cotx + e

10. J secxtanxdx = secx + e

11. J cscxcotxdx = -cscx + e

21. J dx = senh" (~) + eVa2+x2 a

(a > O)

J dx -1 (x)22. Vx2 _ a2 = cosh ti + e (x> a > O)

435

8 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

INTRODUCCIÓN El teorema fundamental nos dice cómo evaluar una integral definida, una vez que tenemos una antiderivada para la función integrando. La tabla 8.1 resume las formas de antiderivadas para muchas de las funciones que hemos estudiado, mientras que el método de sustitución nos ayuda a utilizar la tabla para evaluar funciones más complicadas que incluyan a las básicas. En este capítulo estudiaremos otras técnicas importantes para determinar antiderivadas (o integrales indefinidas) para muchas combinaciones de funciones cuyas antiderivadas no pueden determinarse utilizando los métodos presentados hasta ahora.

TABLA 8.1 FórmuLas básicas de integración

1. f kdx = kx + e (cualquier número k)

2. x" dx = -- + e f x" + 1

n + 1 (n =fe. - 1)

3. f~ = tn Ix l + e

4. f ¿ dx = (?"r + e

5. far dx = L + e lna

(a > 0, a =fe. 1)

6. f senxdx = - cosx + e

7. f cos x dx = sen x + e

8. f sec2 xdx = tan x + e

9. f csc2 x dx = -cot x + e

10. f secxtan xdx = secx + e

11. f csc xcot xdx = -cscx + e

12. f tan x dx = In I secxl + e

13. f cotxdx = In Isen xl + e

14. f secxdx = In Isecx + tan xl + e

15. f cscxdx = -In Icsc x + cotx l + e

16. f senhxdx = coshx + e

17. f coshx dx = senhx + e

19. f dx - 1 - 1 ( x) a2 + ~ - a tan a + e

20. f dx = 1 -1 I ~ I + e ,~ asec a xv~ - a2

(a > O)

f dx -1 ( x ) 22. V x2 _ a 2 = cosh a + e (x > a > O)

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436 Capítulo 8: Técnicas de integración

8.1 Integración por partes

La integración por partes es una técnica para simplificar integrales de la forma

¡f(x)g(x) dx.

Es útil cuando f es derivable de manera repetida y g es integrable repetidamente sin dificultad.Las integrales

¡x cosxdx y ¡i2exdx

son ejemplos de tales integrales, donde f(x) = x o f(x) = x2 pueden derivarse repetidamentehasta convertirse en cero, y g(x) = cos x o g(x) = eX puede integrarse de manera repetida sin di-ficultad. La integración por partes también se aplica a integrales como

y ¡ex cosx dx.

1I

En el primer caso, f(x) = In x es fácil derivar y g(x) = 1 es fácil de integrar, para dar x. En el se-gundo caso, cada parte del integrando aparece una y otra vez después de derivaciones e integra-ciones sucesivas.

,;"

RegLa deL producto en forma de integraLSi f y g son funciones derivables de x, la regla del producto establece

ddx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

En términos de integrales indefinidas, esta ecuación se transforma en

d!I"

¡![f(x)g(x)] dx =¡[f'(x)g(x) + f(x)g'(x)] dx

o

¡![j(x)g(x)] dx =¡f'(x)g(x) dx +¡f(x)g'(x) dx.

Si reacomodamos los términos de esta última ecuación, obtendremos

¡f(x)g'(x) dx =¡![f(x)g(x)] dx - ¡f'(x)g(x) dx,

lo que conduce a la fórmula de integración por partes

¡f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ¡f'(x)g(x) dx (1)

En ocasiones es más fácil recordar la fórmula si la escribimos en forma diferencial. Seau = f(x) y v = g(x). Entonces, du = f'(x)dx y du = g'(x)dx. Utilizando la regla de sustitución,la fórmula de integración por partes se transforma en


8.1 Integración por partes

La integración por partes es una técnica para simplificar integrales de la forma

J f(x)g(x) dx.

Es útil cuando f es derivable de manera repetida y g es integrable repetidamente sin dificultad. Las integrales

¡ x cosxdx y J :?-ex dx

son ejemplos de tales integrales, donde f(x) = x o f(x) = x2 pueden derivarse repetidamente hasta convertirse en cero, y g(x) = cos x o g(x) = eX puede integrarse de manera repetida sin dificultad. La integración por partes también se aplica a integrales como

y J ex cosxdx.

En el primer caso, f(x) = In x es fácil derivar y g(x) = I es fácil de integrar, para dar x. En el segundo caso, cada parte del integrando aparece una y otra vez después de derivaciones e integraciones sucesivas.

Regla del producto en forma de integral Si f y g son funciones derivables de x, la regla del producto establece

d dx [f(x)g(x)] = f'( x)g(x) + f( x )g'(x).

En términos de integrales indefinidas, esta ecuación se transforma en

J ! [f(x)g(x) ] dx = J [f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ] dx

o

J ! [f(x)g(x)] dx = J f'(x)g(x) dx + J f(x)g'(x) dx.

Si reacomodamos los términos de esta última ecuación, obtendremos

J f(x)g'(x) dx = J ! [f(x)g(x) ] dx - J f'(x)g(x) dx,

lo que conduce a la fórmula de integración por partes

J f(x)g'( x) dx = f(x)g(x ) - J f'(x)g(x) dx (1)

En ocasiones es más fácil recordar la fórmula si la escribimos en forma diferencial. Sea u = f(x) y v = g(x). Entonces, du = f'(x)dx y dv = g'(x)dx. Utilizando la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes se transforma en

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8.1 Integración por partes 437

J u dv = uv - J v du (2)

Fórmula de integración por partes

Esta fórmula expresa una integral, J u du , en términos de una segunda integral, J v du.Con una elección adecuada de u y v, la segunda integral puede ser más fácil de evaluar quela primera. Para utilizar la fórmula, hay varias opciones posibles para u y dv. Los siguientesejemplos ilustran la técnica. Para evitar errores, siempre listamos nuestras elecciones para uy du, luego añadimos a la lista los términos nuevos du y v; por último, aplicamos la fórmula dela ecuación (2).

EJEMPLO 1 Determine

J xcosxdx.

Solución Utilizamos la fórmula J u dv = uv - J v du con

u = x, dv = cosxdx,v = senx. La antiderivada más sencilla de cos x.du = dx,

Luego,

J x cos x dx = x sen x - J sen x dx = x sen x + cos x + c. •Existen cuatro opciones disponibles para u y dv en el ejemplo l.

1. Hacer u = 1 Ydv = x cos x dx.3. Hacer u = x cosx y du = dx.

2. Hacer u = x y dv = cos x dx.4. Hacer u = cos x y dv = x dx.

La opción 2 se utilizó en el ejemplo l. Las otras tres elecciones conducen a integrales que nosabemos cómo integrar. Por ejemplo, la opción 3 lleva a la integral

¡(x cos x - :l- sen x) dx.

El objetivo de la integración por partes es pasar de una integral J u du que no vemoscómo evaluar, a una integral J v du que sí podamos evaluar. Por lo general, primero se eligeque dv sea tanto del integrando, incluyendo a dx, como sea posible integrar fácilmente; u esla parte restante. Al determinar v a partir de du, cualquier antiderivada funcionará, pero porlo regular elegimos la más sencilla; no se necesitan constantes de integración en v, ya que secancelarían en el lado derecho de la ecuación (2).

EJEMPLO 2 Determine

J lnxdx.

Solución Como J In x dx puede escribirse como J ln x . 1 dx, uti !izamos la fórmulaJ u du = uv - J v du con

u = In x Se simplifica cuando se obtiene la diferencial dv = dx Fácil de integrar

1du = :xdx, v = x. La antiderivada más sencilla.


Fórmula de integración por partes

J u dv = uv - J v du (2)

Esta fórmula expresa una integral, J u dv, en términos de una segunda integral, J v du. Con una elección adecuada de u y v , la segunda integral puede ser más fácil de evaluar que la primera. Para utilizar la fórmula, hay varias opciones posibles para u y dv. Los siguientes ejemplos ilustran la técnica. Para evitar errores, siempre listamos nuestras elecciones para u y dv, luego añadimos a la lista los términos nuevos du y v ; por último, aplicamos la fórmula de la ecuación (2).

EJEMPLO 1

Solución

Luego,

Determine

J xcosxdx.

Utilizamos la fórmula J u dv = uv - J v du con

u = x,

du = dx,

dv = cosx dx,

v = senx. La antiderivada más sencilla de cos x.

J x cos x dx = x sen x - J sen x dx = x sen x + cos x + c.

Existen cuatro opciones di sponibles para u y dv en el ejemplo l.

1. Hacer u = 1 Y dv = x cos x dx. 3. Hacer u = x cos x y dv = dx.

2. Hacer u = x y dv = cos x dx. 4. Hacer u = cos x y dv = x dx.

•

La opción 2 se utilizó en el ejemplo l. Las otras tres elecciones conducen a integrales que no sabemos cómo integrar. Por ejemplo, la opción 3 lleva a la integral

¡ (x cosx - Y. sen x) dx .

El objetivo de la integración por partes es pasar de una integral J u dv que no vemos

cómo evaluar, a una integral J v du que sí podamos evaluar. Por lo general, primero se elige que dv sea tanto del integrando, incluyendo a dx, como sea posible integrar fáci lmente; u es la parte restante. Al determinar v a partir de dv, cualquier antiderivada funcionará, pero por lo regular elegimos la más sencilla; no se necesitan constantes de integración en v , ya que se cancelarían en el lado derecho de la ecuación (2).

EJEMPLO 2 Determine

J ln xdx.

Solución Como J In x dx puede escribirse como J In x . 1 dx, uti !izamos la fórmula

J u dv = uv - J v du con

u = In x Se simplifica cuando se obtiene la diferencial dv = dx Fácil de integrar

1 du = X-dx, v = x . La antiderivada más sencilla.



Así, a partir de la ecuación (2),

J Inxdx = xlnx - J x.:}dx = xlnx - J dx = xlnx - x + C. •

A veces tenemos que utilizar la integración por partes más de una vez.

EJEMPLO 3 Evalúe

Solución Con u = X2, dv = e? dx, du = 2x dx y v = eX, tenemos

La nueva integral es menos complicada que la original, ya que el exponente en x se redujoen uno. Para evaluar la integral de la derecha, nuevamente integramos por partes con u = x,dv = e" dx. Entonces, du = dx, v = e" y

En consecuencia, si utilizamos esta última evaluación, obtenemos

J ~ex dx = ~ex - 2J xex dx

= ~ex - 2xex + 2ex + C. •

¡!.'!I"

La técnica del ejemplo 3 funciona para cualquier integral f xnex dx en la que n es un en-tero positivo, ya que al derivar xn finalmente se llegará a cero, y la integración de eX es sencilla.

Integrales como la del siguiente ejemplo aparecen en ingeniería eléctrica. Su evaluaciónrequiere dos integraciones por partes, seguidas por un despeje de la integral desconocida .

EJEMPLO 4 Evalúe

J eX cosxdx.

Solución Sean u = eX y dv = cos x dx. Entonces du = eX dx, v = sen x y

J eXcos x dx = e' sen x - J eX sen x dx.

La segunda integral es como la primera, salvo que tiene sen x en vez de cos x. Para evaluarla,utilizamos integración por partes con

u = e", dv = senxdx, v = -cosx, du = eXdx.

Luego,

J eí coe x dx = eXsenx - (-excosx - J (-coSx)(eXdx»)

= e' sen x + e' cos x - J eX cos x dx.


Así, a partir de la ecuación (2),

J Inxdx = x ln x - J x .¿dx = xln x - J dx = x lnx - x + C. •

A veces tenemos que utilizar la integración por partes más de una vez.

EJEMPLO 3 Evalúe

Solución Con u = X 2, dv = eX dx, du = 2x dx y v = eX, tenemos

La nueva integral es menos complicada que la original, ya que el exponente en x se redujo en uno. Para evaluar la integral de la derecha, nuevamente integramos por partes con u = x, dv = eX dx. Entonces, du = dx, v = eX y

En consecuencia, si utilizamos esta última evaluación, obtenemos

J ~ex dx = ~ex - 2 J xex dx

= ~ex - 2xex + 2ex + C. • La técnica del ejemplo 3 funciona para cualquier integral f xnex dx en la que n es un en

tero positivo, ya que al derivar xn finalmente se llegará a cero, y la integración de eX es sencilla. Integrales como la del siguiente ejemplo aparecen en ingeniería eléctrica. Su evaluación

requiere dos integraciones por partes, seguidas por un despeje de la integral desconocida.

EJEMPLO 4 Evalúe

J eX cosxdx .

Solución Sean u = eX y dv = cos x dx. Entonces du = eX dx, v = sen x y

J eX cos x dx = eX sen x - J eX sen x dx.

La segunda integral es como la primera, salvo que tiene sen x en vez de cos x. Para evaluarla, utilizamos integración por partes con

Luego,

u = eX, dv = senxdx, v = - cos x, du = eXdx.

J eX cosxdx = eX sen x - (-ex cosx - J ( - coSx)(eXdx))

= eX sen x + eX cos x - J eX cos x dx.



Ahora la integral desconocida aparece en ambos lados de la ecuación. Sumando la integral aambos lados y agregando la constante de integración, se obtiene

2/ eX cos x dx = eX sen x + eX cos x + Cl.

Si se divide entre 2 y se renombra la constante de integración, se obtiene

/

x d _ eX sen x + eX cos x + Ce cosx x - 2 . •Obtenga una fórmula que exprese la integral

/ cosnxdx

en términos de una integral con una potencia menor de cos x.

EJEMPLO 5

Solución Podríamos considerar a cos" x como cosn-l X • cos x. Entonces hacemos

u = cosn-l X y dv = cosxdx,

por lo que

du = (n - 1) cosn-2 X (-senx dx) y v = senx.

Entonces, la integración por partes da

/ cos" x dx = cosn-l X senx + (n - O/ serr' x cos'"? X dx

= cosn-lxsenx + (n - O/ (1 - cos2x)cosn-2xdx

= cos"-lxsenx + (n - O/ cosn-2xdx - (n - O/ cosnxdx.

Si sumamos

a ambos lados de esta ecuación, obtenemos

n/ cosnxdx = cosn-lxsenx + (n - 1)/ cosn-2xdx.

Luego dividimos entre n; el resultado final es

/n dx - cosn-l X senx + ~/ n-2 dxcos x-n n cos x . •

La fórmula que se encontró en el ejemplo 5 se denomina fórmula de reducción, ya que rem-plaza una integral que contiene alguna potencia de una función con una integral de la mismaforma cuya potencia es reducida. Cuando n es un entero positivo, podríamos aplicar varias ve-ces la fórmula hasta que la integral que quede sea fácil de evaluar. Por ejemplo, el resultadoen el ejemplo 5 nos dice que

/ cos' X dx = cos2; sen x + ~/ cos x dx

1 2= "3 cos" x sen x + "3 sen x + C.


Ahora la integral desconocida aparece en ambos lados de la ecuación. Sumando la integral a ambos lados y agregando la constante de integración, se obtiene

2/ eX cosxdx = eXsen x + eXcos x + Cl.

Si se divide entre 2 y se renombra la constante de integración, se obtiene

EJEMPLO 5

/

x d _ eX sen x + eX cos x + C e cosx x - 2 .

Obtenga una fórmula que exprese la integral

/ cosn xdx

en términos de una integral con una potencia menor de cos x.

SoLución Podríamos considerar a cosn x como cosn- l X • cos x. Entonces hacemos

u = cosn- l X y dv = cosxdx,

por lo que

du = (n - 1) cosn- 2 X (- senx dx) y v = senx.

Entonces, la integración por partes da

/ cosnxdx = cosn-lxsenx + (n - 1)/ sen2 xcosn- 2 x dx

= cosn - l xsenx + (n - 1)/ (1 - cos2 x) cosn-2 xdx

= cos"- lxsenx + (n - 1)/ cosn- 2 xdx - (n - 1)/ cos"x dx.

Si. sumamos

a ambos lados de esta ecuación, obtenemos

n/ cosnxdx = cosn-l xsenx + (n - 1)/ cosn- 2x dx .

Luego dividimos entre n; el resultado final es

/ " dx - cos

n-

l xsen x + ~/ n- 2 dx cos x- n n cos x .

•

• La fórmula que se encontró en el ejemplo 5 se denomina fórmula de reducción, ya que remplaza una integral que contiene alguna potencia de una función con una integral de la misma forma cuya potencia es reducida. Cuando n es un entero positivo, podríamos aplicar varias veces la fórmula hasta que la integral que quede sea fácil de evaluar. Por ejemplo, el resultado en el ejemplo 5 nos dice que

/ cos3 X dx = cos2

; sen x + ~ / cos x dx

1 2 = 3 cos2 x sen x + 3 sen x + C.



EvaLuación de integraLes definidas mediante integración por partesLa fórmula de integración por partes en la ecuación (1) puede combinarse con la parte 2 delteorema fundamental para evaluar integrales definidas por partes. Si suponemos que f' y g'son continuas en el intervalo [a, b], la parte 2 del teorema fundamental da

Fórmula de integración por partes para integrales definidas

lbf(x)g'(x) dx = f(x)g(x) J: - lbj'(x)g(x) dx (3)

Al aplicar la ecuación (3), por lo regular utilizamos las notaciones u y v de la ecuación (2),ya que son más fáciles de recordar. He aquí un ejemplo.

EJEMPLO 6 Determine el área de la región acotada por la curva y = xe -r-x y el eje x desdex = Ohasta x = 4.

y

Solución La región aparece sombreada en la figura 8.1. Su área es0.5

-_~I--~~--~--~----~---7~X

Sea u = x, dv = e-x dx, v = = e? y du = dx. De esta forma,

FIGURA 8.1 La región del ejemplo 6.

•Integración tabuLarHemos visto que las integrales de la forma J f(x)g(x) dx, en las que f se deriva de forma re-petida hasta volverse cero y g se integra varias veces sin dificultad, son candidatas naturalespara integración por partes. Sin embargo, si se requieren muchas repeticiones, los cálculos pue-den volverse pesados, o tal vez usted elija sustituciones para una integración repetida por partesque termine por regresar a la integral original que se trata de encontrar. En situaciones comoésta, existe una manera de organizar los cálculos que evita estas fallas y hace el trabajo muchomás sencillo. Se denomina integración tabular y se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 7 Evalúe

Solución

J J!-e' dx.

Conf(x) = x2 y g(x) = eX, listamos:

f(x) y sus derivadas g(x) y sus integrales

x2------- ( +)--------2x (-) .•. ¿

----~(~)----------~...~2 + e

O --------------~~ ¿

e'


y

0.5

-_LI--~r---~---7----~--~~X

FIGURA 8.1 La región del ejemplo 6.

EvaLuación de integraLes definidas mediante integración por partes La fórmula de integración por partes en la ecuación (1) puede combinarse con la parte 2 del teorema fundamental para evaluar integrales definidas por partes. Si suponemos que f' y g ' son continuas en el intervalo [a, b l, la parte 2 del teorema fundamental da

Fórmula de integración por partes para integrales definidas

l bj(x)gl(x) dx = j(x)g(x) l: - l b

j'(X)g(x) dx (3)

Al aplicar la ecuación (3), por lo regular utilizamos las notaciones u y v de la ecuación (2), ya que son más fáciles de recordar. He aquí un ejemplo.

EJEMPLO 6 Determine el área de la región acotada por la curva y = xe -x y el eje x desde x = O hasta x = 4.

Soludón La región aparece sombreada en la figura 8.1 . Su área es

Sea u = x, dv = e - X dx, v = - e- X y du = dx. De esta forma,

• Integración tabuLar

Hemos visto que las integrales de la forma J f(x)g(x) dx, en las que f se deriva de forma repetida hasta volverse cero y g se integra varias veces sin dificultad, son candidatas naturales para integración por partes. Sin embargo, si se requieren muchas repeticiones, los cálculos pueden volverse pesados, o tal vez usted elija sustituciones para una integración repetida por partes que termine por regresar a la integral original que se trata de encontrar. En situaciones como ésta, existe una manera de organizar los cálculos que evita estas fallas y hace el trabajo mucho más sencillo. Se denomina integración tabular y se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 7 Evalúe

¡re' dx.

Soludón Conf(x) = x2 y g(x ) = eX, listamos:


X2 ______ ( + ) --------2x ______ ( - ) ... ¿

-------~ 2 _____ (+ ) ... ¿

--------~ O • ¿

e'



Combinamos los productos de las funciones conectadas por las flechas de acuerdo con el signode la operación que está encima de las flechas, para obtener

J X2e' dx = X2e' - 2xe' + 2e' + C.

Compare esto con el resultado del ejemplo 3. •EJEMPLO 8 Evalúe

J x3 senxdx.

Solución Conf(x) = x3 y g(x) = sen x, listamos


x3 (+ ) senx

3~ (- ) -cosx

6x (+ ) -senx

6 (-) cosx

O sen x

Nuevamente combinamos los productos de las funciones conectadas por las flechas de acuerdocon los signos de operación que están encima de las flechas, para obtener

J x3 sen x dx = - x3 cos X + 3x2 sen x + 6x cos x - 6 sen x + C. •Los ejercicios adicionales, al final de este capítulo, muestran cómo la integración tabular

puede utilizarse cuando ninguna de las dos funciones, f y g, puede derivarse de manera re-petida para convertirse en cero.

Ejerddos 8.1

Integración por partesMediante integración por partes, evalúe las integrales de los ejercicios Ia 24.

1. j xsen~dx 2. j 6 cos 71"6 d6

3. j r cos tdt 4. j x? senxdx

5. ¡2xlnxdx 6. ¡ex3lnxdx

7. jX¿dX 8. j xe3xdx

9. jX2e-xdx 10. j (x? - 2x + 1) e2x dx

11. j tan-1 ydy 12. j sen" y dy

13. J xsec2xdx 14. j 4x sec/ 2xdx

15. j x3¿dx 16. j p4e-p dp

17. j (x? - 5x)¿ dx 18. j (,1 + r + l)é dr

19. j x5¿dx 20. j re4/dt

21. j eOsen 6d6 22. j e-Ycosy dy

23. j e2x cos 3xdx 24. j e-2x sen 2xdx

Uso de la sustituciónEvalúe las integrales en los ejercicios 25 a 30; para ello, use una sustitu-ción antes de la integración por partes.

25. J e V3s+9 ds



{"'/327. lo x tan2 x dx

29. j sen (Inx) dx

28. j In (x + x2) dx

30. j z(Inz? dz

Evaluación de integralesEvalúe las integrales en los ejercicios 31 a 50. Algunas integrales no re-quieren de integración por partes.

31. l=:> 32. 3jcosYxdxYx

33. j x (lnx)2 dx 34. j_l_dxx (In X)2

j' Inx dx 36.j (ln x):'

35.x2 3 -x-dx

37. j x3erAdx 38. jx5¿3dx

39. jX3v7+\ dx 40. j x2 sen x' dx

41. j sen 3x cos 2x dx 42. j sen 2x cos 4x dx

j e' sen e' dx JeVX

43. 44. -dxYx

45. j cos Vxdx 46. J VxeVXdx

ln/2 ln

/2

47. o 82 sen 28 d8 48. o x3cos 2x dx

12t sec" t dt 11

/V2

49. 50. o 2x sen"! (x2)dx2/Vi

"

Teoña y ejemplos51. Cálculo de áreas Determine el área de la región encerrada por la

curva y = x sen x y el eje x (véase la figura) para

a. O :5 x :5 -tr .

b. -tt :5 x :5 27r.

C. 27r :5 x :5 37r.

d. ¿Observa algún patrón? ¿Cuál es el área entre la curva y el eje xpara ntt :5 x:5 (n + 1)7r,donde n es un entero no negativoarbitrario? Justifique su respuesta.

y

10 y=xsenx

52. Cálculo de áreas Determine el área de la región encerrada por lacurva y = x cos x y el eje x (véase la figura) para

a. 7r/2 :5 x :5 37r/2.

b. 37r/2 :5 x :5 57r/2.

c. 57r/2 :5 x :5 77r/2.

d. ¿Observa algún patrón? ¿Cuál es el área entre la curva y el eje xpara

(2n - 1) (2n + 1)--2- tt :5 x:5 ·-2- 7r,

donde n es un entero positivo arbitrario? Justifique su respuesta.

y

10

-10

O '!!2

53. Cálculo del volumen Determine el volumen del sólido generado alhacer girar, alrededor de la recta x = In 2, la región en el primer cua-drante acotada por los ejes coordenados, la curva y = ex y la rectax = In 2.

54. Cálculo del volumen Determine el volumen del sólido generado alhacer girar la región en el primer cuadrante acotada por los ejescoordenados, la curva y = e-X y la recta x = l.

a. alrededor del eje y.

b. alrededor de la recta x = l.

55. Cálculo del volumen Determine el volumen del sólido generado alhacer girar la región en el primer cuadrante acotada por los ejes coor-denados, la curva y = cos x, O :5 X :5 -tt /2, alrededor

a. del ejey.

b. de la recta x = 7r/2.

56. Cálculo del volumen Determine el volumen del sólido generadoal hacer girar la región acotada por el eje x y la curva y = x sen x,O :5 X :5 tr, alrededor

a. del eje y

b. de la recta x = -tt.

(Véase la gráfica en el ejercicio 51)

Considere la región acotada por las gráficas de y In x, y Oyx = e.

a. Determine el área de la región.b. Determine el volumen del sólido que se forma al hacer girar esta

región alrededor del eje x.c. Determine el volumen del sólido formado al hacer girar esta

región alrededor de la recta x = - 2.

d. Determine el centroide de la región.

Considere la región acotada por las gráficas de y = tan-1 x, y = OY x = 1.

57.

58.

59.

a. Determine el área de la región.

b. Determine el volumen del sólido formado al hacer girar estaregión alrededor del eje y.

Valor promedio Una fuerza de retardo, simbolizada en la figurapor el amortiguador, reduce el movimiento del resorte con un pesode manera que la posición de la masa en el instante t es

y = 2e-t cos t, t 20 O.


Determine el valor promedio de y en el intervalo O ~ t ~ 27T.

y

Masa


La idea es tomar la parte más complicada de la integral, en este caso¡-I(x), y simplificarla en primer lugar. Para la integral de In x, obtenemos

I Inxdx = I yer dy

= yeY - eY + e= xlnx - x + C.

y = Inx, x = eX

dx = eY (~V

O

Y

Para la integral de cos :' x, tenemos

I cos-I x dx = x cos"! x - I cosydy

= x cos" x - seny + e

y=cos1x

Amortiguador

= X cos" X - sen (cos" x) + C.

Utilice la fórmula

I rl(x) dx = xrl(x) - I I(y) dy (4)60. Valor promedio En un sistema masa-resorte-amortiguador como el

del ejercicio 59, la posición de la masa en el instante t es

y = 4e-t (sen t - cos t), t 2: O.

para evaluar las integrales en los ejercicios 67 a 70. Exprese su respuestaen términos de x.

67. I sen-I x dx

69. I sec" xdx

68. I tan-I x dx

70. I log, X dx

Determine el valor promedio de y en el intervalo O ~ t ~ 27T.

Fórmulas de reducciónEn los ejercicios 61 a 64, utilice integración por partes para establecerla fórmula de reducción.

61. I X!' cosx dx = x"senx - nI x"-I senx dx

62. I x'senxdx = -x"cosx + nI x,,-Icosxdx

63.

Otra forma de integrar ¡-l(X) (por supuesto, cuando ¡-I(X) es inte-grable) es utilizar integración por partes con u = ¡-l(X) y dv = dx pararescribir la integral de r' como

(5)

64. I (ln x)" dx = x(Inx)n - nI (lnx)n-l dx

65. Demuestre que

66. Utilice integración por partes para obtener la fórmula

I v"'l=7 dx = .1x v"'l=7 + .1I I dx.2 2 v"'l=7

Integración de funciones inversasLa integración por partes conduce a una regla para la integración de inver-sas, que por lo regular da buenos resultados:

I r1(x) dx = I y/,(y) dy

= yl(y) - I I(y) dy

= xrl(x) - I I(y) dy

y = ¡I(X), X = j(y)dx = f'(y)dy

Integración por partes conu = y,dv = f'(y)dy

Los ejercicios 71 y 72 comparan los resultados de utilizar las ecuaciones(4) y (5).

71. Las ecuaciones (4) y (5) dan fórmulas diferentes para la integral decos-I x:

a. I cos " x dx = X cos " X - sen (cos " x) + e Ec. (4)

72.

b. I cos-I x dx = X cos"' X - v"'l=7 + e Ec. (5)

¿Pueden ser correctas ambas integraciones? Explique.

Las ecuaciones (4) y (5) dan fórmulas diferentes para la integral detan-I x:

a. I tan-I x dx = x tan"! x - In sec (tan"! x) + e

b. I tan" x dx = x tan"! x - In ~ + e


Ec. (4)

Ec. (5)

Evalúe las integrales en los ejercicios 73 y 74 (a) con la ecuación (4) y(b) con la ecuación (5). En cada caso, verifique su respuesta derivándolacon respecto a x.

73. I senh " x dx 74. I tanh " x dx

Determine el valor promedio de yen el intervalo O ~ [ ~ 27T.

y

O

Y Masa

Amortiguador

60. Valor promedio En un sistema masa-resorte-amortiguador como el del ejercicio 59, la posición de la masa en el instante [es

y = 4e-t (sen [ - cos [) , t 2: O.

Determine el valor promedio de y en el intervalo O ~ [ ~ 27T.

Fórmulas de reducción En los ejercicios 61 a 64, utilice integración por partes para establecer la fórmula de reducción.

