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Integrales
• Integrales Simples.
• Integrales Múltiples.• Integrales de Superficie.
• Integrales en Línea.
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Unidad IV
Integral doble
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La integral doble
• Sea R una región cerrada en el plano xy y
sea g(x, y) una funcióndefinida en un rectángulo que
contiene a R.
Hacemos una partición del rectángulo ue contiene a la región
! enn x n rectángulos" donde el #$%simo rectángulo
tiene dimensiones X k por
Y k &no necesariamente iguales'.
Luego evaluamos una función g(x,y) en algún
punto ( ! ", # ! " )
de
cada rectángulo, y formamos la suma...n(
g&)# *" +#
*' ∆ )# ∆+#
# , -
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• La suma anterior, como en la integral definida,
se llama Suma de Riemann .
continuación se ilustra lo anterior.• /0emplos1 -'
Integrando g & x,y' = x + 1
• !egión ! 1 2rea comprendida entre las cur3as •
y = x4 y = 4 - x" x = 0.
• /n las siguientes imágenes se 5ará una partición del
rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio
de una subregión ueda dentrode !" se le inclu+e en la partición +
por lo tanto en la suma de!iemman.
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6unciones = 7 x, 4 - x8
• 9ráfica de funcionesen el plano xy
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La integral doble
• Gráfica de la región R
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La integral doble
• Partición de la región R en 64 rectángl!"#
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• continuación se muestra el resultado de e3aluar
lafunción g & x, y' = x + 1 en
el punto medio de cada
rectángulo de la partición + el cálculo de lasumatoria de
!iemann"
n(
g&)# *" +# *' ∆)#∆+#
# , -• + la integral doble de la función sobre la región !"aunue
aún no 5emos definido ue significa:Integral doble:.
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La integral doble
• ;ara la función g&)" +' , - < ) La suma de!iemann
, =.=(> para n , =? rectángulos
Integral doble , =.====@•
Aomo 5abrás obser3ado" el 3alor de la
suma de !iemann está cercano al 3alor delo ue llamamos
"Integral doble".
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La integral doble
• /nseguida se ilustrarála partición
tridimensional de el• 3olumen comprendido
entre la superficie
• $ = g & x, y' + la región!.
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La integral doble
• Se 5ace las columnas para calcular el
3olumen.
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La integral doble
• Volumen de los =? paralelepipedos es
=.=(>• Volumen e)acto ,=.====@
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La integral doble
• continuación 3eremos otroe0emplo de lo anterior parareafirmar
el concepto.
• /0emplo (. Integrando g%x,y& ='( - x8 -
y8
!egión ! 1 área comprendidaentre las cur3as y = x8 - 4
) y =4 - x8#
/n seguida se 5ará una particiónde la región ! en 8 x 8 =
64rectángulos.
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• 6unciones ,
• 7$ ? < )( " ? $ )(8
• 9ráfica de funciones en el plano xy
• Gráfica de la región R
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La integral doble
• ;artición de la región! en =? rectángulos
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La integral doble
• continuación se muestra el resultado de e3aluar la
función g%x,y& ='( - x' - y' en el punto
medio de cada rectángulo de la partición + elcálculo de la
sumatoria de !iemann"
• ;ara la función g%x, y& = '( - x' - y'
•
• La suma de !iemann , ?-B.@> para n , =? rectángulos
•
• Integral doble , ?CB.(?(
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La integral doble
• /n las siguientes gráficasse ilustrará la
particióntridimensional de el
3olumen comprendidoentre la superficie
• $ = g & x,y' + la región !.
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• La región se di3ide en partes iguales &en este
caso' + se calcula el3olumen.
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• Volumen de los =? paralelepípedos es
?CC.?B?
• Volumen e)acto?CB.(?B
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• Definición1 Si g & x, y' está definida
en una región cerrada + acotada ! del plano xy"la Integral
Doble de g & x" y' sobre ! se define
como1
• n(
• g&)" +' d , lim g&)# *" +# *'
∆)# ∆+# • ! n E
# , -
• cuando la norma de la partición tiende a cero. & lo
ue eui3ale a nE'
