La Meccanica Delle Strutture Prof. Bruno Zan

I.U.A.V. Clasa

LABORATORIO INTEGRATO DI PROGETTAZIONE 2

La MECCANICA delle STRUTTURE

prof. Bruno Zan ing. Claudio Bertocco

- LO SCHEMA STATICO - LA TEORIA DELLE TRAVI INFLESSE - LE STRUTTURE ISOSTATICHE - LA DEFORMAZIONE DELLE TRAVI INFLESSE - LE STRUTTURE IPERSTATICHE - IL METODO DELLE FORZE - IL METODO DELLE ROTAZIONI - IL METODO DI CROSS - LE STRUTTURE RETICOLARI

I.U.A.V. prof. Bruno Zan ing. Claudio Bertocco La Meccanica delle strutture -Novembre 2012

2

1. PREMESSA

La struttura lorganismo costruttivo che ha il compito di sostenere i carichi e di trasferirli a terra attraverso i vari meccanismi di resistenza del materiale di cui composta.

Una struttura per poter essere valutata e risolta viene rappresentata dallo SCHEMA STATICO che definisce la geometria generale, le dimensioni delle sezioni, le caratteristiche del materiale, le condizioni di vincolo e le condizioni di carico che la struttura stessa deve sopportare.

Calcolare o risolvere una struttura significa trovare, per il SISTEMA DI FORZE ATTIVO (condizioni di carico) applicato allo SCHEMA STATICO, il sistema di FORZE REATTIVO (le reazioni vincolari), landamento delle SOLLECITAZIONI in ciascuna sezione (diagrammi di Momento, Taglio e Sforzo Normale) e le DEFORMAFIONI in punti significativi (spostamenti orizzontali e verticali, rotazioni).

La struttura nello svolgere il proprio compito di sostegno dei carichi non deve deformarsi eccessivamente e deve sempre mantenere un certo grado di sicurezza nei riguardi della fruibilit e del crollo.

Per rispondere alle necessit di cui sopra la struttura deve soddisfare tre condizioni base:

EQUILIBRIO RESISTENZA

DEFORMABILITA

LEQUILIBRIO definisce la forma della struttura, il modo in cui vincolata a terra e i carichi che essa deve sostenere, lEQUILIBRIO il sistema di FORZE ATTIVO e REATTIVO che agiscono sullo SCHEMA STATICO.

La RESISTENZA rappresenta la capacit della struttura, configurata secondo lequilibrio, cio secondo lo schema statico definito, di sostenere i carichi con i diversi comportamenti virtuosi dei materiali scelti per realizzarla. La RESISTENZA definita dai modi di resistere dei materiali alle sollecitazioni indotte nello schema statico dai carichi da sostenere.

La DEFORMABILITA la capacit di sostenere i carichi senza eccessive deformazioni che potrebbero rendere la struttura non utilizzabile per gli scopi e gli usi per cui stata realizzata.


3

INCASTRO

CERNIERA

CARRELLO

3 gradi di vincolo X=0 Y=0 =0

2 gradi di vincolo X=0 Y=0

1 grado di vincolo

Y=0

CARRELLO1 grado di vincolo

X=0

2. LO SCHEMA SATICO

Lo SCHEMA STATICO interpreta e definisce una STRUTTURA mediante la geometria complessiva, le dimensioni delle sezioni, le caratteristiche del materiale, le condizioni di vincolo e le condizioni di carico e le ipotesi di deformabilit.

Di seguito si fa riferimento alle STRUTTURE PIANE che rappresentano la tipologia strutturale pi semplice che descrivibile da uno schema statico nel piano. Le STRUTTURE SPAZIALI sono rappresentate, invece, da schemi statici pi complessi che interpretano il comportamento strutturale nello spazio.

GEOMETRIA COMPLESSIVA

La geometria complessiva della struttura rappresentata dalle ASTE collegate tra loro dai NODI di estremit. Le ASTE sono le unit componenti della struttura e sono caratterizzate dalla lunghezza ma anche dalle dimensioni della sezione trasversale. I NODI sono le estremit delle aste e sono individuati dal baricentro della sezione trasversale delle aste. Ciascun NODO, immaginato materialmente come baricentro delle sezioni di estremit di un asta, pu essere collegato ad un'altra asta oppure pu essere direttamente collegato a terra. Ogni NODO e la sezione trasversale di estremit dellasta ad esso riferita, pu spostarsi liberamente sul piano. Il NODO, trascinando le aste a lui collegate, pu spostarsi lungo lasse delle X, lungo lasse delle Y o pu ruotare, coinvolgendo negli spostamenti e nella rotazione le sezioni di estremit delle aste ad esso collegate.

LE CONDIZIONI DI VINCOLO

Le condizioni di VINCOLO sono fissate e definite dagli spostamenti impediti per ciascun nodo e per la sezione ad esso collegata.

Esistono le CONDIZIONI di VINCOLO ESTERNE, cio gli impedimenti assoluti posti per i nodi di estremit vincolati a terra. Esistono le CONDIZIONI di VINCOLO INTERNE, cio gli impedimenti relativi posti per le sezioni destremit delle aste che concorrono nei vari nodi.

I VINCOLI ESTERNI impediscono gli SPOSTAMENTI ASSOLUTI della sezione di estremit dellasta lungo le direzioni X e Y e la rotazione della sezione attorno al nodo. Se si bloccano tutti

e tre gli spostamenti si parla INCASTRO con 3 gradi di vincolo, se si bloccano solo gli spostamenti X e Y si parla di CERNIERA con 2 gradi di vincolo, se si blocca solo uno spostamento X o Y si parla di CARRELLO (o APPOGGIO SEMPLICE) con 1 grado di vincolo. Altre modalit di vincolo, meno diffuse nellambito delle costruzioni sono rappresentate dagli INCASTRI CEDEVOLI dove si blocca la rotazione e uno solo degli spostamenti X o Y.

Negli schemi statici i vincoli esterni possono essere rappresentati in vario modo. Per indicare il vincolo agli spostamenti X e Y frequentemente si utilizza il triangolo al quale si applicano le ruote per indicare che vincolato solo lo


4

spostamento in una direzione. Per indicare lincastro spesso si aggiunge alla cerniera (triangolo) un quadrato per indicare che bloccata anche la rotazione .

I VINCOLI INTERNI impediscono gli SPOSTAMENTI RELATIVI tra le sezioni di estremit delle aste che concorrono nel nodo. In particolare si pu parlare di vincolo a CERNIERA quando le sezioni di estremit delle aste non si possono allontanare tra loro ma possono ruotare indipendentemente, Si parla invece di vincolo ad INCASTRO quando le sezioni di estremit non possono n allontanarsi n ruotare tra loro.

Una struttura definita da vincoli interni a cerniera individua una struttura di tipo RETICOLARE, mentre una struttura definita da vincoli interni ad incastro individua una struttura a TELAIO.

VINCOLO INTERNO - CERNIERA

VINCOLO ESTERNO - CERNIERA

VINCOLO ESTERNO - APPOGGIO

STRUTTURA RETICOLARE in APPOGGIO

VINCOLO ESTERNO CERNIERA

VINCOLO ESTERNO

APPOGGIO VINCOLO ESTERNO INCASTRO

VINCOLO INTERNO - INCASTRO

STRUTTURA A TELAIO

Gli spostamenti delle Strutture Reticolari sono principalmente dovuti alle deformazioni assiali (per Sforzo Normale) delle aste componenti, mentre gli spostamenti delle strutture a Telaio sono principalmente dovuti alle deformazioni flessionale (per Momento Flettente) delle aste componenti.

LE CONDIZIONI DI CARICO

Lo schema statico, definito dalla geometria complessiva e dalle condizioni di vincolo, soggetto alle condizioni di carico esterne che lo sollecitano e lo deformano. Nellambito delle strutture tali condizioni di carico sono dovute alle forze peso della struttura e dei materiali che compongono lopera (pavimenti, sottofondi, coperture, ecc.), alle forze che riproducono gli agenti atmosferici come neve e vento, alle forze che riproducono gli effetti di un sisma, ai carichi di progetto che la struttura deve portare. I carichi sono rappresentati da momenti (o coppie), forze verticali e orizzontali isolate e concentrate nei nodi, oppure, da forze distribuite lungo le aste. Linsieme delle condizioni di carico su una struttura rappresenta il SISTEMA DI FORZE ATTIVO che agisce sulla struttura stessa.

q= carico distribuito in copertura

q=carico distribuito

P=carico concentrato

P=carico concentratoeffetto del vento

effetto del ventoP=carico concentrato

La determinazione dei carichi rappresenta uno degli aspetti fondamentali della definizione di uno schema statico per il progetto di qualsiasi elemento strutturale. Non possibile dimensionare un elemento costruttivo senza conoscere i carichi e lo schema statico secondo il quale lelemento costruttivo lavora.


5

LE IPOTESI DI DEFORMABILITA

La soluzione di uno schema statico inizia con il calcolo del SISTEMA di FORZE REATTIVO, rappresentato dalle REAZIONI dei VINCOLI ESTERNI, che equilibra il SISTEMA DI FORZE ATTIVO rappresentato dai CARICHI. I due sistemi di forze trovano lequilibrio attraverso la deformazione della struttura, quindi per interpretare una struttura in generale necessario fissare anche le regole di deformabilit della stessa. Il modello di riferimento pi semplice e utilizzato il MODELLO ELASTICO-LINEARE che fissa le regole di deformabilit semplicemente attraverso il LEGAME LINEARE tra le tensioni e le deformazioni del materiale (legge di Hooke).

E=

dove: la tensione normale sul materiale deformazione unitaria del materiale E il modulo elastico del materiale di cui composta la struttura

Conseguenza immediata dellutilizzo del modello ad elasticit lineare e il principio fondamentale della SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI secondo cui sempre possibile risolvere una struttura scomponendo e sovrapponendo i singoli carichi oppure le singole deformazioni.

