La Historia de las MatemáticasLas Matemáticas, una de las ciencias más extensas y antiguas del universo. Sus

conocimientos fueron adquiridos por el ser humano en sus primeras etapas de desarrollo bajo una influencia, incluso de la más imperfecta actividad educativa. Esta actividad cambió y creció en número de factores del desarrollo matemático, siendo un desarrollo observable a lo largo de toda su historia, la cual, está plagada de ejemplos que demuestran cómo las matemáticas surgieron de la actividad productiva de los hombres. Las matemáticas son un estudio de patrones en una conjunción de números y resultados que suponen una deducción de la operación dada.

1- El nacimiento de las Matemáticas

El nacimiento de esta ciencia no natural ocurrió entre los siglos VI-V a.C. donde cualquier método servia para contar, desde los dedos hasta las piedras. Hasta entonces los números conocidos hasta ahora no existían, puesto que su creación fue parte de los árabes. El avance de las matemáticas para aquel tiempo se hacia en el descubrimiento de nuevos símbolos y sistemas de numeración, todos diferentes en cada civilización. En la historia de las matemáticas pueden distinguirse periodos aislados, diferenciados uno del otro por una serie de características y peculiaridades; periodicidad que, por otro lado, resulta imprescindible para realizar su estudio. En esencia esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según la periodicidad establecida por A.N. Kolmogorov:

1-1 La Antigua civilización Egipcia

Los conocimientos matemáticos de la antigua civilización egipcia eran limitados pero lo suficientemente eficaces para esa época. Se basaban en un sistema de numeración jeroglífico que consistía en denominar cada uno de los números clave con un símbolo.Un sistema de mayor semblante era el de los romanos que lo hacían con fracciones pero solo como divisores de la unidad.

Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

2

1-2 Mesopotamia o Antigua Babilonia

Actualmente la información sobre esta civilización es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que los Egipcios la escritura de los textos eran de problemas de dificultosa solución.Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c mediante el cambia de variable t=ax. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas.

1-3 China Antigua

La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos.

El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, trasformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII).

3

1-4 India Antigua

Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Entre los siglos V-XII d.C la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

1-5 Grecia Clásica

La cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.

El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama matemáticas.

Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística".

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

4

En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura de una serie de áreas. Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.

La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.

Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.

El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", están constituidos por trece libros. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.

En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...

5

Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".

Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga. Estos tres últimos matemáticos citados sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200 a.C.

En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocido los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por la aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del descenso de creatividad.

Y así se afirma que las matemáticas de la Antigua Grecia eran consideradas como una ciencia universal hasta el punto limite.

6

2- Grandes Matemáticos

El estudio de los matemáticos Euclides i Pitágoras llevo en sus tiempos a un gran avance a las matemáticas. A continuación veremos sus hazañas.

2-1 Euclides

Floreció hacia el 300 a.C en Alejandría, y es uno de los tres mayores matemáticos de la Antigüedad y también uno de los mayores de todos los tiempos. El nombre de Euclides está indisolublemente ligado a la geometría, al escribir su famosa obra "Los Elementos", prototipo en esta rama de las matemáticas. Sin embargo pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde la época de Tales. El único teorema que la tradición asigna definitivamente a Euclides es el teorema de Pitágoras. La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.

2-2 Pitágoras

Filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponto. Es considerado como uno de los Siete Grandes sabios de Grecia y su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda. Pitágoras viajó a Egipto y Babilonia, donde asimiló conocimientos tanto matemáticos como astronómicos, así como un gran bagaje religioso. Fundó una secta caracterizada por el retiro, ascetismo y misticismo. A él se le atribuye la invención de la palabra "filósofo".

