La lógica de Charles Sanders Peirce

7/30/2019 La lgica de Charles Sanders Peirce

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Pierre THIBAUD

LA LOGICA DECHARLES SANDERS PEIRCE

'Del Algebra a los Graficos\LJ.

Colecci6nLOGlCA Y TEORIA DE LA CIENCIA

1982Director:PASCUAL MARTINEZ FREIREProfesor agregado Numerario de L6gicaUniversidad Complutense de Madrid

~ A R A N _ ! N F ~MADRID

BIBLIOTECA DE LA UNIVERSITAT DE BARCELONA

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INTRODUCCION

dispersos de su 16gica. Este es el fm a1 que, por su parte, modestamente querriacontribuir este breve estudio.

***Seanos permitido aqui dar las gracias a cuantos me han alentado en este tra-bajo o han permitido su realizacion y acabamiento, entre los cuales destacanel Sr. G.G. GRANGER que con benevolencia lo ha dirigido y estimulado con susobjeciones, los Sres. L. FREY y A. RAGGIO que lo han enriquecido con sus suge-rencias y, finalmente, el Sr. Ph. NGUYEN VAN MINH que lo ha facilitado, al ocu-parse junto a nosotros de cierto numero de dificultades halladas a lo largo de nues-

tra reflexion sobre PEIRCE.

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Capitulo If LA LOGICA DE ENUNCIADOS


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LA LOGICA DE ENUNCIADOS

1. LA FORMULACION ALGEBRAICAEn su estudio consagrado al desarrollo de la teo ria 16gica de PEIRCE, S. UEYAMA parece sugerir que el in teres de PEIRCE porIa 16gica de enunciados se despert6gracias a la lectura de las Summulae Logicales de Pedro de ESPANA 1 . Indudable-mente tal juicio deberia matizarse. Pues aunque es de creer que PEIRCE pudoestar influido por esc esbozo de la 16gica de enunciados que fue la teoria medievalde las consequentiae, ha de notarse que tall6gica se desarrolla sabre todo con OCKHAM y DUNS SCOTO -por los cuales, ademas, PEIRCE se habia interesado desdcmuy temprano- y no con Pedro de ESP en cuya obra la noci6n de consequen-

tia no esta todavia bien definida2 En realidad parece que PEIRCE solo bastante tarde se interes6 por una l6gica deenunciados. S. UEYAMA hace notar que. en tiempos de sus primeras lecturas deBOOLE, antes de 1867 por tanto, el fracaso de BOOLE al intentar exponer una 16-gica de enunciados habia decepcionado a PEIRCE3 De hecho, sus primeros articu-los sobre BOOLE no contienen criticas en este sentido y PEIRCE no parece haberseinteresado por esta 16gica antes de 1880. lfls primeras investigaciones de PEIRCEsabre la 16gica simb6lica, publicadas en 1867, tra tan principalmente sabre el c:Hculo de clases que PEiRCE, como ya lo hizo BOOLE, parece considerar, en esta epo-ca, el ci!culo fundamental. Por ello, antes de considerar las contribuciones percia-nas a la 16gica de enunciados, examinaremos primeramente los perfeccionamien-tos logrados por PEIRCE en el terreno del "Algebra de la logica" propiamente di-

cha.

1 S. UEYAMA, "Development of PEIRCE'S theory of Logic", The Science of Thought, I(1954), p. 25.2 Cf Pedro HISPANO, Summulae Logicales, I.M. BOCHENSKI ed. (Turin: 1947), 1.31,3.33, 3.34, 7.58, 7.61. En 3.34 habla en particular de consequentia essentiac, y opera aqui, w-mo lo hace ABELARDO y tambicn a veces KILWARDBY, en el terreno de una 16gica de lenni-no s y no de enunciados.3 S. UEYAMA, loc. cit., p. 26.

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es decir

x -< ( y -< z)yXy-


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Generalizando la regia R 1 (ins) hasta un nfunero cualquiera de cortaduras seenunciani (si C0 representa una sucesi6n -que puede ser vacia - de conjunciones)asi:C0 11 I (C1 11 I (C2 11 .. . I Cr ... )) t- C0 11 I (C1 11 .. . I (Ca 11 A 11 .. 1 Ct ... ))

don de d = 2l + 1.- E7iminacion: R 1 ( el) se puede eliminar un grafico cercado por un numero par( o nulo) de cortaduras.