La soluzione di una struttura soggetta a varie condizioni di carico raggiungibile sommando le soluzioni di ciascuna condizione di carico. Intendendo per soluzione della struttura la determinazione del SISTEMA di FORZE REATTIVO (reazioni vincolari), la determinazione dei diagrammi di sollecitazione (Diagrammi di Momento, Taglio e Sforzo Normale), la determinazione delle DEFORMAZIONI (abbassamenti e rotazioni) Per una trave le funzioni che definiscono i diagrammi delle sollecitazioni di Momento e Taglio sono tra loro, e con il carico q, legate dal rispetto delle condizioni di equilibrio che forniscono le seguenti relazioni, che analizzeremo nei capitoli successivi:

qdxdT

=

Tdx

dM=

Le relazioni stabiliscono che, la derivata della funzione che rappresenta lo sforzo di taglio uguale alla funzione che rappresenta il carico unitario cambiato di segno; la derivata della funzione che rappresenta il diagramma del momento flettente uguale alla funzione che rappresenta lo sforzo di taglio. Mettendo assieme le due relazioni si ottiene anche:

dxMdq =

per la quale il carico unitario la derivata seconda del momento cambiata di segno.


6

Per il MODELLO ELASTICO LINEARE le deformazioni di una struttura vengono determinate in campo elastico con i carichi di esercizio, cio nella ipotesi di comportamento del materiale secondo il modello elastico-lineare, alla base del quale c la legge di Hooke che stabilisce la proporzionalit diretta tra deformazioni e tensioni.

SFORZO NORMALE e DEFORMAZIONE ASSIALE Per unasta della struttura sollecitata da Sforzo Normale (carico di trazione o compressione posizionato nel baricentro della sezione trasversale dellasta), il modello elastico-lineare individua la seguente deformazione (allungamento o accorciamento dellasta), che analizzeremo nei capitoli successivi:

AELNLL

==

dove: L la deformazione complessiva dellasta (accorciamento o allungamento) la deformazione unitaria N lo Sforzo Normale baricentrico sulla sezione trasversale dellasta A larea della sezione trasversale dellasta L la lunghezza dellasta E il modulo elastico del materiale dellasta

La determinazione della deformazione assiale delle aste importante per poter trovare le deformazioni complessive di una struttura reticolare. Nel Capitolo 15 vengono trattate le strutture reticolari che si deformano per gli sforzi di trazione e compressione nelle singole aste.

MOMENTO FLETTENTE e DEFORMAZIONE FLESSIONALE Per unasta della struttura sollecitata da Momento Flettente, la deformazione flessionale governate dallequazione della linea elastica, che analizzeremo nei capitoli successivi:

JEM

dxd

r

12

2

==

dxd =

JEM

dxd

=

dove: 1/r la curvatura della funzione che rappresenta la deformata lo spostamento delle sezioni della struttura la rotazione delle sezioni della struttura M il momento flettente sulle sezioni E il modulo elastico del materiale dellasta J il momento dinerzia della sezione trasversale dellasta

Per determinare le deformazioni flessionali complessive (spostamenti o rotazioni delle sezioni dellasta) si possono utilizzare diversi metodi di calcolo che analizzeremo nei capitoli successivi:

1) la doppia integrazione dellequazione della linea elastica utilizzando i tradizionali metodi di integrazione della matematica;

2) il Principio dei Lavori Virtuali che fa riferimento ad un sistema di forze e tensioni virtuali equilibrato e un sistema di spostamenti e deformazioni congruente;

3) il teorema e il corollario di Mohr che consente di risolvere la doppia integrazione con laiuto di una trave ausiliaria caricata con il diagramma di curvatura per la quale il momento equivale alla freccia della trave principale e il taglio equivale alla rotazione.


7

X

Y

O

P

TANGEN

TE

X

Y

O

x=a

x=b

a

b

AREA

3. L ANALISI DI UNA CURVA e DELLA SUA FUNZIONE

Prima di avventurarci nello studio delle strutture necessario recuperare alcuni importanti concetti di analisi matematica e di studio delle funzioni.

DERIVATE e INTEGRALI

I concetti di DERIVATA e di INTEGRALE di una funzione rappresentano uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale. DERIVATA e INTEGRALE sono due operazioni matematiche inverse.

La DERIVATA un operatore che trasforma la funzione f(x) in una nuova funzione f(x): )(')( xf

dxxfd

=

LINTEGRALE loperatore inverso che trasforma la funzione f(x) in una famiglia di funzioni f(x), a meno di una costante C, detta costante di integrazione:

Cxfdxxf += )()(' Per integrare una funzione in genere necessario definire il valore della costante di integrazione C, al fine trovare, allinterno della famiglia definita da C, la funzione che si ricerca . La costante C viene calcolata mediante una condizione al contorno che individuata da particolari requisiti ai quali deve sottostare la funzione cercata, come ad esempio il passaggio per un punto dato.

Esempi di funzioni derivate e integrate: f(x)=a derivata D(a)=0 integrale I(0) = C f(x)=x derivata D(x)=1 integrale I(1) = x+C f(x)=x derivata D(x)=2x integrale I(2x) = x+C f(x)=x3 derivata D(x3)=3x integrale I(3x) = x3+C f(x)=xn derivata D(xn)=nx(n-1) integrale I(nx(n-1)) = xn+C

Nellanalisi matematica il calcolo della DERIVATA di una funzione in un punto individua il valore del coefficiente angolare della retta tangente nel punto della curva di equazione f(x).

Nellanalisi matematica lINTEGRALE rappresenta la sommatoria di elementi infinitesimi pu essere calcolato in un intervallo finito, in questo caso rappresenta un area:

=b

a

areaxdxf )()(

Lelemento infinitesimo f(x)dx larea infinitesima di base d(x) e altezza f(x), quindi il calcolo dellintegrale al variare di x da a a b individua l'area compresa tra la curva di equazione f(x), lasse delle x e le rette verticali passanti per i due punti.


8

LA CURVA

Una linea curva caratterizzata in ogni suo punto dalla pendenza e dalla curvatura.

A

B

A

B

B

r

A

r

La pendenza rappresentata dallangolo che la retta tangente alla curva nel punto fa con lorizzonte. Quando la tangente forma un angolo positivo la curva in salita; quando la tangente forma un angolo negativo la curva in discesa.

La curvatura rappresentata dal rapporto 1/r , con r uguale al raggio cerchio tangente nel punto alla curva (detto cerchio osculatore). Quando il raggio r del cerchio tangente grande la curvatura 1/r piccola; quando il raggio r piccolo la curvatura 1/r grande. Il segno della curvatura indica il verso della concavit, curvatura positiva per la curva rivolta verso lalto, curvatura negativa per la curva rivolta verso il basso. Nel punto A di figura la retta tangente indica una pendenza in salita cio positiva, mentre il raggio del cerchio tangente grande e indica una curvatura 1/r piccola. Nel punto B la retta tangente indica una pendenza in discesa cio negativa, mentre il raggio del cerchio tangente piccolo e indica una curvatura 1/r grande.

Per definire in modo completo una curva bisogna individuare per ogni suo punto la pendenza e la curvatura.

LE FUNZIONI

Una linea curva rappresentabile nel piano cartesiano X, Y dalla funzione: )(xfy =

A

B

TANGEN

TE in A

A

B

TANGENTE in

B

X

Y

O

A

r

B

cerchio

TANGEN

TE in A

cerchio

TANGENTE in

B

y=f(x)


9

X

Y

O

y=5

y=3x

+2 = tg

= 3

X

Y

O

y=x

La pendenza, cio langolo della tangente alla curva in un punto generico, individuata dalla derivata prima della funzione y=f(x) calcolata nel punto:

dxxfd

xfytg )()('')( ===

La curvatura 1/r, cio il reciproco del raggio del cerchio tangente alla curva in un punto generico, individuata dalla derivata seconda della funzione y=f(x) calcolata nel punto:

2

2 )()(''''1dx

xfdxfy

r===

Esempio: - curva definita dalla funzione y=5 - la funzione rappresenta una retta orizzontale; - la derivata prima y=0 indica che le tangenti in qualsiasi punto alla curva sono orizzontali; - la derivata seconda y=0 indica che la curvatura nulla e che il cerchio tangente ha raggio infinito.

Esempio: - curva definita dalla funzione y=3x+2 - la funzione rappresenta una retta inclinata - la derivata prima y=3 indica che le tangenti in qualsiasi punto alla curva formano un angolo costante pari a 3; - la derivata seconda y=0 indica che la curvatura nulla e che il cerchio tangente ha raggio infinito.

Esempio: - curva definita dalla funzione y= x

- La funzione rappresenta una parabola simmetrica rispetto lasse delle Y con il vertice nellorigine (0,0) del sistema cartesiano e concavit rivolta verso lalto.

- La derivata prima y=2x indica che le tangenti in qualsiasi punto alla curva variano con funzione lineare e rappresentabile da una retta. La derivata prima si annulla per x=0 e, quindi, nel punto (x=0, y=0) la curva ha tangente orizzontale e il punto per la parabola un punto di inversione di pendenza (massimo o minimo).

- La derivata seconda y=2 indica che la curvatura costante e positiva, quindi con concavit rivolta verso lalto. Il punto (0,0) dove si inverte la pendenza quindi un punto di minimo.

IL CALCOLO DELLAREA

Per trovare lArea della figura geometrica delimitata dallasse delle X , dalla curva f(x) e da due rette verticali passanti per i punti x=a e x=b, si deve calcolare lintegrale definito della funzione che rappresenta la curva nellintervallo a-b:


10

X

Y

O

a

b

AREA

x

dx

f(x)

=b

a

dxxfArea )(

Per trovare il baricentro xG della stessa figura geometrica necessario applicare il teorema di Varignon:

AS

xG =

dove S il momento statico dellarea rispetto lasse x =a:

=b

a

dxxxfS )(

Come esempio calcoliamo larea delimitata da una parabola rappresentata dalla funzione y=nx (il risultato sar utilizzati negli esempi successivi).