61. J X!' cosx dx = x!' senx - nJ x" - I senx dx

62. J x' senxdx = -xl/ cosx + n J xl/ - I cosxdx

63. xl/eaxdx= --- - xl/-1ea.T dx a#O J xl/ea.T nJ

a a '

64. J (lnx)1/ dx = x(lnx)n - nJ (lnx)n-I dx

65. Demuestre que

lb (lb f(t) dt) cIx = lb (x - a)f(x) dx.

66. Utilice integración por partes para obtener la fórmula

J ~ dx = .1 x ~ + .1 J 1 cIx. 2 2 ~

Integración de funciones inversas La integración por partes conduce a una regla para la integración de inversas, que por lo regular da buenos resultados:

J rl(x) dx = J y/'(y) dy

= yf(y) - J f(y) dy

= xrl(x) - J f(y) dy

y = jl(X), X = f(y) dx = j'(y) dy

Integración por partes con u = y, dv = j'(y)dy


La idea es tomar la parte más complicada de la integral, en este caso ¡-I(x), y simplif icarla en primer lugar. Para la integral de In x, obtenemos

J Inxdx = J yeYdy

= yeY - eY + e = x ln x - x + C.

Para la integral de cos- I x , tenemos

J cos- I xcix = xcos- I X - J cosydy

= x cos- I X - seny + e

y = lnx. x=e)' dx = e)'dy

= xcos- I X - sen (cos- I x) + C.

Utilice la fórmula

J rl(x) dx = xrl(x) - J f(y) dy y = f I(x) (4)

para evaluar las integrales en los ejercicios 67 a 70. Exprese su respuesta en términos de x.

67. J sen- I xcix

69. J sec- I xdx

68. J tan- I x dx

70. J log2 X dx

Otra forma de integrar ¡ - I(X) (por supuesto, cuando ¡ - I(X) es integrable) es utilizar integración por partes con u = ¡ - I(X) y dv = cIx para rescribir la integral de ¡ - I como

(5)

Los ejercicios 71 y 72 comparan los resultados de utilizar las ecuaciones (4) y (5).

71. Las ecuaciones (4) y (5) dan fórmulas diferentes para la integral de cos- I x:

a. J cos- I x dx = X cos- I X - sen (cos- I x) + e Ec. (4)

b. J cos- I xdx = xcos- I x -~ + e Ec. (5)


n. Las ecuaciones (4) y (5) dan fórmulas diferentes para la integral de tan- I x:

a. J tan- I xcix = x tan- I x - In sec (tan- I x ) + e

b. J tan- I xcix = xtan- I x - In ~ + e


Ec. (4)

Ec. (5)

Evalúe las integrales en los ejercicios 73 y 74 (a) con la ecuación (4) y (b) con la ecuación (5). En cada caso, verifique su respuesta derivándola con respecto a x.

73. J senh- I xcix 74. J tanh- I x dx



8.2 IntegraLes trigonométricas

,••11""

;

1IH"

Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones trigo-nométricas básicas. En principio, siempre es posible expresar tales integrales en términos desenos y cosenos, pero con frecuencia es más sencillo con otras funciones, como en la integral

J sec'' xdx = tanx + C.

La idea general es utilizar identidades para transformar las integrales en otras que sean mássencillas de trabajar.

Productos de potencias de senos y cosenos

Iniciamos con integrales de la forma:

J sen" x cos" x dx,

donde m y n son enteros no negativos (positivo o cero). Podemos separar el trabajo en tres ca-sos, ya sea que m y n sean pares o impares.

Caso 1 Si m es impar, escribimos m como 2k + 1 Yutilizamos la identidadsen? x = 1 - cos? x para obtener

Después combinamos en la integral el sen x, que está solo, con dx y hacemos sen x dxigual a -de cos x).

Caso 2 Si 11I es par y n es impar en J sen" x cos" x dx, escribimos n como 2k + 1

y utilizamos la identidad cos- x = 1 - sen- x para obtener

cos" x = cos2k+1 X = (cos'' xl cos x = (1 - serr' x)k cos X .

Luego, combinamos el cos x, que está solo, con dx y hacemos cos x dx igual ad(senx).

Caso 3 Si 11I Yn son pares en J sen" x cos" x dx, sustituimos

2 _ 1 - cos 2xsenx- 2 '

2 1 + cos 2xcos x = 2 (2)

para reducir el integrando a uno en potencias menores de cos 2x.

A continuación presentamos algunos ejemplos que ilustran cada caso.

EJEMPLO 1 Evalúe

J serr' x cos2 x dx .


8.2 IntegraLes trigonométricas

Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones trigonométricas básicas. En principio, siempre es posible expresar tales integrales en términos de senos y cosenos, pero con frecuencia es más sencillo con otras funciones, como en la integral

J sec2 x dx = tan x + c.

La idea general es utilizar identidades para transformar las integrales en otras que sean más sencillas de trabajar.

Productos de potencias de senos y cosenos

Iniciamos con integrales de la forma:

J senm x cos" x dx,

donde m y n son enteros no negativos (positivo acero). Podemos separar el trabajo en tres casos, ya sea que m y n sean pares o impares.

Caso 1 Si m es impar, escribimos m como 2k + 1 y utilizamos la identidad sen2 x = 1 - cos2 x para obtener

Después combinarnos en la integral el sen x, que está solo, con dx y hacernos sen x dx igual a -d(cosx).

Caso 2 Si t1l es par y n es impar en J senm x cosn x dx , escribirnos n corno 2k + 1

y utilizamos la identidad cos2 x = 1 - sen2 x para obtener

cos" x = cos2k+ 1 X = (cos2 xl cos x = (I - sen2 x)k cos X .

Luego, combinamos el cos x, que está solo, con dx y hacemos cos x dx igual a d(senx) .

Caso 3 Si t1l Y n son pares en J senm x cosn x dx , sustituimos

2 _ 1 - cos 2x sen x - 2 '

2 1 + cos 2x cos x = 2 (2)

para reducir el integrando a uno en potencias menores de cos 2x.

A continuación presentamos algunos ejemplos que ilustran cada caso.

EJEMPLO 1 Evalúe

J sen3 x cos2 x dx .


8.2 Integrales trigonométricas 445

Solución Éste es un ejemplo del caso 1

1 serr' x cos'' x dx = 1 sen2 x cos2 x sen x dx ni es impar.

= 1(1 - cos2x)cos2x(-d(cosx))

= 1(1 - u2)(u2)( -du)

senxc/x = -c/(cosx)

u = cosx

= 1(u4 - u2) du Multiplicar términos.

EJEMPLO 2 Evalúe

1cos' xdx.

SoLución Éste es un ejemplo del caso 2, donde m = O es par y n = 5 es impar.

1cos5xdx = 1cos4xcosxdx = 1(1 - sen2x)2d(senx) cos x dx = e/(sen x)

= 1(1 - u2fdu

=1(1 - 2u2 + u4) du

= u - ~ u3 + 1u5 + e = sen x - ~ serr' x + 1serr' x + e3 5 3 5 .

!I = senx

Cuadrado de l - u2

•EJEMPLO 3 Evalúe

1serr' x cos" x dx.

Solución Éste es un ejemplo del caso 3.

1 serr' x cos" x dx = 1 e - ~os 2X) e + ~os 2xy dx

= t1 (1 - cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx

m y n son pares

= t1 (1 + cos 2x - cos22x - cos' 2x) dx

= t [x + isen2x - 1 (cos/ Zx + cos'' 2x) dX].

Para el término que incluye a cos? 2x utilizamos

1 cos2 2x dx = i1 (1 + cos 4x) dx

= i (x + ± sen 4x ) .Se omite la constante de integraciónhasta el resultado final.


Solución Éste es un ejemplo del caso 1

J sen3 x cos2 x dx = J sen2 x cos2 x sen x dx m es impar.

= J (1 - cos2 x )cos2 x (-d(cosx))

= J (1 - u2 )(u2)( - du)

scnxdx = - d(cosx)

u = cosx

= J (u4 - u2

) du Multiplicar términos.

EJEMPLO 2 Evalúe

J cos5 xdx.

SoLución Éste es un ejemplo del caso 2, donde m = O es par y n = 5 es impar.

J cos5 xdx = J cos4 xcosxdx = J (1 - sen2 x?d(senx) cos x dx = d(sen x )

= J (1 - u2? du 11 = sen x

= J (1 - 2u2 + u4) du Cuadrado de l - u2

= u - ~ u3 + 1 u5 + e = sen x - ~ sen3 x + 1 senS x + e 3 5 3 5 . •

EJEMPLO 3 Evalúe

J sen2 x cos4 x dx .

Solución Éste es un ejemplo del caso 3.

J sen2 x cos4 x dx = J e -~os 2X) e + ~os 2x y dx /JI Y n son pares

= t,J (1 - cos 2x)(l + 2 cos 2x + cos2 2x) dx

= t, J (1 + cos 2x - cos2 2x - cos3 2x ) dx

= t, [x + ±sen2x - J (cos2 2x + cos3 2x) dx 1 Para el término que incluye a cos2 2x utilizamos

J cos2 2x dx = ± J (1 + cos 4x ) dx

= ± G + * sen 4x ) . Se omite la constante de integración hasta el resultado fina l.



Para el término cos! 2x, tenemos

J cos'' 2x dx = J (1 - sen2 2x) cos 2x dx

= ~J(1 - u2)du = ~ (sen2x - tsen32x).

Combinando todo y simplificando, obtenemos

J sen2xcos4xdx = 116 (x - ±sen4x + tsen32x) + C.

11 = sen 2r,du = 2 cos 2r dx

Nuevamentese omite C.

•Eliminación de raíces cuadradasEn el siguiente ejemplo, utilizamos la identidad cos- (J = (1 + cos 2(J)/2 para eliminar una raízcuadrada.

EJEMPLO 4 Evalúe

17T

/4v' 1 + cos 4x dx.

Solución Para eliminar la raíz cuadrada, utilizamos la identidad

lI't

2 (J 1 + cos 2ecos = 2

Con e = 2x, esto se transforma en

o 1 + cos 2e = 2 cos2 e .

"•••• 1

"111••

+ cos 4x = 2 cos2 2x.

Por lo tanto,

17T

/4 v' 1 + cos 4x dx = 1

7T/4 v' 2 cos2 2x dx = 1

7T/4 Vzv' cos2 2x dx

Vz17T/4Icos2X, d.x = Vz17T

/4

cos2xd.x

Vz [se~2x ]:/4 = v:- [1 - O] = v:-.cos 2r 2: Oen [O, 7T/4]

•IntegraLes de potencias de tan x y sec xSabemos cómo integrar la tangente y la secante y sus cuadrados. Para integrar potencias ma-yores, utilizamos las identidades tan? x = sec- - 1 Ysec? x = tan? x + 1, luego integramos porpartes, cuando sea necesario, para reducir las potencias más altas en potencias más bajas.

EJEMPLO 5 Evalúe

Solución

J tan4xdx = J tan2x·tan2xdx = J tan2x·(sec2x - l)dx

= J tarr' x sec/ x d.x - J tan2 x dx

= J tan2xsec2xdx - J (sec/.» - l)dx

= J tan2 x sec2 x dx - J sec/ x dx + J dx.


Para el término cos3 2x, tenemos

J cos3 2x dx = J ( 1 - sen2 2x) cos 2x dx

= ~J (1 - u2 )du = ~ (sen2x - tsen32x) .

Combinando todo y simplificando, obtenemos

u = sen 2r, du = 2 cos 2x dx

Nuevamente se omite C.

J sen2 xcos4 xdx = 116 (x - ± sen 4x + tsen32x) + C. • Eliminación de raíces cuadradas

En el siguiente ejemplo, utilizamos la identidad cos2 (J = (1 + cos 2(J)/2 para eliminar una raíz cuadrada.

EJEMPLO 4 Evalúe

17T/4

VI + cos4xdx.

Solución Para eliminar la raíz cuadrada, utilizamos la identidad

2 (J 1 + cos 2(J cos = 2 o 1 + cos 2(J = 2 cos2 8 .

Con (J = 2x, esto se transforma en

+ cos 4x = 2 cos2 2x.

Por lo tanto,

f 7T/4 r/4 V2 Jo leos 2xl dx = V2 Jo cos 2xdx

V2 [sen2x]7T/4 = V2 [1 - O] 2 O 2

V2 2 .

IntegraLes de potencias de tan x y sec x

cos 2x 2: O en [O, 7T/ 4]

•

Sabemos cómo integrar la tangente y la secante y sus cuadrados. Para integrar potencias mayores, utilizamos las identidades tan2 x = sec2 - 1 Y sec2 x = tan2 x + 1, luego integramos por partes, cuando sea necesario, para reducir las potencias más altas en potencias más bajas.

EJEMPLO 5 Evalúe

Solución

J tan4 xdx = J tan2x·tan2 xdx = J tan2x · (sec2 x - l)dx

= J tan2 x sec2 x d.x - J tan2 x d.x

= J tan2 xsec2xdx - J (sec2 x - l)dx

= J tan2 x sec2 x dx - J sec2 x dx + J dx.


8.2 Integrales trigo no métricas 447

En la primera integral, hacemos

u = tanx, du = sec ' xdx

y tenemos

Las otras integrales son formas estándar, por lo que

J tan" xdx = ttan3 x - tanx + x + C. •EJEMPLO 6 Evalúe J sec' xdx.

Solución Integramos por partes, usando

u = secx, du = sec2 x dx, v = tanx, du = sec x tan x dx .

Luego,

J sec' x dx = sec x tan x - J C tan x) C sec x tan x dx)

= secxtanx - J (sec/ x - 1) secxdx

= secx tan x + J secx dx - J sec" x dx.

tan2 x = sec? x - 1

Combinando las dos integrales de secante cúbica, se obtiene

2J sec" x dx = secx tan x + J secx dx

y

J 1 1sec' x dx = "2 sec x tan x + "2 In Isec x + tan x I + C. •

Productos de senos y cosenosLas integrales

J sen mx sen nx dx, J sen mx cos nx dx y J cos mx cos nx dx

surgen en muchos lugares donde se incluyen funciones periódicas. Es posible evaluar tales in-tegrales a través de integración por partes, pero en cada caso se requieren dos de ellas. Es mássencillo utilizar las identidades

1sen mx sen nx = "2 [cos Cm - n)x - cos Cm + n)x], (3)

1sen mx cos nx = "2 [sen Cm - n)x + sen Cm + n)x], (4)

1cos mx cos nx = "2 [cos Cm - n)x + cos Cm + n)x]. (5)

Estas identidades provienen de las fórmulas de la suma de ángulos para las funciones seno ycoseno (sección 1.3). Proporcionan funciones cuyas antiderivadas son fáciles de encontrar.


En la primera integral, hacemos

u = tanx, du = sec2 xdx

y tenemos

Las otras integrales son formas estándar, por lo que

J tan4 xdx = ttan3 x - tanx + x + c. • EJEMPLO 6 Evalúe

J sec3 xdx.

Solución Integramos por partes, usando

u = sec x, dv = sec2 x dx, v = tanx, du = sec x tan x dx .

Luego,

J sec3 x dx = sec x tan x - J C tan x) C sec x tan x dx)

= secxtanx - J Csec2 x - 1) sec x dx tan2 x = sec2 x - 1

= secx tan x + J secx dx - J sec3 x dx.

Combinando las dos integrales de secante cúbica, se obtiene

2 J sec3 x dx = sec x tan x + J sec x dx

y

J I 1 sec3 x dx = "2 sec x tan x + "2 In I sec x + tan x I + C.

Productos de senos y cosenos

Las integrales

¡sen mx sen nx dx, ¡sen mx cos nx dx y J cos mx cos nx dx

•

surgen en muchos lugares donde se incluyen funciones periódicas. Es posible evaluar tales integrales a través de integración por partes, pero en cada caso se requieren dos de ellas. Es más sencillo utilizar las identidades

1 sen mx sen nx = "2 [cos Cm - n)x - cos Cm + n)x], (3)

1 sen mx cos nx = "2 [sen Cm - n)x + sen Cm + n)x], (4)

1 cos mx cos nx = "2 [cos Cm - n)x + cos Cm + n)x ]. (5)

Estas identidades provienen de las fórmulas de la suma de ángulos para las funciones seno y coseno (sección 1.3). Proporcionan funciones cuyas antiderivadas son fáciles de encontrar.



EJEMPLO 7 Evalúe

J sen 3x cos 5x dx.

Solución De la ecuación (4) con m = 3 Yn = 5, obtenemos

J sen 3x cos 5x dx = ~J[sen (-2x) + sen 8x] dx

= ~J(sen 8x - sen 2x) dx

= _ cos 8x + cos 2x + e16 4 . •

Ejerddos 8.2

, , Potencias de senos y cosenos ¡~/2 serr' x 1~/6Evalúe las integrales de los ejercicios l a 22. 27. dx 28. o VI + senxdx~/3VI - cosx

" 1. J cos2xdx 2. 1~ 3 sen ~ dx(sugerenCia: Multiplicar por 1 - senx )¡j',j, 1 - sen x

" 3. J cos' x sen x dx 4. J sen" 2x cos 2x dx 1~cos" X d ¡3~/429. 30. . VI - sen2xdx

3J serr' xdx J cos' 4x dx5~/6 VI _ senx x ~/2

5. 6. 1~/2 32. 1: (1 - cos2t)3/2 dtJ serr' xdx 1~ serr' ~ dx

31. o OVl- cos 20 dO7. 8.

i

t j' cos ' xdx1~/6 Potencias de tangentes y secantesIJ:

!I 9. 10. o 3 cos" 3x dx Evalúe las integrales de los ejercicios 33 aSO ...11. J serr' x cos ' x dx 12. J cos'' 2x serr' 2x dx 33. J sec2x tan x dx 34. J sec x tarr' x dx

J cos2xdx1~/2 J sec' x tan x dx J sec ' x tarr' x dx13. 14. o serr' x dx 35. 36.

1~/2 J 7 cos" tdt J sec2x tarr' x dx J sec" x tarr' x dx15. o sen" y dy 16. 37. 38.

17. 1~ 8sen4xdx 18. J 8 cos" 27TX dx 39. 10 2 sec' xdx 40. J e' sec ' i' dx-~/319. j' 16 serr' x cos" x dx 20. 1~ 8 sen" y cos" y dy J sec" OdO J 3 sec43xdx41. 42.

J 8 cos' 20 sen 20 dO1~/221. 22. o serr' 20 cos ' 20 dO ¡~/2 J sec'' x dx43. ese" OdO 44.

~/4

Integrales con raíces cuadradas J 4 tarr' xdx1~/4

Evalúe las integrales de los ejercicios 23 a 32. 45. 46. 6 tan" x dx-~/412~)1 - 2cOSX dx 1~ VI J tan" xdx J cot62xdx23. 24. - cos 2xdx 48.47.

1~VI - serr' tdt 1~ VI ¡~/3 J 8 cot" tdt25. 26. - cos2OdO 49. cor' x dx 50.~/6


8.3 Sustituciones trigonométricas 449

Productos de senos y cosenosEvalúe las integrales de los ejercicios 51 a 56. J tarr' x

65. csc x dx 66. J cotx dxcos? x

51. J sen 3x cos 2x dx 52. J sen 2x cos 3x dx

1:sen 3x sen 3x dx1~/2

53. 54. o senx cosx dx

J cos 3x cos 4x dx 17r

/

255. 56. cos x cos 7x dx

-~/2

67. J x sen2 x dx 68. J x cos'' X dx

ApLicaciones

69. Longitud de arco Determine la longitud de la curva

Los ejercicios 57 a 62 requieren del uso de varias identidades trigonomé-tricas antes de que se evalúen las integrales.

y = In (sec x), 0:5 X :5 7T/4.

57. J serr' ()cos 3()d()

59. J cos! () sen 2() d()

61. J sen ()cos ()cos 3() d()

58. J cos2 2() sen () ae

60. J serr' ()cos 2() d()

62. J sen () sen 2() sen 3() d()

70. Centro de gravedad Determine el centro de gravedad de la regiónacotada por el eje x, la curva y = sec x y las rectas x = -7T/4 Yx=7T/4.

71. Volumen Determine el volumen generado al hacer girar un arco dela curva y = sen x alrededor del eje x.

72. Área Determine el área entre el eje x y la curva y =

VI + cos 4x, O :5 X :5 7T.

73. Centroide Determine el centroide de la región acotada por las grá-ficas de y = x + cos x y y = Opara O :5 X :5 27T.

74. Volumen Determine el volumen del sólido que se forma al hacergirar, alrededor del eje x, la región acotada por las gráficas dey = sen x + sec x, y = O,x = OYx = 7T/3.

Integraciones diversasUtilice cualquier método para evaluar las integrales de los ejercicios63 a 68.

63. J sec3

x dxtan x

64. J sen3

x dxcos" X

Sustituciones trigonométricas8.3Las sustituciones trigonométricas aparecen cuando remplazamos la variable de integraciónpor una función trigonométrica. Las sustituciones más comunes son x = a tan 8, x = asen 8y x = a sec 8. Tales sustituciones son eficaces al transformar integrales que incluyenVa2 + x2, ~ Y ~ en integrales que es posible evaluar de manera directa,ya que hacen referencia a los triángulos rectángulos de la figura 8.2.Con x = a tan 8,

Conx = asen 8

:LJa

2

+Xl

~ ~'~x x Vx"-a"

e e e

ax=asece

V Xl - a2 = altan el

ax=atane

Va2 + Xl = alsec elx=asene

Va2 - Xl = alcos elFIGURA 8.2 Triángulos de referencia para las tres sustituciones básicas queidentifican los lados etiquetados con x y a para cada sustitución.


450 CapítuLo 8: Técnicas de integración

e7T

"2

e

e

-------------~l--~O~l~--------~~

FIGURA 8.3 Arco tangente, arco senoy arco secante de x] a, graficados comofunciones de x] a.

Con x = a sec e,

Queremos que cualquier sustitución que utilicemos en una integración sea reversible,para que sea posible restituirla a su variable original. Por ejemplo, si x = a tan e, deseamoshacer e = tan-1(x/a) después de realizar la integración. Si x = a sen e, deseamos hacere = sen-l(x/ a) cuando hayamos terminado la integración, y de manera similar para x = a sec e.

Como sabemos, por la sección 7.6, las funciones en estas sustituciones sólo tienen in-versa para

x = zztan é requiere e = tan-1(~) con _7!.. < e < 7!..

2 2'

requiere e = sen-1(~)

7T" 7T"X = a sen é con -- < e <-2 - - 2'

e = sec " (~){:~.<~si ~ ~ 1,

x = a sec ñ requiere con-<es,7T" si ~< -l.2 a-

Para simplificar los cálculos con la sustitución x = a sec e, restringiremos su uso a inte-grales en las que x/ a ~ 1. Esto colocará a e en [O, 7T"/2) Y hará tan e ~ O. Después tendremosVx2 - a2 = Va2 tan2 e = Ia tan el = a tan e, sin valores absolutos, con tal que a > O.

Procedimiento para una sustitución trigonométrica1. Escriba la sustitución para x, calcule la diferencial dx y especifique los valores

seleccionados de e para la sustitución.2. Sustituya la expresión trigonométrica y la diferencial calculada en el integrando,

luego simplifique de manera algebraica los resultados.3. Integre la integral trigonométrica; para la reversibilidad, tenga en cuenta las res-

tricciones en el ángulo e.4. Elabore un dibujo del triángulo de referencia adecuado para revertir la sustitu-

ción en el resultado de la integración y convertirlo en términos de la variable ori-ginal x.

EJEMPLO 1 Evalúe

J dxV4+7.

Solución Hacemos

x = 2 tan e, dx = 2 sec'' e de, _7!.. < e < 7!..2 2'


8.3 Sustituciones trigo no métricas 451

;r]'2

FIGURA 8.4 Triángulo de referencia parax = 2 tan f} (ejemplo 1):

Luego,

xtan f} = "2

J dx J 2 sec2 e de J sec2 e de~ = V4sec2e = [sec é]

= J secede

= In I sec e + tan e I + e

=lnl~ +~I- c

Vsec2 f} = [sec f}1

7T 7Tsec e > o para -"2 < e < "2

y De la figura 8.4

\I4-i=7sec é = 2 . Observe cómo expresamos in [sec e + tan e I en términos de x. Dibujamos un triángulo de re-

ferencia para la sustitución original x = 2 tan e (figura 8.4) y con base en el triángulo ob-tenemos las razones. _

EJEMPLO 2 Evalúe

Solución Hacemos

x = 3 sen e, dx = 3 cos e de, - 7T < e < 7T2 29 - x2 = 9 - 9 serr' e = 9(1 - serr' e) ;= 9 cos2 e.

Luego,

J ~ dx = J 9 sen2 e . 3 cos e de~ 13cosel

= 9J sen2ede 7T 7Tcas e > o para - 2" < e < 2"

xsen é = "3

= 9J 1 - ~os 2e de

= ~ (e - se~ 2e) + e

9= 2(e - sen é cos e) + e

= 2. (sen-l~ -~. ~) + e233 3

= 2. sen" ~ - ~. ¡;:----;;9 - ~ + e2 3 2v~ - ~ .

sen 2f} = 2 sen e cas e

FIGURA 8.5 Triángulo de referencia para

x = 3 sen f} (ejemplo 2):

y

~cos f = 3 . Figura 8.5

-EJEMPLO 3 Evalúe

2X>- S'

Solución Primero rescribimos el radical como

;;;j. 2


x = 2 tan {} (ejemplo 1):

y

x tan {} = 2:

vI4+7 sec{} = 2 .


x = 3 sen {} (ejemplo 2):

y

x sen {} = '3

~ cos{} = 3 .

8.3 Sustituciones trigonométricas 451

Luego,

J dx J 2 sec2 e de J sec

2 e de ~ = V4sec2 e = Isecel

Ysec2 {} = Isec {}I

= J secede 7T 7T sec (} > o para - "2 < (} < "2

= In I sec e + tan e I + e

= ln l~ +~I +c. De la f igura 8.4

Observe cómo expresamos In Isec e + tan e I en términos de x. Dibujamos un triángulo de referencia para la sustitución original x = 2 tan e (figura 8.4) y con base en el triángulo obtenemos las razones. _

EJEMPLO 2 Evalúe

Solución Hacemos

x = 3 sen e,

J ~dx ~.

dx = 3 cos e de, 7T 7T - - < e <-2 2

9 - x2 = 9 - 9 sen2 e = 9(1 - sen2 e) ;= 9 cos2 e. Luego,

J X2 dx = J 9 sen2 e . 3 cos e de ~ 13cose l

= 9 J sen2 ede

= 9 J 1 - ~os 2e de

= ~ (e - se~ 2e) + e

9 = 2(e - sen e cos e) + e

= 2. (sen-1~ -~ . ~) + e 233 3

9 - 1 X x. ¡;:---;)9 2 e = 2 sen "3 - 2 v 'J - x- + .

EJEMPLO 3 Evalúe

Solución Primero rescribimos el radical como

2 X >

S'

7T 7T cas e > o para - "2 < e < "2

sen 2{} = 2 sen e cas e

Figura 8.5

-



FIGURA 8.6 Si x = (2/5)sec (),

O < e < 7T/2, entonces () = sec-I(5x/2)y podemos leer los valores de las otras

funciones trigonométricas de () con base

en este triángulo rectángulo (ejemplo 3).

81

Ejerddos 8.3

2x = 5 sec O,

para poner el radical en la forma x2 - a', Después sustituimos\

2dx = ssecOtanOdO,

x2- (~y= 2~ sec2 O - 2~

= -±- (sec? O - 1) = -±- tan2 O25 25

~x2 - (~y= ~ [tan é ] = ~tan8. tan () > O para0< ()< 7T/2

Con estas sustituciones, tenemos

J dx J dx J (2/5) secOtanOdOV25x2 - 4 = 5Vx2 - (4/25) = 5·(2/5)tanO

= iJ sec O ae = i In Isec O + tan 01 + C

= iln 15; + V25~2 - 41 + C. Figura 8.6 •

Aplicación de sustituciones trigonométricasEvalúe las integrales de los ejercicios I a 14.

1 ¡ dx. v'9+7

3. 1:4 ~ x2

13/2 dxS. • ¡:::---;;

o v9 - ~

7. ¡~dt

9. ¡ dx ,x> 22V4x2 - 49

¡vJT=4911. Y dy, y> 7

13.¡.~, x>1~ x2 - 1

2 ¡ 3dx.~

12 dx4.

o 8 + 2X2

11/2v2 2dx

6.o VI - 4x2

.S. ¡V1=9t2 dt

10 ¡ 5dx x> 1.. V25x2 - 9' 5

¡V7=2s12. i dy, y> 5

¡ 2dx14. .~' x> I

~v~ - I

Integraciones diversasUtilice cualquier método para evaluar las integrales en los ejercicios 15a 34. La mayoría de ellas requerirá de sustituciones trigonométricas, peroalgunas pueden evaluarse mediante otros métodos.

15. ¡~ dx 16. ¡4 : x2 dx

19. ¡ 8dw 20. ¡V9w~ ~ dww2~

21. ¡ 100 d 22. ¡X~dX36 + 25~ x

lV3/2

4x2dx 11

d23.o (1 - x2)3/2

24.o (4 - :2)3/2

25. ¡(x2 ~1)3/2 'X > 1 26. ¡ ~dx x>1

(x2 _ 1)5/2'¡(1 - ~)3/2 ¡(1 - x2)1/227. 6 dx 2S. 4 dx

x x

29 ¡ 8dx 30 ¡ 6dt• (4x2 + 1)2 . (9? + If

31. ¡x3

dx 32 ¡ x dxx2 - 1 . 25 + 4~

33. ¡ v2dv

¡(1 - r2)5/234. 8 dr

(1 - v2)S/2 r

En los ejercicios 35 a 48, utilice una sustitución apropiada y después unasustitución trigonométrica para evaluar las integrales.