7

El mayor éxito científico atribuido a Pitágoras fue su estudio del sonido, descubriendo que las cuerdas de instrumentos musicales producían sonidos de tonos más agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros días. Pitágoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los números y sus relaciones, procediendo a revestir a los números de ciertas propiedades mágicas, lo que llevó de una manera indirecta a la investigación sobre las propiedades matemáticas de aquellos. Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en su muslo. Era ciertamente instruido, aprendiendo a tocar la lira, poesía y a recitar a Homero.

3- Las mujeres también son matemáticas

Se ha valorado poco la presencia de mujeres en la historia de las matemáticas. En este espació se hablara de algunas de las mas destacadas.

3-1 Teano

El marco histórico en el que nos situamos para estudiar la vida de Teano es el de la antigua Grecia. Durante el periodo de la Grecia clásica se edificó una matemática original y brillante y se tomaron algunos elementos de civilizaciones vecinas que construyeron quienes les precedieron tanto en Babilonia como en Egipto. Por lo que sabemos hoy el tipo de conocimientos que nos revelan los papiros egipcios es de carácter eminentemente práctico, y tratan sobre cuestiones de cálculo aritmético y mediciones geométricas. Tales, Pitágoras y Teano aparecen en el siglo VI antes de nuestra era. Son figuras indefinidas históricamente, ya que no ha quedado ninguna obra matemática suya y ni siquiera existe constancia de que las escribieran. A Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de la matemática y a Teano la primera mujer matemática.

Teano nació en Crotona, fue discípula de Pitágoras y se casó con él. Enseñó en la escuela pitagórica. Se conservan fragmentos de cartas y escritos que prueban que fue una mujer que escribió mucho, y eso mismo le atribuye la tradición, que considera como suyos varios tratados de matemáticas, física y medicina. El tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una reflexión sobre el número se piensa que es de Teano.

“He oído decir que los griegos pensaban que Pitágoras había dicho que todo había sido engendrado por el Número. Pero esta afirmación nos perturba: ¿cómo nos podemos imaginar cosas que no existen y que pueden engendrar? Él dijo no que todas las cosas nacían del número, sino que todo estaba formado de acuerdo con el Número, ya que en el número reside el orden esencial, y las mismas cosas pueden ser nombradas primeras, segundas, y así sucesivamente, sólo cuando participan de este orden.”

8

Se le atribuyen otros tratados sobre los poliedros regulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea.

Después de la rebelión contra el gobierno de Crotona, a la muerte de Pitágoras, Teano pasó a dirigir la comunidad, con la escuela destruida y sus miembros exiliados y dispersos, sin embargo con la ayuda de dos de sus hijas difundieron los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto.

3-2 Hipatia

Hipatia nació en Alejandría a mediados del siglo IV, algunas referencias dicen que en el 370 y otras en el 355. Su padre Teón de Alejandría era un célebre matemático y astrónomo, muy querido y apreciado por sus contemporáneos, que seguramente trabajaba y daba clases en la biblioteca del momento, es decir en la biblioteca que en algún momento sustituyó a aquella otra legendaria que desapareció en el incendio del año 48 adC. Teón fue un sabio que no se contentó con guardar los conocimientos de la ciencia para sí y sus discípulos sino que hizo partícipe de ellos a su propia hija. Hipatia por su parte era una mujer abierta a todo el saber que su padre quisiera volcar sobre ella y así fue cómo se educó en un ambiente académico y culto. Teón le transmitió su conocimiento sobre las matemáticas y la astronomía además de la pasión por la búsqueda de lo desconocido.

La casa de Hipatia se convirtió en un lugar de enseñanza donde acudían estudiantes de todas partes del mundo conocido, atraídos por su fama. Uno de sus alumnos fue Sinesio de Cirene, obispo de Ptolemaida (en Fenicia), rico y con mucho poder. Este personaje dejó escrita mucha información sobre Hipatia, su maestra. Otro alumno llamado Hesiquio el Hebreo escribió unas obras que se conservan, en las que también hace una descripción sobre las actividades de Hipatia y asegura que los magistrados acudían a ella para consultarle sobre asuntos de la administración. Dice también que fue una persona muy influyente en el aspecto político. Se sabe que inventó un aparato para destilar el agua, un hidrómetro graduado para medir la densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua.