X

Y

O

a

b

B

C

A

y=nx

abanCxndxxnAaa

OAC 31

31

31

3

0

3

0

==

+==

dove abbiamo sostituito b = na

Il momento statico S dellarea OAC calcolato rispetto lasse delle Y risulta:

41

41

41

4

0

4

0

abanCxndxxxnSaa

OAC ==

+==

La coordinata xG del baricentro, utilizzando il teorema di Varignon, risulta:

aabab

AS

xG 43

3/14/1

===

Per differenza larea del settore triangolare OBC risulta :

abababAOBC 32

31

==


11

4. LA TEORIA DELLE TRAVI INFLESSE

Una trave (struttura composta da aste ad asse lineare soggette a flessione) soggetta ad un carico ripartito lungo il suo sviluppo longitudinale sollecitata, in ogni sua sezione trasversale, dagli sforzi di Taglio e di Momento flettente. Queste sollecitazioni variano lungo la trave e sono rappresentabili da funzioni di Momento e di Taglio, dette diagrammi di sollecitazione. Le funzioni che rappresentano il carico q , il diagramma di Momento M e il diagramma di Taglio T, sono tra loro correlate.

q=carico

M = momento

T= taglio

Si consideri un tratto di trave di lunghezza dx soggetta ad un carico q uniforme ripartito e si indichino con M e T il momento e il taglio nella sezione A e con M1 e T1 il momento e il taglio nella sezione B posta a distanza dx dalla sezione A.

dx

q qdx

T

M

T 1

M 1

A B

Lelemento di trave di lunghezza dx in equilibrio, cio il sistema di forze ad esso applicato un sistema di forze in equilibrio. Scriviamo allora lequilibrio delle forze verticali e lequilibrio dei momenti rispetto il punto B:


12

T - qdx - T1= 0

M + Tdx qdxdx/2 M1= 0

da cui, trascurando linfinitesimo di secondo ordine qd2x/2, si ottiene

T1-T = - qdx dT = - qdx

M1 M = Tdx dM = Tdx

risultano cos le relazioni cercate tra le funzioni che rappresentano il Carico q, il diagramma di Momento M e il diagramma di Taglio T:

qdxdT

=

Tdx

dM=

ossia, la derivata dello sforzo di taglio uguale al carico unitario cambiato di segno; la derivata del momento flettente uguale allo sforzo di taglio. Mettendo assieme le due relazioni si ottiene anche:

dxMdq =

il carico unitario la derivata seconda del momento cambiata di segno.

Tra le funzioni q, T, M sono valide anche le espressioni inverse che si possono utilizzare determinano le costanti di integrazione C1 e C2 con laiuto delle condizioni al contorno, come esposto nel paragrafo successivo :

1 CdxqT += 2 CdxTM +=

4. 1 I DIAGRAMMI di MOMENTO e TAGLIO - Relazioni q T M

Le relazioni q, T, M sopra riportate sono molto utili per disegnare landamento dei diagrammi di momento e taglio con diverse condizioni di carico.

Come esempio disegniamo i diagrammi di Taglio e Momento per un tratto di trave di lunghezza l con carico uniforme q, sollecitazioni MA e TA nellestremo A e MB e TB nellestremo B.


13

l

q

x +

-

diagramma di Taglio

A B

x

M

T

T A M A

T B M B

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

1/8

ql

1/8 ql

M A M B

T A

T B diagramma di Momento

x x

S

c

d

e

Il diagramma di Taglio si ricava dalla seguente espressione

11 CxqCdxqT +=+=

che individua una fascio di rette parallele al variare di C1. La condizione al contorno, per individuare C1 , nel nostro caso, rappresentata dal valore TA che assume il Taglio per x=0:

C1=TA+q0 = TA Lequazione del Taglio allora la retta:

T=-qx+ TA

Il diagramma di Taglio la retta che parte dal valore TA per x=0 in A, e arriva al valore TB, per x=l in B.

Il diagramma di Momento si ricava dalla seguente espressione:

222 2)( CxTxqCdxTxqCdxTM AA ++=++=+=

che individua una fascio di parabole al variare di C2. La condizione al contorno, per individuare C2 rappresentata, nel nostro caso, dal valore MA del Momento per x=0, quindi risulta:

C2=-MA

AA MxTxqM +=2

il diagramma che individua il Momento una parabola che parte dal valore MA, per x=0 e arriva al valore MB per x=l ed ha il suo valore massimo dove si annulla il Taglio.


14

q A T A M A

T S M S

x x

S

4. 2 LE FUNZIONI di MOMENTO e TAGLIO - LEQUILIBRIO

Il tratto di trave di lunghezza l, con carico uniforme q , con le sollecitazioni di taglio TA e TB e di momento MA e MB agli estremi A e B, rappresenta una struttura (trave A-B) con applicato un sistema di forze in equilibrio.

Un sistema di forze in equilibrio quando: - la risultante delle forze orizzontali nulla - la risultante delle forze verticali nulla - la risultante dei momenti rispetto qualsiasi punto del piano nulla

Nel nostro caso la prima equazione di equilibrio non esiste perch non ci sono forze orizzontali, mentre la seconda equazione di equilibrio delle forze verticali e la terza di equilibrio dei momenti rispetto il punto B, risultano:

TA + TB ql = 0

-MA+MB- qll/2 + TAl = 0

Le equazioni che definiscono le funzioni e i diagrammi di Momento e Taglio, cio la variazione del Momento e Taglio per la generica sezione S, possono essere determinate senza utilizzare gli integrali, come sopra riportato, ma pi semplicemente utilizzando le condizioni di equilibrio tra le forze applicate e le sollecitazioni.

l

q A B T A M A

T B M B

x x

S

La sezione generica S , indicata dalla ascissa x, individua una struttura (trave A-S) alla quale applicato un sistema di forze in equilibrio formato dal Momento e il Taglio in A, dal Momento e il

Taglio in S e dal carico q nel tratto x.

Le sollecitazioni in S, Momento MS e Taglio TS , sono quindi determinabili con le condizioni di equilibro per il tratto di struttura A-S.

Il Taglio nella sezione S, che dista x dalla sezione A, rappresentato dalla somma delle forze verticali che stanno a sinistra della sezione tra A e S:

TS = - qx+ TA

Il Momento nella sezione S, che dista x dalla sezione A, rappresentato dalla somma dei momenti prodotti dalle forze che stanno a sinistra della sezione tra A e S:

AAS MxTxqM +=2

I valori cos determinati sono uguali a quelli trovati integrando le funzioni T ed M.


15

4. 3 IL DISEGNO DELLA PARABOLA di MOMENTO

Lampiezza della parabola che rappresenta il diagramma di momento individuata dal segmento

decdce +=

misurato verticalmente tra il punto medio della linea che unisce MA e MB e la parabola

x

M

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

1/8

ql

1/8 ql

M A M B

c

d

e

a

b

f

l/2 l/2 l

Lampiezza della parabola dipende solo dal carico q e dalla luce l e vale sempre:

81 lqce =

di seguito si riporta il calcolo dellampiezza: ]2/

2)2/([)(

21

AABA MlTlqMMcecdce +++=+=

AABA MlTlqMMce ++=2

8)(

21

2

8)(

21 lTlqMMce AAB +=

2

8)

2

(21 lTlqMMqllTce AAAA +++= 8

18

4 lqlqqlce =+=

Lampiezza costante, pari a 1/8ql, della parabola del diagramma di momento per un carico q su un tratto di trave l consente la costruzione della parabola in modo semplice:

- riportare i valori dei momenti MA ed MB nella scala scelta per il disegno - tracciare la linea che unisce i vertici a e b - individuare il punto c in asse della linea - calcolare il valore 1/8 ql e definire lampiezza nella scala dei momenti scelta per il disegno - riportare verticalmente due volte lampiezza della parabola nel disegno - individuare cos i punti e , f - tracciare le linee f-a e f-b - dividere le linee in parti uguali, nel disegno sono sei e si individuano 5 punti per linea - numerare e collegare i punti 1-1, 2-2 , 5,5 come riportato nel disegno - la parabola individuata dalla curva tangente allinviluppo delle linee disegnate.


16

5. LE STRUTTURE ISOSTATICHE

La soluzione di una struttura la soluzione dello Schema Statico che la rappresenta. La prima fase della soluzione la determinazione del sistema di FORZE REATTIVE, rappresentato dalle reazioni vincolari, che equilibra il sistema di FORZE ATTIVE, rappresentato dai carichi e dalle azioni esterne agenti sulla struttura.

Nei riguardi dellequilibrio tra i sistemi di FORZE ATTIVO e REATTIVO le strutture possono essere ISOSTATICHE o IPERSTATICHE.

Le strutture ISOSTATICHE sono caratterizzata dallavere un numero di gradi di vincoli esterni, cio di Reazioni Vincolari, strettamente necessario e uguale al numero dei gradi di labilit delle strutture stesse. Poich il numero delle labilit, o movimenti, uguale al numero dei vincoli, o reazioni vincolari, la determinazione del sistema di FORZE REATTIVO avviene utilizzando le semplici condizioni di equilibrio con il sistema di FORZE ATTIVO.

La ricerca del sistema delle REAZIONI VINCOLARI ESTERNE per uno schema statico che rappresenta una struttura ISOSTATICA la ricerca del sistema di FORZE REATTIVE equilibrante.

P

q

A

B

L1 L2

L

YA YB

XA

Lo schema statico di figura rappresenta un struttura composta da unasta di lunghezza L e due nodi di estremit A e B. Il vincolo esterno nel nodo A una CERNIERA, mentre il vincolo esterno nel nodo B un CARRELLO (o APPOGGIO SEMPLICE). Lasta nel piano ha 3 gradi di libert ed vincolata esternamente con 3 gradi di vincolo (2 per la cerniera e 1 per lappoggio), quindi, la struttura rappresentata in figura ISOSTATICA.

Il sistema di FORZE ATTIVO rappresentato dalla forza concentrata P e dal carico distribuito q. Il sistema di FORZE REATTIVO che equilibra la struttura rappresentato dalle reazioni vincolari XA, YA e YB . Per il calcolo del sistema di FORZE REATTIVO si utilizzano le tre condizioni di equilibrio della struttura.