11n4 I dt35 _=e===

• o v?t+9t/4 2 dt

37: J1/12 Vt + 4tVt

¡In(4/3) e' dt36 .

In (3/4) (1 + e21)3/2

le _----;==d:::=y==:3S.1 yVI + (lnyf


8.4 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 453

39. Jx~41. J xdxw-=l43.J~45. J ~4 ~ x dx

40. J dx1 + x2

56. Considere la región acotada por las gráficas de y = Vx tan-I x yy = O, para O :5 X :5 1. Determine el volwnen del sólido que se for-ma al hacer girar esta región alrededor del eje x (véase la siguientefigura).

y

y = Yxtan-1x

--~------------~-+xO

57. Evalúe J x3 ~ dx mediante

a. integración por partes.

b. una sustitución con la variable u.

c. una sustitución trigonométrica.

58. Trayectoria de un esquiador acuático Suponga que se coloca unbote en el origen con un esquiador sujeto al bote en el punto (30, O)mediante una cuerda de 30 ft de largo. Cuando el bote viaja a lo largodel eje y, el esquiador va detrás del bote siguiendo una trayectoriadesconocida y = f(x), como se muestra en la siguiente figura.

-V900 - x2

a. Demuestre que f'(x) = x .

[Sugerencia: Suponga que el esquiador siempre apunta directamen-te hacia el bote y la cuerda está en la recta tangente a la trayectoriay = f(x)].

b. Resuelva la ecuación del inciso (a), para f(x), usando f(30) = O.y

y = j(x) trayectoria del esquiador

(x,j(x)) esquiador

--+--L---- "---__~_L ___+x(30, O)° x

42·JhJ VI - (lnx)2

44. xlnx dx

46. J ~ 1 ~ ~dx

(Sugerencia: Haga u = X3/2).

J~dxVx--=---l

NO ESTÁ A ESCALA

8.4 Integración de funciones racionaLes por medio de fracciones parciaLes

Esta sección muestra cómo expresar una función racional (un cociente de polinomios) comouna suma de fracciones más sencillas, denominadas fracciones parciales, que son fáciles de in-tegrar. Por ejemplo, la función racional (5x - 3)/(x2 - 2x - 3) puede rescribirse como

5x - 3 = _2_ + _3_.x2-2x-3 x+l x-3

Usted puede verificar la ecuación de manera algebraica si coloca las fracciones del lado derechocon un denominador común, (x + l)(x - 3). La habilidad adquirida al escribir funciones racio-nales como tal suma también es útil en otros contextos; por ejemplo, cuando se utilizan ciertosmétodos de transformación para resolver ecuaciones diferenciales. Para integrar la función ra-

(Sugerencia: Haga x = u2).

47. J Vx~dx 48.

Problemas con valor inicialResuelva los problemas con valor inicial de los ejercicios 49 a 52 para ycomo una función de x.

dy ,¡;¡---;49. x dx = V ~ - 4, x?: 2, y(2) = O

O Vx.2 - 9 dy = I () I 35 . dx' x > 3, y 5 = n

dy51. (x2 + 4) - = 3 y(2) = O

dx 'dy ,~

52 (x2 + 1)2 - = V ~ + 1 y(O) =. dx '

Aplicaciones y ejemplos53. Área Determine el área de la región en el primer cuadrante que está

encerrada por los ejes coordenados y la curva y = ~/3.

54. Área Determine el área encerrada por la elipse

~ i-+-=l.a2 b2

55. Considere la región acotada por las gráficas de y = sen "! x, y = Oyx = 1/2.


b. Determine el centroide de la región.


39 J dx . x~ 40 . J dx I + x2

41. J xdx ~

42. J VI~ ~

43. J xdx V1+7

J VI - (In x? 44. x Inx dx

45. J JYdX 46. J ~dX l - x (Sugerencia: Haga x = u2). (Sugerencia: Haga u = X3 /2 ).

47. J Vx~dx 48. J~ dx Vx-=-l

Problemas con valor inicial Resuelva los problemas con valor inicial de los ejercicios 49 a 52 para y como una func ión de x.

dy ,¡;¡---: 49. x dx = V ~ - 4, X ?: 2, y(2) = O

50. V ~ - 9 dy = 1 x > 3, dx ' y(5) = ln3

dy (x2 + 4) - = 3 y(2) = O dx ' 51.

dy ,~ 52. (x2 + I? - = V ~ + I dx ' y(O) =

Aplicaciones y ejemplos 53. Área Determine el área de la región en el primer cuadrante que está

encerrada por los ejes coordenados y la curva y = ~/3. 54. Área Determine el área encerrada por la elipse

~ i - + -=1. a2 b2

55. Considere la región acotada por las gráficas de y = sen- I x, y = O yx = 1/ 2.


b. Determine el centroide de la región.

56. Considere la región acotada por las gráficas de y = Vx tan- I x y y = O, para O :5 X :5 1. Determine el volumen del sólido que se forma al hacer girar esta región alrededor del eje x (véase la siguiente figura).

y

y = Vxtan- 1x

-~------------~-+x O

57. Evalúe J x3 ~ dx mediante

a. integración por partes.

b. una sustitución con la variable u.

c. una sustitución trigonométrica.

58. Trayectoria de un esquiador acuático Suponga que se coloca un bote en el origen con un esquiador sujeto al bote en el punto (30, O) mediante una cuerda de 30 ft de largo. Cuando el bote viaja a lo largo del eje y, el esquiador va detrás del bote siguiendo una trayectoria desconocida y = f(x), como se muestra en la siguiente figura.

-V900 - x2 a. Demuestre que f'(x) = x .

[Sugerencia: Suponga que el esquiador siempre apunta directamente hacia el bote y la cuerda está en la recta tangente a la trayectoria y = f(x)].

b. Resuelva la ecuación del inciso (a), para f(x), usando f(30) = O.

y

y = j(x) trayectoria del esquiador

(x, j(x)) esquiador

--+-~--------~~-L~-+x O x (30, O)

NO ESTÁ A ESCALA

8.4 Integración de funciones racionaLes por medio de fracciones parciaLes

Esta sección muestra cómo expresar una función racional (un cociente de polinomios) como una suma de fracciones más sencillas, denominadas fracciones parciales, que son fáciles de integrar. Por ejemplo, la función racional (5x - 3)/(x 2 - 2x - 3) puede rescribirse como

5x - 3 = _2_ + _3_. x2 -2x -3 x + l x - 3

Usted puede verificar la ecuación de manera algebraica si coloca las fracciones del lado derecho con un denominador común, (x + 1 )(x - 3). La habilidad adquirida al escribir funciones racionales como tal suma también es útil en otros contextos; por ejemplo, cuando se utilizan ciertos métodos de transformación para resolver ecuaciones diferenciales. Para integrar la función ra-


n


cional (5x - 3)/(x2 - 2x - 3) en el lado izquierdo de nuestra expresión, simplemente su-mamos las integrales de las fracciones del lado derecho:

J5x - 3 dx = J_2-dX + J_3-dx

(x+l)(x-3) x+l x-3

= 21n Ix + 11 + 31n [x - 31 + c.El método para rescribir funciones racionales como una suma de fracciones más sencillas

se denomina método de las fracciones parciales. En el caso del ejemplo anterior, éste consisteen determinar las constantes A y B tal que

5x - 3 = _A_ + _B_~-2x-3 x+l x-3·

(1)

(Por un momento, suponga que no sabe que A = 2 YB = 3 funcionarán). Llamamos fraccionesparciales a las fracciones A/(x + 1) YB/(x - 3), ya que sus denominadores sólo son parte deldenominador original x2 - 2x - 3. Decimos que A y B son coeficientes indeterminados hastaque encontremos valores adecuados para ellos.

Para determinar A y B, primero quitamos las fracciones de la ecuación (1) y reagrupamoslas potencias de x, con lo que obtenemos

5x - 3 = A(x - 3) + B(x + 1) = (A + B)x - 3A + B.

Lo anterior será una identidad en x, si y sólo si los coeficientes de potencias iguales de x en losdos lados son iguales:

A + B = 5, -3A + B = -3.

Al resolver de manera simultánea dichas ecuaciones se obtiene A = 2 y B = 3.

I

·:1I

Descripción general del métodoEl éxito al escribir una función racional f(x)/ g(x) como una suma de fracciones racionales de-pende de dos cosas:

• El grado de f(x) debe ser menor que el grado de g(x). Esto es, la fracción tiene que serpropia. Si no es así, divida f(x) entre g(x) y trabaje con el residuo. Véase el ejemplo 3 deesta sección.

• Debemos conocer losfactores de g(x). En teoría, cualquier polinomio con coeficientes rea-les puede escribirse como un producto de factores lineales reales y factores cuadráticosreales. En la práctica, tales factores pueden ser dificil es de obtener.

A continuación veremos cómo determinar las fracciones parciales de una fracción propiaf(x)/g(x) cuando se conocen los factores de g(x). Un polinomio cuadrático (o factor) es irre-ducible si no puede escribirse como el producto de dos factores lineales con coeficientesreales. Esto es, el polinomio no tiene raíces reales.

Al A2 AIIl--- + + ... + ----'--(x-r) (x-r)2 (x-r)'"

Método de las fracciones parciales (f(x)/g(x) propias)

1. Sea x - r un factor lineal de g(x). Suponga que (x - rt' es la potencia másgrande de x - r que divide a g(x). Entonces, para este factor, asigne la sumade las m fracciones parciales:

Haga lo anterior para cada factor lineal distinto de g(x).continúa


cional (5x - 3)/(x2 - 2x - 3) en el lado izquierdo de nuestra expresión, simplemente sumamos las integrales de las fracciones del lado derecho:

¡ 5x - 3 dx = ¡ _ 2_dx + ¡_3_dx (x+l)(x - 3) x +l x-3

= 21n Ix + 11 + 31n Ix - 31 + c.

El método para rescribir funciones racionales como una suma de fracciones más sencillas se denomina método de las fracciones parciales. En el caso del ejemplo anterior, éste consiste en determinar las constantes A y B tal que

5x - 3 = _ A_ + _ B_ ~-2x - 3 x+ l x - 3·

(1)

(Por un momento, suponga que no sabe que A = 2 Y B = 3 funcionarán). Llamamos fracciones parciales a las fracciones A/(x + 1) Y B/(x - 3), ya que sus denominadores sólo son parte del denominador original x2 - 2x - 3. Decimos que A y B son coeficientes indeterminados hasta que encontremos valores adecuados para ellos.

Para determinar A y B, primero quitamos las fracciones de la ecuación (1) y reagrupamos las potencias de x, con lo que obtenemos

5x - 3 = A(x - 3) + B(x + 1) = (A + B)x - 3A + B.

Lo anterior será una identidad en x, si y sólo si los coeficientes de potencias iguales de x en los dos lados son iguales:

A + B = 5, - 3A + B = -3.

Al resolver de manera simultánea dichas ecuaciones se obtiene A = 2 y B = 3.

Descripción generaL deL método

El éxito al escribir una función racional f(x) / g(x) como una suma de fracciones racionales depende de dos cosas:

• El grado de f(x) debe ser menor que el grado de g(x). Esto es, la fracción tiene que ser propia. Si no es así, divida f(x) entre g(x) y trabaje con el residuo. Véase el ejemplo 3 de esta sección .

• Debemos conocer los factores de g(x). En teoría, cualquier polinomio con coeficientes reales puede escribirse como un producto de factores lineales reales y factores cuadráticos reales. En la práctica, tales factores pueden ser dificil es de obtener.

A continuación veremos cómo determinar las fracciones parciales de una fracción propia f(x) / g(x) cuando se conocen los factores de g(x). Un polinomio cuadrático (o factor) es irreducible si no puede escribirse como el producto de dos factores lineales con coeficientes reales. Esto es, el polinomio no tiene raíces reales.

Método de las fracciones parciales (f(x) / g(x) propias)

1. Sea x - r un factor lineal de g(x). Suponga que (x - r)m es la potencia más grande de x - r que divide a g(x) . Entonces, para este factor, asigne la suma de las m fracciones parciales:

Al A2 Am --- + + ... +-- -(x - r) (x - r)2 (x - r)'"

Haga lo anterior para cada factor lineal distinto de g(x). continúa



2. Sea x2 + px + q un factor cuadrático irreducible de g(x), de manera que x2 + px + qno tenga raíces reales. Suponga que (x2 + px + q)n es la potencia más grande deeste factor que divide a g(x). Entonces, para este factor, asigne la suma de las nfracciones parciales:

s,« + el B2X + Cz BI/x + C;----'--------''----+ + .. . + ---:--"-----"----(~ + px + q) (~+ px + q)2 (~ + px + q)l/.

Hacer esto para cada factor cuadrático distinto de g(x) que no pueda factorizarsecon factores lineales con coeficientes reales.

3. Iguale la fracción original f(x)/ g(x) a la suma de todas estas fracciones parciales.Elimine las fracciones de la ecuación resultante y reacomode los términos enpotencias decrecientes de x.

4. Iguale los coeficientes de potencias correspondientes de x y resuelva las ecuacionesresultantes para los coeficientes indeterminados.

EJEMPLO 1 Utilice fracciones parciales para evaluar

J X2 + 4x + 1 d(x - l)(x + l)(x + 3) x.

Solución La descomposición en fracciones parciales tiene la forma

x2 + 4x + 1 = _A_ + _B_ + _e_(x - l)(x + l)(x + 3) x - 1 x + 1 x + 3 .

Para encontrar los valores de los coeficientes indeterminados A, B Ye, quitamos las fraccionesy obtenemos

x2 + 4x + 1 = A(x + 1)(x + 3) + B(x - l)(x + 3) + e(x - l)(x + 1)

= A(~ + 4x + 3) + B(x2 + 2x - 3) + C(~ - 1)

= (A + B + e)~ + (4A + 2B)x + (3A - 3B - e).

Los polinomios en ambos lados de la ecuación anterior son idénticos, por lo que igualamos loscoeficientes de potencias iguales de x, de donde se obtiene:

Coeficiente de ~:Coeficiente de x':Coeficiente de xo:

A+ B+e=l4A + 2B = 43A - 3B - e = 1

Hay varias formas de resolver el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas A, B Ye, en-tre las que se incluyen la eliminación de variables y el uso de una calculadora o una compu-tadora. Sin importar el método que se use, la solución es A = 3/4, B = 1/2 y e = -1/4.De aquí tenemos

J ~+ 4x + 1 dx = J [1_1_ + 1_1__ l_I_]dX(x - l)(x + l)(x + 3) 4 x - 1 2 x + 1 4 x + 3

3 1 1= ¡In [x - 11 + "2 In [x + 11 - ¡In [x + 31 + K,

donde K es la constante arbitraria de integración (para evitar confusión con el coeficiente inde-terminado e). •


J 6x+7 d(x + 2? x.


2. Sea x2 + px + q un factor cuadrático irreducible de g(x), de manera que x2 + px + q

no tenga raíces reales. Suponga que (x 2 + px + q)" es la potencia más grande de este factor que divide a g(x). Entonces, para este factor, asigne la suma de las n fracciones parciales:

Blx + el B2X + e2 Bll x + Cn ---,----'-----''---- + + . . . + ----:-----"-----"----(x2 + px + q) (r + px + q)2 (r + px + q)" .

Hacer esto para cada factor cuadrático distinto de g(x) que no pueda factorizarse con factores lineales con coeficientes reales.

3. Iguale la fracción original f(x) / g(x) a la suma de todas estas fracciones parciales. Elimine las fracciones de la ecuación resultante y reacomode los términos en potencias decrecientes de x.

4. Iguale los coeficientes de potencias correspondientes de x y resuelva las ecuaciones resultantes para los coeficientes indeterminados.


J r + 4x + 1 dx (x - 1)(x + l)(x + 3) .

Solución La descomposición en fracciones parciales tiene la forma

X2 + 4x + 1 = _A_ + _B_ + _ e_ (x-l)(x + I)(x + 3) x-l x+l x + 3'

Para encontrar los valores de los coeficientes indeterminados A, B Y e, quitamos las fracciones y obtenemos

x2 + 4x + 1 = A(x + 1)(x + 3) + B(x - l)(x + 3) + e(x - l)(x + 1)

= A(r + 4x + 3) + B(x2 + 2x - 3) + C(r - 1)

= (A + B + e)r + (4A + 2B)x + (3A - 3B - e) .

Los polinomios en ambos lados de la ecuación anterior son idénticos, por lo que igualamos los coeficientes de potencias iguales de x, de donde se obtiene:

Coeficiente de r : Coeficiente de X l:

Coeficiente de xo:

A + B + e=1

4A + 2B = 4

3A - 3B - e = 1

Hay varias formas de resolver el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas A, B Y e, entre las que se incluyen la eliminación de variables y el uso de una calculadora o una computadora. Sin importar el método que se use, la solución es A = 3/ 4, B = 1/ 2 y e = - 1/ 4. De aquí tenemos

J r + 4x + 1 dx = J [1_1_ + 1_1 _ _ 1 _ 1_]dX (x-l)(x+l)(x+3) 4x - l 2x+l 4x+3

3 1 1 = ¡ In Ix - 11 + Z"ln Ix + 11 - ¡ In Ix + 31 + K,

donde K es la constante arbitraria de integración (para evitar confusión con el coeficiente indeterminado e). •


J 6x+7 d (x + 2? x.


--===

Solución Primero expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales concoeficientes indeterminados


6x+7 =_A_+ B(x + 2)2 X + 2 (x + 2)2

6x + 7 = A(x + 2) + B

= Ax + (2A + B)

Multiplicar ambos lados por (x + 2)2

Al igualar coeficientes de potencias correspondientes de x se obtiene:

A = 6 y 2A + B = 12 + B = 7, o A=6 y B = -5.

Por lo tanto,

J6X+7dx-J(_6 - 5 )dX

(x + 2)2 X + 2 (x + 2)2

= 6J~ - SJ (x + 2f2dxx+2

= 6ln [x + 21 + S(x + 2)-1 + C. •EJEMPLO 3 Utilice fracciones parciales para evaluar

••

••• •~I

"

J2x3 - 4x2 - X - 3

2 dx.x -2x-3

."Solución Primero dividimos el numerador entre el denominador para obtener un polinomiomás una fracción propia .

2x1,x2 - 2x - 3hx3 - 4x2 - X - 3

2x3 - 4x2 - 6xSx - 3;I,.,

\"~~I.. Después escribimos la fracción impropia como un polinomio más una fracción propia.

2X3- 4x2 - X - 3 Sx - 32 = 2x + -=-2 -=-:..:..._-=---

X -2x-3 x -2x-3

Encontramos la descomposición en fracciones parciales de la fracción del lado derecho en elejemplo inicial, por lo que

J2x3 - 4~ - x - 3 d = J 2 d + J Sx - 3 d

2 X xx 2 Xx -2x-3 x -2x-3

= J 2xdx + J x ~ 1 dx + J x ~ 3 dx

= x2 + 2ln [x + 11 + 3ln [x - 31 + c. •


J -2x + 4-------dx.(x2 + l)(x - 1)2

Solución El denominador tiene un factor cuadrático irreducible así como un factor linealrepetido, por lo que escribimos

-2x + 4 = Ax + B + ~ + D(x2+1)(x-1)2 x2+1 x-l (x-l)2'

(2)


Solución Primero expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales con coeficientes indeterminados

6x+7 =_A_+ B (x + 2)2 X + 2 (x + 2)2

6x + 7 = A(x + 2) + B Multipli car ambos lados por (x + 2)2

= Ax + (2A + B)

Al igualar coeficientes de potencias correspondientes de x se obtiene:

A = 6 y

Por lo tanto,

2A + B = 12 + B = 7, o A=6 y

J6X + 7 dx -J(_6 - 5 )dX

(x + 2)2 x+2 (X+2)2

= 6J~ - SJ (x + 2)-2 dx x +2

= 6ln Ix + 2 1 + S(x + 2r' + c.


J

2x3 - 4X2 - X - 3 2 dx.

x -2x - 3

B = - 5.

•

Solución Primero dividimos el numerador entre el denominador para obtener un polinomio más una fracción propia.

2x

X2 - 2x - 3hx 3 - 4X2 - X - 3

2x3 - 4x2 - 6x

Sx - 3

Después escribimos la fracción impropia como un polinomio más una fracción propia.

2X3 - 4x2 - X - 3 Sx - 3 2 = 2x + -2-- --

x - 2x-3 x - 2x-3

Encontramos la descomposición en fracciones parciales de la fracción del lado derecho en el ejemplo inicial, por lo que

J 2x3 ~ 4~ - x - 3 dx = J 2x dx + J 2 Sx - 3 dx

x -2x-3 x -2x -3

= J 2xdx + J x ~ 1 dx + J x ~ 3 dx

= x2 + 2ln Ix + 11 + 3ln Ix - 3 1 + c. •


J -2x + 4 -----:-------=-dx. (x2 + l )(x - 1)2

Solución El denominador tiene un factor cuadrático irreducible así como un factor lineal repetido, por lo que escribimos

-2x + 4 = Ax + B + ~ + D (x2 +1)(x - l)2 x2+ 1 x-l (x-l)2'

(2)



Al eliminar las fracciones de la ecuación, se obtiene

-2x + 4 = (Ax + B)(x - 1? + C(x - l)(~ + 1) + D(x2 + 1)

= (A + C)x3 + (-2A + B - C + D)x2

+ (A - 2B + C)x + (B - C + D).

Al igualar coeficientes de términos semejantes se obtiene

Coeficiente de x3:Coeficiente de X2:

Coeficiente de x ':Coeficiente de xo:

o = A + C0= -2A + B - C + D

-2 = A - 2B + C4=B-C+D

Resolvemos estas ecuaciones de manera simultánea para determinar los valores de A, B, C y D:

-4 = -2A, A = 2

C = -A = -2

B = (A + C + 2)/2 = 1

D=4-B+C=1.

Restar la cuarta de la segunda ecuación.

De la primera ecuación

De la tercera ecuación y e = -A

De la cuarta ecuación.

Sustituimos estos valores en la ecuación (2), de donde se obtiene

-2x + 4 = 2x + 1 __ 2_ + l(x2 + 1)(x - 1? x2 + 1 x - 1 (x - 1)2 .

Por último, usando el desarrollo anterior podemos integrar:

J -2x + 4 dx = J (2X + 1 - _2 - + 1 ) dx(x2 + 1)(x - 1)2 x2 + 1 x - 1 (x - 1)2

= J ( 2x + _1 2_ + l ) dxV + 1 x2 + 1 x - 1 (x - 1)2

= In (x2 + 1) + tan" x - 21n [x - 11 - x ~ 1 + C. •


Saludón La forma de la descomposición en fracciones parciales es

1 = 4. + Bx + C + Dx + Ex(x2 + 1)2 X x2 + 1 (x2 + 1)2

Multiplicando por x(x2 + 1), tenemos

1 = A(x2 + 1? + (Bx + C)x(x2 + 1) + (Dx + E)x

= A(x4 + 2x2 + 1) + B(x4 + x2) + C(x3 + x) + Dx2 + Ex

= (A + B)x4 + Cx3 + (2A + B + D)x2 + (C + E)x + A

Si igualamos coeficientes, obtenemos el sistema

A + B = O, C = O, 2A + B + D = O, C + E = O, A=l.


Al eliminar las fracciones de la ecuación, se obtiene

- 2x + 4 = (Ax + B)(x - 1? + C(x - 1)(x2 + 1) + D(x2 + 1)

= (A + C)x3 + (-2A + B - C + D)x2

+ (A - 2B + C)x + (B - C + D).

Al igualar coeficientes de términos semejantes se obtiene

Coeficiente de x3:

Coeficiente de X2:

Coeficiente de Xl:

Coeficiente de xo:

o = A + C

0 = - 2A + B - C + D

-2 = A - 2B + C

4 = B-C + D

Resolvemos estas ecuaciones de manera simultánea para determinar los valores de A, B, C y D:

-4 = - 2A, A=2 Restar la cuarta de la segunda ecuación.

C = -A = -2 De la primera ecuación

B = (A + C + 2)/ 2 = 1

D=4-B+C=1.

De la tercera ecuación y e = - A

De la cuarta ecuación.

Sustituimos estos valores en la ecuación (2), de donde se obtiene

-2x + 4 = 2x + 1 __ 2_ + 1 (x2 + 1)(x - 1? X2 + 1 x - 1 (x - 1)2 .

Por último, usando el desarrollo anterior podemos integrar:

J -2x + 4 dx = J (2X + 1 - _ 2 - + 1 ) dx (x2 + 1)(x - 1)2 x2 + 1 x - 1 (x - 1)2

= J ( 2x + _1 ___ 2_ + 1 )dX V + 1 X2 + 1 x - 1 (x - 1)2

= In (x2 + 1) + tan-1 x - 2ln Ix - 11 - x ~ 1 + C. •


Saludón La forma de la descomposición en fracciones parciales es

_ --=-__ = :1 + Bx + C + Dx + E x(x2 + 1)2 X X2 + 1 (x2 + 1)2

Multiplicando por x (x 2 + 1), tenemos

1 = A(x2 + 1? + (Bx + C)x(~ + 1) + (Dx + E)x

= A(x4 + 2x2 + 1) + B(x4 + x2) + C(x3 + x) + Dx2 + Ex

= (A + B)x4 + Cx3 + (2A + B + D )x2 + (C + E)x + A

Si igualamos coeficientes, obtenemos el sistema

A + B = O, C = O, 2A + B + D = O, C + E = O, A = l.



Al resolver este sistema, se obtiene A = 1, B = -1, C = O, D = -1 YE = O.Así,

J dx - J [1 + ~ + -x ] dxx(x2 + 1)2 - X x2 + 1 (x2 + 1)2

J dx J xdx J xd.x= X - X2 + 1 - (x2 + 1)2

u = ¿ + 1,du = 2xdx

1 1=lnlxl-Z"lnlul +2u+K

1 1= In Ixl - -2In (x2 + 1) + 2 + K2(x + 1)

Ixl 1= In + + K.W+1 2(x2 + 1) •

Método de "eliminación" de Heaviside para factores lineales

Cuando el grado del polinomio f(x) es menor que el grado de g(x) y

BIOGRAFÍA HISTÓRICA

Oliver Heaviside(1850-1925)

es un producto de n factores lineales distintos, cada uno elevado a la primera potencia, existeuna manera rápida de desarrollar f(x)/ g(x) por medio de fracciones parciales.

"'11

" EJEMPLO 6 Determine A, B Y C en el desarrollo de fracciones parciales

~ + 1 = _A_ + _B_ + _C_(x - 1)(x - 2)(x - 3) x - 1 x - 2 x - 3· (3)

Solución Si multiplicamos ambos lados de la ecuación (3) por (x - 1) para obtener

x2 + 1 B(x - 1) C(x - 1)---'-'---~-=A+ +---(x-2)(x-3) x-2 x-3

y hacemos x = 1, la ecuación resultante da el valor de A:

(1)2 + 1--'-'--- = A + O + O(1-2)(1-3) ,

A=1.

Así, el valor de A es el número que habríamos obtenido si eliminamos el factor (x - 1) en eldenominador de la fracción original

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(4)

y evaluamos el resto en x = 1:

(1)2 + 1A = -;:===:::::;-'--------

I (x-l) 1(1-2)(1-3)

nEliminado

2 = 1.(-1)(-2)


BIOGRAFíA HI STÓRICA

Oliver Heaviside (1850- 1925)

Al resolver este sistema, se obtiene A = 1, B = - 1, C = O, D = -1 Y E = O. Así,

J dx - J [1 + ~ + - x ] dx x(x2 + 1)2 - X x2 + 1 (x2 + 1)2

J dx J xdx J xdx = X - ~ + 1 - (x2 + 1)2

1 1 = In Ixl - 2" In I u I + 2u + K

1 1 = In Ixl - -2 In (x2 + 1) + 2 + K

2(x + 1)

Ixl 1 = In + + K . ~ 2(~+ 1)

Método de "eliminación" de Heaviside para factores lineales

Cuando el grado del polinomio f(x ) es menor que el grado de g(x ) y

ti =.2 + 1, dtl = 2xdx

•

es un producto de n factores lineales distintos, cada uno elevado a la primera potencia, existe una manera rápida de desarrollar f(x)/ g(x) por medio de fracciones parciales.

EJEMPLO 6 Determine A , B Y C en el desarrollo de fracciones parciales

~ + 1 = _ A_ + _B_ + _C_ (x - 1)(x - 2)(x - 3) x - 1 x - 2 x - 3 ·

SoLución Si multiplicamos ambos lados de la ecuación (3) por (x - 1) para obtener

X2 + 1 B(x - 1) C(x - 1) - --'..:....---'---=--=A+ + - - -(x-2)(x - 3) x - 2 x - 3

y hacemos x = 1, la ecuación resultante da el valor de A:

(1)2 + 1 - --- -- = A + O + O (1 - 2)(1-3) ,

A =l.