Pero Hipatia era pagana y le tocó vivir en tiempos duros para el paganismo. Su situación llegó a ser muy peligrosa en aquella ciudad que se iba haciendo cada vez más cristiana. Los filósofos neoplatónicos como Hipatia pronto se vieron cruelmente perseguidos. Algunos se convirtieron al cristianismo, pero Hipatia no consintió en ello a pesar del miedo y de los consejos de sus amigos como el caso de Orestes, prefecto romano y alumno suyo, que no consiguió nada a pesar de sus ruegos. Hipatia resultó ser para sus enemigos, no una mujer científica sino una bruja peligrosa.

9

En el año 412 el obispo Cirilo de Alejandría fue nombrado patriarca, un título de dignidad eclesiástica que sólo se usaba en Alejandría, Constantinopla y Jerusalén, que equivalía casi al del papa de Roma. Cirilo era un católico que no consentía ninguna clase de paganismo ni de herejía y que luchó toda su vida defendiendo la ortodoxia de la Iglesia católica y combatiendo el nestorianismo. Los historiadores creen que Cirilo fue el principal responsable de la muerte de Hipatia, aunque no exista documentación directa que lo acredite. Se dice que Cirilo era enemigo de esta mujer, a la que temía y admiraba a la vez. Pero siguiendo la tónica general de la época, no le era posible comprender ni tampoco consentir que una mujer se dedicase a la ciencia y menos aún a esa clase de ciencia que difícilmente podían comprender las personas que no eran eruditas en el tema. Por lo tanto creó un clima y un ambiente de odio y fanatismo hacia ella, tachándola de hechicera y bruja pagana. En el mes de marzo del año 415, Hipatia fue asesinada de la manera más cruel por un grupo de monjes de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén. Los hechos están recogidos por un obispo de Egipto del siglo VII llamado Juan de Nikio. En sus escritos justifica la masacre que se hizo en aquel año contra los judíos de Alejandría y también la muerte de Hipatia. Cuenta cómo un grupo de cristianos impetuosos y violentos, seguidores de un lector llamado Pedro fueron en su busca para torturarla y matarla para así liquidar del mundo su herejeria.

3-3 Émile de Breteuil

Gabrielle Émile Le Tonnelier de Breteuil, marquesa de Châtelet, fue una matemática francesa n acida en París el 17 de diciembre de 1706 y fallecida en Lunéville el 10 de septiembre de 1749.Hija de Louis Nicolas Le Tonnelier, barón de Breteuil, introductor de Embajadores de Luis XIV, Émilie tuvo la suerte de vivir en un medio culto: sus padres recibían a los poetas Jean-Baptiste Rousseau y Fontenelle en su salón parisino, a los que ella conoció desde su niñez. Su padre le proporcionó una educación que muy raramente se daba a las mujeres en esa época. Le enseñó latín y, estudió, asimismo, griego y alemán. Dotada para la música, aprendió a tocar el clavecín; amante de la danza y del teatro práctico, como amateur, ambas artes, e incluso llegó a experimentar con la ópera.

Presentada por su padre en la Corte a los dieciséis años, quedó seducida por los placeres que esta vida le ofrecía. A los 19 años se casó, el 12 de junio de 1725, con el marqués Florent Claude de Châtelet, que tenía 30 años. Con su marido, gobernador de Semur-en-Auxois, vivió durante un tiempo en esta ciudad, donde conoció al matemático de Mezieres. Tuvo la fortuna de tener un marido que no le puso cortapisas, asumiendo sus propias limitaciones y tomando en consideración la capacidad intelectual de su mujer. El matrimonio fue más una cuestión de interés que de amor. Tuvieron tres hijos, el mayor fue Louis Marie Florent de Châtelet.Ëmilie fue amante del marqués de Guébriant y del mariscal Richelieu. El interés y el gusto por el estudio, que demostró precozmente, no le impidieron disfrutar de las veleidades de la Regencia.

