LA PARABOLA

qF ;0

K

. yxP ;' yxP ; .

O x

y

asse di simmetria

V=Vertice d direttricedirettriceHK’

q

.

.

fuoco

Elementi della parabola

qy

Definizione di parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta data d, detta direttrice

d

x

y

qF ;0

K

.

O

fuoco

.

.

.

. .

.

qy

Equazione della parabola

a

F41;0

K

yxP ;

.

O x

y

......

PKPF

22

220

qyx

qyxPF

qyPK

222

22

qyqyx

qyqyx

22

4

14 x

qyxqy

aq

4

1poniamo

2axy Equazione della parabola con il vertice nell’origine O, con

l’asse di simmetria coincidente con l’asse y, con il fuoco nel

punto e la cui direttrice è la retta di equazione

aF

4

1;0

ay

4

1

.y qF ;0

q

y

x

Hd

ay

4

1 qy

a=1

a=-1

a=2

a=-2

a=1/2

a=-1/2

22xy

2xy

2

2

1xy

2

2

1xy

2xy

22xy

Esempi

Tracciare i grafici delle seguenti parabole:

0a

0a

a=2

a=2

a=-2

a=-2

Concavità della parabola

……e se e se a=0a=0??

2axy

x

y

0y

0y

Apertura della parabolaApertura della parabola

La parabola è tanto più aperta quanto più è piccolo in valore

assoluto il coefficiente a

Esempi

Applicando la definizione di parabola come luogo geometrico, determinare le equazioni delle parabole aventi fuoco e direttrice assegnati:

2

4

1xy

1 yd

1;0F

2

4

3xy

3

1 yd

3

1;0F

a)

b)

Esempio

Determinare il fuoco e la direttrice della parabola di equazione

2

6

1xy

2

3;0F

2

3 yd

Esempio

Determiniamo, fra le parabole di equazione , quella che passa per il punto P(-1;-2); determiniamo poi se la parabola ottenuta passa anche per il punto Q(2;-1)

2axy

22xy

Il punto Q non appartiene a questa parabola poiché le sue coordinate non soddisfano l’equazione.

Parabola con asse parallelo all’asse delle y

O x

y

V(1;2)

x

y

O

2axy

1 32 4

1 32 X’

Y’

2

3

1

2

3

1

42' yy

0' xxx 0' yyy

200 xxayy

000

000

22

22

2

2

yaxxaxaxy

xxxxayy

1' xx

poniamo

bax 02 e cyax 020

cbxaxy 2

Equazione della parabola

.2axy 2'' axy

2;1V

O’

00; yxV

00; yxV

0x 0y

ay

4

1

cbxaxy 2Parabola di equazione

a

b

2

Asse di simmetria

Vertice

Fuoco

Direttrice

aa

bF

4

1;

2

a

acb

4

42

0xx

;

0

4

1y

ay

a

bx

2

00; yxV

00

4

1; ya

xF

aa

bV

4;

2

cbxaxy 2

Studio dei coefficienti a, b e c

0a cbxy

x

y

cbxy

è sempre

0a

0b 2axy cbxaxy 2

Studio dei coefficienti a, b e c

0c

x

y

2axy

0a

0b cbxaxy 2

Studio dei coefficienti a, b e c

0c

0abxaxy 2

bxaxy 2

x

y

O

0b cbxaxy 2

Studio dei coefficienti a, b e c

0c

0acaxy 2

x

y

02

c

axy

caxy 2

caxy 2

V(0;c)

V(0;-c)

o

Esempio

Data la parabola di equazione

Determinare il vertice, l’asse di simmetria, il fuoco e la direttrice. Tracciare poi il grafico della parabola dopo aver determinato le intersezioni con gli assi.

562 xxy

4

17y 4;3 V 3x

4

15;3F

5y

52 x11 x

; ;;

Intersezione con l’asse x

Intersezione con l’asse y

Esempio

Disegnare il grafico della parabola di equazione

92 xy

9;0 V

32 x31 xIntersezione con l’asse x

.

d

.x

y

yxP ;

O

2ayx

VerticeVertice

FuocoFuoco

Asse Asse

DirettriceDirettrice

2axy 2ayx

ay

4

1

0x

0;0 0;0

0y

ax

4

1

0;4

1

a

a4

1;0

cbyayx 2

x

y

1 32 4

2

3

1

4

.V(1;2)

O

VerticeVertice

FuocoFuoco

Asse Asse

DirettriceDirettrice

cbxaxy 2 cbyayx 2

ay

4

1

a

bx

2

aa

b

4;

2

a

b

a 2;

4

aa

b

4

1;

2

a

b

a 2;

4

1

a

by

2

ax

4

1

0a

0a

Concavità della parabola

x

y

x

y

O

O

Grazie per l’attenzione