(3)

Así, el valor de A es el número que habríamos obtenido si eliminamos el factor (x - 1) en el denominador de la fracción original

(x - 1)(x - 2)(x - 3)

y evaluamos el resto en x = 1:

(1)2 + 1 A = r=== ==;-- - - -

1 (x - l) 1(1 - 2)(1-3)

n Eliminado

2 = l. (- 1)( - 2)

(4)



De manera análoga, determinamos el valor de B en la ecuación (3) si eliminamos el factor(x - 2) en la expresión (4) y evaluamos el resto en x = 2:

(2)2 + 1B = ------;===:;----

(2 - 1) I (x - 2) 1(2 - 3)

n

5 = -5.(1)(-1)

Eliminado

Por último, e se determina eliminando (x - 3) en la expresión (4) y evaluando el resto enx = 3:

(3)2 + 1 10e = -(3---1) (-3---2---;:)I=(x=-=3)=;-1 = (2)(1) = s.

nEliminado

•

Método de Heaviside

1. Escriba el cociente con g(x) en forma factorizada:

f(x) f(x)

g(x) (x - r¡)(x - r2)'" (x - rl1) •

2. Elimine uno a uno los factores (x - r¡), cada vez remplazando todas las x noeliminadas por el número r.. Lo anterior produce un número A¡ para cada raíz r.:

A¡ = f(r¡)(r¡ - r2) ... (r¡ - rl1)

A2

= f(r2)(r2 - r¡)(r2 - r3) ... (r2 - rl1)

3. Escriba el desarrollo de la fracción parcial def(x)/g(x) como

f(x)

g(x)A¡ A2 A"-----'--+ +...+----"--

(x-r¡) (X-r2) (x-r,,)'

EJEMPLO 7 Utilice el método de Heaviside para evaluar

J x+4 dxx3 + 3x2 - 10x .

Solución El grado de f(x) = x + 4 es menor que el grado de g(x) = x3 + 3x2 - l Ox,cong(x) factorizada,

x+4 x+4x(x - 2)(x + 5) .


De manera análoga, determinamos el valor de B en la ecuación (3) si eliminamos el factor (x - 2) en la expresión (4) y evaluamos el resto en x = 2:

(2)2 + 1 B = - - ---;===:;----

(2 - 1) I (x - 2) 1 (2 - 3) 5 = - 5.

(1)(-1)

11 El iminado

Por último, e se determina eliminando (x - 3) en la expresión (4) y evaluando el resto en x = 3:

(3)2 + 1 10

e = -(3- -- 1)-( 3- --2---;)I=(x= - =3 )=;-1 = (2) (1) = 5 .

11 Elim inado

Método de Heaviside

1. Escriba el cociente con g(x) enformafactorizada:

¡(x) ¡(x)

g (x) (x - r¡)(x - r2)··· (x - rn) .

2. Elimine uno a uno los factores (x - r¡), cada vez remplazando todas las x no eliminadas por el número r¡. Lo anterior produce un número A¡ para cada raíz r¡:

Al = ¡(r¡) (rl - r2) .. . (rl - rn)

A2

= ¡(r2) (r2 - r¡) (r2 - r3) ... (r2 - rn)

3. Escriba el desarrollo de la fracción parcial def(x) / g(x) como

¡(x)

g(x)

Al A2 An -----'-- + + ... + - --(x - r¡) (x - r2) (x - rn ) .

EJEMPLO 7 Utilice el método de Heaviside para evaluar

J x + 4 d x3 + 3x2 - 10x x.

•

Solución El grado de f(x) = x + 4 es menor que el grado de g(x) = x 3 + 3x 2 - lOx , con g(x) factori zada,

x+4 x+ 4 x3 + 3x2 - 10x x(x - 2)(x + 5) .



Las raíces de g(x) son rl = O, ri = 2 Y rs = - 5. Determinamos

Al = 0+4~ (O - 2)(0 + 5)

~Eliminado

4 2(-2)(5) 5

A - 2 + 42 -

21 (x - 2) 1 (2 + 5)

~Eliminado

6 3(2)(7) 7

______ -~5~+~4====~A3 =(-5)(-5 - 2) 1 (x + 5) I

nEliminado

-1 135 .(-5)(-7)

Por lo tanto,

x+4 =_2+ 3x(x - 2)(x + 5) 5x 7(x - 2) 35(x + 5) ,

y

J x+4 2 3 1----.:.:.--'----'------dx = - -In Ixl + -In Ix - 21 - -In [x + 51 + c.x(x - 2)(x + 5) 5 7 35 •

••.,11'0"

Otras formas de determinar los coeficientes

1,

Otra forma de determinar las constantes que aparecen en las fracciones parciales es derivar,como en el siguiente ejemplo. Otra forma consiste en asignar los valores numéricos selecciona-dos ax.

1.,

EJEMPLO 8 Determine A, B Y C en la ecuación

x-1 =_A_+ B + C(x + 1)3 X + 1 (x + 1)2 (x + 1)3

eliminando fracciones, derivando el resultado y haciendo la sustitución x = -l.

Solución Primero eliminamos las fracciones:

x - 1 = A(x + 1)2 + B(x + 1) + C.

La sustitución x = -1 indica que C = -2. Después derivamos ambos lados con respecto a x,de donde se obtiene

(x + 1)22

1 = 2A(x + 1) + B.

La sustitución x = -1 indica que B = l. Nuevamente derivamos para obtener O = 2A, lo cualmuestra que A = O. De aquí que

x - 1(x + 1)3 (x + 1)3' •

En algunos problemas, la asignación de valores pequeños a x, tales como x = O, :'::1, :'::2,para obtener ecuaciones en A, B Y C, ofrece una alternativa rápida frente a otros métodos.

EJEMPLO 9 Determine A, B Y C en la expresión

~ + 1 = _A_ + _B_ + ~(x - 1)(x - 2)(x - 3) x - 1 x - 2 x - 3

asignando valores numéricos a x.


Las raíces de g(x) son rl = 0,1'2 = 2 Y r3 = - 5. Determinamos

Por lo tanto,

y

4 2 Al = 0+4 ~ (O - 2)(0 + 5)

~

(-2)(5) 5

Eliminado

A - 2 + 4 6 3 2 -

2 1 (x - 2) 1 (2 + 5) (2)(7) 7

~ Eliminado

______ -~5~+r4====~ A3 = (-5)( - 5 - 2) 1 (x + 5)

~ Elim inado

- }

(-5)( -7)

}

35 .

x+4 =_2 + 3 x(x - 2)(x + 5) 5x 7(x - 2) 35(x + 5) ,

J x+4 2 3 1 x(x _ 2)(x + 5) dx = - S In Ix l + 7 1n Ix - 21 - 35 In Ix + 51 + c. •

Otras formas de determinar los coeficientes

Otra forma de determinar las constantes que aparecen en las fracciones parciales es derivar, como en el siguiente ejemplo. Otra forma consiste en asignar los valores numéricos seleccionados ax.

EJEMPLO 8 Determine A, B Y C en la ecuación

x-l =_A_ + B + C (x + })3 X + 1 (x + 1)2 (x + })3

eliminando fracciones, derivando el resultado y haciendo la sustitución x = - l.

Solución Primero eliminamos las fracciones:

x - 1 = A(x + 1)2 + B(x + 1) + C.

La sustitución x = - 1 indica que C = -2. Después derivamos ambos lados con respecto a x, de donde se obtiene '\

} = 2A(x + 1) + B .

La sustitución x = - } indica que B = l . Nuevamente derivamos para obtener O = 2A, lo cual muestra que A = O. De aquí que

x - 1

(x + 1)3

2

(x + 1? (x + 1)3 ' • En algunos problemas, la asignación de valores pequeños a x, tales como x = O, :':: 1, :'::2,

para obtener ecuaciones en A, B Y C, ofrece una alternativa rápida frente a otros métodos.

EJEMPLO 9 Determine A, B Y C en la expresión

~ + 1 = _ A _ + _B_ + ~ (x - 1)(x - 2)(x - 3) x - 1 x - 2 x - 3

asignando valores numéricos a x.



Soludón Elimine las fracciones para obtener

x2 + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - l)(x - 3) + C(x - l)(x - 2).

Después haga x = 1,2,3, sucesivamente para determinar A, B Y C:

x = 1: (1)2 + 1 = A(-1)(-2) + B(O) + C(O)2 = 2AA = 1

(2? + 1 = A(O) + B(1)(-l) + C(O)5 = -BB =-5

(3)2 + 1 = A(O) + B(O) + C(2)(1)10 = 2C

C = 5.

x = 2:

x = 3:

Conclusión:

x2 + 1 = _1 5_ + _5_(x - l)(x - 2)(x - 3) x - 1 x - 2 x - 3 . •

Ejerddos 8.4

DesarroLLode cocientes en fracdones parcialesDesarrolle los cocientes en los ejercicios 1 a 8 por medio de fraccionesparciales.

J dx19. (~ _ 1)2 20 J x

2dx

. (x - 1)(x2 + 2x + 1)

1. 5x - 132.

5x - 7(x-3)(x-2) ~ - 3x + 2

3. x+4 4 2x + 2(x + 1)2 '~-2x+l

5. z + 16.

Z

z2(z - 1) z3_z2-6z

7. ? + 8 8. t4 + 9

? - 5t + 6 t4 + 9?

Factores cuadráticos irreduciblesEn los ejercicios 21 a 32, exprese los integrando s como una suma de frac-ciones parciales y evalúe las integrales.

Factores lineales no repetidosEn los ejercicios 9 a 16, exprese los integrandos como suma de fraccionesparciales y evalúe las integrales.

11

dIv'} 3t2 + t + 421.

o (x + 1)~ + 1)22. dt

1 t3 + t

J 1+ 2y + 1 24. J8x2+8X+2dX23. 2 2 dy(y + 1) (4x2 + 1)2

25 J 2s + 2 d 26. J S4 + 81 d. (s2 + 1)(s _ 1)3 S S(S2 + 9)2 s

27. J~-X+2dX 28. J_l-dX~ - 1 x4 + x

29. J -I-dx 30. J x2 + X

X - 1 x4 _ 3x2 _ 4 dx9. J 1 ~x2

11. J x + 4 dxx2 + 5x - 6

18 ydy13. .2

4 Y - 2y - 3

15 J dt• ¡3 + ? - 2t

Fracciones impropiasEn los ejercicios 33 a 38, realice la división larga del integrando, escribala fracción propia como una suma de fracciones parciales y evalúe laintegral.

33. J 2x3 ~ 2X2 + 1 dxx - x

10. J x2 ~ 2x

12. J 2x + 1 dxx2 - 7x + 12

11 y + 414. -2--dy

1/2 Y + Y

16. J x + 3 dx2x3 - 8x

Factores lineales repetidosEn los ejercicios 17 a 20, exprese los integrandos como una suma de frac-ciones parciales y evalúe las integrales.

1, 3 10 3d17 x dx 18 x x. o x2 + 2x + 1 . -1 x2 - 2x + 1 J X4

34. -2--dxx - 1



35. f 9x3::- 3x + 1 dx 36. f 16x3

dxx' - x2 4x2 - 4x + 1

f/+i-l 38. f 2/37. dy dyi + y i-i+y-l

Evaluación de integralesEvalúe las integrales de los ejercicios 39 aSO.

fe41+ 2e21- e'

40. dte21+ 1j' e' dt39. -2:---'---'-'----

e' + 3e' + 2

fcosydy

41. --~2-----------sen y + sen y - 6

42 j' sen()d(). cos'' () + cos () - 2

j' (x - 2)2 tan " (2x) - 12x3 - 3x43. dx

(4x2 + l)(x - 2)2

j' (x + 1)2tan-1 (3x) + 9x3 + x44. dx

(9x2 + 1)(x + 1)2

~I

45.f x3/2 ~

dx 46. f 1 dv:x (XI/3 - 1) v:x x

(Sugerencia: Haga x = u6).

47. f Vx/ 1 dx 48. f 1 dxY.X+9 x

(Sugerencia: Haga x + 1 = u2)."".,1,

49. f 1 dxx(x4 + 1) 50. f x6 () + 4) dx

""(sUgerencia: Multiplique por~.)

Problemas con valor inicialResuelva los problemas con valor inicial en los ejercicios 51 a 54 para xcomo una función de t.

I1

!t51. (P - 3t + 2) ~~ = 1 (t > 2), x(3) = O

52. (3t4 + 4t2 + 1) ~~ = 2V3, x(1) = -7TV3/4

53. (P + 2t)~~ = 2x + 2 (t,x> O), x(1) = 1

54. (t+l)~~=x2+1 (t>-l), x(O)=O

"

Aplicaciones y ejemplosEn los ejercicios 55 y 56,determine el volumen del sólido generado alhacer girar la región sombreada alrededor del eje que se indica.

55. El eje x

yy = 3

Y3x - x2

(0.5,2.68) (2.5,2.68)

2

~01-~OL.5-------------2~.5~X

56. El ejey

2Y Y = (x + 1)(2 - x)

~~----------~xO

D 57. Determine, con dos decimales, la coordenada x del centroide de la re-

gión en el primer cuadrante acotada por el eje x, la curva y = tan -1 x

y la recta x = V3.D 58. Determine la coordenada x, con dos decimales, del centroide de esta

región.

y

~0~VV'--~3------------~5:------+x

D 59. Difusión social En ocasiones, los sociólogos utilizan la frase "difu-sión social" para describir la manera en que la información se difundeen una población. La información puede ser un rumor, una moda cul-tural o una noticia acerca de una innovación tecnológica. En una po-blación suficientemente grande, el número de personas x que conocenla información se trata como una función diferenciable del tiempo t,mientras que la velocidad de difusión, dx/dt, se supone proporcionalal número de personas que conocen la información por el número depersonas que la desconocen. Lo anterior lleva a la ecuación

dx = kx(N - x)dt '

donde N es el número de personas en la población.Suponga que t está en días, k = 1/250,Y que dos personas

inician un rumor en el instante t = O en un población de N = 1000personas.

a. Determine a x como una función de t.

b. ¿Cuándo la mitad de la población ha escuchado el rumor? (Estoes cuando el rumor se propaga de la manera más rápida).

D 60. Reacciones químicas de segundo orden Muchas reaccionesquímicas son resultado de la interacción de dos moléculas que sufrenun cambio para dar un nuevo producto. La velocidad de la reaccióncomúnmente depende de las concentraciones de las dos clases demoléculas. Si a es la cantidad de sustancia A, b es la cantidad de sus-tancia B en el instante t = O, Y x es la cantidad de producto en elinstante t, entonces la velocidad de formación de x puede expresarsepor medio de la ecuación diferencial

dxdt = kta - x)(b - x},

o

1 dx = k(a - x)(b - x) dt '

donde k es una constante para la reacción. Integre ambos lados de estaecuación para obtener una relación entre x y t, (a) si a = b Y (b) sia =1=b. En cada caso, suponga que x = O cuando t = O.


8.5 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 463

8.5 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC)

En esta sección analizamos cómo utilizar tablas y sistemas de álgebra por computadora paraevaluar integrales.

Tablas de integralesUna tabla de integrales se incluye al final del libro, después del Índice. (Tablas más extensasaparecen en compilaciones como CRC Mathematical Tables, que contienen miles de integrales).Las fórmulas de integración se establecen en términos de constantes a, b, e, In, n, etcétera. Porlo regular, dichas constantes toman cualquier valor real y no necesitan ser enteros. Las restric-ciones ocasionales en sus valores se indican en las fórmulas. Por ejemplo, la fórmula S requiereque n =F -1, mientras la fórmula 11 requiere que n =F - 2.

En las fórmulas se supone que las constantes no toman valores que implican la divisiónentre cero ni la extracción de raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la fórmula 8supone que a =F 0, en tanto que las fórmulas 13a y 13b no pueden utilizarse a menos que bsea positiva.

EJEMPLO 1 Determine

J x(2x + Sr1 dx.

Solución Utilizamos la fórmula 23 del final del libro (no la 22, la cual necesita que n =F -1):

J x(ax + b)-1 dx = ~ - :2 In lax + bl + C.

Con a = 2 Y b = S, tenemos

J x(2x + Srl dx = ~ - ¡In 12x + SI + C. •EJEMPLO 2 Determine

J dxx~·

Solución Utilizamos la fórmula 29a:

J dx = ~tan:-l ~ax - b + C.x~ Vb b

Con a = 2 y b = 4, tenemos

J dx = _2_ tan-1 ~ 2x - 4 + C = tan-1 ~ x - 2 + C.x~ V4 4 2 •

EJEMPLO 3 Determine

J x sen" x dx.

Solución Iniciamos con la fórmula 106:

J -1 - xn+1 -1 a J xn+ldx~sen axdx - --1 sen ax - --1 V '

n + n + 1 - a2x2ni=-l.

8.5


Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC)

En esta sección analizamos cómo utilizar tablas y sistemas de álgebra por computadora para evaluar integrales.

Tablas de integrales

Una tabla de integrales se incluye al final del libro, después del Índice. (Tablas más extensas aparecen en compilaciones como CRC Mathematical Tables, que contienen miles de integrales). Las fórmulas de integración se establecen en términos de constantes a, b, e, m, n, etcétera. Por lo regular, dichas constantes toman cualquier valor real y no necesitan ser enteros. Las restricciones ocasionales en sus valores se indican en las fórmulas. Por ejemplo, la fórmula 5 requiere que n '" - 1, mientras la fórmula 11 requiere que n '" - 2.

En las fórmulas se supone que las constantes no toman valores que implican la división entre cero ni la extracción de raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la fórmula 8 supone que a '" 0, en tanto que las fórmulas 13a y 13b no pueden utilizarse a menos que b sea positiva.

EJEMPLO 1 Determine

J x(2x + 5)-1 dx.

Solución Utilizamos la fórmula 23 del final del libro (no la 22, la cual necesita que n '" -1):

J x(ax + b)- Idx = ~ - :2 In lax + bl + C.

Con a = 2 Y b = 5, tenemos

J x(2x + Sr1 dx = ~ - ¡ In 12x + 51 + C.

EJEMPLO 2 Determine

J dx

xV2x=4'

Solución Utilizamos la fórmula 29a:

J dx = 2. tan:-1 )ax - b + C. x~ Vb b

Con a = 2 Y b = 4, tenemos

J dx = ~2_ tan -1 ) 2x - 4 + C = tan-1 ) x - 2 + C. xV2x=4 V4 4 2

EJEMPLO 3 Determine

J x sen - 1 x dx.

Solución Iniciamos con la fórmula 106:

J -1 - x" + l - 1 a J xn + l dx x" sen ax dx - - -1 sen ax - --1 V '

n + n + 1 - a2x2 ni=-l.

•

•


-464 Capítulo 8: Técnicas de integración

Con n = 1 Y a = 1, tenemos

/

-1 dx x2

-1 1/ r dxx sen x = 2 sen x -"2 ~ .

Ahora utilizamos la fórmula 49 para determinar la integral de la derecha:

/_=,=x=2==dx = a

2sen " (~) _ 1xVa2 - x2 + C.

~ 2 2

Cona = 1,

El resultado combinado es

/

-1 d x2-1 1 (1 -1 1, ¡-:---;)1 2 e)x sen x x = - sen x - - - sen x - - x V 1 - x~ +

2 2 2 2

•Fórmulas de reducción

h.

I'

El tiempo que se requiere para integraciones repetidas por partes en ocasiones se puede reducirsi se aplican fórmulas como

/tan" xdx = -l-tann-l x - / tann-2 xdx

n - 1 (1)•"~o"".

/ (In x)" dx = x(Inx)" - n/ (Inx)n-I dx (2)

111.jl¡.

/

senn-l x cos/ll+1 x n - 1/sen" x cos" x dx = - + --- sen"-2 x cos" x dx

m+n m+n(n #- -m).

(3)

Al aplicar tal fórmula de manera repetida, se puede expresar la integral original en términos deuna potencia suficientemente baja que se evalúa de manera directa. El siguiente ejemplo ilustradicho procedimiento.

EJEMPLO 4 Determine

/ tan'' xdx.

Solución Aplicamos la ecuación (1) con n = 5 para obtener

/ tarr' x dx = ~ tan" x - / tarr' x dx.

Después aplicamos de nuevo la ecuación (1), con n = 3, para evaluar la integral:

/ tarr' x dx = ~ tan2 x - / tan x dx = ~ tarr' x + In Icos xl + c.


/ tan5xdx = ~tan4x - ~tan2x - In [cos x] + C.

Como lo sugiere su forma, las fórmulas de reducción se deducen por medio de integración porpartes. (Véase el ejemplo 5 en la sección 8.1.)

•


Con n = 1 Y a = 1, tenemos

j - 1 dx x2 - 1 lj r dx x sen x = 2 sen x - 2" ~ .

Ahora utilizamos la fórmula 49 para determinar la integral de la derecha:

j _==X=2= =dX = a2

sen- ] (~) _lxVa2 - x2 + c. ~ 2 2

Cona = 1,

j _r=d=x= = 1 sen-] x - 1 x~ + c. ~ 2 2


j -] d x2 - ] 1 (1 -] 1, ~l 2 c) x sen x x = - sen x - - - sen x - - x V 1 - x~ + 2 2 2 2

• FórmuLas de reducción

El tiempo que se requiere para integraciones repetidas por partes en ocasiones se puede reducir si se aplican fórmulas como

j tanll x dx = _1_ tanll -] x - j tanll - 2 x dx n - 1

j (Inx)1l dx = x(Inx)" - n j (Inx)Il-] dx

senil x coslll x dx = - + - - - sen"-2 x cosfll x dx j senll-] x cos/ll+! x n - 1 j m+n m+n

(1)

(2)

(n =F -m).

(3)

Al aplicar tal fórmula de manera repetida, se puede expresar la integral original en términos de una potencia suficientemente baja que se evalúa de manera directa. El siguiente ejemplo ilustra dicho procedimiento.

EJEMPLO 4 Determine

j tan5 xdx.

Solución Aplicamos la ecuación (1) con n = 5 para obtener

j tan5 x dx = ± tan4 x - j tan3 x dx.

Después aplicamos de nuevo la ecuación (1), con n = 3, para evaluar la integral:

j tan3 x dx = ~ tan2 x - j tan x dx = ~ tan2 x + In I cos xl + C.


j tan5 x dx = ±tan4 x - ~tan2x - In Icos xl + C'. • Como lo sugiere su forma, las fórmulas de reducción se deducen por medio de integración por partes . (Véase el ejemplo 5 en la sección 8.1.)



Integración con un SACUna de las capacidades más potentes de los sistemas de álgebra por computadora es la inte-gración simbólica. Esto se realiza con un comando para integrar específico para cada sistemaparticular (por ejemplo, int en Maple, Integrate en Mathematica).

EJEMPLO 5 Suponga que quiere evaluar la integral indefinida de la función

¡(x) = x2Ya2 + ~.Por medio de Maple, primero se define o declara la función:

Después se utiliza el comando para integrar sobre f, identificando la variable de integración:

> int(f, x);

Maple da la siguiente solución:

ix(a2 + x2)3/2 - ta2x\fcl+7 - ta4ln(x + Ya2 + x2).

Si quiere ver si la respuesta puedesimplificarse, introduzca

> simplify(%);

Maple responde

ta2xYa2 + ~ + ix3Ya2 + x2 - ta4ln (x + Ya2 + ~).

Si quiere la integral definida para O :'S x :'S -tt /2, puede utilizar el formato

> int(f, x = 0..Pi/2);

Maple dará

~ 7f( 4a2 + 7f2)(3/2l - ~ a27f y4a2 + 7f2 + .1a4 In (2)64 32 8

- ta4In(7f + Y4a2 + 7f2) + /6a4In(a2).

También puede hallar la integral definida para un valor particular de la constante a:

> a:= 1;

> int(f,x = 0..1);

Maple da la respuesta numérica

~v'2 + tln(v'2 - 1). •EJEMPLO 6 Utilice un SAC para determinar

J serr' x cos' x dx.

Solución Con Maple, tenemos la entrada

> int((sinÁ2)(x) * (cosÁ3)(x),x);

con la respuesta inmediata

-t sin (x) cos (x)4 + lis cos (X)2 sin (x) + 12Ssin(x).

Los sistemas de álgebra computacional varían en la forma como procesan las integra-ciones. En los ejemplos S y 6 utilizamos Maple, Mathematica habría dado resultados un pocodiferentes:

•


Integración con un SAC

Una de las capacidades más potentes de los sistemas de álgebra por computadora es la integración simbólica. Esto se realiza con un comando para integrar específico para cada sistema particular (por ejemplo, int en Maple, Integrate en Mathematica).

EJEMPLO 5 Suponga que quiere evaluar la integral indefinida de la función

¡(x) = x2Va2 + ~.

Por medio de Maple, primero se define o declara la función:

Después se utiliza el comando para integrar sobre f, identificando la variable de integración:

> int(f, x);

Maple da la siguiente solución:

±x(a2 + X2)3/2 - ta2xVa2+7 - ta4ln (x + Va2 + x2).

Si quiere ver si la respuesta puede simplificarse, introduzca

> simplify(%);

Maple responde

ta2xVa2 + ~ + ±x3Va2 + x2 - t a4 ln (x + Va2 + ~).

Si quiere la integral definida para O :'S x :'S 7T / 2, puede utilizar el formato

> int(f, x = 0 .. Pi/2);

Maple dará

.-L 7T(4a2 + 7T2){3/ 2l - .-La27TV4a2 + 7T2 + la4 In(2) 64 32 8

-t a4In (7T + V4a2 + 7T2) + /6a4In(a2).

También puede hallar la integral definida para un valor particular de la constante a:

> a:= 1;

> int(f,x = 0 .. 1);

Maple da la respuesta numérica

~ v2 + t In (v2 - 1) . • EJEMPLO 6 Utilice un SAC para determinar

J sen2 x cos3 x dx.

Solución Con Maple, tenemos la entrada

> int( (sin"2)(x) * (cos /\3)(x),x);

con la respuesta inmediata

-t sin (x) cos (x)4 + 115 cos (X)2 sin (x) + 125 sin(x). •

Los sistemas de álgebra computacional varían en la forma como procesan las integraciones. En los ejemplos 5 y 6 utilizamos Maple. Mathematica habría dado resultados un poco diferentes:


In [1):= Integrate [.02 * Sqrt [at\2 + .02], x]


1. En el ejemplo 5, da

Mathematica da

sin tener que simplificar un resultado intermedio. La respuesta es parecida a la fórmula 22en la tabla de integrales.

2. La respuesta de Mathematica para la integral

In [2):=Integrate [Sin [x]t\2 * Cos [xt3, x]

del ejemplo 6 es

Sin [x] 1 1Out [2)= -8- - 48Sin [3 x] - 80Sin [5 x]

diferente de la respuesta de Maple. Ambas respuestas son correctas.

Aunque un SAC es muy poderoso y nos puede ayudar a resolver problemas dificiles, cada unotiene sus propias limitaciones. Incluso existen situaciones en las que un SAC hace más com-plicado un problema (en el sentido de producir una respuesta que es extremadamente dificilde utilizar o interpretar). También, observe que ni Maple ni Mathematica dan como respuestauna constante arbitraria +C, Por otro lado, con un poco de reflexión matemática de su parte,será posible reducir el problema a otro que sea más fácil de resolver. En el ejercicio 67 presen-tamos un ejemplo de esto .

•'"'"1'11 Integrales no elementales",'" El desarrollo de computadoras y calculadoras que encuentran antiderivadas por medio de

manipulación simbólica ha llevado a un interés renovado por la determinación de cuáles an-tiderivadas pueden expresarse como una combinación finita de funciones elementales (lasfunciones que hemos estudiado) y cuáles no. Las integrales de funciones que no tienen anti-derivadas elementales se denominan integrales no elementales. Para su evaluación, requie-ren de series infinitas (capítulo 10) o de métodos numéricos cuando dan una aproximación .Ejemplo de estas últimas integrales es la función error (que mide la probabilidad de erroresaleatorios)

"

f'.11;

'1.11",

2 ¡x 2

erf(x) = y; lo e-t dt

e integrales como

J sen x' dx y J Vl+7dx

que surgen en ingeniería y fisica. Éstas y otras, tales como

¡eXx-dx, ¡e(eX

) dx, J l~xdx, J J senxIn (In x) dx, -x- dx,

J VI - k2 serr' x dx,

se ven tan sencillas que nos sentimos tentados a ver de dónde surgieron. Sin embargo, se puededemostrar que no hay forma de expresar dichas integrales como combinaciones finitas de fun-ciones elementales. Lo mismo se aplica a integrales que se transforman en éstas por sustitución.Como consecuencia del teorema fundamental del cálculo, parte 1, todos los integrando s tienen an-tiderivadas, ya que son continuos. No obstante, ninguna de sus antiderivadas es elemental.

Ninguna de las integrales que se le ha pedido evaluar en este capítulo caen en esta cate-goría, pero en otros trabajos podría encontrarse con integrales no elementales.

O<k<l,


1. En el ejemplo 5, da

In [1]:= Integrate [X'2 * Sqrt [at\2 + X'2], x]

Mathematica da

sin tener que simplificar un resultado intermedio. La respuesta es parecida a la fórmula 22 en la tabla de integrales.

2. La respuesta de Mathematica para la integral

In [2] := Integrate [Sin [x] t\2 * Cos [xt3 , x]

del ejemplo 6 es

Sin [x] 1 1 Out [2]= - 8- - 48 Sin [3 x] - 80 Sin [5 x]

diferente de la respuesta de Maple. Ambas respuestas son correctas.

Aunque un SAC es muy poderoso y nos puede ayudar a resolver problemas dificiles, cada uno tiene sus propias limitaciones. Incluso existen situaciones en las que un SAC hace más complicado un problema (en el sentido de producir una respuesta que es extremadamente difícil de utilizar o interpretar). También, observe que ni Maple ni Mathematica dan como respuesta una constante arbitraria +C. Por otro lado, con un poco de reflexión matemática de su parte, será posible reducir el problema a otro que sea más fácil de resolver. En el ejercicio 67 presentamos un ejemplo de esto.