10

De entre sus diferentes amantes, Voltaire fue el que más influyó en ella, animándola a estudiar física y matemáticas, para las que demostró tener gran aptitud, hasta el punto de que Voltaire la llegó a considerar superior a sí mismo por sus conocimientos. El adjetivo "científica" no existía en ese tiempo, pero lo cierto es que Émilie de Châtelet fue una de las primeras mujeres a las que se pudo calificar con este término.

Voltaire tenía 39 años y ella 27. Su relación amorosa duró quince años. Por indicación de Voltaire, Émilie empezó a traducir a Newton, que fue el que la hizo tomar conciencia de que podía pensar por sí misma. Habiendo tenido la suerte, rara para esa época, de haber tenido un padre que no la consideró sólo como "una hija a casar" necesaria únicamente para continuar la descendencia de una línea tuvo, asimismo, la suerte de encontrar a unos compañeros que la consideraron su igual. Voltaire la admiró siempre, alabando su inteligencia y sus cualidades, de las que ella jamás hizo ostentación.

Émilie fue criticada, igual que Voltaire, por las damas de la Corte. Su posición social la ponía a resguardo de los comentarios más ácidos.

Conoció, en 1746 al marqués Jean-François de Saint-Lambert, poeta, del que se enamoró, dejó a Voltaire, con el que conservó, no obstante, una amistad que duró hasta su fallecimiento, que le sobrevino tres años más tarde, tras un embarazo, a los 43 años, del que nació una hija que no la sobrevivió.

Fue Voltaire el que se encargó de publicar la famosa traducción que su amiga había hecho de Newton y que había enviado a la biblioteca real, como si hubiera presentido su próximo final.

3-4 Carolina Herschel

Nació en Hanover en una familia numerosa de músicos, pero no recibió una educación formal, ya que su madre pensaba que solo debía recibir la formación suficiente para ser una buena ama de casa y cuidar de sus hermanos y hermanas. Dos de sus hermanos, William y Alexander, eran músicos en Inglaterra y cuando Carolina tenía 22 años se fue con ellos para estudiar canto. Aunque tuvo éxito como soprano, la educación que había recibido la había hecho tan dependiente que sólo cantaba cuando la dirigía su hermano William. Cuando éste dejó la música para dedicarse a la astronomía, (fue nombrado astrónomo del rey) ella también dejó de cantar, y así comenzó su carrera científica como ayudante de su hermano, a partir de las lecciones que éste le daba, hasta que poco a poco se fue formando a sí misma. Trabajaba duramente, por la noche observaba estrellas y de día realizaba los cálculos matemáticos y escribía los trabajos científicos. También ayudó a su hermano a construir telescopios más grandes y más potentes que permitieran estudiar astros más lejanos que la luna y los planetas.

Cuando Carolina tenía 32 años su hermano le regaló un pequeño telescopio, "el barredor de cometas" que le permitió realizar un trabajo independiente cuando él no estaba. En el verano de 1786, Carolina tenía ya un pequeño observatorio propio.

11

Cuando Carolina tenía treinta y siete años el rey Jorge III le asignó un salario como asistente de su hermano, lo que le proporcionó cierta independencia económica. Un año más tarde su hermano se casó y dejaron de vivir en la misma casa.

Fueron sus años más productivos porque, liberada de las tareas domésticas, pudo dedicarse plenamente a la astronomía y se convirtió en una celebridad científica. Colaboró con su hermano en el descubrimiento de mil estrellas dobles, demostrando que muchas eran sistemas binarios, lo que suponía la primera prueba de la existencia de la gravedad fuera del sistema solar.

