La Rivelazione diOnde Gravitazionali

II

TEMPO NECESSARIO: 1 h e 1/2TEMPO NECESSARIO: 1 h e 1/2

Contenuto della Lezione

Antenne interferometriche

Rivelazione Interferometrica di OG

L-L

L+L

hLL2

1=

Measure L m Target h

(NS/NS @15 Mpc)

L m

t = 0 t = /4 t = t = 3/4 t = T

4gw L h

πφλ

= ⋅

Un semplice rivelatore

radGW1110−≈φ

4gw L h

πφλ

= ⋅

Un semplice rivelatore

Molte sorgenti di rumore possono intervenirenel limitare la sensinbilità richiesta

(Rumori di spostamento e di fase)

Un semplice rivelatore

))cos(21()(cos2yyxxinyyxxinout LkLkPLkLkPP −+=−=

inMax

out PLd

dP

λπ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Massima variazione di Potenza al variare della differenzadi cammino ottico dei due bracci si ha a Pout = Pin/2

Delay Lines o cavità Fabry-Perot per aumentare l’effetto

Delay-Lines possono essere utilizzate per incrementare il cammino ottico della luce nei 2 bracci dell’interferometro.

c

NLS

2=τ

•Storage time

•Cavità Fabry-Perot

πτ F

c

LS =

c

FhLπφ 4=

π2F

N =

v7

Trattazione delle cavità FP (I)

€

ψin = Ke iχ

ψ1 = unknown

ψ 2 = e−iklψ1

ψ 3 = ir2ψ 2

ψ 4 = e−iklψ 3

Mirror 2

€

ψr

€

ψ1

Mirror 1

€

ψin

l

€

ψ2

€

ψ4

€

ψ3

€

ψt

Stata stazionario:

€

ψ1 = t1ψ in + ir1ψ 4

€

ψ1 =t1

1+ r1r2e−2ikl

ψ in

ψ 4 =ir2t1

1+ r1r2e−2ikl

ψ in

€

ψr = ir1ψ in + t1ψ 4 = ir1 + r2e

−2ikl

1+ r1r2e−2ikl

ψ in

ψ t = t2ψ 2 =t1t2e

−ikl

1+ r1r2e−2ikl

ψ in

Onda Riflessa:

Onda Transmessa:

v7

Trattazione delle cavità FP (II)

€

ψr

2= Ar

2

ψ t

2= At

2

Ampiezza dell’onda:

€

Ar =r1

2r22 + 2r1r2 cos2kl

1+ r12r2

2 + 2r1r2 cos2kl

At =1

1+ r12r2

2 + 2r1r2 cos2klt1t2

€

L = (2m +1)λ

4se

€

Ar = min =r2 − r11− r1r2

;At = MAX =t1t2

1− r1r2

€

Ar = MAX =r2 + r1

1+ r1r2

;At = min =t1t2

1+ r1r2

€

L = mλ

The light resonates into the cavity if its phase is increased by exactly 2π each two reflections

v7

Trattazione delle cavità FP (III)

€

F =FSR

FWHM≈

π r1r2

1− r1r2

Finesse:

Recycling factor :

€

FI =

ψ3;L=(2m +1)

λ

4

ψ in

=t1

2

(1− r1r2)2

Main cavity features

Cavity cut-off:

€

ωc = 2πFWHM

2= π

c

2FL=

1

τ s

€

FSR =c

2L

Free Spectral Range:where

full width @ half max

Storage time

note

€

N =F

2π

Round trip number:

v7

Trattazione delle cavità FP (IV)

€

Lopt = FL2

π

1

1+ (ω /ωc )2

Lunghezza Ottica della cavità (si noti che dipende dalla frequenza)

In un interferometro con cavità FP il rumore originariamente a spettro bianco nel sistema (ad esempio lo shot noise) risulta deformato e dipende dalla frequenza di cut-off ωc.

FP-+Michelson ITF

Il formalismo per calcolare il campo e.m. d’uscita del Michelson+FP è analogo a quello usato nel caso del Michelson semplice, in cui però la riflettività degli specchi è stata sostituita con quella delle cavità FP:

€

r1 = A(1)r

€

r2 = A(2)r (exercise!)

v7

FP+Michelson ITF, amplificazione del segnale ( sintesi)

•Cavità Fabry-Perot : amplifica la trasduzione lunghezza -fase

•Finesse alta d/dL più grande

•Aspetto negativo: linterferometro funziona solo se le FP sono in risonanza

€

dϕ r

dL≈ −2k

2F

π

Cos’è il rumore

Il rumore si manifesta nella variazione casuale di grandezze fisiche

Non esiste una legge oraria che lo determini Caratterizzabile solo attraverso variabili statistiche

Un processo si dice STAZIONARIO se la misura delle sue proprietà statistiche è indipendente dall’epoca in cui essa viene effettuata.