Integrales no elementales El desarrollo de computadoras y calculadoras que encuentran antiderivadas por medio de manipulación simbólica ha llevado a un interés renovado por la determinación de cuáles antiderivadas pueden expresarse como una combinación finita de funciones elementales (las funciones que hemos estudiado) y cuáles no. Las integrales de funciones que no tienen antiderivadas elementales se denominan integrales no elementales. Para su evaluación, requieren de series infinitas (capítulo 10) o de métodos numéricos cuando dan una aproximación. Ejemplo de estas últimas integrales es la función error (que mide la probabilidad de errores aleatorios)

2 ¡x 2

erf(x) = y; Jo e-t dt

e integrales como

J sen;;' dx y J Vl+7dx

que surgen en ingeniería y física. Éstas y otras, tales como

¡ eX X- dx, J e(e

X

) dx, J l~xdx, J J senx In (In x) dx, -x- dx,

J VI - k 2 sen2 xdx, O<k < l,

se ven tan sencillas que nos sentimos tentados a ver de dónde surgieron. Sin embargo, se puede demostrar que no hay forma de expresar dichas integrales como combinaciones finitas de funciones elementales. Lo mismo se aplica a integrales que se transforman en éstas por sustitución. Como consecuencia del teorema fundamental del cálculo, parte 1, todos los integrando s tienen anti derivadas, ya que son continuos. No obstante, ninguna de sus antiderivadas es elemental.

Ninguna de las integrales que se le ha pedido evaluar en este capítulo caen en esta categoría, pero en otros trabajos podría encontrarse con integrales no elementales.



Ejercicios 8.5

Uso de tablas de integralesUtilice la tabla de integrales de la parte final del libro para evaluar las inte-grales de los ejercicios I a 26.

1. J dx 2. J dxx~ x~

3. J xdx 4. J xdxVx-=2 (2x + 3)3/2

5. JX~dX 6. JX(7X + S?/2dx

7. J \l9x~ 4x dx 8 J dx. x2~

9. J xV4x - ~dx 10. JV\-~ dx

11. J dx 12.J xV~-~x~

13. J V\- x2

dx 14. J Vx~ - 4 dx

15. J e21cos 31dt 16. J e-31sen 4t dI

17. J x cos"! xdx 18. J x tan"! x dx

19. J x2 tan"! x dx 20. J tan-I x dxx2

21. J sen 3x cos 2x dx 22. J sen 2x cos 3x dx

J 8 sen 4t sen f dt 24. J t I23. sen"3 sen "6 di

25. J e e 26. J cos%cos7edecos"3COS¡ de

38. J ~ dxV~ - 4x + S

39. J vs - 4x - ~ dx

Sustitución y tablas de integralesEn los ejercicios 27 a 40, utilice una sustitución para cambiar la integralen una que pueda encontrar en la tabla. Después evalúe la integral.

JX3+X+ldx Jx2+6Xd

27. (x2 + I? 28. (x2 + 3)2 X

J J cos~~xvXdX29. sen-I vXdx 30. vx

40. J x2 V2x - x2dx

Uso de fórmulas de reducciónUtilice las fórmulas de reducción para evaluar las integrales en los ejerci-cios 41 a SO.

41. J serr' 2x dx 42. J 8 cos" Zttt dt

43. J serr' 2e cos ' ze de 44. J 2 serr' t sec" I.u

45. J 4tan3 2xdx 46. J 8 cot" tdt

47. J 2 sec? 7rXdx 48. J 3 sec" 3xdx

49. J csc'' xdx 50. J 16x3(lnx)2dx

Evalúe las integrales de los ejercicios SI a S6; primero haga una sustitu-ción (quizá trigonométrica) y después aplique una fórmula de reducción.

31. J vX dx~

33. J cot IV I - serr' I di,

34. J dttan IV 4 - sen2 t

36. J tan-I Vydy

J~dx32. vX

53. lol 2v?+l dx

12(,.1 - 1)3/255. r dr

I

Aplicaciones57. Área de una superficie Determine el área de la superficie

generada al hacer girar, alrededor del eje x, la curvay = -v?"+2, O 05 X 05 V2,.

58. Longitud de arco Determine la longitud de la curva y = x2,O 05 x 05 V3/2.

59. Centroide Encuentre el centroide de la región en el primer cua-drante determinada por la curva y = I/~ Yla recta x = 3.

60. Momento con respecto al eje y Una delgada placa de densidadconstante 8 = I ocupa la región encerrada por la curva y = 36/(2x + 3) Y la recta x = 3 en el primer cuadrante. Determine elmomento de la placa con respecto al eje y.

D 61. Utilice la tabla de integrales y una calculadora para determinar, condos decimales, el área de la superficie generada al hacer girar, alre-dedor del eje x, la curva y = x2, -1 05 x 05 l.

62. Volumen El jefe del departamento de contabilidad de su empresa leha pedido determinar una fórmula que él pueda utilizar en un programade cómputo para calcular el inventario de fin de año de la gasolina con-tenida en los depósitos de la compañía. Cada depósito tiene la formade un cilindro circular recto de radio r y longitud L, montado en for-ma horizontal, como se muestra a continuación. La información quellega al departamento de contabilidad, como medidas de la 'profundi-dad, se toma de una varilla medidora graduada en centímetros.

O < 1< 7r/2

J dy35. -r==~

y\13 + (iny)2

37. J 1 dxVx2+2x+S

(Sugerencia: Complete el cuadrado).


me


a. Muestre, en la notación de la figura, que el volumen que ocupa lagasolina en el tanque hasta una profundidad des

d. ¿Observa algún patrón? Trate de predecir la fórmula paraJ x41nx dx y después vea si su conjetura es correctaevaluándola con un SACo

e. ¿Cuál es la fórmula para J x" In x dx, n 2: I? Compruebesu respuesta utilizando un SACo

66. Evalúe las integrales

Jlnxd b Jlnxdxa. y} x . x3 J

lnxc. 7dx.

v = 2L¡,-r+d V? -ldy.

b. Evalúe la integral.

y

Varilla medidora d. ¿Observa algún patrón? Trate de predecir la fórmula para

J Inx dxx5

d = Profundidad"I;¡¡~_..íl......•••••..;...;.."""~~L:l de la gasolina-rl+-- _

y después vea si es correcta; para ello, evalúela con un SACo

e. ¿Cuál es la fórmula para

L

Jlnxdx n2:2?

x" '

63. ¿Cuál es el mayor valor de Verifique su respuesta con un SACo

67. a. Utilice un SAC para evaluar

que puede tener para cualesquiera valores de a y b? Justifique surespuesta.

64. ¿Cuál es el mayor valor de

{"/2 senilxlo sen" x + cos" x dx

","

lb xV2x - x2 dx

donde n es un entero positivo arbitrario. ¿Puede su SAC determi-nar el resultado?

b. De manera sucesiva, determine la integral cuando n = 1, 2, 3,5 Y 7. Comente acerca de la complejidad de los resultados.

c. Ahora haga la sustitución x = (7T/2) - u y sume la nueva inte-gral con la anterior. ¿Cuál es el valor de

que puede tener para cualesquiera valores de a y b? Justifique surespuesta.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAEn los ejercicios 65 y 66, utilice un SAC para realizar las integraciones.


a. J x Inx dx b. J x2 Inx dx c. J x3 In x dx.

1,,/2 sen" x--::--------c- dx?

o senilx + cos" x

Este ejercicio ilustra cómo un poco de ingenio matemático per-mite resolver un problema que no puede resolverse de formainmediata con un SACo

8.6 Integración numérica

Las antiderivadas de algunas funciones como seruz '), l/In x y ~ no tienen fórmulaselementales. Cuando no es posible determinar una antiderivada que pueda manejarse para unafunción f que tenemos que integrar, podemos dividir el intervalo de integración, remplazar fpor un polinomio que se ajuste bien en cada subintervalo, integrar los polinomios y sumar losresultados para aproximar la integral de f. Este procedimiento es un ejemplo de integraciónnumérica. En esta sección estudiamos dos de estos métodos, la regla del trapecio y la regla deSimpson. En nuestra presentación, supondremos que f es positiva, pero el único requisito esque sea continua en el intervalo de integración [a, b].

Aproximaciones por trapecios

La regla del trapecio para el valor de la integral definida se basa en la aproximación de laregión entre una curva y el eje x, con trapecios en lugar de rectángulos, como en la figura 8.7.

468 Capítulo 8: Técnicas de integ ración

a. Muestre, en la notación de la figura, que el volumen que ocupa la gasolina en el tanque hasta una profundidad des

v = 2L L-r+d V? -l dy.

b. Evalúe la integral.

y

Varilla medidora

- r H ____ L


d = Profundidad de la gasolina

que puede tener para cualesquiera valores de a y b? Justifique su respuesta.


lb xV2x - x2 dx

que puede tener para cualesquiera valores de a y b? Justifique su respuesta.

EXPLORACIONES CON COMPUTADORA En los ejercicios 65 y 66, utilice un SAC para realizar las integraciones.


c. J x3 lnxdx.

8.6 Integración numérica

d. ¿Observa algún patrón? Trate de predecir la fórmula para J x4 In x dx y después vea si su conjetura es correcta evaluándola con un SAC.

e. ¿Cuál es la fórmula para J x" In x dx, n :2: l? Compruebe su respuesta utilizando un SACo


a. J 1:; dx b. J I~X dx Jln x c. 7dx .

d. ¿Observa algún patrón? Trate de predecir la fórmula para

J Inx dx xS

y después vea si es correcta; para ello, evalúela con un SACo

e. ¿Cuál es la fórmula para

Verifique su respuesta con un SAC.

67. a. Utilice un SAC para evaluar

1",/ 2 senil x -..,...::.::::...~--::- dx

o senil x + cosn X

donde n es un entero positivo arbitrario. ¿Puede su SAC determinar el resultado?

b. De manera sucesiva, determine la integral cuando n = 1, 2, 3, 5 Y 7. Comente acerca de la complej idad de los resultados.

c. Ahora haga la sustitución x = (7r / 2) - u y sume la nueva integral con la anterior. ¿Cuál es el valor de

1",/ 2 senil x -..,...::.::::...~--::- dx?

o senil x + cos" X

Este ejercicio ilustra cómo un poco de ingenio matemático permite resolver un problema que no puede resolverse de forma inmediata con un SACo

Las antiderivadas de algunas funciones como sen(x 2), l / In x y v'l+7 no tienen fórmulas elementales. Cuando no es posible determinar una antiderivada que pueda manejarse para una función f que tenemos que integrar, podemos dividir el intervalo de integración, remplazar f por un polinomio que se ajuste bien en cada subintervalo, integrar los polinomios y sumar los resultados para aproximar la integral de f. Este procedimiento es un ejemplo de integración numérica. En esta sección estudiamos dos de estos métodos, la regla del trapecio y la regla de Simpson. En nuestra presentación, supondremos que f es positiva, pero el único requisito es que sea continua en el intervalo de integración [a , b].

Aproximaciones por trapecios

La regla del trapecio para el valor de la integral definida se basa en la aproximación de la región entre una curva y el eje x, con trapecios en lugar de rectángulos, como en la figura 8.7.


8.6 Integración numérica 469

y = j(x)

Área del trapecio~ (y I + Y2)/ll:

Yn-I YnYI

Xo = a XI

FIGURA 8.7 La regla del trapecio aproxima pequeñassecciones de la curva y = f(x) con segmentos de rectas.Para aproximar la integral de f desde a hasta b, sumamoslas áreas de los trapecios formados al unir los extremosde los segmentos con el eje x.

No es necesario que en la figura los puntos de subdivisión Xo, XI, X2, ... , X" estén igualmenteespaciados, pero la fórmula es mucho más sencilla si lo están. Por lo tanto, supondremos quela longitud de cada subintervalo es

b - a~x = -n-o

La longitud ~ = (b - a)/n se denomina longitud del paso o tamaño de la malla. El áreadel trapecio que está arriba del i-ésimo subintervalo es

(Yi-I + Yi) ~x~x 2 = T(Yi-1 + y¡),

donde Yi-I = f(x¡-I) y Y¡ = f(x;). Esta área es igual a la longitud ~ de la "altura" horizontaldel trapecio multiplicada por el promedio de sus dos "bases" verticales. (Véase la figura 8.7).Entonces, el área debajo de la curva y = f(x) y arriba del eje X se aproxima si se suman lasáreas de todos los trapecios:

1 1T = "2 (Yo + YI)~X + "2(YI + Y2)~X + ...

1 1+ "2 (Y,,-2 + Y,,-I)~X + "2 (Y,,-I + Y,,)~x

~X= T (Yo + 2YI + 2Y2 + ... + 2Yn-1 + Yn),

donde

yo = fea), y, = f(xI), y" = f(b).

La regla del trapecio indica lo siguiente: utilice T para estimar la integral de f desde a hasta b.Es equivalente a la regla del punto medio analizada en la sección 5.1.


y = j(x)

FIGURA 8.7 La regla del trapecio aproxima pequeñas secciones de la curva y = f(x) con segmentos de rectas. Para aproximar la integral de f desde a hasta b, sumamos las áreas de los trapecios formados al unir los extremos de los segmentos con el eje x.

No es necesario que en la figura los puntos de subdivisión Xo, XI, X2, .. . , Xn estén igualmente espaciados, pero la fórmula es mucho más sencilla si lo están. Por lo tanto, supondremos que la longitud de cada sub intervalo es

b - a ~x = -n-o

La longitud ~ = (b - a)/ n se denomina longitud del paso o tamaño de la malla . El área del trapecio que está arriba del i-ésimo sub intervalo es

(Yi-I + Yi ) ~x

~x 2 = T(Y¡- I + Y¡),

donde Y¡ - I = f(x¡-I) y Y¡ = f(x¡). Esta área es igual a la longitud ~ de la "altura" horizontal del trapecio multiplicada por el promedio de sus dos "bases" verticales. (Véase la figura 8.7). Entonces, el área debajo de la curva y = f~) y arriba del eje X se aproxima si se suman las áreas de todos los trapecios:

1 1 T = '2 (Yo + YI) ~X + '2(YI + Y2) ~X + ...

1 1 + '2 (Yn-2 + Yn- I)~X + '2 (Yn - I + YI1)~x

= ~x (~YO + YI + Y2 + ... + Yn-I + ~YI1) ~X

= T(YO + 2Y I + 2Y2 + ... + 2Yn-1 + Yn) ,

donde

Yo = fea) , Y I = f(XI), Yn - I = f(Xn-I), YI1 = f(b).

La regla del trapecio indica lo siguiente: utilice T para estimar la integral de f desde a hasta b. Es equivalente a la regla del punto medio analizada en la sección 5.1.



y

FIGURA 8.8 La aproximación por medio detrapecios del área bajo la gráfica de y = x2,desde x = I hasta x = 2, es un ligerasobreestimación (ejemplo 1).

1"

"

TABLA 8.2

x y = x2

1 I1, 5 25I

4 1611

6 364 167 494 162 4

y

Yo YI Y2h h~+- __L-~ __ L-~~~-L~~~X

O a = -o XI X2

FIGURA 8.9 La regla de Simpson aproximapequeñas secciones de la curva por medio deparábolas.

Regla del trapecio

Para aproximar 1ab f(x) dx , utilice

T = ~x &0 + 2Yl + 2Y2 + ... + 2Yn-¡ + Yn).

Las y son los valores de f en los puntos de la partición

Xo = a,x¡ = a + LlX,X2 = a + 2Llx, ... , Xn-l = a + (n - l)Llx,xn = b ,

donde Llx = (b - a)/n.

EJEMPLO 1 Utilice la regla del trapecio con n = 4 para estimar 1¡2 ~ dx. Compare la esti-mación con el valor exacto.

Solución Divida el intervalo [1,2] en cuatro subintervalos de la misma longitud (figura 8.8).Después evalúe y = x2 en cada punto de la partición (tabla 8.2).

Utilizando estos valores de y, n = 4 Y Llx = (2 - 1)/4 = 1/4 en la regla del trapecio,tenemos

T = ~x &0 + 2YI + 2Y2 + 2Y3 + Y4)

75= 32 = 2.34375.

Como la parábola es cóncava hacia arriba, los segmentos de aproximación están sobre la curva,lo que implica que cada trapecio tiene un área ligeramente mayor que la correspondiente franjabajo la curva. El valor exacto de la integral es

8 1 73 3 3·

La aproximación T sobreestima la integral en alrededor de medio por ciento de su valorverdadero de 7/3. El porcentaje de error es (2.34375 7/3)/(7 /3) ~ 0.00446 o 0.446 porciento. •

Regla de Simpson: Aproximaciones por medio de parábolasOtra regla para aproximar la integral definida de una función continua resulta de utilizar pará-bolas en vez de segmentos de recta que producen trapecios. Como antes, hacemos una par-tición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud h = Llx = (b - a)/n, pero estavez requerimos que n sea un número par. En cada par de intervalos consecutivos, aproximamosla curva y = f(x) 2: Opor medio de una parábola, como se ilustra en la figura 8.9. Un parábolatípica pasa por los tres puntos consecutivos (Xi-I, Yi-¡), (x¿ y¡) Y (Xi+ 1,Yi+ 1) de la curva.

Calculemos el área de la región sombreada que tiene una parábola que pasa por tres puntosconsecutivos. Para simplificar nuestros cálculos, primero tomamos el caso en donde Xo = - h,XI = OYX2 = h (figura 8.10), donde h = Llx = (b - a)/n. El área debajo de la parábola será



y la misma si desplazamos el eje y hacia la izquierda o hacia la derecha. La parábola tiene unaecuación de la forma

Y¡

(O, Y¡)(h,Y2)

Y = AY + Bx + e

Y2

y = A.x?- + Bx + e,

Yo

por lo que el área debajo de ella desde x = - h hasta x = h es

Ap = 1:(Ax2 + Bx + e) dx

-----_hL---~O+----Lh----~x3 2 ]h= Ax + Bx + ex

3 2 -h

FIGURA 8.10 Al integrar desde -h hasta h,determinamos que el área sombreada es = 2~h3 + zc» = ~ (2Ah2 + 6e).

Como la curva pasa por los tres puntos (- h, Yo), (O,Y¡) y (h, Y2), también tenemos

Yo = Ah2 - Bh + e, Y¡ = e, Y2 = Ah2 + Bh + e,

de lo cual obtenemos

e = yl,

Ah2 - Bh = Yo - YI,

Ah2 + Bh = Y2 - YI,

2Ah2 = Yo + Y2 - 2y¡.

De esta forma, expresando el área Ap en términos de las ordenadas Yo, Y¡ Y Y2, tenemos

Ap = ~ (2Ah2 + 6e) = ~ ((Yo + Yz - 2YI) + 6YI) = ~ (Yo + 4y¡ + yz).

Ahora si en la figura 8.9 desplazamos la parábola de manera horizontal a su posición som-breada, no cambia el área debajo de ella. Así, el área debajo de la parábola que pasa por(xo, Yo), (Xl, y¡) y (xz, YZ) en la figura 8.9 es

De forma análoga, el área debajo de la parábola que pasa por los puntos (xz, Yz), (X3, Y3) y(X4, Y4) es

Si calculamos las áreas debajo de todas las parábolas y sumamos los resultados, obtendremosla aproximación

(b h hla f(x)dx ~ "3 (YO + 4y¡ + yz) + "3(Yz + 4Y3 + Y4) + ...

h+ "3 (Yn-Z + 4Yn-1 + Yn)

BIOGRAFÍA HISTÓRICA El resultado se conoce como regla de Simpson. La función no necesita ser positiva, como ennuestra deducción, pero el número n de subintervalos debe ser par para aplicar la regla, ya quecada arco parabólico utiliza dos subintervalos.

Thomas Simpson(1720-1761)


y la misma si desplazamos el eje y hacia la izquierda o hacia la derecha. La parábola tiene una ecuación de la forma

(O, Y¡) (h'Y2) Y = Ar- + Bx + e,

y = A2 + Bx+C

Yo Y¡

____ -L __ ~+_---L-----+ x

-h o h

FIGURA 8.10 Al integrar desde -/¡ hasta h,

determinamos que el área sombreada es


Thomas Simpson (1720-1761)

por lo que el área debajo de ella desde x = - h hasta x = h es

Ap = 1: (Ax2 + Bx + e) dx

= Ax + Bx + ex 3 2 Jh 3 2 -h

= 2~h3 + 2eh = ~ (2Ah2 + 6e).

Como la curva pasa por los tres puntos ( - h, Yo), (O, Y¡) y (h, Y2), también tenemos

Yo = Ah2 - Bh + e, Y¡ = e, Y2 = Ah2 + Bh + e,

de lo cual obtenemos

e = Y¡,

Ah2 - Bh = Yo - YI,

Ah2 + Bh = Y2 - Y¡,

2Ah2 = Yo + Y2 - 2y¡.

De esta fonna, expresando el área Ap en términos de las ordenadas Yo , YI Y Y2, tenemos

Ap = ~(2Ah2 + 6e) = ~((Yo + Yz - 2YI) + 6y¡) = ~(yo + 4y¡ + yz).

Ahora si en la figura 8.9 desplazamos la parábola de manera horizontal a su posición sombreada, no cambia el área debajo de ella. Así, el área debajo de la parábola que pasa por (XO, Yo), (x¡ , y¡) y (xz, YZ) en la figura 8.9 es

De foona análoga, el área debajo de la parábola que pasa por los puntos (xz, Yz), (X3 , Y3) y (X4, Y4) es

Si calculamos las áreas debajo de todas las parábolas y sumamos los resultados, obtendremos la aproximación

( b h h la f(x)dx::::J "3 (Yo + 4y¡ + yz) + "3(Yz + 4Y3 + Y4) + ...

h + "3 (Yn-Z + 4Yn - 1 + Yn)

El resultado se conoce como regla de Simpson. La función no necesita ser positiva, como en nuestra deducción, pero el número n de sub intervalos debe ser par para aplicar la regla, ya que cada arco parabólico utiliza dos subintervalos.


---------_ .. _~- -----


TABLA 8.3

x y = 5x4

O O1 S2 161 S

3 40S2 162 80

Regla de Simpson

Para aproximar fab f(x) dx, utilice

Las y son los valores de f en los puntos de la partición

Xo = a,x¡ = a + ~X,X2 = a + 2~x, ... ,Xn-1 = a + (n - l)~x,xn = b.

El número n es par y ~ = (b - a)/n.

Observe el patrón de coeficientes en la regla anterior: 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ... , 4, l.

EJEMPLO2 Utilice la regla de Simpson con n = 4 para aproximar f02 Sx4 dx.

Solución Dividimos [O, 2] en cuatro subintervalos y evaluamos y = Sx4 en los puntos de lapartición (tabla 8.3). Después, aplicamos la regla de Simpson con n = 4 Y~ = 1/2:

s = ~x &0 + 4y¡ + 2Y2 + 4Y3 + Y4)

= i (O + 4CS6) + 2(S) + 4 (410¡) + 80)

1= 3212.

Esta estimación difiere del valor exacto (32) en sólo 1/12, un error porcentual de menos de tresdécimos de uno por ciento, lo cual se logró con sólo cuatro subintervalos. _

Análisis del errorSiempre que utilicemos una técnica de aproximación, la cuestión que surge es qué tan precisapuede ser la aproximación. El siguiente teorema ofrece fórmulas para la estimación de errorescuando se maneja la regla del trapecio y la regla de Simpson. El error es la diferencia entre laaproximación que se obtiene mediante la regla y el valor real de la integral definida f:f(x) dx.

TEOREMA 1: Estimación de los errores en la regla del trapecio y en la regla deSimpson Si f" es continua y M es cualquier cota superior para los valores de If"len [a, b], entonces el error ET en la aproximación por medio de trapecios a la integralde f, desde a hasta b, para n pasos satisface la desigualdad

M(b - a?IETI:s 12n2 Regla del trapecio

Si f(4) es continua y M es cualquier cota superior para los valores de If( 4)1 en [a, b],entonces el error Es en la aproximación de la regla de Simpson a la integral de f,desde a hasta b para n pasos, satisface la desigualdad

M(b - a)5IEsl:s 180n4 Regla de Simpson

Para ver por qué el teorema 1 es cierto en el caso de la regla del trapecio, iniciaremoscon un resultado del cálculo avanzado, el cual dice que si f" es continua en el intervalo [a, b],entonces

r b-ala f(x) dx = T - 12' f"(c)(~x)2


------------------------------------------------------------~---===---


para algún número c entre a y b. Así, cuando Llx tiende a cero, el error definido por

b - aET = ------u-. f"(c)(!::.xf

se aproxima a cero como el cuadrado de Sx.La desigualdad

donde máx se refiere al intervalo [a, b], da una cota superior para la magnitud del error. Enla práctica, por lo regular no es posible determinar el valor exacto de máxlf"(x)l, por lo que,en vez de ello, tenemos que estimar una cota superior o valor para el "peor caso". Si M escualquier cota superior para los valores de If"(x) Ien [a, b] de manera que If"(x) I :::;M en [a, b],entonces

b - a 2IETI :::;-----u- M(!::.x) .

Si sustituimos (b - a)/n por Llx, obtendremos

Para estimar el error en la regla de Simpson, iniciamos con un resultado de cálculo avan-zado que dice que si la cuarta derivada f(4) es continua, entonces

r ¡(x) dx = S _ b - a . ¡(4)(C)(!::.X)4la 180

para algún punto e entre a y b. Así, cuando Llx tiende a cero, el error,

tiende a cero como la cuarta potencia de Llx. (Lo anterior ayuda a explicar por qué es muy pro-bable que la regla de Simpson arroje mejores resultados que la regla del trapecio).

La desigualdad

donde máx se refiere al intervalo [a, b], brinda una cota superior para la magnitud del error.Al igual que sucede con máxjj" I en la fórmula del error para la regla del trapecio, por lo re-gular no es posible determinar el valor exacto de máxlf(4)(x)l, de manera que tenemos queremplazarlo con una cota superior. Si M es cualquier cota superior para los valores de 1J<4)1en [a, b], entonces

b - a 4IEsl :::;180 M(!::.x) .

Si se sustituye (b - a)/n por áx en la expresión anterior, se tiene

EJEMPLO 3 Determine una cota superior para el error al estimar 102 5x4 dx usando la reglade Simpson con n = 4 (ejemplo 2).

Solución Para estimar el error, primero encontramos una cota superior M para la magnitudde la cuarta derivada de f(x) = 5x4 en el intervalo O :::;x :::;2. Como la cuarta derivada tiene


para algún número c entre a y b. ASÍ, cuando Llx tiende a cero, el error definido por

b - a ET = - -----u-. f"(c)(!:::.x)2

se aproxima a cero como el cuadrado de Llx. La desigualdad

b - a IETI :S -----u- máx I f"(x) I (!:::. x)2

donde máx se refiere al intervalo [a , b], da una cota superior para la magnitud del error. En la práctica, por lo regular no es posible determinar el valor exacto de máxlf"(x)l, por lo que, en vez de ello, tenemos que estimar una cota superior o valor para el "peor caso". Si M es cualquier cota superior para los valores de If"(x) I en [a , b] de manera que I f"(x) I :S M en [a, b], entonces

b - a 2 IETI :S -----u- M(!:::.x) .

Si sustituimos (b - a)/ n por Llx, obtendremos

Para estimar el error en la regla de Simpson, iniciamos con un resultado de cálculo avanzado que dice que si la cuarta derivada j<4) es continua, entonces

r f(x) dx = S _ b - a . ¡<4l(C)(!:::'X)4 la 180

para algún punto c entre a y b. Así, cuando Llx tiende a cero, el error,

tiende a cero como la cuarta potencia de Llx. (Lo anterior ayuda a explicar por qué es muy probable que la regla de Simpson arroje mejores resultados que la regla del trapecio).

La desigualdad

donde máx se refiere al intervalo [a , b], brinda una cota superior para la magnitud del error. Al igual que sucede con máx lf" I en la fórmula del error para la regla del trapecio, por lo regular no es posible determinar el valor exacto de máxlf(4l(x) l, de manera que tenemos que remplazarlo con una cota superior. Si M es cualquier cota superior para los valores de 1j<4ll en [a , b], entonces

b - a 4 IEs l :S 180 M(!:::.x) .

Si se sustituye (b - a)/ n por Llx en la expresión anterior, se tiene

EJEMPLO 3 Determine una cota superior para el error al estimar f02

5x4 dx usando la regla de Simpson con n = 4 (ejemplo 2).

SoLución Para estimar el error, primero encontramos una cota superior M para la magnitud de la cuarta derivada de f(x) = 5x 4 en el intervalo O :S X :S 2. Como la cuarta derivada tiene



el valor constante f(4)(X) = 120, tomamos M = 120. Con b - a = 2 Y n = 4, la estimacióndel error para la regla de Simpson da

M(b - a)5 120(2)5 1IEsl:::; 180n4 = 180. 44 = 12·

Dicha estimación es congruente con el resultado del ejemplo 2.

El teorema 1 también puede usarse para estimar el número de subintervalos que se requie-ren cuando se utiliza la regla del trapecio o la regla de Simpson, si especificamos una ciertatolerancia para el error.

EJEMPLO 4 Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la inte-gral del ejemplo 3 utilizando la regla de Simpson con un error de magnitud menor que 10-4.

Solución Usando la desigualdad en el teorema 1, elegimos el número de subintervalos n quesatisfaga

M(b - a)5 4--'--~ < 10-180n4 '

entonces el error Es en la regla de Simpson satisface lEs I < 10-4 como se pidió.En la solución en el ejemplo 3, tenemos M = 120 Yb - a = 2, así que necesitamos que n

satisfaga

o, de manera equivalente,

4 > 64.104n --3-.

Se sigue que

Como en la regla de Simpson n debe ser par, estimamos el número mínimo de subintervalosnecesarios como n = 22 para la tolerancia del error que se dio. •

EJEMPLO 5 Como vimos en el capítulo 7, el valor de In 2 puede calcularse a partir de laintegral

{21In2 = JI -Xdx.