A los 58 años tuvo que cuidar de su hermano Dietrich durante cuatro años. Por primera vez empezó a tener conflicto entre su educación, que le imponía un cuidado abnegado hacia sus hermanos, y sus estudios de astronomía que ocupaban parte del tiempo que tenía que dedicar a dormir. Cuando murió su hermano William, Carolina dejó Inglaterra y volvió a Hannover. Recibió la Medalla de Oro de la Real Sociedad de Astronomía y la nombraron miembro honorario de la sociedad. La nombraron miembro de la Real Academia Irlandesa y el rey de Prusia le concedió la Medalla de Oro de las Ciencias. Sólo al final de su vida fue reconocido su trabajo, ha sido sin duda la mujer que más ha contribuido al avance de la astronomía de todos los tiempos.

3-5 Grace Chisholm Young

Nació en Inglaterra, durante la época victoriana. Su familia gozaba de una privilegiada situación y de una elevada educación. Su padre había tenido un prestigioso cargo en el Departamento de Pesas y Medidas del gobierno británico y la madre era una consumada pianista que, junto a su padre, daba recitales de violín y de piano. Era la más pequeña de cuatro hermanos, todos eran hombres menos ella. Solo le enseñaban lo que quería aprender que era cálculo mental y música, que le enseñaba su madre hasta los diez años. A los 17 pasó los exámenes de Cambridge, pero no le dejaron seguir estudiando por ser mujer. Más tarde a los 21 años decidió continuar estudiando.

Escribió Primer libro de Geometría en el que opinaba sobre el interés que tenía enseñar geometría utilizando cuerpos geométricos en tres dimensiones. Quería estudiar medicina pero su madre no aprobó esa elección, por lo que con el apoyo de su padre comenzó a estudiar matemáticas. Entró en la universidad de Cambridge. Tuvo dificultades para asistir a clases de Arthur Cayley pero obtuvo allí su licenciatura. Para proseguir su carrera como matemática debió abandonar su país, pues en él aún no era posible que una mujer se doctorase, e ir a Göttingen. Grace consiguió doctorarse, la podemos considerar como la primera mujer que consiguió doctorarse en matemáticas de una forma "normal".

Volvió a Inglaterra, y su tesis fue reproducida y enviada a aquellas personas que le pudieran interesar. Una de estas personas fue William Young que le pidió su colaboración para escribir un libro de astronomía. Willian la solicitó en matrimonio y ella lo rechazó, pero la insistencia de Willian no cesó hasta que se casaron. Durante el primer año de matrimonio vivieron en Cambridge a final de ese año nació su primer hijo y además Willian decidió trasladarse a Alemania, pasaron gran parte de su vida viajando por: Alemania, Inglaterra, Suiza e Italia. Tuvo seis hijos y una familia tan numerosa no

12

permitía desarrollar muchas actividades fuera del hogar. Ella elaboró una serie de textos, e hizo unas aportaciones a la Integral de Lebesque y estudio de las Derivadas de las Funciones Reales.

4- Etimología Matemática

El significado de algunas palabras matemáticas son desconocidas para muchas personas. Partiendo todas de la base numérica de 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). En este apartado se citaran algunas de los términos matemáticos más utilizados y conocidos.

4-1 Cálculo

Conocido como la acción de calcular, el cálculo es usado como razonamiento lógico-matemático para realizar operaciones tan simples como las de las potencias. Su Historia se remonta a los tiempos de los Griegos.

De la Grecia Clásica a la Edad media.

El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.Los antecedentes de procedimiento de cálculo se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en su Lógica fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos.El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de al-Juwarizmi en el siglo IX.

Se introdujo el 0 introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.

El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna

13

A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico.

Renacimiento

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.

Siglos XVII y XVIII

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.

Siglos XIX y XX

Si bien la Lógica de Aristóteles fue desarrollada, como hemos visto, a lo largo de los siglos a finales del siglo XVIII, opinaba que la Lógica aristotélica no había sufrido modificaciones sustanciales por tratarse de una ciencia formal, a priori y analítica.