1) Equilibrio delle forze orizzontali : XA = 0 2) Equilibrio delle forze verticali : YA+YB = P+qL 3) Equilibrio alla rotazione (es. in A) : YBL = PL1 + qL/2

Elaborando le tre equazioni del sistema si determinano i valori delle forze passive XA, YA e YB .


17

Lequilibrio alla rotazione sempre valido per qualsiasi punto del piano. si utilizzato il punto A semplicemente per azzerare il contributo delle forze XA e YA e poter determinare YB in modo pi rapido. Dopo la determinazione del sistema di FORZE REATTIVO possibile trovare le sollecitazione di Sforzo Normale, Taglio e Momento Flettente per ciascuna sezione della struttura. Per il tracciamento dei diagrammi bisogna calcolare, con le condizioni di equilibrio, le sollecitazioni in alcune sezioni particolari della struttura. Per il nostro esempio riportato in figura le sezioni significative, per il tracciamento dei diagrammi, sono gli estremi e la sezione sotto il carico concentrato P. Per il calcolo si inizia da un estremo e si sommano progressivamente le Forze dei sistemi ATTIVO e REATTIVO, fissando un segno di riferimento, ad esempio positive le forze verso lalto e positivi i momenti destrogiri:

Sollecitazioni allestremo A : TA = YA MA = 0 Sollecitazioni sotto P a sinistra : TPs = YA-qL1 MPs = YAL1 qL21/2 Sollecitazioni sotto P a destra : TPd = YA-qL1-P MPd = -YAL1 + qL21/2 Sollecitazione allestremo B: TB = YA-P-qL MB = 0

Per disegnare i diagrammi sufficiente raccordare le varie sollecitazioni determinate secondo le indicazioni fornite dalle relazioni fondamentali tra carico q , taglio T e momento M:

qdxdT

=

Tdx

dM=

qdx

Md=2

2

Tali relazioni stabiliscono che:

- quando q=0 - il diagramma di Taglio costante - il digramma di momento lineare - quando q=costante - il diagramma di taglio lineare il diagramma di momento parabolico - quando T=0 - il diagramma di Momento ha un punto di massimo o minimo

Il diagramma di Momento ha concavit di segno contrario al carico e la parabola che lo rappresenta rivolta verso lalto e, il tratto di parabola a sinistra di P ha ampiezza 1/8qL1, mentre il tratto a destra di P ha ampiezza 1/8qL2 .

Per concludere lo studio di una struttura ISOSTATICA spesso necessario trovare anche le deformazioni, in particolare, per le travi significativo, ai fini di una verifica completa della struttura, il calcolo del massimo abbassamento in campata (freccia massima).

Per il calcolo delle DEFORMAZIONI necessario introdurre le IPOTESI DI DEFORMABILITA e le modalit di deformazione della struttura secondo il MODELLO ELASTICO LINEARE (vedi capitoli successivi) che governato dalla relazione:

JEM

dxd

2

2

=

Anche questa relazione utile per il disegno del diagramma di Momento e per il disegno della deformata, infatti, quando il Momento si annulla la deformata ha un punto di flesso con cambiamento di curvatura.


18

5.1 ESEMPIO TRAVE ISOSTATICA

Di seguito si espone il calcolo per la trave isostatica di figura .

415

120

P=800 kg

q=500 kg/m

diagramma di Taglio

diagramma di Momento

A

B

161

295

Calcolo del sistema di FORZE REATTIVO: equilibrio alla rotazione in B YA = (8002.95+5004.15/2) / 4.15 = 1606 kg equilibrio forze verticali YB = 800+5004.15 1606 = 1269 kg equilibrio forze orizzontali XA = 0

Dalle relazioni q, T e M, si ricava che il Momento massimo nella sezione in cui il Taglio nullo. Ricerchiamo allora la sezione per la quale il Taglio nullo:

T=1606 500x 800 =0 si ricava x = (1606-800)/ 500 = 1.61 m

Calcoliamo il valore del Momento massimo nella sezione individuata da x =1,61 m:

Mmax = 16061.61-5001.61/2-800(1.61-1.20) = 1609 kgm

Calcoliamo anche i valori del taglio e del momento in corrispondenza al carico P

Taglio a sinistra di P: Ts = 1606-5001.2 = 1006 kg Taglio a destra di P : Td = 1606-5001.2-800 = 206 kg Momento sotto P: MP = 16061.2-5001.2/2 = 1567 kgm

Per il disegno del diagramma di momento e taglio si procede come esposto nei paragrafi precedenti. Per il calcolo delle deformazioni invece necessario introdurre la Teoria dellelasticit .


19

6. LA DEFORMAZIONE DELLE TRAVI INFLESSE

Una trave inflessa soggetta ad una condizione di carico si deforma. Tale deformazione avviene poich ogni sezione S della trave soggette a Momento Flettente e a Taglio, distribuiti secondo i relativi diagrammi di momento lungo la trave. Ad esempio: per una trave a mensola con un carico concentrato allestremit i digrammi di Momento e Taglio che deformano la struttura sono riportati in figura.

f

L P

M=PL

T=P

S S'A

A'

MS

T S

Il Momento Flettente e il Taglio provocano gli spostamenti delle sezioni S in S e, conseguentemente, lo spostamento della sezione A in A , cio labbassamento f e la rotazione della sezione di estremit.

P

f f

P

La mensola pu essere realizzata come trave reticolare, oppure, come trave a parete piena.

Nel primo caso le sollecitazioni di Momento e Taglio sono equilibrate dagli Sforzi Normali di Trazione e Compressione che nascono nelle aste componenti della reticolare, e la deformazione f allestremit dovuta al progressivo allungamento e accorciamento delle aste componenti.

Nel secondo caso la deformazione prodotta dal Momento Flettente molto pi importante della deformazione prodotta dal Taglio e, in una trattazione semplificata, si pu trascurare. Il Momento Flettente equilibrato, in ciascuna sezione, da una distribuzione lineare di tensioni normali che producono le progressive rotazioni delle sezioni e la deformazione f allestremit della mensola.

Per Calcolare le deformazioni prodotte dagli Sforzi Normali (nel caso di travature reticolari) o le deformazioni per Momento Flettente (travature a parete piena) necessario introdurre il modello di comportamento elastico-lineare del materiale.


20

N

N

L'

L

SS

1

2

L

1-

La teoria elastico-lineare che interpreta le deformazioni per le strutture ha origine dalla relazione teorizzata da Hooke:

E= ; E=

che stabilisce che un materiale ha comportamento elastico-lineare, quando il rapporto tra la tensione (la forza ortogonale su un area unitaria) e la deformazione unitaria costante e vale E, detto modulo di elasticit o modulo di Young del materiale.

La seconda importante ipotesi che sta alla base del modello elastico-lineare quella del mantenimento delle sezioni piane ipotizzata da Navier. Secondo tale ipotesi nelle deformazioni le sezioni si spostano ma rimangono piane e, quindi, la deformazione unitaria per ciascuna sezione sempre rappresentata da una funzione costante o lineare

6.1 LA DEFORMAZIONE per SFORZO NORMALE

Unasta di una struttura sollecitata da Sforzo Normale (carico di trazione o compressione posizionato nel baricentro della sezione trasversale dellasta), si deforma semplicemente allungandosi o accorciandosi. Nel modello elastico-lineare viene posta anche lipotesi che nella

deformazione che lasta subisce, la sezione trasversale, inizialmente piana, rimanga piana.

Lasta di figura, sollecitata a Sforzo Normale di compressione N si accorcia complessivamente di una quantit L. Ogni tratto di asta di lunghezza pari a 1, come tra le sezioni S1 e S2 , dopo la deformazione si accorcia della quantit . Tale deformazione costante secondo lipotesi del mantenimento delle sezioni piane. Sommando gli spostamenti lungo lintera asta di lunghezza L si ottiene lo spostamento della sezione di estremit, cio laccorciamento dellasta:

LL =

Le tensioni normali , in ogni sezione trasversale A, equilibrano lo sforzo Normale; possiamo perci scrivere:

NdAA

=

Ricordando che il materiale si comporta in modo elastico lineare secondo la legge di Hooke:

E=

e che le sezioni rimangono piane (la quantit E e, quindi, anche la tensione , sono costanti su ogni


21

N

sezione) possiamo elaborare la condizione di equilibrio sopra riportata:

NAEdAEdAEdAAAA

====

possiamo scrivere le due relazioni che definiscono laccorciamento unitario e la tensione:

AEN

= A

N=

Sommando gli spostamenti lungo lintera asta di lunghezza L si ottiene lo spostamento della sezione di estremit, cio laccorciamento dellasta:

AELNLL

==

dove: N lo Sforzo Normale baricentrico sulla sezione A larea della sezione trasversale dellasta L la lunghezza dellasta E il modulo elastico del materiale la tensione normale sulla sezione trasversale dellasta lo spostamento unitario

Le deformazioni per sforzo normale sono in genere piccole e si possono trascurare nelle strutture a Telaio dove sono pi importanti le deformazioni per flessione. Nelle strutture reticolari, dove il funzionamento affidato agli sforzi di compressione e trazione delle singole aste che compongono la struttura, Le deformazioni assiali delle aste diventano essenziali per valutare le deformazioni complessive della struttura reticolare.

P

f

Nella struttura reticolare di figura si pu calcolare la freccia f, prodotta dal carico P, a partire dalle deformazioni assiali delle aste componenti soggette a compressione e trazione.


22

6.2 LA DEFORMAZIONE per MOMENTO FLETTENTE

Unasta soggetta a Momento Flettente si deforma in modo evidente assumendo una configurazione curva caratterizzata in ogni punto dalla curvatura 1/r, cio dallinverso del raggio del cerchio tangente alla curva nel punto.