La tabla 8.4 muestra los valores Ty S para las aproximaciones de 112 (l/x) dx si se utili-zan varios valores de n. Observe que la regla de Simpson mejora radicalmente los valores dela regla del trapecio. En particular, observe que cuando duplicamos el valor de n (y por lo tanto

1020304050

100

TABLA 8.4 Aproximaciones de la regla del trapecio (Tn) Y de la regla de Simpson (Sn)de ln 2 = 1~(l/x) dx

IErrorlmenor que ...

[Error]Menor que ...n TIl

0.69315023070.69314737470.69314721900.69314719270.69314718560.6931471809

0.69377140320.69330338180.69321661540.69318624000.69317217930.6931534305

0.00062422270.00015620130.00006943490.00003905950.00002499880.0000062500

0.00000305020.00000019420.00000003850.00000001220.00000000500.0000000004

•


el valor constante f(4)(X) = 120, tomamos M = 120. Con b - a = 2 Y n = 4, la estimación del error para la regla de Simpson da

M(b - a)5 120(2)5 1

IEsl:s; 180n4 = 180. 44 = 12 · Dicha estimación es congruente con el resultado del ejemplo 2. •

El teorema 1 también puede usarse para estimar el número de subintervalos que se requieren cuando se utiliza la regla del trapecio o la regla de Simpson, si especificamos una cierta tolerancia para el error.

EJEMPLO 4 Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la inte-gral del ejemplo 3 utilizando la regla de Simpson con un error de magnitud menor que 10-4.

Solución Usando la desigualdad en el teorema 1, elegimos el número de subintervalos n que satisfaga

M(b - a)5 4 --'- - '- < 10-180n4 '

entonces el error Es en la regla de Simpson satisface lEs I < 10- 4 como se pidió. En la solución en el ejemplo 3, tenemos M = 120 Y b - a = 2, así que necesitamos que n

satisfaga

o, de manera equivalente,

Se signe que

120(2i 1 - -- < -

180n4 104

4 > 64· 104

n - -3-.

n > 10(634)'/4 ~ 21.5 .

Como en la regla de Simpson n debe ser par, estimamos el número mínimo de sub intervalos necesarios como n = 22 para la tolerancia del error que se dio. •

EJEMPLO 5 Como vimos en el capítulo 7, el valor de In 2 puede calcularse a partir de la integral

In2 = 12

~dx. La tabla 8.4 muestra los valores Ty S para las aproximaciones de 112

(l / x) dx si se utilizan varios valores de n. Observe que la regla de Simpson mejora radicalmente los valores de la regla del trapecio . En particular, observe que cuando duplicamos el valor de n (y por lo tanto

TABLA 8.4 Aproximaciones de la regla del trapecio (Tn) Y de la regla de Simpson (Sn)

de ln 2 = 1~ O/ x) dx

IErrorl IErrorl n T" menor que .. . S" Menor que ...

10 0.69377 14032 0.0006242227 0.6931502307 0.0000030502

20 0.6933033818 0.0001562013 0.6931473747 0.0000001942

30 0.6932166154 0.0000694349 0.6931472190 0.0000000385

40 0.6931862400 0.0000390595 0.6931471927 0.0000000122

50 0.6931721793 0.0000249988 0.6931471856 0.0000000050

100 0.6931534305 0.0000062500 0.6931471809 0.0000000004



se divide entre dos el valor de h = Lll:), el error para T se divide entre 2 al cuadrado,mientrasque el error para S se divide entre 2 a la cuarta.

Lo anterior tiene un efecto radical cuando Lll: = (2 - l)/n se hace pequeño. La aproxi-mación de Simpson para n = 50 aproxima a siete decimales y para n = 100 coincide con nuevedecimales (¡una aproximación de mil millonésimas!). _

Si f(x) es un polinomio de grado menor que cuatro, entonces su cuarta derivada será cero, y

b-a b-aEs = ---J<4l(C)(LlX)4 = ---(0)(Llx)4 = O180 180 .

Así, no habrá error en la aproximación de Simpson de cualquier integral de f. En otras pa-labras, sif es una constante, una función lineal, o un polinomio cuadrático o cúbico, la regla deSimpson dará el valor exacto de cualquier integral de f, sin importar el número de subdivi-siones. De manera análoga, si f es una constante o una función lineal, entonces su segunda de-rivada es cero y

146 ft b-a b-aEr = -----u- f"(C)(Llx)2 = -----u-(O)(LlX? = O.

122 ftPor lo tanto, la regla del trapecio dará el valor exacto de cualquier integral de f. Esto no sor-prende, ya que los trapecios se ajustan perfectamente a la gráfica.

Aunque, en teoría, la disminución del tamaño del paso Lll: reduce el error en las aproxima-ciones de Simpson y del trapecio, en la práctica podría no ser así. Cuando Lll: es muy pequeña,digamos Lll: = 10-5, los errores de redondeo de las computadoras y calculadoras en la aritmé-tica que se requiere para calcular S y T se acumulan a tal grado que las fórmulas de error podríandejar de describir lo que pasa. La reducción de Sx por debajo de cierto tamaño empeoraría lascosas. Aunque éste no es tema del texto, si tiene problemas con el redondeo, debe consultar unlibro de análisis numérico para métodos alternativos.

76 ft

54 ft

Espacíamientovertical = 20 ft

FIGURA 8.11 Dimensiones del pantano delejemplo 6.

EJEMPLO 6 Un poblado quiere desecar y rellenar un pequeño pantano contaminado (figura8.11). El pantano tiene un promedio de 5 ft de profundidad. ¿Aproximadamente cuántas yardascúbicas de tierra se necesitarán para llenar el área después de desecar el pantano?

Solución Para calcular el volumen del pantano, estimamos el área de la superficie y la mul-tiplicamos por 5. Para estimar el área, utilizamos la regla de Simpson con Lll: = 20 ft y las yiguales a las distancias medidas a través del pantano, como se indica en la figura 8.11.

LlxS = 3 (Yo + 4y¡ + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + 4Y5 + Y6)

= ~0(146 + 488 + 152 + 216 + 80 + 120 + 13) = 8100

El volumen es de alrededor de (8100)(5) = 40,500 ft3 o 1500 yd", -Ejerddos 8.6

Estimación de integraLesLas instrucciones para las integrales en los ejercicios 1 a 10, tienen dospartes: una para la regla del trapecio y otra para la regla de Simpson.

l. Uso de la regla del trapecio

11. Uso de la regla de Simpson

a. Estime la integral con n = 4 pasos y determine una cota superiorpara IEsl.

b. Evalúe la integral directamente y determine IEsl.

c. Utilice la fórmula (IEsl/(valor verdadero» X 100 para expresarlEs I como un porcentaje del valor verdadero de la integral.

a. Estime la integral con n = 4 pasos y determine una cota superiorpara IETI.

b. Evalúe la integral directamente y determine IETI.c. Utilice la fórmula (IETI/(valor verdadero» X 100 para expresar

IETI como un porcentaje del valor verdadero de la integral.2.¡3 (2x - l)dx

76 ft

54 ft

146 ft

122 ft

Espaciamiento vertical = 20 ft

FIGURA 8.11 Dimensiones del pantano del

ejemplo 6.

Ejerddos 8.6

Estimación de integrales


se divide entre dos el valor de h = LU), el error para T se divide entre 2 al cuadrado, mientras que el error para S se divide entre 2 a la cuarta.

Lo anterior tiene un efecto radical cuando LU = (2 - 1) / n se hace pequeño. La aproximación de Simpson para n = 50 aproxima a siete decimales y para n = 100 coincide con nueve decimales (¡una aproximación de mil millonésimas!). _

Si f(x) es un polinomio de grado menor que cuatro, entonces su cuarta derivada será cero, y

b-a ) b - a Es = ---J<4 (C)(¿h)4 = --- (0)(6.x)4 = O 180 180 .

Así, no habrá error en la aproximación de Simpson de cualquier integral de f. En otras palabras, si f es una constante, una función lineal, o un polinomio cuadrático o cúbico, la regla de Simpson dará el valor exacto de cualquier integral de f, sin importar el número de subdivisiones. De manera análoga, si f es una constante o una función lineal, entonces su segunda derivada es cero y

b-a b-a Er = -----u- f"(C)( 6.x)2 = -----u-(O)(6.x? = O.

Por lo tanto, la regla del trapecio dará el valor exacto de cualquier integral de f. Esto no sorprende, ya que los trapecios se ajustan perfectamente a la gráfica.

Aunque, en teoría, la disminución del tamaño del paso LU reduce el error en las aproximaciones de Simpson y del trapecio, en la práctica podría no ser asÍ. Cuando LU es muy pequeña, digamos LU = 10-5, los errores de redondeo de las computadoras y calculadoras en la aritmética que se requiere para calcular S y T se acumulan a tal grado que las fórmulas de error podrían dejar de describir lo que pasa. La reducción de LU por debajo de cierto tamaño empeoraría las cosas. Aunque éste no es tema del texto, si tiene problemas con el redondeo, debe consultar un libro de análisis numérico para métodos alternativos.

EJEMPLO 6 Un poblado quiere desecar y rellenar un pequeño pantano contaminado (figura 8. 11 ). El pantano tiene un promedio de 5 ft de profundidad. ¿Aproximadamente cuántas yardas cúbicas de tierra se necesitarán para llenar el área después de desecar el pantano?

Solución Para calcular el volumen del pantano, estimamos el área de la superficie y la multiplicamos por 5. Para estimar el área, utilizamos la regla de Simpson con LU = 20 ft y las y iguales a las distancias medidas a través del pantano, como se indica en la figura 8.11 .

6.x S = 3 (Yo + 4y¡ + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + 4Y5 + Y6)

= ~0(146 + 488 + 152 + 216 + 80 + 120 + 13) = 8100

El volumen es de alrededor de (8100)(5) = 40,500 ft3 01500 yd3. -

11. Uso de la regla de Simpson Las instrucciones para las integrales en los ejercicios 1 a 10, tienen dos partes : una para la regla del trapecio y otra para la regla de Simpson.

a. Estime la integral con n = 4 pasos y determine una cota superior

para IEsl . l. Uso de la regla del trapecio

a. Estime la integral con n = 4 pasos y determine una cota superior

para IETI. b. Evalúe la integral directamente y determine IETI . c. Utilice la fórmula CIETI / Cvalor verdadero» X 100 para expresar

IETI como un porcentaje del valor verdadero de la integral.

b. Evalúe la integral directamente y determine IEsl.

c. Utilice la fórmula clEsl/Cvalor verdadero» X 100 para expresar lEs I como un porcentaje del valor verdadero de la integral.

2.¡3 C2x - I)dx



3. LI

(~+ I)dx 4. 1: (~- I)dx

5.12

(f + t)dt 6. 111(f + 1) dt

121 14

17. -ds 8. ---dsli 2 (s - 1)2

9. 177

sen tdt 10. 11sen 7Tt dt

Estimación deL número de subintervaLosEn los ejercicios 11 a 22, estime el número mínimo de subintervalos ne-cesarios para aproximar las integrales con un error de magnitud menorque 10-4 por medio de (a) la regla del trapecio y (b) la regla de Simpson.(Las integrales en los ejercicios 11 a 18 son las integrales de los ejercicios1 a 8).

11. 12

xdx 12. 13(2x - 1) dx

13. 111

(x2 + 1)dx 14. 1: (~- 1)dx

15. 12(? + r) dt 16. 111

(f + 1) dt

l' 1 18. 14

117. -ds ds1 s2 2 (s - 1)2

19. 13Vx+"l" dx 20. 13

1o Vx+"l"dx

21. 12sen (x + 1) dx 22. 111

cos (x + 7T) dx

Estimaciones con información numérica23. Volumen de agua en una alberca Una alberca rectangular mide

30 ft de ancho por 50 ft de largo. La tabla indica la profundidad h(x)del agua a intervalos de 5 ft desde un extremo de la alberca al otro.Estime el volumen del agua en la alberca por medio de la regla deltrapecio con n = 10, aplicada a la integral

¡sov= lo 30·h(x)dx.

Posición (ft)x

Profundidad (ft) Posición (ft)h(x) x

Profundidad (ft)h(x)

o5

10152025

6.0 308.2 359.1 409.9 45

10.5 5011.0

11.511.912.312.713.0

24. Distancia recorrida La siguiente tabla incluye la información detiempo y velocidad para un automóvil deportivo que acelera desde elreposo a 130 mph. ¿Qué distancia recorrió el automóvil en el mo-mento que alcanzó esta velocidad? (Utilice trapecios para estimar elárea debajo de la curva de la velocidad, pero sea cuidadoso. Los inter-valos de tiempo no son de la misma longitud).

Tr

Cambio de velocidad Tiempo (seg)

Cero a 30 mph40 mph50 mph60 mph70 mph80mph90mph

100 mph110 mph120 mph130 mph

2.23.24.55.97.8

10.212.716.020.626.237.1

25. Diseño de alas de un avión El diseño de un nuevo avión requierede un tanque de gasolina de área de sección transversal constante encada ala. A continuación se presenta un dibujo a escala de la seccióntransversal. El tanque debe tener capacidad para 5000 lb de gasolina,cuya densidad es de 42 Ib/ft3 Estime la longitud del tanque mediantela regla de Simpson.

Yo = 1.5 ft, YI = 1.6 ft, Y2 = 1.8 ft, Y3 = 1.9 ft,Y4 = 2.0 ft, Ys = Y6 = 2.1 ft Espaciamiento horizontal = 1 ft

26. Consumo de petróleo en la Isla Pathfinder Un generador die-sel funciona continuamente consumiendo petróleo a una razón queaumenta en forma gradual hasta que debe detenerse de modo tem-poral para remplazar los filtros. Utilice la regla del trapecio para es-timar la cantidad de petróleo consumido por el generador duranteuna semana.

DíaRazón de consumo de petróleo(litros/h)

DomLunMaMieJueVieSábDom

0.0190.0200.0210.0230.0250.0280.0310.035

Teoría y ejempLos27. Valores utilizables de la función integral del seno La funcion in-

tegral del seno,

Si (x) = 1X

se~ t dt, "Integral del seno de x"

es una de las muchas funciones en ingeniería cuyas fórmulas no pue-den simplificarse. No existe una fórmula elemental para la antideri-vada de (sen t)/t. Sin embargo, los valores de Si(x) se estiman confacilidad por medio de integración numérica.

Aunque la notación no lo muestra de manera explícita, la funciónque debe integrarse es

{

sen tf(t) = t'

1,

t of. O

t = O,


la extensión continua de (sen t)/t al intervalo [O, x]. La función tienederivadas de todos los órdenes en todo punto de su dominio. Su grá-fica es suave, por lo que es posible esperar buenos resultados conla regla de Simpson.


y

X 7T

AplicacionesO 32. La longitud de un arco de la curva y = sen x está dado por

L = 1'" VI + cos2 xdx.

Estime L por medio de la regla de Simpson con n = 8.

O 33. Su compañía de fabricación de metal tiene una oferta para firmarun contrato y producir hojas de acero corrugado para techos, comola que se muestra en la figura. Las secciones transversales de las ho-jas corrugadas tienen la forma de la curva

37Ty = sen20x, O::; x ::; 20 in.

Si el techo se forja a partir de las hojas planas por medio de un proce-so que no estira el material, ¿cuál debe ser el ancho del material ori-ginal? Para determinarlo, utilice integración numérica para aproximarla longitud de la curva seno a dos decimales.

Hoja original y Hoja corrugada

Se (x) = (sen t dtlo t~-t--'.O 27T-7T

a. Utilice el hecho de que 11<4)1 ::; I en [O, 7T/2] para dar una cotasuperior del error que ocurre si

se estima por medio de la regla de Simpson con n = 4.

b. Estime Se(7T/2) por medio de la regla de Simpson con n = 4.

c. Exprese la cota del error que encontró en el inciso (a), como unporcentaje del valor que encontró en el inciso (b).

28. Función error Lafunción error,

034. Su compañía tiene un contrato para construir el túnel que se ilustra acontinuación. Éste tiene una longitud de 300 ft de largo y 50 ft deancho en la base. Las secciones transversales tienen la forma de unarco de la curva y = 25 cos(7Tx/50). Hasta su terminación, la super-ficie interna del túnel (excluyendo el camino) se tratará con un sella-dor resistente al agua, que tiene un costo de $1.75 por ft cuadrado.¿Cuánto cuesta aplicar el sellador? (Sugerencia: Utilice integraciónnumérica para determinar la longitud de la curva coseno).

2 (Xerf(x) = y; lo

importante en probabilidad, así como en las teorías de flujo de calory transmisión de señales, debe evaluarse numéricam~nte, ya que noexiste expresión elemental para la antiderivada de e=t .

a. Utilice la regla de Simpson con n = 10 para estimar erf( 1).

b. En [0,1],

Dé una cota superior para la magnitud del error de la estimaciónen el inciso (a).

29. Demuestre que la suma T en la regla del trapecio para Jab f(x) dx esuna suma de Riemann para f continua en [a, b]. (Sugerencia: Utilice elteorema del valor intermedio para demostrar la existencia de e¡ enel subintervalo [Xk-" Xk] que satisface f(Ck) = (f(Xk-l) + f(Xk»/2).

30. Demuestre que la suma S en la regla de Simpson para Jabf(x) dx

es una suma de Riemann parafcontinua en [a, b]. (Véase el ejerci-cio 29).

O 31. Integrales elípticas La longitud de la elipse

x2 l-+-=a2 b2

x (ft)NO ESTÁ A ESCALA

Determine, con dos decimales, las áreas de las superficies generadasal hacer girar, alrededor del eje x, las curvas de los ejercicios 35 y 36.

35. Y = sen x, O::; x ::;7T

36. Y = ~/4, O::; x ::; 2

37. Utilice integración numérica para aproximar el valor de

-1 _1°·6 dxsen 0.6 - , ¡-:---;¡.° vl-x2

Como referencia, sen "! 0.6 = 0.64350 redondeado a cinco decimales.


1, I7T = 4 ~dx.° I + x:

resulta ser

Longitud = 4a1"'/2 VI - e2 cos" t dt,

donde e = ~ /a es la excentricidad de la elipse. La integralen esta fórmula se denomina integral elíptica, que no es elementalsalvo cuando e = O o 1.

a. Utilice la regla del trapecio con n = 10 para estimar la longitudde la elipse cuando a = 1 ye = 1/2.

b. Utilice el hecho de que el valor absoluto de la segunda derivada

de f(t) = VI - e2 cos2 t es menor que 1, para determinar unacota superior para el error en la aproximación que obtuvo enel inciso (a).

la extensión continua de (sen t)/t al intervalo [O, xl. La función tiene derivadas de todos los órdenes en todo punto de su dominio. Su gráfica es suave, por lo que es posible esperar buenos resultados con la regla de Simpson.

y

Se (x) = ( sen t dt Jo t

~-1--L

O X 7T 27T

3. Utilice el hecho de que 11<4)1 :s 1 en [O, 71' / 2] para dar una cota superior del error que ocurre si

se estima por medio de la regla de Simpson con n = 4.

b. Estime Se(7T/ 2) por medio de la regla de Simpson con n = 4.

c. Exprese la cota del error que encontró en el inciso (a), como un porcentaje del valor que encontró en el inciso (b).

28. Función error Lafunción error,

2 ¡x erf(x) = V; Jo

importante en probabilidad, así como en las teorías de flujo de calor y transmisión de señales, debe evaluarse numéricam¡nte, ya que no existe expresión elemental para la antiderivada de e - ( .

3. Utilice la regla de Simpson con n = 10 para estimar erf( 1).

b. En [0, 1],

Dé una cota superior para la magnitud del error de la estimación en el inciso (a).

29. Demuestre que la suma T en la regla del trapecio para Jab ¡(x) dx es

una suma de Riemann para f continua en [a, b]. (Sugerencia: Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia de Ck en el sub intervalo [Xk- " Xk] que satisface f(Ck) = (f(Xk- l) + f(Xk»/2).

30. Demuestre que la suma S en la regla de Simpson para Jab ¡(x) dx

es una suma de Riemann parafcontinua en [a, b]. (Véase el ejercicio 29).

O 31. Integrales elípticas La longitud de la elipse

X2 l -+ -= a2 b2

resulta ser

Longitud = 4a 1,,/2 VI - e2 cos2 t dt,

donde e = Va2 - b2 / a es la excentricidad de la elipse. La integral en esta fórmula se denomina integral elíptica, que no es elemental salvo cuando e = O o l.

a. Utilice la regla del trapecio con n = 10 para estimar la longitud de la elipse cuando a = i y e = 1/ 2.

b. Uti lice el hecho de que el valor absoluto de la segunda derivada

de Jet) = VI - e2 cos2 t es menor que 1, para determinar una cota superior para el error en la aproximación que obtuvo en el inciso (a).


Aplicaciones O 32. La longitud de un arco de la curva y = sen x está dado por

L = 1" V I + cos2 xdx.

Estime L por medio de la regla de Simpson con n = 8.

O 33. Su compañía de fabricación de metal tiene una oferta para firmar un contrato y producir hojas de acero corrugado para techos, como la que se muestra en la figura. Las secciones transversales de las hojas corrugadas tienen la forma de la curva

0 34.

371' y = sen 20 x, O :s x:S 20in.

Si el techo se forja a partir de las hojas planas por medio de un proceso que no estira el material, ¿cuál debe ser el ancho del material original? Para determinarlo, utilice integración numérica para aproximar la longitud de la curva seno a dos decimales.

Hoja original y Hoja corrugada

Su compañía tiene un contrato para construir el túnel que se ilustra a continuación. Éste tiene una longitud de 300 ft de largo y 50 ft de ancho en la base. Las secciones transversales tienen la forma de un arco de la curva y = 25 cos(7Tx/50). Hasta su terminación, la superficie interna del túnel (excluyendo el camino) se tratará con un sellador resistente al agua, que tiene un costo de $ l.75 por ft cuadrado. ¿Cuánto cuesta aplicar el sellador? (Sugerencia: Utilice integración numérica para determinar la longitud de la curva coseno).

x (ft) NO ESTÁ A ESCALA

Determine, con dos decimales, las áreas de las superficies generadas al hacer girar, alrededor del eje x, las curvas de los ejercicios 35 y 36.

35. Y = sen x, O:s x :s 71'

36. Y = ~/4, O:s x :s 2


- 1 _1°·6 dx sen 0.6 - , ¡-:---;¡.

° v1 -x2

Como referencia, sen- I 0.6 = 0.64350 redondeado a cinco decimales.


11 I 71' = 4 ~dx. ° I + x-



Hasta el momento, se ha requerido que las integrales definidas tengan dos propiedades. Pri-mera, que el dominio de integración [a, b] sea finito. Segunda, que el rango del integrando seafinito en este dominio. En la práctica, es posible encontrar problemas que no cumplen una oambas de tales condiciones. La integral para el área debajo de la curva y = (In x)/x2 desdex = 1 hasta x = 00 es un ejemplo para el cual el dominio es infinito (figura 8.12a). La integralpara el área debajo de la curva y = l/Yx entre x = O Y x = 1 es un ejemplo para el que elrango del integrando es infinito (figura 8.12b). En cualquier caso, se dice que las integrales

x son impropias y se calculan como límites. Cuando analicemos la convergencia de ciertas se-ries infinitas en el capítulo 10, veremos que las integrales impropias desempeñan un papelimportante.

Límites de integración infinitosConsidere la región infinita que está bajo la curva y = e -x/2 en el primer cuadrante (figura8.l3a). Podría pensarse que dicha región tiene área infinita, pero veremos que el valor es fi-nito. Asignamos un valor al área de la siguiente manera. Primero determinamos el área A(b)de la parte de la región acotada a la derecha por x = b (figura 8.l3b).

8.7 IntegraLes impropias

y

0.2

0.1

o(a)

y

y = _1_Vx

~o+---~----~x

(b)

FIGURA 8.12 ¿Son finitas las áreas debajode estas curvas infinitas? Veremos que enambos casos la respuesta es "sí".

<,,

)'"

lí,/,,"'"

~----------~~~==~x

(a)

y

(b)

FIGURA 8.13 (a) El área en el primercuadrante de la curva y = e-x/2. (b) El áreaes una integral impropia del primer tipo.

A(b) = lb e-xj2 dx = -2e-xj2 J: = -2e-bj2 + 2

Después determinamos el límite de A(b) cuando b --'? 00

lím A(b) = lím (-2e-bj2 + 2) = 2.b->oo b->oo

El valor que asignamos al área bajo la curva desde Ohasta 00 es

reo e-xj2dx = lím t:e-xj2dx = 2.lo b->oolo

DEFINICIÓN Las integrales con límites de integración infinitos son integralesimpropias del tipo 1.

1. Sif(x) es continua en [a, 00), entonces

reo f(x) dx = lím r f(x) dx.la b-H)()}a

2. Sif(x) es continua en (-00, b], entonces

3. Si f(x) es continua en (-00,00), entonces

J~f(x) dx = J~f(x) dx + leo f(x) dx,

donde e es cualquier número real.

En cada caso, si el límite es finito, decimos que la integral impropia converge y queel límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impro-pia diverge.


8.7 IntegraLes impropias

y

0.2

0.1

lnx y =-x2

Hasta el momento, se ha requerido que las integrales definidas tengan dos propiedades. Primera, que el dominio de integración [a, b] sea finito. Segunda, que el rango del integrando sea finito en este dominio. En la práctica, es posible encontrar problemas que no cumplen una o ambas de tales condiciones. La integral para el área debajo de la curva y = (In x) / x 2 desde x = 1 hasta x = 00 es un ejemplo para el cual el dominio es infinito (figura 8.12a). La integral para el área debajo de la curva y = l / Yx entre x = O Y x = 1 es un ejemplo para el que el rango del integrando es infinito (figura 8.12b). En cualquier caso, se dice que las integrales

----:cOt----'----...1.2----'.3----'4-----'S:------'6L----+x son impropias y se calculan como límites. Cuando analicemos la convergencia de ciertas se

y

(a)

y = _1_ Yx

-+--~--~x O

(b)

FIGURA 8.12 ¿Son finitas las áreas debajo de estas curvas infinitas? Veremos que en ambos casos la respuesta es "sí" .

y

--~----------==~==~~x

(a)

y

--~--------~==~==~~x

(b)

FIGURA 8.13 (a) El área en el primer cuadrante de la curva y = e- x/2. (b) El área es una integral impropia del primer tipo.

ries infinitas en el capítulo 10, veremos que las integrales impropias desempeñan un papel importante.

Límites de integración infinitos Considere la región infinita que está bajo la curva y = e -x/2 en el primer cuadrante (figura 8.l3a). Podría pensarse que dicha región tiene área infinita, pero veremos que el valor es finito. Asignamos un valor al área de la siguiente manera. Primero determinamos el área A(b) de la parte de la región acotada a la derecha por x = b (figura 8.l3b).

A(b) = l b e-xj2 dx = -2e-xj2 J: = - 2e- bj2 + 2

Después determinamos el límite de A (b) cuando b ---'? 00

lím A(b) = lím ( - 2e-b/ 2 + 2) = 2. b~oo b~oo

El valor que asignamos al área bajo la curva desde O hasta 00 es

reo e-xj2dx = lím ( b e-x/2dx = 2. Jo b~ooJo

DEFINICIÓN Las integrales con límites de integración infinitos son integrales impropias del tipo 1.

1. Sif(x) es continua en [a , 00), entonces

('JO f(x)dx = lím r f(x)dx. la b-H)()} a

2. Sif(x) es continua en (-00, b] , entonces

3. Si f(x) es continua en (-00, 00), entonces

donde e es cualquier número real.

En cada caso, si el límite es finito, decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia diverge.


8.7 Integrales impropias 479

Puede demostrarse que la elección de e en la parte 3 de la definición no es importante.Evaluamos o determinamos la convergencia o divergencia de J~f(x) dx con cualquier elec-ción adecuada.

Cualquiera de las integrales en la definición anterior se interpreta como un área si f 2: Oen el intervalo de integración. Por ejemplo, interpretamos la integral impropia en la figura 8.l3como un área. En ese caso, el área tiene el valor finito 2. Si f 2: OY la integral impropia di-verge, decimos que el área bajo la curva es infinita.

¿Es finita el área bajo la curva y = (In X)/X2 desde x = 1 hasta x = cc'] Si es así,EJEMPLO 1¿cuál es?

Solución Determinamos el área bajo la curva desde x = 1 hasta x = b Y examinamos ellímite cuando b ---7 oo, Si el límite es finito, lo tomamos como el área bajo la curva (figura8.14). El área desde 1 hasta b es

y

= _l~b - [iI=_lnb_l+1b b .

Integración por partes conu = Inx, dv = dxt x';du = dx]», v = -l/x

0.2

0.1

__+-__L- ~ __~x

O

FIGURA8.14 El área debajo de esta curvaes una integral impropia (ejemplo 1). El límite del área cuando b ---7 00 es

100lnx dx = lím lb lnx dx1 ~ b-->oo 1 ~

, [lnb 1 ]= IIm -- - - + 1b-->OO b b

-[lím lnb] - 0+1b-->oo b

[l/b]- lím- +1=0+1

b-->OO 11.

Regla de UHópital.

Así, la integral impropia converge y el área tiene un valor finito de 1. •EJEMPLO 2 Evalúe

{oo dx

J-oo 1 + ~.

Solución De acuerdo con la definición (parte 3), es posible elegir e = Oy escribir

BIOGRAFíA HISTÓRICA

[" dx . ¡o dx {'XJ dxJ-oo 1 + ~ = J-oo 1 + ~ + Jo 1 + x2 .

Lejeune Dirichlet(1805-1859) Ahora, evaluamos cada integral impropia del lado derecho de la ecuación anterior.