14

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Los sistemas de cálculo matemático amplían horizontes nuevos geometrías no euclidianas que encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una transformación radical. La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo suele considerarse como meramente utilitaria.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

Actualidad

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho

material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones/seg.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelación de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

15

El Cálculo Aritmético

Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.

El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida.

De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir. Pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su trascripción gráfica.

“La aritmética no es, como tampoco, la geometría, una promoción natural de una razón inmutable. La Aritmética no está fundada en la razón. Es la doctrina de la razón la que está fundada en la aritmética elemental. Antes de saber contar apenas sabíamos qué era la razón. En general, el espíritu debe plegarse a las condiciones del saber”. Bachelard.

El Cálculo Algebraico

El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

El Cálculo infinitesimal o integral

Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes. Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

16

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

4-2 El Algebra

El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día toda el álgebra en las siguientes categorías:

·Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.

·Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí misma de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de ésta se distingue: -Álgebra lineal, estudia las propiedades específicas de los espacios vectoriales. -Álgebra universal, estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.

-Teoría de números algebraicos, una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos los cuales son raíces de los polinomios con coeficientes racionales. -Geometría algebraica, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría.

Algebra Elemental

El Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y). Esto es útil porque:

• Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

• Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de como resolverlas.

• Permite la formulación de relaciones funcionales. El Algebra Abstracta

El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas

17

estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas las matemáticas y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.

Históricamente, las estructuras algebraicas surgen en algún otro campo distinto a la propia álgebra. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática.Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:

• Magmas: es un tipo de estructura algebraica especialmente elemental. • Casigrupos• Semigrupos: es una estructura algebraica de la forma (A,+) donde + es una

operación binaria y asociativa. • Monoides: es un semigrupo con elemento neutro. Un monoide abeliano es un

monoide conmutativo. • Grupos: es un magma (un conjunto, con una operación binaria), que satisface

ciertos axiomas.

Otros ejemplos más complejos son:

• Anillos y cuerpos • Módulos y Espacios vectoriales • Álgebras asociativas y Álgebras de Lie • Retículos y álgebras de Boole

Estructura Algebraica

En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas, es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen.Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica.

Signos y Símbolos del Algebra

En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc.

18

Aquí algunos ejemplos: Signos y Símbolos

Expresión Uso + A demás de expresar adición, también es usada para

expresar operaciones binarias c ó k Expresan Términos constantes

Primeras letras del alfabetoa, b, c,...

Se utiliza para expresar cantidades conocidas

Ultimas letras del alfabeto...,x, y, z

Se utiliza para expresar incógnitas

n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)

Exponentes y subíndicesa', a'', a''', - a1, a2

,a3

Expresar cantidades de la misma especie de diferente magnitud

4-3 El Algoritmo

Un algoritmo, es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a través de pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final obteniendo una solución. Los algoritmos son objeto de estudio de la algoritmia y su definición queda formalizada por el modelo computacional de la Máquina de Turing.

Su importancia radica en mostrar la manera de llevar a cabo procesos y resolver mecánicamente problemas matemáticos o de otro tipo. Al igual que las funciones matemáticas, los algoritmos reciben una entrada y la transforman en una salida, comportándose como una caja negra. Sin embargo, para que un algoritmo pueda ser considerado como tal, debe ser determinista, eficiente, tener un número finito de instrucciones y debe acabar. Por determinista se entiende que si se sigue el mismo proceso más de una vez se llega siempre al mismo resultado.

En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas. Existen ejemplos de índole matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un Sistema lineal de ecuaciones.

