La rivelazione delle onde gravitazionali per via Interferometrica

Una piccola introduzione Nel 1916 Albert Einstein pubblicò l’articolo “ Die Grundlage der allgemeinen Relativita ts theorie” (“I fondamenti della relatività generale”) nel quale enunciò la teoria della Relatività Generale.

1. Tale teoria asserisce che lo spazio-tempo può essere deformato dagli oggetti massivi presenti al suo interno.

2. Le variazioni nella distribuzione della massa si traducono quindi in perturbazioni della metrica. Da queste perturbazioni si originano le onde gravitazionali (OG).

Nella Relatività Generale (RG) la gravità assume un ruolo completamente diverso da quello che rivestiva nella teoria della gravitazione universale elaborata da Newton, ovvero la gravità non è una forza, ma la geometria dello spazio-tempo. Immagine 1 galassia smile Immagine 2 lenti gravitazionali

Ciò comporta a) Le onde gravitazionali previste dalla Relatività Generale sono molto diverse dalle onde elettromagnetiche. Infatti le onde elettromagnetiche vengono emesse da cariche in accelerazione, mentre le onde gravitazionali sono emesse da masse accelerate aventi momento di quadrupolo non nullo. b) A differenza delle onde elettromagnetiche, le onde gravitazionali sono rivelabili solo se emesse da oggetti astrofisici. D’altra parte, le onde elettromagnetiche emesse da sorgenti astrofisiche vengono assorbite e diffuse dalle nubi di polvere interposte tra l’osservatore e l’oggetto contrariamente a quanto accade alle onde gravitazionali che invece le attraversano senza subire alterazioni significative. Proprietà davvero interessante per gli sviluppi futuri dell'osservazione dell'universo.

c) Il successo nella rivelazione di OG perciò non sarebbe circoscritto alla verifica della teoria einsteiniana, ma avrebbe ampi risvolti nell’ambito dell’astrofisica: rivelare onde gravitazionali permetterebbe di indagare sulla natura di oggetti compatti quali stelle di neutroni e buchi neri, da un punto di vista diverso da quello finora raggiunto, e questo significherebbe aver trovato una nuova chiave di lettura dell’universo non più “ elettromagnetica”, ma “gravitazionale”.

d) l’onda gravitazionale incidente agisce con un effetto di tipo oscillante sulla distanza tra le particelle libere.

Tale comportamento nel tempo viene mostrato in oscillazioni della distanza dal centro delle particelle poste su di una circonferenza dovute al passaggio di un’onda gravitazionale incidente in direzione ortogonale al piano formato dalla particelle.

L’immagine in alto rappresenta la polarizzazione +, quella in basso invece mostra la polarizzazione ×. La distanza dal centro delle particelle poste sulla circonferenza, aumenta e diminuisce alternativamente. Introduciamo il parametro adimensionale h che misura la variazione relativa della distanza tra due punti materiali.

Conseguentemente, prima di affrontare le tecniche di rivelazione delle onde gravitazionali, cercheremo di fornire una stima approssimativa della variazione di lunghezza che un’onda gravitazionale può provocare al suo passaggio o meglio una stima del parametro h. Scrivendo la soluzione all'equazione dell'onda di Einstein in termini di momento di quadrupolo, Q, che descrive la distribuzione delle masse della sorgente che emette, si ottiene:

dove r è la distanza tra la sorgente e l’osservatore e

è il momento di quadrupolo ridotto associato alla densità di energia della sorgente

tale che :

e dove δjk è la delta di Dirac. A questo punto è importante sottolineare che la quantità

è una quantità molto piccola il che significa che solo eventi che coinvolgono grandi masse emettono onde gravitazionali di ampiezza non trascurabile. Si consideri ad esempio una sorgente sferica rotante di massa M e di raggio R, in cui è presente un’asimmetria nella massa, in questo caso si può dimostrare che in prima approssimazione

dove

è la frazione di energia cinetica convertita in OG per effetto dell’asimmetria espressa dal parametro e . Sostituendo nell’equazione precedente si ottiene:

Se si suppone che la frazione di energia cinetica convertita sia pari ad una

massa solare

MS = 2 * 10^30 Kg

e che la sorgente si trovi ad una distanza di

r ≈ 15 Mpc (1 parsec = 3,086 *10^16 m) , si ottiene:

h ≈ 10^(- 21)

In conclusione ricavando la variazione di lunghezza ∆l supposto che l sia dell'ordine di 10^4 m si ha:

∆l ≈ 10 ^(-17) m valore che impone l'uso di tecniche di rilevazione estreme e tecnologicamente avanzate. I rivelatori Dopo i tentativi effettuati tra gli anni '60 e gli anni '70 mediante l'uso

pionieristico di dispositivi ad antenne risonanti negli anni ’80 è iniziato lo studio della rivelazione di onde gravitazionali mediante l’uso di interferometri di Michelson modificati opportunamente per raggiungere la sensibilità richiesta dalla misura.