10 10~= lím ~--00 1 + x2 a-->-OO a 1 + x2

lím tan-l x]Oa~ -00 a

lím (tan' l O - tan-l a) = O - (- ~2)a~-OO

7T

2

y

0.2

0.1

__ ~ __ L-____________ ~ ____ ~x

O

FIGURA 8.14 El área debajo de esta curva es una integral impropia (ejemplo 1).


Lejeune Dirichlet

(1805-1859)


Puede demostrarse que la elección de e en la parte 3 de la definición no es importante.

Evaluamos o determinamos la convergencia o divergencia de ¡:' f(x) dx con cualquier elección adecuada.

Cualquiera de las integrales en la definición anterior se interpreta como un área si f ~ O en el intervalo de integración. Por ejemplo, interpretamos la integral impropia en la figura 8.l3 como un área. En ese caso, el área tiene el valor finito 2. Si f ~ O Y la integral impropia diverge, decimos que el área bajo la curva es infinita .

EJEMPLO 1 ¿cuál es?

¿Es finita el área bajo la curva y = (In X)/X2 desde x = 1 hasta x = oo? Si es así,

Solución Determinamos el área bajo la curva desde x = 1 hasta x = b Y examinamos el límite cuando b ---7 oo. Si el límite es finito, lo tomamos como el área bajo la curva (figura 8.14). El área desde 1 hasta b es

= _ I~b - [iI = _lnb_l+ 1 b b .

El límite del área cuando b ---7 00 es

100 ln x dx = lím lb Inx dx I ~ b--->oo I ~

, [ In b 1 ] = bm -- - - + 1 b--->OO b b

- [ lím Inb ] - 0+1 b--->oo b

[ l / b ] - lím - +1 =0 +1

b--->OO 1

Así, la integral impropia converge y el área tiene un valor finito de 1.

EJEMPLO 2 Evalúe

roo dx

J-oo 1 + ~.

Integración por partes con u = In x , dv = dx/x2

,

du = dx/ x, v = - l / x

1. Regla de L:H6pital.

•

Solución De acuerdo con la definición (parte 3), es posible elegir e = O Y escribir

roo dx ¡o dx roo dx

J-oo 1 + ~ = J-oo 1 + x2 + Jo 1 + x2 .

Ahora, evaluamos cada integral impropia del lado derecho de la ecuación anterior.

~= lím ~ 10 1° -00 1 + x2 a --->- OQ a 1 + x2

lím tan- I x]O a ----:,. -00 a

lím (tan- lO - tan- l a) = O - ( - ~2) a ---,;- OO

7T

2



100 lb~-Iím ~o 1 + x2 b--->oo o 1 + ~

y

= lím tan-1 x]bb--->oo o

7f 7f= lím (tan" b - tan-lO) = - - ° = -b--->oo 2 2

Así,

NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 8.15 El área debajo de esta curvaes finita (ejemplo 2).

Como 1/(1 + x2) > 0, la integral impropia puede interpretarse como el área (finita) por abajode la curva y por arriba del eje x (figura 8.15). •

La integraL r 00 d~l; X

La función y = l/x es la frontera entre las integrales convergentes y las divergentes con inte-grandos de la forma y = l/xp. Como muestra el siguiente ejemplo, la integral impropia con-verge sip > 1, Y diverge sip:O:; l.

'"",.,.. EJEMPLO 3 ¿Para cuáles valores de p la integral ¡loo

dx/xP converge? Cuando la integralconverge, ¿a qué valor lo hace?

Solución Si p ~ 1,

(b dx = x-p+

1 ]b = _1_(b-P+1 _ 1) = _1_ (_1__ 1).J1 xP -p + 1 1 1 - p 1 - P bP-1

Así,

100 lbdx = lím dx1 xP b--->oo 1 xP

= lím [_1 (~- 1)] = {~'b--->oo 1 - P bP 1

00,

p> 1

p<l

ya que

lím _1_ = {O,b--->oo bP-1 00,

p>lp<l.

Por lo tanto, la integral converge al valor 1/(p - 1),si p > 1,Ydiverge si p < l.


y

~~-------1----------~X

o NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 8.15 El área debajo de esta curva es finita (ejemplo 2).

~= lím ~ 100 lb O 1 + x2 b -->oo o 1 + ~

= lím tan- l x]b b-->oo o

, -1 - 1 7T 7T = 11m (tan b - tan O) = - - ° = -b-->oo 2 2

Así,

Como 1/(1 + x2) > 0, la integral impropia puede interpretarse como el área (finita) por abajo de la curva y por arriba del eje x (figura 8.15). •

La integraL roo d~ Jl X

La función y = l /x es la frontera entre las integrales convergentes y las divergentes con integrandos de la forma y = l /xp . Como muestra el siguiente ejemplo, la integral impropia converge si p > 1, Y diverge si p :o:; l .

EJEMPLO 3 ¿Para cuáles valores de p la integral ¡lOO dx/ xP converge? Cuando la integral converge, ¿a qué valor lo hace?

Solución Si p *- 1,

Así,

ya que

( b dx = x-p+l ]b = _1_(b-P+ l _ 1) = _1_ (_1 __ 1).

Jl xP - p + 1 1 1 - p 1 - P bP- l

dx = lím dx l OO ¡b 1 xP b-->oo 1 xP

= lím [_1 (_1 - 1) ] = {~' b -->oo 1 - p bP- l

00,

lím _1_ = {O, b-->oo bP- l 00,

p > 1 p < l.

p > 1

p < 1

Por lo tanto, la integral converge al valor 1/ (p - 1), si P > 1, Y diverge si p < l.



Sip = 1, la integral también diverge:

{DO dx = {DO ~JI xl' JI

= lím rdxb->OOJI x

= lím Inx]7b->oo

= lím(lnb-Inl) = 00b->oo •

Integrandos con asíntotas verticaLes

yOtro tipo de integrales impropias surge cuando el integrando tiene una asíntota vertical -unadiscontinuidad infinita- en un límite de integración o en algún punto entre los límites de inte-gración. Si el integrando f es positivo en el intervalo de integración, nuevamente interpreta-mos la integral impropia como el área debajo de la gráfica de f y por arriba del eje x, entre loslímites de integración.

Considere la región en el primer cuadrante que está debajo de la curva y = 1/ Vx desdex = O hasta x = 1 (figura 8.l2b). Primero determinamos el área de la porción desde a hasta 1(figura 8.16).

11d ]1a Jx = 2Vx a = 2 - 2Va.

Después determinamos el límite de esta área cuando a ~ 0+:

lím 11

,~ = lím (2 - 2Va) = 2.a~O+ a V X a---+O+

~~L-----~----~xO a

Por lo tanto, el área debajo de la curva desde O hasta 1 es finita e igual aFIGURA 8.16 El área debajo de esta curvaes un ejemplo de una integral impropia desegundo tipo. 11 11~= lím ~=2

O Vx a-->O+ a Vx .

DEFINICIÓN Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un puntodentro del intervalo de integración son integrales impropias de tipo 11.

1. Si f(x) es continua en (a, b] Yes discontinua en a, entonces

lb f(x) dx. = lím+lb

f(x) dx..a c---+a e

2. Sif(x) es continua en [a, b) y es discontinua en b, entonces

lb f(x)dx = lím_le

f(x)dx.a c-wb a

3. Si f(x) es discontinua en e, donde a < e < b, Y es continua en [a, e) U (e, b],entonces

lb f(x) dx = le f(x) dx + lb f(x) dx..

En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que ellímite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral diverge.

y

--~------~----+x o a

FIGURA 8.16 El área debajo de esta curva es un ejemplo de una integral impropia de segundo tipo.


Sip = 1, la integral también diverge:

r OO dx = r oo ~ JI xl' JI

= lím rdx b--> OOJI x

= lím lnx]7 b-->oo

= lím (In b - In 1) = 00 b-->oo •

Integrandos con asíntotas verticaLes

Otro tipo de integrales impropias surge cuando el integrando tiene una asíntota vertical - una discontinuidad infinita- en un límite de integración o en algún punto entre los límites de integración. Si el integrando f es positivo en el intervalo de integración, nuevamente interpretamos la integral impropia como el área debajo de la gráfica de f y por arriba del eje x, entre los límites de integración.

Considere la región en el primer cuadrante que está debajo de la curva y = 1/ \IX desde x = O hasta x = 1 (figura 8.12b). Primero determinamos el área de la porción desde a hasta 1 (figura 8.16).

11 d JI a .Jx = 2\IX a = 2 - 2Va.

Después determinamos el límite de esta área cuando a ~ 0+:

lím 11

,~ = lím (2 - 2Va) = 2. a~O+ a V X a~O+

Por lo tanto, el área debajo de la curva desde O hasta 1 es finita e igual a

~= lím ~= 2 11 11 o \IX a-->O+ a \IX .

DEFINICIÓN Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto dentro del intervalo de integración son integrales impropias de tipo 11.

1. Si f(x) es continua en (a , b] Y es discontinua en a, entonces

l b f(x) dx = lím+lb

f( x ) dx. a C-'1>Q e

2. Sif(x) es continua en [a, b) y es discontinua en b, entonces

l b f (x)dx = lím_le

f( x) dx . a c---"'b a

3. Si f(x) es discontinua en e, donde a < e < b, Y es continua en [a , e) U (e, b] , entonces

lb f(x) dx = l e f(x) dx + lb f(x) dx.

En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral diverge.



--+----L__J- ~x

y En la parte 3 de la definición, la integral del lado izquierdo de la ecuación converge si ambasintegrales del lado derecho convergen; de otra forma, diverge.

EJEMPLO 4 Investigue la convergencia de

11 1-l--dx.o - x

Solución El integrando f(x) = 1/(1 - x) es continuo en [O, 1), pero es discontinuo en x = 1,aunque se vuelve infinito cuando x ~ 1- (figura 8.17). Evaluamos la integral como

o b

lím r_1_1_dx = límJ -In 11 - xl]~

b .....•1 lo - X b .....•1

= lím [-In (1 - b) + O] = oo .b .....•1-

FIGURA8.17 El área debajo de la curva yarriba del eje x para [O, 1] no es un númeroreal (ejemplo 4).

y

~~

•",,,,¡II,

".•Ir

.«

'"

El límite es infinito, por lo que la integral diverge. •EJEMPLO 5 Evalúe

e dxlo (x-1f/3'

Solución El integrando tiene una asíntota vertical en x = 1; además, es continua en [O, 1) Y(1,3] (figura 8.18). Por lo tanto, por la parte 3 de la definición anterior,

y = (x - 1)2/3e dx = l' dx + 13

dxlo (x - 1)2/3 lo (x - 1)2/3 1 (x - 1)2/3 .

Ahora evaluamos cada integral impropia del lado derecho de esta ecuación.

lbl' dx

= b!..~-o (x - 1)2/3

= lím 3(x - 1)1/3]bb .....•1- o

= lím [3(b - 1)1/3 + 3] = 3b .....•1-b e1-

FIGURA8.18 El ejemplo 5 muestra que elárea debajo de la curva existe (así que es unnúmero real).

o 3

13 dx u 13dx= 1m

1 (x - 1)2/3 c .....•1+ e (X - 1)2/3

lím 3(x - 1)1/3]3c~l+ e

Concluimos que

13 dx ,31.:2/3 = 3 + 3 \'l 2 .

o (x - 1) •

Integrales impropias con un SACLos sistemas de álgebra computacional evalúan muchas integrales impropias convergentes.Para evaluar la integral

reo x + 3 dl2 (x - 1)(x2 + 1) x


y


(la cual converge) usando Maple, ingrese

> f:= (x + 3)/((x - 1) * (X'2 + 1);

Después, utilice el comando de integración

> int(j,x = 2..infinity);

Maple da la respuesta

1-27T + ln lS) + arctan(2).

Para obtener un resultado numérico, utilice el comando para evaluar evalf y especifique elnúmero de dígitos como sigue:

> evalf(%, 6);

El símbolo % indica a la computadora que evalúe la última expresión en la pantalla; en estecaso, (-1/2)7T + ln(5) + arctan(2). Maple indica 1.14579.

Utilizando Mathematica, se introduce

In [lJ: = Integrate [(x + 3)/( (x - 1)Vl2 + 1), {x, 2, Infinity }]

y se obtiene-7T

Out itl= 2 + ArcTan [2] + Log [5].

Para obtener un resultado con seis dígitos, utilice el comando "N[%,6]"; también se obtiene1.14579.

Criterios para convergencia y divergenciaCuando no podemos evaluar de manera directa una integral impropia, tratamos de determinarsi converge o diverge. Si la integral diverge, acaba el problema. Si converge, podemos utilizarmétodos numéricos para aproximar su valor. Los principales criterios para convergencia o di-vergencia son la comparación directa y la comparación del límite.

EJEMPLO 6 ¿La integral ft) e-y} dx converge?

Solución Por definición,

100e-y} dx = lím lb e-X' dx.1 b->oo 1

De forma directa, no es posible evaluar la última integral, ya que no es elemental. Pero po-demos mostrar que su límite es finito cuando b --'> co, Sabemos que f1b

e-y} dx es una funcióncreciente de b; por lo tanto, se vuelve infinita cuando b --'> 00 o tiene un límite finito cuandob --'> co No se vuelve infinita: para todo valor de x;;::: 1, tenemos e-y} :s e-x (figura 8.19), demanera que

De ahí que

100e-y} dx = Iím lb e-y} dx1 b->oo 1

converge a algún valor finito definido. No sabemos exactamente cuál es el valor, excepto quees positivo y menor que 0.37. En este caso, dependemos de la propiedad de completez de losnúmeros reales, que se analiza en el apéndice 6. •

FIGURA 8.19 está por debajo de la gráficade e-X para x> 1 (ejemplo 6).

y

..... FIGURA 8.19 está por debajo de la gráfica de e-X para x > 1 (ejemplo 6).


(la cual converge) usando Maple, ingrese

> f:= (x + 3)/ ((x - 1) * (X'2 + 1));

Después, utilice el comando de integración

> intU, x = 2 .. infinity) ;

Maple da la respuesta

1 - '2 7T + In (5) + arctan (2).

Para obtener un resultado numérico, utilice el comando para evaluar evalf y especifique el número de dígitos como sigue:

> evalf(%, 6) ;

El símbolo % indica a la computadora que evalúe la última expresión en la pantalla; en este caso, (-1 /2)7T + ln(5) + arctan(2). Maple indica 1.14579.

Utilizando Mathematica, se introduce

In [1): = Integrate [(x + 3)/ ((x - 1)(x"'2 + 1)), {x, 2, Infinity}]

y se obtiene

-7T Out [1)= 2 + ArcTan [2] + Log [5].

Para obtener un resultado con seis dígitos, utilice el comando "N[%,6]"; también se obtiene 1.14579.

Criterios para convergencia y divergencia

Cuando no podemos evaluar de manera directa una integral impropia, tratamos de determinar si converge o diverge. Si la integral diverge, acaba el problema. Si converge, podemos utilizar métodos numéricos para aproximar su valor. Los principales criterios para convergencia o divergencia son la comparación directa y la comparación del límite.

EJEMPLO 6 ¿La integral ¡¡oo e-e>? dx converge?

Solución Por definición,

100 e- e>? dx = lím lb e- X' dx. 1 b-oo 1

De forma directa, no es posible evaluar la última integral, ya que no es elemental. Pero podemos mostrar que su límite es finito cuando b --'> oo. Sabemos que ¡lb e-e>? dx es una función

creciente de b; por lo tanto, se vuelve infinita cuando b --'> 00 o tiene un límite finito cuando b --'> oo. No se vuelve infinita: para todo valor de x;::: 1, tenemos e-e>? :s e-x (figura 8.19), de

manera que

De ahí que

converge a algún valor finito definido. No sabemos exactamente cuál es el valor, excepto que es positivo y menor que 0.37. En este caso, dependemos de la propiedad de completez de los números reales, que se analiza en el apéndice 6. •




Karl Weierstrass(1815-1897)

•..l'.."..".,

'"

La comparación de e-x'- y e-X en el ejemplo 6 es un caso especial del siguiente criterio.

TEOREMA 2: Criterio de comparación directa Seanf y g continuas en [a, 00)con O :S f(x) :S g(x) para toda x 2: a. Entonces

1. 100

f(x) dx converge si 100

g(x) dx converge.

2. 100

g(x) dx diverge si 100

f(x) dx diverge.

Demostración El razonamiento que sustenta el argumento establecido en el teorema 2 essimilar al del ejemplo 6. Si O :S f(x) :S g(x), para x 2: a, entonces, por la regla 7 del teorema 2de la sección 5.3, tenemos

b > a.

•

•

Con base en lo anterior, puede argurnentarse, como en el ejemplo 6, que

100

f(x) dx converge si 100

g(x) dx converge .

Si invertimos esto, indica que

100

g(x) dx diverge si 100

f(x) dx diverge.

EJEMPLO 7 Los siguientes ejemplos ilustran cómo utilizar el teorema 2.

(a) (OO sen2 x dxJI x2 converge ya que

¡001

y 2dx1 x

converge. Ejemplo 3[1, 00)sobre

(b) ¡OO 1---:r;;:'=== dx

1 Vx2 - 0.1diverge ya que

_-;=:=1== >- 1V~ - 0.1 - x

(OO 1[1,00) y JI xdx Ejemplo 3sobre diverge.

TEOREMA 3: Criterio de comparación deL Limite Si las funciones positivas fy g son continuas en [a, 00) y si

lím f(x) = LX-HX) g(x) , O<L<oo,

entonces

100

f(x) dx y 100

g(x) dx

ambas convergen o ambas divergen.


y

o 2


Omitimos la demostración del teorema 3, que requiere cálculo más avanzado.

Aunque las integrales impropias de dos funciones, desde a hasta 00, pueden converger,esto no significa que sus integrales necesariamente tengan el mismo valor, como muestra elsiguiente ejemplo.

EJEMPLO 8 Demuestre que

((X) dx

JI 1 + x2

converge, comparando con ~co O/~) dx. Determine y compare los valores de las dos inte-grales.

Solución Las funciones f(x) = 1/x2 y g(x) = 1/(1 + x2) son positivas y continuas en [1, 00).

Además,

lím f(x) = lim 1/~ lím 1 + x2x--->COg(x) x--->COl/O + x2) x--->CO x2

lím (~+ 1) = O + 1 = 1,x~OO x

un límite positivo finito (figura 8.20). Por lo tanto, 100

1 ~ ~ converge, ya que 100

~

converge.Sin embargo, las integrales convergen a valores diferentes.

Ejemplo 3

FIGURA 8.20 Las funciones del ejemplo 8.

y

100 lb~= lím ~l 1 + x2 b--->co l 1 + x2

'TT 'TT 'TT= lím [tan" b - tan" 1] = - - - = -.

b--->co 2 4 4 •

TABLA 8.5

b r 1 - e-x dxJ¡ x

((X) 1 -x

EJEMPLO 9 Investigue la convergencia de JI -x e dx.

25

10100

100010000

100000

0.52266375691.3912002736

2.08320531564.38578625166.68837134468.9909564376

11.2935415306

Solución El integrando sugiere la comparación de f(x) = (1 - e-X)/x con g(x) = l/x. Sinembargo, no es posible utilizar el criterio de la comparación directa, ya que f(x) ::; g(x) y laintegral de g(x) diverge. Por otra parte, si se usa el criterio de comparación del límite encon-traremos que

1, f(x) u (1 - e-X) (x) u (1 -X) 1¡m--=¡m -=¡m -e =x--->COg(x) x--->co x 1 x--->CO '

que es un límite positivo y finito. Por lo tanto, 100

1 -x e-x dx diverge, ya que100

~ diverge.

Las aproximaciones a la integral impropia se dan en la tabla 8.5. Observe que los valores no

parecen acercarse a algún valor límite fijo cuando b ---,> oo. •

y

~~----~------~------~x o 2 ...... 3

FIGURA 8.20 Las funciones del ejemplo 8.

TABLA 8.5

b ¡b 1 _ e-x

x dx 1

2 0.5226637569

5 1.3912002736

10 2.0832053156

100 4.3857862516

1000 6.6883713446

10000 8.9909564376

100000 1l.2935415306


Omitimos la demostración del teorema 3, que requiere cálculo más avanzado.

Aunque las integrales impropias de dos funciones, desde a hasta 00, pueden converger, esto no significa que sus integrales necesariamente tengan el mismo valor, como muestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 8 Demuestre que

roo dx

JI 1 + y}

converge, comparando con ¡¡oo (l / y}) dx . Determine y compare los valores de las dos integrales.

Solución Las funciones f(x) = 1/x2 y g(x) = 1/(1 + x2) son positivas y continuas en [1, (0). Además,

lím ¡(x ) = lim l /Y} x-->OO g(x) x-->OO 1/ (l + X2)

1, 1 + x2 1m -----

x-->oo x2

lím (~+ 1) = O + 1 = 1, x~oo x

un límite positivo finito (figura 8.20). Por lo tanto, ¡ oo 1 ~ y} converge, ya que l oo ~ converge.

Sin embargo, las integrales convergen a valores diferentes.

Ejemplo 3

y

~= lím ~ JOO Jb I 1 + x2 b-->oo I 1 + x2

'TT 'TT 'TT = lím [tan- I b - tan- I 1] = - - - = - .

b--> oo 2 4 4 •

JOO 1 - x

EJEMPLO 9 Investigue la convergencia de I -x e dx.

Solución El integrando sugiere la comparación de f(x) = (1 - e - X)/ x con g(x) = l / x. Sin embargo, no es posible utilizar el criterio de la comparación directa, ya que f(x) s; g(x) y la integral de g(x) diverge. Por otra parte, si se usa el criterio de comparación del límite encontraremos que

1, ¡(x) l' (1 - e-X) (x) l ' (1 -X ) 1 1m --- = 1m - = 1m -e = x--> OO g(x) x-->oo x 1 x--> OO '

que es un límite positivo y finito. Por lo tanto, J oo 1 -x e-x dx diverge, ya que l oo ~ diverge.

Las aproximaciones a la integral impropia se dan en la tabla 8.5 . Observe que los valores no

parecen acercarse a algún valor límite fijo cuando b --i> oo. •


••l •..'.••..•...


Tipos de integrales impropias analizados en esta sección

LíMITES INFINITOS DE INTEGRACIÓN:TIPO 1

1. Límite superior

EL INTEGRANDO SE VUELVE INFINITO: TIPO II4. Extremo superior

100ln x d u lb lnx d-x= im -x1 x2 b--->oo 1 x2

e dx =lím[h dxlo (x - 1)2/3 b--->l-lo (x - 1)2/3

y

y

~-L----~---+x -4----~------~__+x0-+3

2. Límite inferior5. Extremo inferior

10 1°~= lím ~-00 1 + x2 ar+ -00 a 1 + ~ 13 dx u e dx

1 (x - 1)2/3 = d.!..IIf: +1d (x - 1)2/3

y

y 1)1 Y = __1__

1 + x2

x o

y = (x - 1)2/3

-4----~------~__+x

3. Ambos límites 6. Punto interior

100 1° lC~= lím ~+ lím ~-00 1 + x2 b-« -00 b 1 + ~ C-OO ° 1 + ~

e dx e dx + 13dx

lo (x - 1)2/3 - lo (x - 1)2/3 1 (x - 1)2/3

y

y

1 y = __1__1 + x2

y = (x - 1)2/3

-4----~------~__+x==------l-----=~x



Ejerddos 8.7

41. te dtlo Vi + sen r

t dt (Sugerencia: t ~ sen t para t ~ O).lo t - sen t

Evaluación de integrales impropiasEvalúe las integrales en los ejercicios I a 34 sin utilizar tablas.

1. 100

dx 21°O~o ~ + I . 1 X 1.001

3·11~ 4. 14dx

ovX o~

5. ¡1 dx 6. ¡1 dx-1 ~/3 -8 x1/3

11dx

1

17. 8 ~

o~ . o rO.999

9. ¡-2~ 10. ¡2 2dx-co ~ - I --<lO~+ 4

11. 1002 12. loo~-'--dv

2 v2 - V 2 F - I

13. ¡OO 2xdx 14. ¡oo xdx=co (x2 + 1)2 -00 (~ + 4)3/2

1

1

1

215. 0+ I dO 16. s + I d

o V02 + 20 o~s

100

d 100

I17.o (1 + :)vX 18. dx

1x~

19. 100

dv 20. 100

16 tan" x dxo (1 + v2)(l + tan" u) o I + ~

21. ¡~oeOdO 22. 100

2e -o sen OdO

23. ¡~e-¡Xldx 24. ¡::,2xe-x' dx

25. 11

xlnxdx 26. 11(-lnx)dx

12

d 114rdr27.

o V4 ~ S228.

o~12

d 14dt29.

lS~30.

2 tVf2="4¡4 dx 12

d31.-1 vTxI

32.o~

33. ¡OO dO 34. 100

dx-1 02 + 50 + 6 o (x + 1)(~ + 1)

42.

12dx 44. 12

dx43. ~ o I - xo 1-

45. ¡: In Ixldx 46. ¡ll-xln Ixldx

47. 100

dx 48¡00 ~1 x3 + I • 4 vX-I

100d 50 1

00 ..«,49.2 Vv v_ I . o I + eO

51. 100

dx 52. 100dx

o \.t'7+l 2~

53. l°OVx+l dx 54. 100

xdx1 x2

2~

55. 1002 +~osx dx 56. 100

I + ~enx dx71" x

57.¡00~ 100I58. -I-dx

4 ?/2 - I 2 nx

59. l°O¿ 60. [00 In (In x) dx-dx1 x

61. 100

I 62. 100

I1 ~dx 1 ¿_2xdx

63 100dx 64. ¡::, dx

. --<lOW+l ¿ + e-x

leoria y ejemplos65. Determine los valores de p para los cuales converge cada integral.

(2 dxa. II x(lnx)p 100 dx

b --• 2 x(lnx)P

66. tz: f(x)dx podría no ser igual a Iím t;f(x)dx Demuestre queb->oo

t" 2xdx

lo ~ + l

diverge, de aquí que

(00 2xdx

l-oo ~ + lCriterio de convergenciaEn los ejercicios 35 a 64, utilice integración, criterio de comparación di-recta o criterio de comparación del límite para averiguar la convergenciade las integrales. Si es posible aplicar más de un método, utilice el queprefiera.

35. 171"/2tan OdO

171" senOdO37. , ¡-----:;

o V7r - O

también diverge. Después demuestre que

¡blím 2xdx = O.

b->OO -b ~ + 1r/2

36. lo cot OdO

38. (71"/2 cos OdO

l-rr/2 (7r - 20)1/3

{1 -vx40. lo evX dx

Los ejercicios 67 a 70 están relacionados con la región infinita en el pri-mer cuadrante entre la curva y = e-X y el eje x. .

67. Determine el área de la región.

68. Determine el centroide de la región.

69. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la regiónalrededor del eje y.



70. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región al-rededor del eje x.

71. Determine el área de la región que está entre las curvas y = sec x yy = tan x desde x = O hasta x = 7T/2.

72. La región del ejercicio 71 se hace girar alrededor del eje x para ge-nerar un sólido.a. Determine el volumen del sólido.b. Demuestre que la superficie interior y la exterior del sólido

tienen área infinita.73. Estimación del valor de una integral impropia convergente cuyo

dominio es infinitoa. Demuestre que

100e-3Xdx = te-9 < 0.000042,

Ypor lo tanto que f300 e-X' dx < 0.000042. Explique por quéesto significa que fooo e-x' dx puede remplazarse por f03 e-x' dxsin introducir un error de magnitud mayor que 0.000042.

O E 1, , . (3 -x' dxb. va ue numencamente J o e .

74. La lata de pintura infinita o la trompeta de Gabriel Como lomuestra el ejemplo 3, la integral floo (dx/x) diverge. Lo anterior sig-

nifica que la integral

100 l r=:1 27Tx\j l + -;dx,

que mide el área de la superficie del sólido de revolución generadoal hacer girar, alrededor del eje x, la curva y = l/x, 1 :=;x, tambiéndiverge. Si comparamos las dos integrales, veremos que, para todovalor finito b > 1,

lb 1 c:: lb 11 27Tx\j 1 + -;dx > 27T 1 xdx.

x

Sin embargo, la integral

para el volumen del sólido converge.a. Calcúlelo.b. Este sólido de revolución con frecuencia se describe como una

lata que no puede contener pintura suficiente para cubrir su pro-pio interior. Piense acerca de esto por un momento. Es de sentidocomún que una cantidad finita de pintura no pueda cubrir unasuperficie infinita. Pero si llenamos la lata con pintura (una canti-dad finita), entonces sí habremos cubierto una superficie infinita.Explique la aparente contradicción.

75. Función integral del seno La integral

Si (x) = lxse~tdt,

se llama función integral del seno; tiene aplicaciones importantes enóptica.

o a. Trace la gráfica del integrando (sen 1)/1para 1> O.La funciónSe(x), ¿es creciente o decreciente? ¿Cree que Se(x) = Oparax > O?Compruebe sus respuestas graficando la función Se(x)para O:=;x :=;25.

b. Explore la convergencia de

100senl dI l.

oSi converge, ¿a qué valor lo hace?

76. Función error La función

(X 2 -t'erf (x) = lo :;; dt ,

denominada función error, tiene aplicaciones importantes en proba-bilidad y estadística.

O a. Trace la gráfica de la función error para O:=;x:=; 25.


1002e-t'_=«

o V7T

Si converge, ¿a qué valor parece hacerlo? Verá cómo confirmarsu estimación en el ejercicio 41 de la sección 15.4.

77. Función de distribución normal La función

1 1(=\2f(x) = --e-' u}uVZ;se denomina función de densidad normal con media u: y desviaciónestándar u. El número f.L indica dónde está centrada la distribución, yu mide la "dispersión" alrededor de la media.

De la teoría de probabilidad, se sabe que

J~f(x) dx = 1.

En lo que sigue, sea f.L = OY u = 1.