19

Características de los algoritmos

El científico de computación Donald Knuth ofreció una lista de cinco propiedades, que son ampliamente aceptadas como requisitos para un algoritmo:

1. Carácter finito. "Un algoritmo siempre debe terminar después de un número finito de pasos".

2. Precisión. "Cada paso de un algoritmo debe estar precisamente definido; las operaciones a llevar a cabo deben ser especificadas de manera rigurosa y no ambigua para cada caso".

3. Entrada. "Un algoritmo tiene cero o más entradas: cantidades que le son dadas antes de que el algoritmo comience, o dinámicamente mientras el algoritmo corre. Estas entradas son tomadas de conjuntos específicos de objetos".

4. Salida. "Un algoritmo tiene una o más salidas: cantidades que tienen una relación específica con las entradas".

5. Eficacia. "También se espera que un algoritmo sea eficaz, en el sentido de que todas las operaciones a realizar en un algoritmo deben ser suficientemente básicas como para que en principio puedan ser hechas de manera exacta y en un tiempo finito por un hombre usando lápiz y papel".

Knuth admite que, aunque su descripción pueda ser intuitivamente clara, carece de rigor formal, puesto que no está exactamente claro qué significa "precisamente definido", "de manera rigurosa y no ambigua", o "suficientemente básicas", y así sucesivamente.A partir del carácter finito y de la salida se deduce que ante una misma situación inicial (o valores de entrada) un algoritmo debe proporcionar siempre el mismo resultado (o salida), con excepción de los algoritmos probabilistas.

Medios de Expresión de un Algoritmo

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles:

1. Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles.

2. Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución.

3. Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones.

También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos.

20

Diagrama de flujo

Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO. Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción de procesos a personas ajenas a la computación.

Pseudocódigo

Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que asemeja a un lenguaje de programación pero con algunas convenciones del lenguaje natural. Tiene varias ventajas con respecto a los diagramas de flujo, entre las que se destaca el poco espacio que se requiere para representar instrucciones complejas. El pseudocódigo no está regido por ningún estándar.

Máquina de Turing

La máquina de Turing es un modelo matemático, diseñado por Alan Turing, que formaliza el concepto de algoritmo. A este modelo se le refiere comúnmente como la «descripción de más bajo nivel» por el hecho de que no utiliza ninguna expresión coloquial.

Implementación

Muchos algoritmos son ideados para implementarse en un programa de computadora. Sin embargo, los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un circuito eléctrico o un aparato mecánico. Algunos algoritmos inclusive se diseñan especialmente para implementarse usando lápiz y papel. El algoritmo de multiplicación tradicional, el algoritmo de Euclides, la Criba de Eratóstenes y muchas formas de resolver la raíz cuadrada son sólo algunos ejemplos.

Análisis de Algoritmos

Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo. El análisis de algoritmos se ha desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de entrada.

El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computación y, en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar") un algoritmo es escribirlo en pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal como Léxico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador.

21

Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que podrían ejecutarse eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera algún dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de éste con una salida satisfactoria, sino que el éxito estaría definido en función de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecución del algoritmo.

4-4 Los Números amigos

Dos números amigos son dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro.Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

• Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284

• Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220

Alrededor del año 850, Tabit Ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos:p = 3 × 2n-1 - 1, q = 3 × 2n - 1, r = 9 × 22n-1 - 1, donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces2npq y 2nr son un par de números amigos.

Los números amigos han sido estudiados por Al Madshritti, Abu Mansur Tahir al-Baghdadi, Pierre de Fermat, René Descartes, a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.

4-5 Los Números primos

El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Los números primos menores que cien, son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única.

22

4-6 El Número de Oro

Representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

La Historia del Número de Oro

El número áureo o la proporción áurea se estudiaron desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de un segmento en media extrema y razón" era conocida generalmente como "la sección". En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi, por ser la primera letra de su nombre, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción. Platón, consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo. Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione,

quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de

23

"Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos. Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

El astrónomo Johannes Kepler, descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Y, creyente como era dijo: "no cabe duda de que Dios es un gran matemático".

FIN

24