PQ .-Pes decir: P 11 Q .- P.' La generalizaci6n de la regia R 1 ( el.) podria enunciarse asi:

C0 1\ I (C't 1\ . I (Ca 1\ A 1\ I C1 . .) ) . - C0 "I C1 1\ . I (Ca 11 . I Cr ...))donde d = 21.

La segunda regla, R 2 , se llama regla de "iteracion" y de "desiteracion" (Cf. C.P.4.506).Jteracion: R 2 (it). Todo grafico ya dado puede volver a escribirse, sea en Iamisma superficie que el primero, sea sobre una superficie (ya dada) rodeada de un

numero superior de cortaduras.Asi: P.-PP

es decir: P r P fl P.Y tambien:

1-

es decir: P'*Q .-P'*(PfiQ)o generalizandola

C0 fl l (C1 11 .. . I (Cd "A fl I (Cg A .. . I Ct ... ) ) ~ - C0 II l (C1 II .. . l (Cd A A III (Cg II .. . -1 (C11 II A fl . . l C, ... ) )))donde d


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2. por R4

A31. por R 1 (ins.)

f-

2. par R 2 (it.)

f-

3. por R 3

0 f - @

R: Esta regia ya ha sido demostrada arriha en lap. 64.68

La segunda etapa de nuestra demostraci6n consiste pues en derivar Alfa* a partirdel sistema de ROSSER. La complctud de este utlimo sistema nos pennite utilizarante todo las dos tesis siguientes:p ~ (Q ~ P)(P ~ (Q ~ R)) ~ ((P ~ Q) ~ (P ~ R))

a partir de las cuales (por medio del modus ponens) es facil derivar la regia de introduccion de Ia implicacion. No presentaremos la demostraci6n, que ya es chisica1 3 0 Ademas, a partir de la definicion de la nocion de consecuencia, facilmente se demostrara la regia de eliminacion de la implicacion en la consecuencia que, aplicada aciertas tesis de ROSSER, nos permite engendrar las reglasR 1 (ei.),R 1 (ins.),R 2 (it.y desit.) y R 3 que corresponden todas elias a esquemas de deduccion validos (no haremos la demostracion -que es facil- de Ia validez de estas reglas).

AI ser deductivamente equivalentes los dos sistemas, Alfa* aparece pues como unsistema consistente y completo de deduccton natural. Es interesante sefialar que elsistema de GENTZEN requiere un numero mas elevado de reglas para la logicaenunciativa. No hay mejor manera de mostrar el in teres del sistema Alfa *.Sin embargo, podriamos aproximarnos todavia mas a Ia presentaci6n peirciana siinteq)retaramos Alfa como un sistema axiomatico ordinaria. Ya hemos vishi que c11PEIRCE la hoja de aserci6n es un grafico (cf. C.P. 4.396). Puesto que no pucdc scrderivada de otros grificos, puede consider:irsela, segun lo sugierc ZEMAN (op. cit.,

p. 46), como un axioma. Tomaremos pues como axioma el tennino vacio A inlro-ducido mas arriba131 . Se observa entonces que el sistema, constituido por cl tennino vacio como axioma y las tres reglas R 1 , R 1 y R 3 , es consistente y completo (elnuevo sistema se llamara Alfa**).Utilizaremos el nrismo esquema de demostracion que precede. Las derivaciones

de A 1 , A 2 , A3 y R a partir del sistema de PEIRCE pueden presentarse como sigue:At

1. Por el axioma se establece el termino vacfo:A

2. Por R 3 (@)130 a. E.W. BETH, The Foundations ofMathematics (N.Y.: 1966), pp. 207-208.1 3 1 Al cual, en la interpretaci on, asociaremos la tesis A =>A del c:ilculo de enunciados.

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Lo cual se escribini, en adelante, con escritura reducida: 2. por R 1 (ins. de R)3. Por R 1 (ins) y R 2 (it) 3. por R2 (it. de R)

4. por R 2 (it) 4. por R 1 (ins. de P)

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A2 5. por R 3 (alrededor de Q)1. Por las tres primeras etapas de la demostracion precedente: 86. por R 2 (it. de P}

2. por R 1 (ins.)

7. por R 3 (alrededor de R P)A3

1. cf. arriba:

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