Principio generale di funzionamento di un interferometro. Un interferometro osserva mediante la misura della variazione di fase del segnale in uscita, il ritardo accumulato dal fascio laser nei tempi di transito in

un braccio rispetto all'altro . Questo ritardo dipende, come avrete capito, spero, dalle variazioni di lunghezza dei due bracci indotte dal passaggio di una OG. Un interferometro è quindi uno strumento in grado di apprezzare piccolissime variazioni di lunghezza. Tra gli interferometri gravitazionali attualmente operanti i due progetti con dimensioni e sensibilità maggiori sono LIGO e Virgo. Per l’esperimento LIGO sono stati costruiti due interferometri con bracci di lunghezza pari a 4 km con banda di sensibilità compresa tra

10 Hz e 104 Hz Virgo è l’interferometro collocato in Italia nel territorio del comune di Cascina (Pisa). Ha dei bracci lunghi 3 km e banda di sensibilità nello stesso intervallo di frequenze di Ligo.

Il futuro ci prospetta la realizzazione di LISA, il progetto ESA-NASA di un interferometro situato nello spazio con bracci di lunghezza 5 * 10^6 Km !!

Come funziona un interferometro

Qualche cenno alla fisica di un interferometro di Michelson. Sicuramente tutti voi avete visto almeno una volta una figura di questo tipo

Un fascio laser proveniente da sinistra incide su uno specchio semi-argentato (splitter beam) e lo separa in due componenti nelle due direzioni ortogonali x e y. I due fasci che emergono dallo splitter proseguono e vengono riflessi su due specchi posti all'estremità dei bracci dell'interferometro. I due raggi riflessi tornano allo splitter e quindi vengono deviati verso lo strumento di raccolta. Se gli specchi sono perfettamente perpendicolari il sistema produce gli stessi effetti che si osserverebbero se un raggio incidesse su uno strato d'aria, compreso tra due vetri, di spessore uniforme

l1– l2 . Se si spostasse avanti e indietro lo specchio M2, si cambia lo spessore della lamina equivalente di aria. Supponiamo che il centro dell'insieme di frange circolari sia luminoso e che M2 venga spostato esattamente di quanto necessario perché la prima frangia luminosa si sposti al centro del sistema. Vuol dire che il cammino di andata e ritorno del fascio è cambiato di una lunghezza d'onda e questo significa che, poiché il raggio attraversa due volte la lamina equivalente d'aria, lo specchio M2 si è sposato di mezza lunghezza d'onda. Per cui contando il numero di frange che attraversano il campo visivo, quando lo specchio M2 si muove, è possibile misurare in modo molto preciso variazioni di lunghezza. E' inutile ricordare che Michelson usò il suo interferometro per misurare il metro campione in termini di lunghezze d'onda della luce rossa del cadmio e quindi insieme a Morley per allestire la misura

più famosa e cioè la verifica dell'esistenza dell'etere. Per quanto riguarda Ligo e Virgo la situazione è del tutto simile tranne per il fatto che a loro si richiede una sensibilità mai vista prima. Adesso vediamo l’effetto di un’onda gravitazionale sull’interferometro di Michelson. Sia l’onda gravitazionale hµν(z, t) piana, monocromatica e progressiva

h(z, t) = h+(z, t), con frequenza ν, che si propaghi nella direzione dell’asse z, ortogonale al piano dell’interferometro i cui bracci sono orientati con gli assi x e y rispettivamente:

Siano l1 ed l2 i bracci dell’interferometro. Lo sfasamento temporale ∆, con cui i due fasci di luce si ricombinano sul beam splitter è dato da:

∆ = ∆x − ∆y,

ove ∆x è il tempo di percorrenza della luce nel braccio x e analogamente ∆y

quello per il braccio y. La quantità ∆ è quindi legata alla differenza di cammino ottico ∆Ltot

∆Ltot = ∆l + ∆lOG

dove ∆l = l1 − l2 e ∆lOG è invece la differenza di lunghezza dei due bracci accumulata al passaggio dell’ OG. Una volta determinato ∆Ltot lo sfasamento ∆φL è dato da:

Essendo il tempi ∆x e ∆y la somma dei tempi di andata e ritorno rispettivamente sui bracci x e y e avendo supposto il periodo dell'onda gravitazionale molto più grande del tempo impiegato dalla luce ad andare e

venire lungo i bracci, si ha :

e

Il segno meno nel secondo tempo è dovuto al fatto che se l'onda gravitazionale allunga il braccio x allora si riduce il braccio y. Ne segue che lo sfasamento temporale tra i transiti sui due bracci dei fasci laser è

e per il ∆Ltot si ha :

cioè

che rappresenta la componente della differenza della lunghezza dei due bracci dovuta al passaggio dell'onda gravitazionale. Per quanto riguarda lo sfasamento

Si osserva che tanto più sono lunghi i bracci maggiore è lo sfasamento indotto dall’ OG

L’analisi fin qui fatta è riferita ad una OG che nel tempo di attraversamento dei due bracci rimane quasi costante. Se così non fosse assumendo che le lunghezze dei bracci siano uguali

l1=l2=l0 si avrebbe che l'interferometro non risponde allo stesso modo alle varie frequenze. Esiste infatti una frequenza di taglio al di sopra della quale la risposta è attenuata. Questa frequenza di taglio è data da:

che corrisponde al tempo impiegato dalla luce per percorrere i bracci.