S 1 S 2

S 1 S 2

1

1+1

1-

r

M

C

y

1

1+1

1-

y

S 2S 1

S 2S 1

x

l

f

Prima della deformazione prodotta dalla flessione le fibre del solido tra le sezioni S1 e S2 hanno lunghezza pari a 1 ; dopo la deformazione le fibre esterne si allungano di una quantit mentre le fibre interne si accorciano di una quantit -; le uniche fibre che non si allungano e non si accorciano a causa della deformazione sono le fibre che stanno nel baricentro della sezione. Lallungamento delle fibre esterne e laccorciamento delle fibre interne provocano le rotazioni delle sezioni con conseguente deformazione dellasse della trave. La curva della deformazione viene detta linea elastica e possiamo scrivere le relazioni:

2

21dxd

r

=

dxd =

dxd

r

=

1


23

1+

1-

y1

yM

n

n

Per la teoria dellelasticit, secondo il principio di Navier le sezioni S1 e S2 dopo la deformazione prodotta dalla flessione rimangono piane, quindi le fibre contenute tra S1 e S2 si allungano e si accorciano secondo la legge lineare

.costy

=

in particolare, osservando la figura precedente, possiamo scrivere la seguente proporzione

1: r = (1 + ) : ( r + y)

che deriva dalla similitudine dei triangoli che hanno vertice in C, centro del raggio di curvatura. Dalla proporzione si ottiene:

yr

1=

e quindi ry1

=

La curvatura della linea elastica 1/r uguale al rapporto tra la deformazione di una fibra e la sua distanza y dal baricentro della

sezione. La relazione scritta in questo modo poco utile, ma possiamo utilizzare lespressione che definisce il comportamento elastico lineare del materiale:

E=

e sostituire nella relazione della curvatura con /E :

ryE 1

=

;

ryE1

=

quindi y

r

E=

in questo modo abbiamo scritto la legge di variabilit delle tensioni prodotte dalla flessione M sulla sezione generica in funzione della curvatura:

Il sistema di forze-tensioni deve essere in equilibrio con la sollecitazione M che lo ha prodotto, possiamo scrivere lequilibrio delle forze orizzontali e lequilibrio dei momenti rispetto lasse n-n con le tensioni nulle.

Lequilibrio delle tensioni orizzontali, esteso allarea A della sezione,

0 === dAyrEdAy

r

EdAAAA

x

si annulla quando lintegrale di ydA vale zero. Tale integrale il momento statico della sezione A rispetto lasse n-n e stabilisce che lasse con le tensioni nulle lasse baricentrico della sezione.

Lequilibrio dei momenti rispetto lasse baricentrico n-n , detto asse neutro risulta:


24

M

max

min

n

n

n

nysup

y inf

MdAyr

EdAyr

EdAyAAA

x === 22

Lintegrale di ydA rappresenta il Momento dinerzia J della sezione A rispetto lasse baricentrico, quindi possiamo scrivere:

MJr

E=

JEM

r

1=

Aggiorniamo lequazione della linea elastica dopo aver aggiunto le condizioni di elasticit lineare del materiale:

JEM

dxd

2

2

=

dalla relazione precedente, sostituendo yEr

1 =

, si ottiene anche la seguente relazione:

JEM

yE =

; J

yM =

La relazione, detta equazione di Navier, individua la legge di variabilit delle tensioni nella sezione soggetta a momento flettente M.

Per una sezione non simmetrica rispetto lasse orizzontale (vedi sezione a T di figura), il baricentro della sezione, e quindi lasse neutro delle tensioni, individuato dalle due distanze ysup e ying , rispettivamente dal bordo teso e dal bordo compresso della sezione. Utilizzando lequazione di Navier si individuano la tensione massima e la tensione minima sui due bordi. La tensione massima di trazione e la tensione minima di compressione risultano :

sup

sup

WM

JyM

MAX +=+= inf

inf

WM

JyM

MIN ==

dove le grandezze geometriche Wsup=J/ysup e Winf=J/yinf sono dette Moduli Resistenti della sezione .


25

A

l

maxf

q=kg/m

B

BA

B

MA

AB

AV

xS

S

7. IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI PER FLESSIONE

La deformazione di unasta soggetta a flessione governata dallequazione della linea elastica:

JEM

dxd

r

12

2

==

=dxd

JEM

dxd

=

dove: 1/r la curvatura della funzione che rappresenta la deformata la deformazione della struttura lungo x M il momento flettente sulla struttura lungo x E il modulo elastico del materiale di cui composta la struttura J il momento dinerzia della sezione della struttura la rotazione della sezione della struttura

Per determinare le deformazioni si possono utilizzare diversi metodi: 1) risolvere la doppia integrazione dellequazione della linea elastica

utilizzando i tradizionali metodi di integrazione della matematica; 2) utilizzare il Principio dei Lavori Virtuali che fa riferimento ad un sistema

di forze e tensioni virtuali equilibrato e un sistema di spostamenti e deformazioni congruente;

3) utilizzare il teorema di Mohr che consente di risolvere la doppia integrazione con laiuto di una trave ausiliaria caricata con il diagramma di curvatura per la quale il momento equivale alla freccia della trave principale e il taglio equivale alla rotazione.

7. 1 L INTEGRAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Come esempio calcoliamo labbassamento massimo fB e la rotazione B della sezione di estremit della mensola rappresentata in figura.

Inseriamo il sistema di riferimento cartesiano (x,) come indicato in figura. Per la sezione S generica, individuata dalla ascissa x, possiamo scrivere le equazioni che definiscono il Momento e il Taglio:

T=qx M= 1/2 qx

Per la deformata lequazione della linea elastica risulta:

2

12

2 xqJEdx

d=

e integrando due volte si ottiene:

1

3

6

' CxqJEJE +==

21

4

24

CxCxqJE ++=


26

l

Bf

q=kg/m

B

BA x

le incognite di integrazione C1 e C2 si possono determinare imponendo le condizioni al contorno della deformata con i vincoli dello schema statico. In particolare trattandosi di una mensola la rotazione e labbassamento nella sezione A , individuata per x=l, valgono:

A=0 A=0 quindi per trovare C1 e C2 si scrive:

06

' 1

3

=+== ClqJEJE

6

3

1lqC =

0624

2

34

=+= ClqllqJE 8

4

2lqC =

le equazioni della linea elastica per le rotazioni e per gli abbassamenti risultano:

6

6

'

33 lqxqJEJE == 8

624

434 qlx

qlxqJE +=

nella sezione B, per x=0, si ricavano la rotazione e labbassamento cercato :

JElq

B6

3

= JE

lqfB8

4

=

I dati sono quelli dello schema statico B1 riportato nella Tabella 1.

7. 2 IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Utilizziamo il PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI per calcolare labbassamento massimo fB e la rotazione B della sezione di estremit della mensola dellesempio precedente. Il P.L.V. stabilisce che il Lavoro virtuale esterno uguale al Lavoro virtuale interno:

Le = Li

Condizione necessaria e sufficiente perch un sistema sia in equilibrio che il lavoro virtuale interno sia uguale al lavoro virtuale esterno per qualunque sistema di spostamenti virtuali congruenti, cio compatibili con i vincoli.

Per lavoro esterno si intende il lavoro prodotto dalle forze esterne, cio i carichi, per lavoro interno si intende il lavoro prodotto dalle forze interne, cio dalle sollecitazioni di Momento e di Taglio . Nel caso di strutture inflesse il lavoro prodotto dal Taglio trascurabile e si conteggia solo il lavoro prodotto dal Momento.

La mensola di figura, soggetta al carico uniforme rappresenta il SISTEMA NORMALE per il quale non riusciamo a scrivere il Lavoro esterno perch rappresentato dal prodotto del carico q per le deformazioni che non conosciamo.

Possiamo per definire un SISTEMA VIRTUALE rappresentato dalla mensola con un carico P (con posizione e verso nella sezione B per la quale vogliamo trovare la deformazione fB ). Questo struttura un sistema equilibrato, infatti una struttura isostatica che ha una sua configurazione di equilibrio, al quale applichiamo la deformata congruente del SISTEMA NORMALE, cio la deformata dovuta al carico q.


27

l

Ax

B

P

M=Pl

Bf

M =

Px

x

x

l

Ax

B

M

M

B

A questa nuova struttura virtuale, in quanto la deformata non quella prodotta dal carico P ma quella prodotta dal carico q, possiamo per applicare il Principio dei Lavori Virtuali.

Le = Li

Il Lavoro esterno risulta (Forza per spostamento) :

Le = P fB

Il lavoro interno Li prodotto dal momento Mx=Px per le rotazioni della deformata prodotta dal carico uniforme q risulta :

dxEJ

qxdxEJMd

2

2

==

EJlqPl

EJqPdxx

EJqPdx

EJqx

xPdMLlll

i 8

4

2

2

2

443

=====

quindi, confrontando il Lavoro esterno e il Lavoro interno e semplificando P , si ottiene il valore dellabbassamento fB dellesercizio precedente:

EJlqfB 8

4

=

Per calcolare la rotazione B in B prodotta dal carico q allestremit della mensola, necessario utilizzare un diverso SISTEMA VIRTUALE rappresentato dalla mensola con una coppia M applicata allestremo B, dove vogliamo calcolare la rotazione B. Applichiamo ora il P.L.V. per le forze esterne e interne della mensola con la coppia M e per gli spostamenti della mensola con il carico distribuito. Il Lavoro esterno risulta:

Le = M B

Il lavoro interno Li prodotto dal momento M per le rotazioni prodotte dal carico uniforme q risulta:

dxEJ

qxdxEJMd

2

2

==

EJlqMl

EJqMdxx

EJqMdx

EJqxMdML

llli 6

3

2

2

2

332

=====

quindi, confrontando il Lavoro esterno e il Lavoro interno e semplificando M, si ottiene il valore dellesercizio precedente:

EJlq

B 6

3

=


28

7. 3 IL TEOREMA E IL COROLLARIO DI MOHR

Il calcolo delle deformazioni utilizzando il teorema e il corollario di Mohr trae origine dallosservazione dei legami differenziali tra le varie grandezze che caratterizzano la meccanica di una trave.

qdxdT

=

Tdx

dM=

qdx

Md=

JEM

dxd

=

=dxd

JEM

dxd

2

2

=

Va notata lanalogia tra i legami che regolano il Taglio T , il Momento M e il carico q con quelli che regolano la rotazione lo spostamento e la curvatura M/EJ

Si possono quindi utilizzare, nella ricerca di e , gli stessi procedimenti usati per tracciare i diagrammi di Momento e Taglio con lavvertenza di partire dalla curvatura M/EJ anzich dal carico q.