>< x Media >><−< 2)( xxVarianza

2)(

2lim)( fX

TfS TTx ∞→= Potenza

Spettrale[X2 Hz-1]

dttXtXT

tXtXtCT

T

Tx )()(1

lim)()()(2/

2/

ττ +⋅=+⋅= ∫−

∞→ Auto Correlazione

∫∞

>=<0

2 )( dffSx xττπτ dfCfS xx )2cos()()(

0∫∞

=

Densità Spettrale Lineare [X Hz-1/2]

Lo Shot-Noise

€

N =Pinτ

2hω=

Pinτλ

4πhc

Numero di fotoni al fotodiodo in un tempo τ

τλπσ

in

N

P

c

NN

h41==

La fluttuazione di potenza si manifesta come un errore sulla misura del segnale

•Shot-Noise

€

σN

N=

σ φ

φ=

4πhc

λPinτ

λ

4πLh=

σ h

h→→σ h =

1

L

λhc

4π Pin τ

L’interferometro riciclato

20 W 1 kW

•1) Si usano laser ad alta potenza (20 W)

•2) La luce viene “ricircolata” nell’interferometro per aumentare la potenza del fascio

SPECIFICHE

Fluttuazioni della pressione di radiazione

2

2 2rp

Ph

m L c

πω λ

⋅=

h%

Si riduce lo Shot-Noise ma si incrementano le fluttuazioni della

pressione di Radiazione sugli specchi

)(~

)(~

)(~ 22 fhfhfh rpshot +=

2mfcPopt λπ=Potenza ottimale alla frequenza f

cPF /=

MfLfhQL

hπ

)(~

=

Quantum LimitI bracci devono essere lunghiin ogni caso

v8

Std readout: meter/mechanics: back-action

€

˜ h meter =1

LFP

cshot

F 2P+

cRP

(Mν 2)2F 2P

€

< ˜ x RP >2=1

M ⋅2πν 2

˜ P shot

c

M = massa sospesa dello specchio;

F e P non possono crescere senza indurre un’azione meccanica

M può esser scelto in modo da ridurre l’effetto €

cshot = cshot (constshot );cRP = cRP (constRP )

Densità spettrale di rumore di spostamentodovuto alla Pressione di Radiazione sugli specchi sospesi

tuning

€

3⋅10−21 / Hz @10Hz ≥ ˜ h TN ≥ ˜ h meter

F,P,L,m thermal noise

SQL è oggi ancora lontano ma, se si riesce ad alzare P ed il thermal noise è basso come è possibile ottimizzare…

Quantum Limit

Quantum Limit

Quantum Limit

Rumore Sismico•Specchi sospesi

•Uso di multipendoli

•Abbassare le frequenze caratteristiche

•Realizzare un isolamento su 6 d.o.f.

Rumore Termico

)(4)(~2 fTkfF B β=

Teorema di fluttuazione e dissipazione:

•Rumore Termico: specchi, fili, penduli

•Possibile cura: redurre le dissipazioni o raffreddare gli specchi sospesi

Rumore indotto dalle fluttuazioni in frequenza del laser

c

LLk laser==

ωφ c

LLk laser==

ωφ~~

•1) Tecniche per rendere stabile la frequenza del laser

•2) Si cerca di rendere il cammino ottico della luce il più uguale possibile (metri)

PRECAUZIONI

Abbiamo tutti gli ingredienti per comprendere le ragionidel disegno di un’antenna interferometrica

Schema di un’antenna interferometrica

bassa dissipazione Isolamento Sismico

Recycling

Fabry-Perot

VuotoStabilità di Frequenza

AngularAlignment

Matrix

Laser

Virgo Diagram

Ref.Cav. Freq. Stab.

0-2Hz Δυ=10-4Hz1/2

Common mode Freq. Stab.

2-10000Hz Δυ=10-6Hz1/2

F=30

F=30

La sensibilità di un’antenna

Il Network di antenne interferometriche

TAMA600 m

300 m4 & 2 km

AIGO

3 km

Materiale Didattico

Testi utile

P.R.Saulson: Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detection (Cap.5,6,7).

D.G.Blair: The detection of gravitational waves (1992)

G Pizzella: Fisica sperimentale del campo gravitazionale, La Nuova Italia scientifica (1993)

TESINE POSSIBILI

a)Rassegna sui segnali gravitazionali attesi in relazione alle sensibilità degli apparati

b) Tesina sulla descrizione dell’effetto nei vari sistemi di riferimento

Sintesi della lezione

1) La derivazione formale delle OG nell’ambito di RG)

2) Discussione critica degli ordini di grandezza in gioco

3) rassegna della sorgenti di OG (senza entrare in complicati dettagli astrofisici)

4) Il principio di funzionamento dei rivelatori

Assegnazione Tesine

1) Bilancia di Torsione (Dicke-Brajinsy)2) Test della legge Quadratica Inversa: Rassegne su una o più tecniche3) Esperimenti di Quinta Forza4) Misure della costante della Gravitazione Universale5) Le verifiche della LLI (e, più in generale, della Relatività Speciale)

(http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/experiments.html)6) Le verifiche della LPI7) I 3 test standard della Relatività Generale: problematiche sperimentali e limiti sui PPN8) Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-Newtoniani9) L’Esperimento di Pound-Rebka: tecnica e significati10) Rassegna sui segnali gravitazionali attesi in relazione alle sensibilità degli apparati11) Tesina sulla descrizione dell’effetto nei vari sistemi di riferimento12) La misura sulla Pulsar 1913 + 1613) Rassegna sulle sorgenti di OG e sulle possibilità di rivelazione14) I rivelatori a barra15) I Rivelatori interferometrici di OG (anche un problema specifico)16) L’esperimento LISA