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La Regla del Sandwich
La Regla del Sandwich para sucesiones
La Regla del Sandwich es un teorema que nos permite calcular límites de sucesiones complicadas comparándolas con sucesiones más sencillas.
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
Supongamos que una sucesión complicada tiene una cota superior y una cota inferior que tienen el mismo límite. Como la sucesión complicada esta atrapada entre las dos sucesiones que tienen el mismo límite, entonces la sucesión complicada tendrá también dicho límite.
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
Si, para todo n, xn ≤ yn ≤ zn y las sucesiones (xn) y (zn) tienen el mismo límite L, entonces la sucesión (yn) converge y tiene el límite L.
TeoremaTeorema
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
Demostración GráficaDemostración Gráfica
n
zn
xn
yn
xn
L
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
Tenemos que hallar un número nε tal que si n > nε , entonces | yn – L | < ε.
DemostraciónDemostración Sea ε > 0.
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
Como lim xn = L, existe nx tal que si n > nx , entonces | xn – L | < ε.
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Demostración (cont.)Demostración (cont.)
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
Si lim zn = L, existe nz tal que si n > nz , entonces | zn – L | < ε.
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Demostración (cont.)Demostración (cont.)
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Demostración (cont.)Demostración (cont.)
Sea nε = max(nx ,nz).
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para sucesiones
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Demostración (cont.)
Demostración (cont.)
n > nε = max(nx ,nz)
|yn – L| ≤ max(|xn – L|,|zn – L|) < ε.
L L+ εL – ε xn znyn
Sucesiones. La regla del sandwich.
Usando la Regla del Sandwich
EjemploEjemplo limn
n!
nn
Sucesiones. La regla del sandwich.
Usando la Regla del Sandwich
Aquí cada término k/n ≤ 1.
Para todo n > 0, 0
n!
nn.
n!
nn
12 3 K n
n n n K n
1
n
2
n
3
nL
n
n
1
n.
SoluciónSolución
Sucesiones. La regla del sandwich.
Usando la Regla del Sandwich
SoluciónSolución
Conclusión n 0 : 0
n!
nn
1
n.
limn
n!
nn0.
Por lo tanto, por la Regla del Sandwich
Sucesiones. La regla del sandwich.
La Regla del Sandwich para Sucesiones
n
zn
xn
yn
xn
L
TeoremaTeorema Si xn ≤ yn ≤ zn
limn
xn
limn
zn
L limn
yn
L.
Sucesiones. La regla del sandwich.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:Félix Alonso
Gerardo RodríguezAgustín de la Villa