Per calcolare il Taglio e Momento in una sezione generica, a partire dal carico q, abbiamo utilizzato le condizioni di equilibrio applicate ad una trave reale, imponendo le condizioni al contorno rappresentate dalle reazioni vincolari (Taglio e Momento) agli estremi.

Il teorema e il corollario di Mohr stabiliscono che, per calcolare la rotazione (Taglio fittizio T*) e labbassamento (Momento fittizio M*) in una sezione generica, a partire dalla curvatura (carico fittizio q*=-M/EJ), possiamo utilizzare una trave ausiliaria per la quale i vincoli devono simulare le condizioni al contorno poste da rotazione e abbassamento della trave reale.

A B

=0 A

=0 B

A B

A M* =0 B M* =0

trave reale - carico q

trave ausiliaria - carico q*

A B

=0 A

=0 B

A B

A M* =0 B M* =0

A =0 B =0

A T* =0 B T* =0

B =0 A =0

B T* =0 A T* =0

trave reale - carico q

trave ausiliaria - carico q*

Utilizziamo il Teorema e il Corollario di Mohr, per calcolare labbassamento massimo fB e la rotazione B della sezione di estremit della mensola degli esempi precedenti .


29

La trave ausiliaria riportata in figura caricata con un carico ausiliario

EJMq =*

B

q*=-M/EJ

trave reale

trave ausiliaria

R3/4 l

=ql/2

q*A =-M /EJA

A

l

maxf

q B

BA

B

MA

Al

il carico q* massimo nellestremo A si ricava dal momento massimo MA della trave reale:

EJlq

EJMq AA

2

* ==

Il diagramma di momento e di carico fittizio una parabola con area (vedi esempio paragrafo3):

Area parabola = 1/3 l q*A

La risultante del carico fittizio risulta perci:

EJlq

EJlq

EJMlR A

6

2

31

31

*

33

===

Calcoliamo, infine, il taglio fittizio e il momento fittizio in B che rappresentano rispettivamente la rotazione e labbassamento in B della trave reale:

EJlqT BB

6

3*

== EJ

lqlEJlqfM BB

8

43

6

43*

===


30

8. TABELLA 1 LE STRUTTURE ISOSTATICHE AD UNA CAMPATA

Per le strutture ISOSTATICHE composte da ununica asta (trave) il calcolo delle deformazioni utile, non solo per verificare le massime deformazioni della trave, ma anche per utilizzarle nella ricerca delle soluzioni di strutture pi complesse. Nella seguente TABELLA si riportano le soluzioni per la trave appoggiata e per la trave incastrata con diverse condizioni di carico.

Il calcolo del sistema delle FORZE REATTIVE (reazioni vincolari) viene fatto utilizzando le tre condizioni di equilibrio, mentre, per determinare gli spostamenti (frecce e rotazioni), necessario risolvere lEQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA con uno dei metodi prima enunciati.

TABELLA 1 soluzione schemi isostatici

SCHEMA A1

Trave appoggiata con carico uniforme q

JELq

BA24

3

==

JELqf

3845 4

max =

8

2

max

LqM =

2LqVV BA ==

SCHEMA A2

Trave appoggiata con carico concentrato P in asse

JELP

BA16

2

==

JELPf

3848 3

max =

4

max

LPM =

2PVV BA ==


31

SCHEMA A3

Trave appoggiata con un coppia M sullappoggio B

JELM

A6

= JELM

B3

=

JELMfL

161 2

2/ = 2/2064,1 LMAX ff =

0=AM MM B =

LMVV BA ==

SCHEMA B1

Trave a mensola con carico uniforme q

JELq

B6

3

=

JELqf

81 4

max =

2

2LqM A =

LqVA =

SCHEMA B2

Trave a mensola con carico concentrato P in B

JELP

B2

2

=

JELPfB

31 3

=

LPM A =

PVV BA ==

SCHEMA B3

Trave a mensola con una coppia M in B

JELM

B

=

JELMfB2

2

=

MM A = 0=AV


32

L

q

Y B

X

YA

A MA

=0

M A

A x =0 A

=0 A =0 B X A

Y A

y y

Y B

q

9. LE STRUTTURE IPERSTATICHE

Le strutture IPERSTATICHE sono caratterizzate dallavere un numero di gradi di vincoli esterni superiore al numero dei gradi di labilit delle strutture stesse. Quindi per una struttura IPERSTATICA le condizioni di equilibrio, che derivano dai gradi di labilit, non sono sufficienti a determinare tutte le reazioni vincolari, che derivano dai gradi di vincolo della struttura stessa. Le sole condizioni di equilibrio per una struttura IPERSTATICA non sono sufficienti a definire il sistema di FORZE REATTIVO.

La struttura una volta IPERSTATICA di figura rappresentata da una singola asta (con 3 gradi di libert) vincolata a terra con un INCASTRO in A (3 gradi di vincolo) e un APPOGGIO SEMPLICE in B (1 grado di vincolo). I vincoli, e quindi le REAZIONI VINCOLARI, sono 4 (XA, YA YB MA), mentre, le equazioni dellequilibrio sono solo 3, la struttura perci UNA VOLTA IPERSTATICA.

Le tre condizioni di equilibrio per la struttura sono:

1) Equilibrio delle forze orizzontali : XA = 0 2) Equilibrio delle forze verticali: YA+YB = qL 3) Equilibrio alla rotazione (es. in A) : MA+ YBL = qL/2

Le tre equazioni di equilibrio non sono sufficienti a determinare le quattro reazioni incognite. Il sistema di tre equazioni con quattro incognite indeterminato. E necessario trovare una quarta equazione per rendere il sistema determinato.

I sistemi di FORZE ATTIVE e di FORZE REATTIVE devono essere in equilibrio, ma anche la deformata prodotta da tutte le forze deve essere coerente, conforme o CONGRUENTE con i vincoli della struttura. La deformata deve rispettare la forma imposta dai vincoli.

Per il nostro esempio, nella sezione A, la rotazione deve essere A=0, e gli spostamenti devono risultare xA=0 e yA=0, mentre nella sezione B lo spostamento deve essere yB=0.

La soluzione di una struttura iperstatica deriva non solo dalla condizione di equilibrio delle forze, ma anche dalle condizione di CONGRUENZA della deformata con i vincoli.

Le condizione poste dai vincoli alla deformata rappresentano le condizioni di CONGRUENZA e, per esempio di figura, abbiamo a disposizione quattro equazioni, ma per risolvere la struttura sar sufficiente sceglierne una.


33

Possiamo riportare limportante enunciato per la soluzione delle strutture IPERSTATICHE:

per risolvere una struttura IPERSTATICA bisogna trovare lunica soluzione EQUILIBRATA e CONGRUENTE.

Questa dicotomia porta allindividuazione di due distinti metodi per la ricerca della soluzione delle strutture IPERSTATICHE.

1) il METODO DELLE FORZE che ricerca tra le infinite soluzioni equilibrate lunica congruente.

2) il METODO DEGLI SPOSTAMENTI che ricerca tra le infinite soluzioni congruenti lunica equilibrata.


34

10. IL METODO DELLE FORZE

Il METODO DELLE FORZE ricerca tra le infinite soluzioni equilibrate lunica congruente.

Per risolvere la struttura iperstatica di figura operiamo, ad esempio, sulla equazione di congruenza posta dal vincolo in B e, in un primo momento, rendiamo la struttura isostatica semplicemente sostituendo lappoggio in B con la sua reazione vincolare YB ancora incognita.

A

B

q

A

B

q

Y B

L

L

In questo modo otteniamo una mensola ISOSTATICA incastrata in A con un carico uniforme q e una forza concentrata nel vertice B pari a YB.

Per la mensola possibile scrivere le tre equazioni di equilibrio e trovare i valori di MA, XA e YA tutti in funzione del valore incognito di YB:

XA = 0 YA = qL-YB MA = qL/2- YBL

Le relazioni esprimono le infinite soluzioni, al variare di YB, del sistema equilibrato per la mensola.

=0

M A

A x =0 A

=0 A =0 B X A

Y A

y y

Y B

q

Tra le infinite soluzioni equilibrate dobbiamo cercare lunica congruente con lo schema statico iniziale e, quindi, con lappoggio in B. Dobbiamo cercare per la mensola la soluzione per la quale nel punto B lo spostamento nullo, yB =0 .

Per le strutture che operano secondo il modello elastico lineare, come gi detto, vale il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, quindi, possiamo scomporre il carico della mensola ponendo da una parte il carico q e dallaltra il carico YB.

L

q

LBY

ff

schema 1 schema 2


35

La condizione di CONGRUENZA yB =0 si pu facilmente scrivere uguagliando le due frecce della mensola dovute al carico q (schema 1) e alla forza YB (schema 2)

f1=f2

Per determinare le due frecce bisogna calcolarle con uno dei sistemi esposti nel paragrafo 7. Per semplicit i valori sono stati inseriti nella TABELLA 1 al paragrafo 8, in particolare i valori delle frecce sono quelli riportati negli schemi B1 e B2.

EJLqf

8

4

1 = EJLYf B

3

3

2 =

Lequazione di Congruenza f1=f2 per individuare la REAZIONE YB risulta, quindi:

EJLq

EJLYB

8

3

43

= e semplificando LqYB 83

=

Trovata la quarta incognita YB si possono ora utilizzare le tre equazioni di equilibrio gi scritte per trovare le altre forze MA , XA e YA che compongono il SISTEMA DI FORZE REATTIVO:

0=AX LqYA 85

=

2

81 LqM A =

Per risolvere la struttura IPERSTATICA possiamo utilizzare anche unaltra equazione di congruenza posta da un vincolo diverso dallappoggio in B. Come gi detto la scelta del vincolo da utilizzare per scrivere lequazione di congruenza del tutto arbitraria. Risolviamo nuovamente la struttura iperstatica di figura lavorando sul vincolo che blocca la rotazione in A

A

B

q

L

Eliminando la condizione di vincolo alla rotazione del nodo A trasformiamo lincastro in una CERNIERA. La Reazione vincolare da considerare diventa il Momento MA e i due schemi isostatici risultano:

LL

q

M A

schema 1 schema 2

La condizione di congruenza posta dalluguaglianza delle due rotazioni in A 1=2 nei due schemi isostatici individuati.