O a. Dibuje la gráfica de f. Determine los intervalos en los que f escreciente, los intervalos en los que f es decreciente y los valoresextremos locales, así como dónde ocurren.

b. Evalúe

1:f(x) dx

paran = 1,2,3.

c. Dé un argumento convincente de que

J~f(x) dx = 1.

(Sugerencia: Demuestre que O < f(x) < e-x/2 para x > 1 Y parab> 1,

100

e-x/2 dx ~ O como b ~ oo.)

78. Demuestre que si f(x) es integrable en todo intervalo de números rea-les y a y b son números reales con a < b, entonces

a. f:O f(x) dx y faoo f(x) dxconvergen si y sólo si

too f(x) dx Y fboo

f(x) dx convergen.

b. f:O f(x) dx + faoo

f(x) dx = r; f(x) dx + fboo

f(x) dxcuando las integrales incluidas convergen.


70. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región alrededor del eje x.

71. Determine el área de la región que está entre las curvas y = sec x y y = tan x desde x = O hasta x = 7T / 2.

72. La región del ejercicio 71 se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. a. Determine el volumen del sólido. b. Demuestre que la superficie interior y la exterior del sólido

tienen área infinita. 73. Estimación del valor de una integral impropia convergente cuyo

dominio es infinito a. Demuestre que

1 00 e-3X dx = ±e- 9 < 0.000042,

Y por 10 tanto que J3CO e- x' dx < 0.000042. Explique por qué

esto significa que Joco e-x' dx puede remplazarse por J03 e- x' dx

sin introducir un error de magnitud mayor que 0.000042.

D E 1, , . (3 -x' dx b. va ue numencamente J o e .

74. La lata de pintura infinita o la trompeta de Gabriel Como 10

muestra el ejemplo 3, la integral Jlco (dx/ x) diverge. Lo anterior sig

nifica que la integral

100 l ~ 1 27T x\j 1 + ¿;dx,

que mide el área de la superficie del sólido de revolución generado al hacer girar, alrededor del eje x, la curva y = l / x, 1 oS x, también diverge. Si comparamos las dos integrales, veremos que, para todo valor finito b > 1,

l b 1 ~ l b 1

1 27T x\j 1 + ¿;dx > 27T 1 xdx.

x

Sin embargo, la integral

para el volumen del sólido converge. a. Calcúlelo. b. Este sólido de revolución con frecuencia se describe como una

lata que no puede contener pintura suficiente para cubrir su propio interior. Piense acerca de esto por un momento. Es de sentido común que una cantidad finita de pintura no pueda cubrir una superficie infinita. Pero si llenamos la lata con pintura (una cantidad finita) , entonces sí habremos cubierto una superficie infinita. Explique la aparente contradicción.

75. Función integral del seno La integral

Si (x) = lx se~tdt,

se llama función integral del seno; tiene aplicaciones importantes en óptica.

D a. Trace la gráfica del integrando (sen 1)/ 1 para I > O. La función Se(x), ¿es creciente o decreciente? ¿Cree que Se(x) = O para x > O? Compruebe sus respuestas graficando la función Se(x) para O oS x oS 25.


l °° senld I l.

o Si converge, ¿a qué valor 10 hace?

76. Función error La función

( X 2 -,' erf (x) = Jo .:;; dI,

denominada función error, tiene aplicaciones importantes en probabilidad y estadística.

D a. Trace la gráfica de la función error para O oS x oS 25 .


100 2e-t' _ , dI.

o V7T

Si converge, ¿a qué valor parece hacerlo? Verá cómo confirmar su estimación en el ejercicio 41 de la sección 15.4.

77. Función de distribución normal La función

1 1(=\2 f(x) = - - e-' u}

uVZ;

se denomina función de densidad normal con media j.L y desviación estándar u. El número j.L indica dónde está centrada la distribución, y u mide la "dispersión" alrededor de la media.

De la teoría de probabilidad, se sabe que

J~ f(x) dx = 1.

En 10 que sigue, sea j.L = O Y u = 1.

D a. Dibuje la gráfica de f. Determine los intervalos en los que f es creciente, los intervalos en los que f es decreciente y los valores extremos locales, así como dónde ocurren.

b. Evalúe

1: f(x) dx

paran = 1, 2,3.

c. Dé un argumento convincente de que

J~ f(x) dx = 1.

(Sugerencia: Demuestre que O < f(x) < e-x / 2 para x > 1 y para b> 1,

LOO e- x/ 2 dx -'> O como b -'> oo.)

78. Demuestre que sif(x) es integrable en todo intervalo de números reales y a y b son números reales con a < b, entonces

a. J':' f(x) dx y Jaco f(x) dx convergen si y sólo si

too f(x) dx Y JbCO

f(x) dx convergen.

b. J':' f(x) dx + Jaco f( x ) dx = J~ f(x) dx + JbOO

f(x) dx cuando las integrales incluidas convergen.


EXPLORACIÓN CON COMPUTADORAEn los ejercicios 79 a 82, utilice un SAC para explorar las integrales paradiferentes valores de p (donde se incluyen números no enteros). ¿Para cuá-les valores de p converge la integral? ¿Cuál es el valor de la integral cuandoconverge? Trace la gráfica del integrando para varios valores de p.

Capítulo 8 Ejercicios de práctica 489

79. 1exPlnxdx

81. 100

x!' In x dx

80. 100

x!' In x dx

82. 1':' x!' In Ixldx

a. es un producto de factores lineales distintos?b. consiste de un factor lineal repetido?c. contiene un factor cuadrático irreducible?

¿Qué se debe hacer si el grado de f no es menor que el grado de g?

9. ¿Cómo se utilizan las tablas típicas de integrales? ¿Qué haría usted siuna integral particular que quiere evaluar no está en la tabla?

10. ¿Qué es una fórmula de reducción? ¿Cómo se deducen las fórmulasde reducción típicas? ¿Cómo se utilizan las fórmulas de reducción?Dé un ejemplo.

11. Usted colabora para elaborar un breve manual sobre cómo hacer inte-gración numérica y escribe acerca de la regla del trapecio. (a) ¿Quédiría acerca de la regla y cómo usada? ¿Cómo se logra una precisiónrequerida? (b) ¿Qué diría si escribiera acerca de la regla de Simpson?

12. ¿Cómo se comparan los méritos relativos de la regla de Simpson y losde la regla del trapecio?

13. ¿Qué es una integral impropia del tipo I? ¿Del tipo II? ¿Cómo se de-finen los valores de los diferentes tipos de integrales impropias? Déejemplos.

14. ¿Qué criterios están disponibles para determinar la convergencia y ladivergencia de integrales impropias que no pueden evaluarse de ma-nera directa? Dé ejemplos de su uso.

Ejercicios de práctica

13. I senOdO 14. I cosOdOcos2 o + cos o - 2 serr' o + sen o - 6

15. I 3~ + 4x + 4 dx 16. I 4xdxx3 + x x3 + 4x

I v + 3 d 18.I (3v - 7)dv

17. 2v3 _ 8v v (v - l)(v - 2)(v - 3)

19 I dt 20. I tdt. l' + 4¡2 + 3 1'-¡2-2

21. I ~+~ dx 22. IX3+ldx

x2+x-2 x3 - x

23. I x3 + 4x

2dx 24. 12X3 + x2

- 21x + 24 dx~ + 4x + 3 x2 + 2.x - 8

25.I x(rJ~ + 1)

26. I dxx(1 + ~)

27·/~ 28. I dse' - 1 v'i+l

Capitulo Preguntas de repaso

1. ¿Cuál es la fórmula para la integración por partes? ¿De dónde surge?¿Por qué la podría necesitar?

2. Cuando se aplica la fórmula de integración por partes, ¿cómo se se-lecciona la u y dv? ¿Cómo se aplica la integración por partes a unaintegral de la forma J¡(x) dx?

3. Si un integrando es un producto de la forma sen" x cos" x, donde my n son enteros no negativos, ¿cómo evalúa la integral? Dé un ejem-plo específico de cada caso.

4. ¿Qué sustituciones se hacen para evaluar integrales de sen mx sen nx,sen mx cos nx y cos mx cos nx? Dé un ejemplo de cada caso.

5. ¿Qué sustituciones se utilizan, en ocasiones, para transformar integra-les que incluyen Va2 - x2, Va2 + x2 y ~ en integralesque puedan evaluarse de manera directa? Dé un ejemplo de cadacaso.

6. ¿Qué restricciones puede poner sobre las variables que se incluyen enlas tres sustituciones trigonométricas básicas para asegurar que lassustituciones son reversibles (tengan inversas)?

7. ¿Cuál es el objetivo del método de las fracciones parciales?

8. Cuando el grado de un polinomio j(x) es menor que el grado de unpolinomio g(x), ¿cómo escribe f(x)/g(x) como una suma de fraccio-nes parciales si g(x)

Capitulo

Integración por partesEvalúe las integrales en los ejercicios 1 a 8 por medio de integración porpartes.

1. I In (x + 1) dx 2. I x2lnxdx

3. I tan-13xdx 4. I cos"' (1) dx

5. I (x + 1)2e'dx 6. I x2 sen (1 - x) dx

7. I e' cos 2.xdx 8. I s= sen 3x dx

Fracciones parcialesEn los ejercicios 9 a 28, evalúe las integrales. Tal vez sea necesario utilizarprimero una sustitución.

10.I

xdx~ + 4x + 3

I x + 1 dx2(x _ 1) x12.



Sustituciones trigonométricasEn los ejercicios 29 a 32, evalúe las integrales (a) sin utilizar una sustitu-ción trigonométrica y (b) por medio de una sustitución trigonométrica.

J~32. J tdt

V4t2=l

29 J ydy. Vi6--=-l

31.J~4 - x2

30.

En los ejercicios 33 a 36, evalúe las integrales.

33. J 9x!:'x2 34. J x(9 ~ x2)

35. J 9 ~ x2 36. JbIntegraLes trigonométricasEvalúe las integrales de los ejercicios 37 a 44.

37. J serr' x cos" x dx 38. J cos" x sen' x dx

39. J tan" x sec/ x dx 40. J tarr' x sec' x dx

~">.

41. J sen se cos 6e de

43. J VI + cos (t/2) dt

42. J cos 3e cos 3e de

44. J éVtan2 e' + 1 dt

11',

" Integración numérica45. De acuerdo con la fórmula para la cota del error para la regla de

Simpson, ¿cuántos subintervalos utilizaría para asegurar que el valorde la estimación de

..'"

131ln3= 1 xdx

'"por medio de la regla de Simpson tenga un error absoluto no mayorde 1O-4? (Recuerde que para la regla de Simpson el número de sub-intervalos tiene que ser par).

46. Un cálculo rápido muestra que si O ::; x ::; 1, entonces la segundaderivada de ¡(x) = V'l+7 está entre O y 8. Con base en esto, siutiliza la regla del trapecio, ¿aproximadamente cuántas subdivisionesnecesitaría para aproximar la integral de f desde O hasta 1 con unerror absoluto no mayor de 1O-3?

47. Un cálculo directo indica que

1"'2 serr' x dx = 7T.

¿Qué tan cercana es la aproximación de la regla del trapecio conn = 6? ¿Con la regla de Simpson con n = 6? Inténtelo y averígüelo.

48. Usted planea utilizar la regla de Simpson para aproximar el valor dela integral

12¡(x) dx

con una magnitud de error menor que 10-5 Usted determinó queIjC4)(x)1 ::; 3 en todo el intervalo de integración. ¿Cuántos subinter-valos debe utilizar para asegurar la precisión que se requiere? (Re-cuerde que para la regla de Simpson el número tiene que ser par).

49. Temperatura media Calcule el valor promedio de la función detemperatura

¡(x) = 37 sen U:s (x - 101)) + 25

para un año de 365 días. Ésta es una manera de estimar la tempera-tura media anual del aire en Fairbanks, Alaska. La cifra oficial delServicio Meteorológico de Estados Unidos, un promedio numéricode la media normal diaria del aire durante el año, es de 25.7 °F, la cuales ligeramente mayor que el valor promedio de f(x).

50. Calor específico de un gas El calor específico Cv es la cantidadde calor requerido para elevar 1 °C la temperatura de una masa de gasdada con volumen constante; se mide en unidades de cal/grado-gra-mo (calorías por grado gramo molecular). La capacidad calorífica deloxígeno depende de su temperatura T y satisface la fórmula

Cv = 8.27 + 10-5 (26T - 1.87T2).

Determine el valor promedio de Cv para 20° ::; T::; 675°C y la tem-peratura en la que se alcanza.

51. Eficiencia de gasolina La computadora de un automóvil da unalectura digital del consumo de gasolina en galones por hora. Duranteun viaje, un pasajero registró el consumo de gasolina cada 5 minutosdurante una hora completa de viaje.

Tiempo Gal/h Tiempo Gal/h

O 2.5 35 2.55 2.4 40 2.4

10 2.3 45 2.315 2.4 50 2.420 2.4 55 2.425 2.5 60 2.330 2.6

a. Utilice la regla del trapecio para aproximar el consumo total degasolina durante la hora.

b. Si el automóvil recorre 60 millas en la hora, ¿cuál fue la eficienciade la gasolina (en millas por galón) para esa parte del recorrido?

52. Un nuevo estacionamiento Para satisfacer la demanda de estacio-namiento, su ciudad destina el área que se muestra. Como ingenierode la ciudad, el consejo del pueblo le ha pedido que determine si ellote puede construirse con $11,000. El costo para limpiar el terrenoserá de $0.10 por ft2, mientras que pavimentar el lote cuesta $2.00por ft2 Utilice la regla de Simpson para determinar si el trabajo pue-de realizarse con los $11,000.

Oft

51ft

49.5 ftEspaciamiento vertical = 15 ft

54ft

64.4 ft

67.5 ft

42 ft

Se ignora


Integrales impropiasEvalúe las integrales impropias de los ejercicios 53 a 62.

13 d 11

53. ~ 54. lnxdxo 9 - ~ o

12dy 1055. 56. dO

o (y - 1)2/3 -2 (O + 1)3/5

¡oo 2du58. 100

3v - 157. dv3 u2 - 2u I 4v3 - v2

59. 100

x2e-xdx 60. J~ xe3xdx

¡oo dx62.

¡oo 4dx61. -2---co x2 + 16-00 4x + 9

¿Cuáles de las integrales impropias en los ejercicios 63 a 68 convergen ycuáles divergen?

63.¡oo dO

64. 100

e-Ucos u du6 ví1+1

65. 100

lnz dz 66. 100

e-t

-dtI z IV!

67.¡oo 2dx 68 ¡oo dx

-00 ¿ + e-x • =co x2(I + ¿)

Integraciones diversasEvalúe las integrales en los ejercicios 69 a 116. Las integrales aparecen enorden aleatorio.

69. J xdx 70. J ~ + 2 dx1 + Vx 4 - ~

71.J x(~ ~ 1?

72. J dxV-2x - ~

73. J 2 - cos x + sen x dx 74. J sen20 dO

serr' x cos2 O

J 9dv 100

d75.81 - v4

76. 2 (x _Xl?

77. J Ocos(20 + l)dO 78. J ~dxx2-2x+l

J sen 20 dO ¡~/279. 80. VI + cos4xdx(I + cos 20? ~/4

81. J xdx 82. J Vlv~ v2

dv~

Ejercicios adicionaLes y avanzadosCapituLo

Evaluación de integralesEvalúe las integrales de los ejercicios 1 a 6.

1. J (sen" x? dx

Capítulo 8 Ejercicios adicionales y avanzados 491

83 J dy 84. J xdx· l- 2y + 2 V8 - 2x2 - x4

J z + 1 86. J x3e(x')dx85. ?? dz( + 4)

87. J tdt 88. J tan-I x dxv'9=4f2 x2

89 J etdt 90. J tarr' tdt

· e2t + 3et + 2100lny J cotvdv91. -3 dy 92.

In sen vI y

93. J elnVx dx 94. J e9V3+4e8 ae

95 J sen 5tdt 96 J dv· 1 + (cos 5t)2 .~

97.J~ 98. J 4x3 - 20x d1 + Vr x4 - 10~ + 9 x

J x3

100. J x2

99. --dx --dx1 + ~ 1 + ~

101. J 1 + ~ dx 102. J ~dx1 + x3 (1 + x)3

103. J Vx' VI + Vx dx 104. J VI + VT+Xdx

11/2105. J Vx~dx 106. o Vl+~dx

x 1 + x

107. J 1nx dx 108. J 1 dx+x1nx x-In x-In Iln x) x

J Inxl J(1nX)lnX [~+ In(~nx)]dX109. x x nx dx 110.

111. J bdx 112. J V\- x dxx 1 - x4

113. a. Demuestre que ¡;f(x) dx = ¡;fea - x) dx.

b. Utilice el inciso (a) para evaluar

r~/2 senx dlo sen x + cos x x.

114. J senx dxsen x + cosx

116. J 1 - cosx dx1 + cos x

115. J sen2

x dx1 + sen/ x

2 J dx. x(x + 1)(x + 2)··· (x + m)

3. J x sen"!xdx 4. J sen"! Vydy



J dt5. t-~ 6J~. x4 + 4

En los ejercicios 7 y 8, evalúe los límites.

7. Iím r sentdt 8. Iím xii c~~t dtx---+ooJ-x x-o+ x r

En los ejercicios 9 y 10, evalúe los límites; luego identifiquelos con inte-grales definidas y evalúe las integrales.TlR9. lím ~ In TI 1 + n

n-OO k=l

Aplicaciones11. Determinación de longitud de arco Determine la longitud de la

curva

y = 1x

Ycos2tdt, ° oS x oS 7T/4.

12. Determinación de longitud de arco Determine la longitud de lacurva y = In(l - x2), ° oS X oS 1/2.

13. Determinación de un volumen La región en el primer cuadranteque está encerrada por el eje x y la curva y = 3x~ se hace gi-rar alrededor del eje y para generar un sólido. Determine el volumendel sólido.Determinación de un volumen La región en el primer cuadranteque está encerrada por el eje x, la curvay = 5/(x~) y las rec-tas x = 1 Y x = 4 se hace girar alrededor del eje x para generarun sólido. Determine el volumen del sólido.Determinación de un volumen La región en el primer cuadranteque está encerrada por los ejes coordenadas, la curva y = eX Yla rectax = 1 se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido. De-termine el volumen del sólido.Determinación de un volumen La región en el primer cuadranteque está acotada por arriba por la curva y = eX - 1, por abajo por eleje x y a la derecha por la recta x = In 2 se hace girar alrededor dela recta x = In 2 para generar un sólido. Determine el volumen delsólido.Determinación de un volumen Sea R la región "triangular" en elprimer cuadrante que está acotada por arriba por la recta y = 1, porabajo por la curva y = In x, y a la izquierda por la recta x = l. Deter-mine el volumen del sólido generado al.hacer girar R alrededor dea. el eje x. b. la recta y = 1.Determinación de un volumen (Continuación del ejercicio 17).Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región Ralrededor dea. el eje y. b. la recta y = 1.Determinación de un volumen La región entre el eje x y la curva

14.

15.

..•...16.

;l',~¡I,i' 17.•1.'

18.

19.

y = ¡(x) = {O,x In x,

x=O0<xoS2

se hace girar alrededor del eje x para generar el sólido que se ilustraa continuación.a. Demuestre que f es continua en x = O.b. Determine el volumen del sólido

20. Determinación de un volumen La región infinita. acotada por losejes coordenadas y la curva y = -In x en el primer cuadrante se hacegirar alrededor del eje x para generar un sólido. Determine el volu-men de este último.

21. Centroide de una región Determine el centroide de la región en elprimer cuadrante que está acotada abajo por el eje x, arriba por lacurva y = In x, y a la derecha por la recta x = e.

22. Centroide de una región Determine el centroide de la región en elplano encerrada por las curvas y = :t(1 - x2)-1/2 y las rectas x = °y x = 1.

23. Longitud de una curva Determine la longitud de la curva y = In xdesde x = 1 hasta x = e.

24. Determinación del área de una superficie Determine el área de lasuperficie generada al hacer girar la curva del ejercicio 23 alrededordel ejey.

25. Superficie generada por una astro ide La gráfica de la ecuaciónx2/3 + y/3 = 1 es una astroide (véase la figura). Determine el área dela superficie generada al hacer girar la curva alrededor del eje x.

y

-1--E------iI----'3!--~x

-1

26. Longitud de una curva Determine la longitud de la curva

y = 1x

vVi - 1 dt, 1 oS x oS 16.

27. ¿Para qué valor o valores de a

{OO (ax 1 ) dxJI r + 1 2x

converge? Evalúe la(s) integral(es) correspondiente(s).

28. Para cada x> O, sea G(x) = 1000e-XIdt. Demuestre que xG(x) =

para toda x> O.

29. Área infinita y volumen finito ¿Qué valores de p tienen la siguien-te propiedad: el área de la región entre la curvay = x:r, -1 oS x < 00,

y el eje x es infinita, pero el volumen del sólido generado al hacer gi-rar la región alrededor del eje x es finito?

30. Área infinita y volumen finito ¿Qué valores de p tienen la siguien-te propiedad? El área de la región en el primer cuadrante encerradapor la curva y = x :P, el eje y, la recta x = 1 yel intervalo [O, 1] en eleje x es infinita, pero el volumen del sólido generado al hacer girar laregión alrededor de uno de los ejes coordenadas es finito.

La función gamma y la fórmula de StirlingLa función gamma de Euler f(x) ("gamma de x"; I' es la g mayúsculagriega) utiliza una integral para ampliar la función factorial de los enterosno negativos a otros valores reales. La fórmula es

[(x) = 100

t-Ie-t dt, x > O.

Para cada x positiva, el número f(x) es la integral de r+e:! con res-pecto a t desde Ohasta oo, La figura 8.21 presenta la gráfica de I' cercadel origen. Verá cómo calcular f(1/2) si hace el ejercicio adicional 23en el capítulo 14.


Capítulo8 Ejercicios adicionales y avanzados 493

Como verá, si resuelve el ejercicio 104 de la sección 10.1, laecuación (4) lleva a la aproximación

y

IVI <:I II I 3I II II I 2I II II II I

Ox

2 3I -1III -2III -3I

lA

(5)

nb. Compare el valor de su calculadora para n! con el valor dado porla aproximación de Stirling para n = 10, 20, 30, ... , tanto comosu calculadora lo permita.

n c. Un refinamiento de la ecuación (2) da

o

FIGURA 8.21 La función garnma de Euler,

I'(x), es una función continua de x, cuyo

valor en cada entero positivo n + 1 es nI.

La fórmula por medio de una integral

definida para T es válida sólo para x > O,

pero puede extenderse f a valores negativos

no enteros de x con la fórmula f(x) =(T(x + l))/x, que es tema del ejercicio 31.

lo cual nos indica que

n! "" (~)" y:¡;;;;. e1/(l211). (6)

Compare los valores dados por su calculadora, por la aproximaciónde Stirling y por la ecuación (6) para lO!

Integración tabularLa técnica de integración tabular también se aplica a integrales de la

forma J f(x)g(x) dx cuando ninguna de las funciones puede derivarse de

manera repetida hasta convertirse en cero. Por ejemplo, para evaluar31. Si n es un entero no negativo, f(n + 1) = n!

a. Demuestre que I'(l ) = 1.

b. Después, aplique integración por partes a la integral paraT(x + 1) para demostrar que f(x + 1) = xf(x). Esto da

J e"b:cosxdx

iniciamos, como antes, con una tabla que lista las derivadas sucesivas dee"b:y las integrales de cos x:

I'(z) = l I'(L) = 1

T(S) = 2f(2) = 2

f(4) = 3f(3) = 6cosxy susintegrales

e2x y susderivadas

f(n + 1) = nf(n) = n! (1)e"b:~cosx

2e"b: ---i.=) . sen x

4"b: (+~e ) -cosxc. Utilice inducción matemática para verificar la ecuación (1) para

todo entero no negativo n.

Fórmula de Stirling El matemático escocés James Stirling (1692-1770) demostró que

x~IIJo (iY J{; f(x) = 1,

<--- Deténgase aquí: El renglón es

el mismo que el primero, salvo

por las constantes rnultiplicati-

vas (4 a la izquierda, -1 a la

derecha).

Detenemos la derivación y la integración tan pronto como alcancemos unrenglón que sea igual al primero, excepto por constantes multiplicativas.Interpretamos la tabla diciendo que

32.

así que, para x grande,

(x)X (i;f(x) = e -y x (1 + E(X», E(X) -,> O cuando x -,> oo . (2) J e"b:cosxdx = +(e"b:senx) - (2e"b:(-cosx»

+ J (4e"b:)(-cosx)dx.

Al despreciar E(X) llegamos a la aproximación

(x)X (i;f(x) "" e -yx

Tomamos los productos con su signo, unidos por las flechas diagonales, yuna integral con su signo para la última flecha horizontal. Al transponer laintegral de la derecha al lado izquierdo se obtiene

5 J e"b:cosx dx = e"b:senx + 2e"b:cosx

(Fórmula de Stirling). (3)

a. Aproximación de Stirling para n! Utilice la ecuación (3) y elhecho de que n! = nf(n) para demostrar que

(Aproximación de Stirling). (4)



J 2r d - ea sen x + 2ea cos x + Ce cosx x - 5 '

2zsenx = 1 + z2 . (9)o bien,

Finalmente, x = 2 tan" z,

después de dividir entre 5 y sumar la constante de integración.Utilice la integración tabular para evaluar las integrales en los ejerci-

cios 33 a 40.(10)

33. J ea cos 3x dx

35. J sen 3x sen x dx

37. J ear sen bx dx

39. J In (ax) dx

34. J e3xsen 4x dx

36. J cos 5x sen 4x dx

38. J ea.t cos bx dx

40. J x21n (ax) dx

Ejemplos

a J 1 dX=JI+Z2~. I+cosx 2 I+~

=JdZ=Z+C

La sustitución z = tan(x/2)La sustitución

xZ = tan"2

J1 dx-J I+~ ~

b. 2 + sen x - 2 + 2z + 2~ l + ~(7)

J dz J dz= ~ + z + 1 = (z + 0/2»2 + 3/4reduce el problema de integración a una expresión racional de sen x, y

cos x a un problema de integración de una función racional de z. Esto ala vez puede integrarse por medio de fracciones parciales.

Con base en la siguiente figura J du= u2+a2

A

= -2-tan-1 2z + l + CV3 V3

i!:",

2 -1 l + 2 tan (x/2)=V3tan V3 +C

x senxtan "2 = + cosx

Utilice las sustituciones de las ecuaciones (7) a (10) para evaluar las inte-grales en los ejercicios 41 a 48. Integrales como éstas surgen en el cálculode la velocidad angular promedio del eje secundario de una junta universalcuando los ejes primario y secundario no están alineados.

41. J 1 _d:enx 42. J 1 + sen~ + cosx

es posible leer la relación

cosx = 2cos2 (~) - 1 = 2 _ lsec? (x/2)

2 -1 _2__+ tarr' (x/2) 1 + z2

1~/2 dx 1~/2 dx43. o 1 44.

~/3 1+ senx - cosx

1~/2 de 46.12~/3 cos e de

45.o 2 + cos e ~/2 sen e cos e + sen e

47. J dt 48. J cos tdtsen t - cos t 1 - cost

Por último, x = 2 tan "! z, por lo que

1 - z2cosx = 1 + z2' (8) Utilice la sustitución z = tan(e /2) para evaluar las integrales de los ejerci-

cios 49 y 50.y

x x - sen (x/2) (x)senx = 2sen"2cos"2 = 2 cos(x/2) 'cos2 "2

49. J secede 50. J ese e de

= 2tanE. 12 see/ (x/2)

2 tan (x/2)

1 + tarr' (x/2)


Capítulo 8 Proyectos de aplicación tecnológica 495

Proyectos de aplicación tecnológicaCapitulo

Módulo de MathematicajMaple

Aproximaciones de Riemann, del trapecio y de Simpson

Parte 1:Visual ice el error en el que se incurre al usar sumas de Riemann para aproximar el área debajo de una curva.

Parte 11: Construya una tabla de valores y calcule la magnitud relativa del error como una función del tamaño de paso LU.

Parte III: Investigue el efecto de la función derivada sobre el error.

Partes IV y V: Aproximaciones por medio de trapecios.

Parte VI: Aproximaciones por medio de la regla de Simpson.

Juegos de elección: Exploración de la técnica probabilistica Monte Carlo para integración numéricaDe forma gráfica, explore el método Monte Carlo para aproximar integrales definidas.

Cálculo de probabilidades con integrales impropiasMás exploraciones del método Monte Carlo para la aproximación de integrales definidas.

Capítulo 8 Proyectos de aplicación tecnológica

Capitulo Proyectos de aplicación tecnológica

Módulo de Mathematica/ Maple

Aproximaciones de Riemalln, del trapecio y de Simpson

Parte 1: Visualice el error en el que se incurre al usar sumas de Riemann para aproximar el área debajo de una curva.

Parte 11: Construya una tabla de valores y calcule la magnitud relativa del error como una función del tamaño de paso fu.

Parte 111: Investigue el efecto de la función derivada sobre el error.

Partes IV y V: Aproximaciones por medio de trapecios.

Parte VI: Aproximaciones por medio de la regla de Simpson.

Juegos de elección: Exploración de la técnica probabilística MOllte Cario para illtegración numérica De forma gráfica, explore el método Monte Carlo para aproximar integrales definidas.

Cálculo de probabilidades COII integrales impropias Más exploraciones del método Monte Carlo para la aproximación de integrales definidas.

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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN - junioyjulio.files.wordpress.com · 8.1 Integración por partes 437 J udv = uv - J v du (2) Fórmula de integración por partes Esta fórmula expresa una