36

Scriviamo allora le espressioni che individuano le due rotazioni, 1 per il primo schema e 2 per il secondo schema, riportando i valori degli schemi A1 e A3 della TABELLA1 delle strutture isostatiche :

EJLq

24

3

1 = EJLM A

3

2 =

Lequazione di Congruenza 1=2 per individua la REAZIONE MA risulta:

EJLM

EJLq A

3

24

3

= e semplificando 281 LqM A =

Ovviamente utilizzando adesso le equazioni di equilibrio si ricavano i valori delle altre reazioni vincolari :

XA=0 ; YA=5/8 qL ; YB=3/8 qL

Il METODO delle FORZE rappresenta un valido aiuto per la soluzione di strutture iperstatiche semplici come quelle a campata unica. Mentre, per strutture iperstatiche pi complesse i calcoli con il metodo delle forze risultano particolarmente pesanti e complessi, diventano allora pi utili metodi di calcolo come il Metodo delle Rotazioni e il Metodo di Cross.


37

11. TABELLA 2 -LE STRUTTURE ISPERSTATICHE AD UNA CAMPATA

Per la soluzioni degli schemi elementari IPERSTATICI, riportati nella TABELLA 2, stato utilizzato il METODO DELLE FORZE mediante le tre condizioni dellequilibrio e la condizione di congruenza. Queste schematizzazioni elementari forniscono importanti valori da utilizzare nel calcolo per la ricerca delle soluzioni di strutture pi complesse.

TABELLA 2 soluzione schemi iperstatici

SCHEMA C1

Trave incastro-appoggio con carico uniforme q

JELq

B48

3

=

JELqfL

3842 4

2/ = 2/max 04,1 Lff =

8

2LqM A = 22,14

8/5LqM L =

LqVA 85

= LqVB 83

=

SCHEMA C2

Trave incastro-appoggio con carico concentrato P in mezzeria

JELP

B32

2

=

JELPfL

3845,3 3

2/ = 2/max 022,1 Lff =

LPM A 163

= LPM L 165,2

2/ =

PVA 1611

= PVB 165

=


38

SCHEMA C3

Trave incastro-appoggio con una coppia M in B

JELM

B4

=

2MM A = MM B =

LMVV BA23

==

SCHEMA D1

Trave doppiamente incastrata con carico uniforme

JELqfMAX

3841 4

=

12

2LqMM BA == 24

2

2/LqM L =

2LqVV BA ==

SCHEMA D2

Trave doppiamente incastrata con carico concentrato P in asse

JELPfMax

3842 3

=

8LPMM BA == 8

2/LPM L =

2PVV BA ==


39

12. IL METODO DELLE ROTAZIONI

Nellambito delle costruzioni, le strutture a TELAIO o a TRAVE continua rappresentano le pi diffuse tipologie di strutture IPERSTATICHE e la loro soluzione pu avvenire in modo vantaggioso mediante il METODO DEGLI SPOSTAMENTI o il pi semplice METODO DELLE ROTAZIONI. Il METODO DELLE ROTAZIONI si pu utilizzare quando i NODI della struttura (sezioni dincontro delle estremit delle aste) si possono considerare FISSI. I NODI FISSI sono quelli che, per una qualsiasi deformazione della struttura, non si possono spostare lungo le direzioni X e Y ma permettono solo le rotazioni delle sezioni.

STRUTTURA A TELAIO A NODI FISSI

Per la struttura a telaio a nodi fissi di figura, qualsiasi condizione di carico pu deformare le singole aste ma non pu spostare i nodi lungo X e lungo Y. I nodi si possono considerare fissi quando sussistono adeguate condizioni di vincoli esterni che bloccano tutti gli spostamenti lungo X e lungo Y. Nel caso della figura, la presenza dei carrelli orizzontali ai piani impedisce qualsiasi spostamento orizzontale dei nodi del telaio. Lipotesi di nodi fissi nelle strutture a telaio e a trave nella pratica molto utilizzata poich, soprattutto per le strutture in acciaio, per convenienza costruttiva ed economica, si cerca sempre di utilizzare sistemi controventanti per bloccare gli spostamenti dei nodi. I carrelli orizzontali di figura simulano proprio il comportamento di bloccaggio prodotto da un sistema controventante.

Le strutture IPERSTATICHE a NODI FISSI si possono vantaggiosamente risolvere utilizzando il METODO DELLE ROTAZIONI che ricerca tra le infinite soluzioni CONGRUENTI lunica EQUILIBRATA.

La trave a due campate di figura una struttura due volte iperstatica a nodi fissi. Per risolverla con il METODO DELLE FORZE dovremmo scrivere due complicate equazioni di congruenza e risolvere un sistema a due equazioni con due incognite.

A

B

C


40

Se utilizziamo, invece, il METODO DELLE ROTAZIONI lincognita rappresentata solo dalla rotazione delle sezioni nel nodo B. Per le strutture vale il principio di SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, intendendo che sempre possibile suddividere i carichi, ma anche le deformazioni, e risolvere la struttura per ciascuna condizioni parziale. Per il nostro esempio, la deformazione complessiva della trave soggetta al carico uniforme, soluzione (1), il risultato della somma della deformazione prodotta dal carico q quando si impedisce al nodo B di ruotare, condizione (2), e la deformazione prodotta dalla rotazione del nodo B, condizione (3).

A

B

C

A

B

C

=0

A

B

C

(1)

(2)

(3)

Tutte le deformazioni (1), (2) e (3) sono congruenti con i vincoli, infatti, per lincastro in A le rotazioni e gli spostamenti sono nulli e, per gli appoggi B e C, gli abbassamenti sono nulli. Tra le infinite soluzioni congruenti, dovute al variare di nello schema (3), bisogna trovare lunica equilibrata. Bisogna determinare la vera rotazione attraverso lequilibrio dei momenti che si creano al nodo B per le due deformate (2) e (3). Le deformazioni della trave producono le sollecitazioni flessionali, oppure, le sollecitazioni flessionali sulla trave producono le deformazioni. Eindifferente stabilirlo poich le deformazioni e le sollecitazioni flessionali sono una la conseguenza dellaltra, come evidenziato dallespressione della linea elastica che relaziona direttamente la deformata con il momento sollecitante:

JEM

dxd

2

2

=

Osservando le deformate possiamo disegnare qualitativamente i diagrammi di momento per la trave:


41

A

B

C

A

B

C

A B

C

m

m

m

2A

m

m

(1)

(2)

(3)

m

m

3A

2B2B

SD

1A 1B

1B S m

1B D

m

3BSm

3BD

Per la trave nello schema (1) lequilibrio al nodo B risulta soddisfatto poich il momento di sinistra nella sezione di appoggio B uguale al momento di destra:

m1Bs + m1Bd = 0

Per gli schemi (2) e (3) lequilibrio dei momenti in B dipende dal valore della rotazione B e dovr essere:

m2B + m2Bd + m3Bs + m3Bd = 0

Questa condizione di equilibrio permette di trovare tra le infinite soluzioni CONGRENTI, dovute al variare di B, lunica soluzione EQUILIBRATA.

Per risolvere i due schemi statici e scrivere la condizione di equilibrio dei momenti nel nodo B dobbiamo porre la seguente convenzione per il segno dei momenti:

momenti destrogiri = POSITIVI momenti sinistrogiri = NEGATIVI

SOLUZIONE DELLO SCHEMA STATICO (2) Ricerchiamo le sollecitazioni flessionale prodotte dal carico q nellipotesi di rotazione nulla in B. Questa ipotesi (2) viene comunemente detta la condizione dincastro perfetto. La campata di sinistra una trave doppiamente incastrata con carico uniforme, come quella rappresentata nello schema statico D1 riportato dalla TABELLA 2 del capitolo 11, e avremo i seguenti momenti: nel nodo A: m2A = -1/12 qL nel nodo B a sinistra : m2Bs= +1/12 qL

La campata a destra una trave caricata uniforemente con lincastro in B e lappoggio in C, come quella dello schema statico C1 riportato dalla TABELLA 2, e avremo i seguenti momenti:


42

nel nodo B a destra : m2Bd= - 1/8 qL nel modo C: m2C= 0

SOLUZIONE DELLO SCHEMA STATICO (3) Ricerchiamo le sollecitazioni flessionale prodotte dalla rotazione del nodo B. La campata di sinistra una trave incastrata in A e appoggiata in B con rotazione in B , come quella dello schema statico C3 riportato dalla TABELLA 2, e avremo i seguenti momenti:

nel nodo A: m3A = + m3Bs= +2EJ/L nel nodo B a sinistra : m3Bs= + 4EJ/L

La campata a destra una trave appoggiata in B e in C con la rotazione in B, come quella dello schema statico A3 riportato dalla TABELLA 1, e avremo i seguenti momenti:

nel nodo B a destra : m3Bd= + 3EJ/L nel modo C: m3C= 0

Possiamo ora scrivere la condizione di equilibrio dei momenti al nodo B :

m2B + m2Bd + m3Bs + m3Bd = 0 sostituire i valori trovati:

+1/12qL - 1/8qL + B4EJ/L + B3EJ/L =0

determinare la rotazione in B:

B = (1/8qL-1/12qL)/(4EJ/L+3EJ/L)

LEJLEJqL

B /3/424/1

+=

Per determinare i momenti nella condizione (3) sostituiamo il valore della rotazione B :

LEJLEJLEJqLm A /3/4

/2

241

3 +=

LEJLEJLEJqLm Bs /3/4

/4

241

3 +=

LEJLEJLEJqLm Bd /3/4

/3

241

3 +=

Le grandezze 2EJ/L, 3EJ/L, 4EJ/L sono dette RIGIDEZZE A FLESSIONE e definiscono il rapporto tra momento e rotazione nei diversi schemi statici utilizzati:

rigidezza a flessione delle aste : Wi=M/

La somma delle rigidezze delle aste che concorrono in un nodo detta RIGIDEZZA DEL NODO:

rigidezza del nodo: Wnodo= i Wi


43

Utilizzando la definizione di Rigidezza flessionale delle aste e del nodo possiamo scrivere:

BA W

WqLm 2/241 1

3 =

BBs W

WqLm 13 241

=

BBd W

WqLm 23 241

=

Le espressioni indicano che i due momenti nel nodo B sono rispettivamente proporzionali alle rigidezze delle due aste che concorrono al nodo. Tale osservazione risulta molto utile per stabilire che se si modificano le rigidezze delle aste che concorrono ad un nodo, si modificano proporzionalmente anche i momenti che ciascuna asta assorbe.

SOLUZIONE DELLO SCHEMA STATICO (1) Infine, per trovare i momenti flettenti dello schema statico (1) si sommano i valori degli schemi (2) e (3): m1 A= + m2A + m3A m1Bs= + m2Bs + m3Bs m1Bd = + m3Bs+ m3Bd


44

12.1 ESEMPIO - METODO DELLE ROTAZIONI

Con il metodo delle ROTAZIONI risolviamo la TRAVE rappresentata dallo schema statico di figura per il quale lunica incognita la rotazione del nodo B. La rotazione nel nodo C non rappresenta unincognita poich i momenti nellappoggio C sono nulli e, quindi, lequilibrio sempre garantito indipendentemente dallentit della rotazione.

A

B

C

420

530

q=1200 kg/mtrave HEA180B

La trave realizzata con un profilo in acciaio tipo HEA180 con le seguenti caratteristiche: Modulo elastico dellacciaio: E= 2.100.000 kg/cm Momento dinerzia del profilo HEA180: J =2510 cm4 Luce della prima campata : L1 = 420 cm = 4.2 m Luce della seconda campata : L2 = 530 cm = 5.3 m Carico uniformemente distribuito: q=1200 kg/m

Calcoliamo i momenti per la condizione (2) dincastro perfetto dovuti al carico q:

nodo A: MA = - 1/12qL21 = - 1/1212004.2 = -1764 kgm nodo B: MB = + 1/12qL21 - 1/8qL22 = +1764 -4213= -2449 kgm nodo C: MC = 0

Calcoliamo i momenti per la condizione (3) dovuti la rotazione in B:

nodo A: MA = + B2EJ/L1 = + B 2EJ/4.2 = + B 0.476EJ nodo B: MB= + B 4EJ/L1 + B 3EJ/L2 = + B 4EJ/4.2+ B3EJ/5.3 = + B 1.518EJ nodo C: MC= 0

Scriviamo lequazione di equilibrio dei momenti in B per trovare la rotazione B :

nodo B: MB=0 -2449 + B 1.518EJ =0 B = 2449/1.518 EJ = 1613/EJ

Determiniamo i momenti per ogni sezione sovrapponendo le condizioni (2) e (3):

Campata AB nodo A : MA = - 1/12qL21 + B2EJ/L1 = - 1764 +16132/4.2 = - 996 kgm nodo B : MBs= + 1/12qL21 + B 4EJ/L1 = +1764 +16134/4.2 = 3299 kgm

Campata BC nodo B : MBd= - 1/8qL22 + B 3EJ/L2 = - 4213 + 16133/5.3 = - 3299 kgm nodo C : MC = 0

Ovviamente per lequilibrio il momento a destra e il momento a sinistra nel nodo B assumono lo stesso valore con segno contrario, ci rappresenta un controllo del calcolo eseguito.


45

Il diagramma di momento finale risulta:

A

B

C

420

530

Per calcolare le reazioni e il diagramma di Taglio necessario scrivere le condizioni di equilibrio per le due campate AB e BC.

CAMPATA AB equilibrio dei momenti in B : YA4.2 12004.2/2 + 3299 - 996 = 0 YA = 1972 kg equilibrio forze verticali : 1972 12004.2 + YB =0 YB = 3068 kg Ascissa da A in cui si annulla il Taglio: x = T/q= 1972/1200 x = 1.64 m Momento massimo in campata: Mmax= 19721.64 12001.64/2-996 Mmax= 624 kgm

CAMPATA BC equilibrio dei momenti in B : YC5.3 12005.3/2 + 3299 = 0 YC = 2557 kg equilibrio forze verticali: 2557 12005.3 + YB =0 YB = 3803 kg Ascissa da B in cui si annulla il Taglio: x =T/q= 3803/1200 x = 3.17 m Momento massimo in campata: Mmax= 38033.17 12003.17/2-3299 Mmax= 2725 kgm

Il SISTEMA di FORZE REATTIVO ossia le REAZIONI VINCOLARI risulta:

Incastro in A: XA=0 ; YA= 1972 kg ; MA=-996 kgm Appoggio in B: YB = 3068+3803 = 6871 kg Appoggio in C: YC = 2557 kg

B

C

530

M=

3299

q=1200 kg/m

M=

3299

M=

996

A

B

420164

317

M=

2725

M=

624

T=19

72

T=30

68 T=38

03

T=25

57


46

13. LE STRUTTURE A NODI FISSI

1

2

3

q1 q2

q3 P

L1 L2

H

Il MEDODO delle ROTAZIONI molto efficace per risolvere le strutture a Telaio a nodi fissi caratterizzate da un elevato grado di iperstaticit. Il telaio in figura ha 6 gradi di iperstaticit e, per la sua soluzione con il METODO delle FORZE, sarebbe necessario scrivere un complesso sistema di 6 equazioni con 6 incognite. La struttura di figura caratterizzata da tre NODI FISSI, nodi 1, 2 e 3, con il metodo delle rotazioni possiamo allora scrivere il sistema con le 3 equazioni di equilibrio dei nodi. La scrittura delle equazioni di equilibrio semplice e pressoch automatica. Per questo motivo tutti i codici o programmi di calcolo automatico per le strutture si basano principalmente sul metodo delle rotazioni, o meglio sul pi completo METODO DEGLI SPOSTAMENTI. I diversi codici di calcolo si differenziano essenzialmente per i diversi modi di risoluzione del sistema di equazioni lineari.

Per scrivere in modo semplice il sistema delle equazioni di equilibrio dei nodi 1, 2 e 3 si individuano le quattro deformazioni congruenti della struttura.

(0) deformazione prodotta dai carichi bloccando tutti i nodi (1) deformazione prodotta applicando una rotazione al nodo 1 con gli altri nodi bloccati (2) deformazione prodotta applicando una rotazione al nodo 2 con gli altri nodi bloccati (3) deformazione prodotta applicando una rotazione al nodo 3 con gli altri nodi bloccati

Lo schema statico (0), detta condizione di incastro perfetto, definisce la deformazione prodotta dai carichi bloccando tutti i nodi:

1

2 3

q1 q2

q3 P

L1 L2

H

schema statico (0)


47

Utilizzando le soluzioni degli schemi statici semplici riportati nella TABELLA 2 del capitolo 11, la determinazione dei momenti dincastro indicati in figura immediata. Per scrivere i momenti si utilizza la convenzione di segno positivo per i momenti destrogiro e negativo per i momenti sinistrogiro.

Utilizzando gli schemi D1, D2 e C1 possiamo scrivere i momenti presenti in ciascun nodo dello schema statica (0):

nodo 1: M01= -1/12q1L21 nodo 2 : M02 = +1/12q1L21-1/12 q2L22+ 1/8PH nodo 3 : M03= +1/12 q2L22- 1/8q3H2

Lo schema statico (1) rappresentato dalla rotazione del solo nodo 1, mantenendo bloccati i nodi 2 e 3. Per semplicit le rotazioni sono ipotizzate destrogire in modo tale che tutti i momenti prodotti siano anche essi destrogiri e quindi positivi.

1

2

L1 L2

H

3

1

schema statico (1)

Con laiuto degli schemi statici riportati nella TABELLA 2 possiamo scrivere i momenti presenti in ciascun nodo dello schema statico (1):

nodo 1: M11= + 14EJ/L1 + 14EJ/H nodo 2 : M12= + 12EJ/L1 nodo 3 : M13 = 0

Per le aste, lo schema statico a cui si fa riferimento lo schema C3 dove la rotazione imposta allappoggio crea una deformata e un conseguente digramma di Momento con valori M allappoggio e M/2 allincastro:

M

M/2


48

Lo schema statico (2) rappresentato dalla rotazione del solo nodo 2, mantenendo bloccati i nodi 1 e 3.

1

2

L1 L2

H

3

2

schema statico (2)

Con laiuto dello schema statico C3 riportato nella TABELLA 2 possiamo scrivere i momenti presenti in ciascun nodo: nodo 1: M21= + 22EJ/L1 nodo 2 : M22 = + 24EJ/L1 + 24EJ/L2 + 24EJ/H nodo 3 : M23 = + 22EJ/L2

Lo schema statico (3) rappresentato dalla rotazione del solo nodo 3, mantenendo bloccati i nodi 1 e 2.

1

2

L1 L2

H

3

3

schema statico (3)

Con laiuto degli schemi statici C1 e A3 riportatI nelle TABELLE 1 e 2 possiamo scrivere i momenti presenti in ciascun nodo: nodo 1: M31= 0 nodo 2 : M32 = + 32EJ/L2 nodo 3 : M33 = + 34EJ/L2+ 33EJ/H


49

Ora possiamo scrivere le tre equazioni di equilibrio dei 3 nodi sommando leffetto delle quattro deformazioni congruenti: la prima equazione la somma di tutti i momenti nel nodo 1, la seconda la somma dei momenti del nodo 2, la terza la somma dei momenti del nodo 3.

-1/12q1L21 + 14EJ/L1 + 14EJ/H + 22EJ/L1 = 0

+1/12q1L21-1/12 q2L22+ 1/8PH

Documents

La Meccanica Delle Strutture Prof. Bruno Zan