Lo sfasamento si annulla per tutti i multipli interi della frequenza di taglio; questo significa che l’interferometro è cieco di fronte a segnali aventi queste

frequenze.

Rumori intrinseci di un Interferometro

Il progetto Virgo prende il proprio nome dall’ammasso della Vergine, un

gruppo di circa 2000 galassie a 15 Mpc dalla Terra.

Se ad esempio si considera la coalescenza di due stelle di neutroni

nell’ammasso della Vergine, l’intensità aspettata è di h ≈ (10^−21 ÷ 10^−22)

1/√Hz.

L’obiettivo perciò è quello di raggiungere una sensibilità dell’ordine di 10^−21

1/√Hz in una banda di frequenze che va da 10 Hz ad alcuni kHz. (radio

frequenze)

Esistono tuttavia diverse fonti di rumore intrinseco che limitano la sensibilità

dello strumento proprio nella banda di frequenze che sono oggetto della

misura.

Ne prenderemo in considerazione solo 4 le principali omettendo tutte le altre

problematiche.

Esse sono:

1) Shot noise

2) Pressione di radiazione

3) Rumore termico

4) Rumore sismico

In un interferometro, ogni rumore si manifesta come una variazione

apparente o effettiva della posizione degli specchi, producendo un segnale in

uscita dal rivelatore.

Per poterlo confrontare e distinguere dal segnale gravitazionale si definisce la

densità spettrale equivalente h() che rappresenta l’ampiezza relativa dello

spostamento prodotto da una OG i cui effetti sono equivalenti a quelli indotti

dalla sorgente di rumore considerata, alla frequenza a cui è avvenuta la

osservazione.

Dove l0 è la lunghezza comune dei bracci dello strumento e

è la densità spettrale di spostamento dovuta al rumore.

Rumore di shot (Shot noise)

Uno dei rumori intrinseci più rilevanti nelle misure di tipo interferometrico è

dovuto all’uso dei laser e al carattere quantistico dei fotoni. Nel caso ideale di

un fascio laser perfettamente stabile in frequenza ( lunghezza d'onda

costante) ed in potenza, le fluttuazioni di fase sono limitate dal principio di

indeterminazione di Heisenberg come segue:

Infatti partendo dalla relazione xp > h/2 si ha che x =ed

essendo = 2e p = h/ ne segue che p= (h/ 2per un fotone. Se

consideriamo N fotoni incidenti sul rivelatore, si ha p = N (h/ 2 da cui

p = N (h/ 2Sostituendo otteniamo la relazione attesa.

A causa della natura corpuscolare della luce il conteggio dei fotoni subisce

delle fluttuazioni da cui trae origine il rumore shot. Le fluttuazioni sono di tipo

poissoniano, la deviazione standard risulta essere perciò:

Per dare un'idea:

E' come se osservassimo ripetutamente il lancio di una moneta per

determinare la percentuale di testa e croce su un certo numero di lanci

sapendo che la percentuale di riferimento è 50% per ognuno dei risultati. E'

evidente che se il numero di lanci è molto grande le percentuali determinate

si discosteranno poco da quelle teoriche, ma se il numero di lanci è piccolo

vedremo variazioni delle percentuali molto pronunciate e i risultati

fluttueranno moltissimo. Anche in questo caso ci troviamo di fronte a un

fenomeno di tipo poissoniano e le fluttuazioni relative sono descritte da una

analoga deviazione standard dipendente questa volta dalla radice quadrata

del numero N di lanci effettuato.

La fluttuazione riguarderà la potenza in uscita verso il fotodiodo di raccolta.

Prendendo a prestito il calcolo di questa potenza dalle specifiche di Virgo e

Ligo si ha :

dove le quantità tBS e rBS sono i coefficienti di trasmissione e riflessione del

beam splitter e r1 e r2 sono i coefficienti di riflessione degli specchi. Se

chiamiamo C la quantità

che rappresenta il contrasto nella figura di interferenza in uscita dallo

strumento, si ha (rel. $$):

dove si tenga conto che per un buon interferometro C ≈ 1.

La potenza in uscita dal fotodiodo dipende dall’energia media E trasportata

nell’intervallo di tempo ∆t da N fotoni:

con fattore di efficienza del fotodiodo.Tenuto conto che la fluttuazione del

numero di fotoni rispetto al valore medio di N è descritta, come già anticipato

dalla deviazione standard dove adesso N è il valore medio

si ha

e quindi la fluttuazione di potenza determinata dallo shot noise è: (eseguendo

qualche semplice calcolo)

Se consideriamo ad esempio valori dei coefficienti nella rel. $$ tipici per uno

strumento come Virgo o Ligo cioè rBS e tBS ≈ 2 e r1 e r2 ≈ 1 e C ≈ 1 la

relazione stessa diventa, ponendo per semplicità L = in tutte le

espressioni che seguono,

che è la potenza in assenza di OG.

Se una OG fosse incidente allora essa provocherebbe una variazione di

potenza in uscita

da cui si evince facilmente che

=

e che quindi se calcolassimo il rapporto segnale – rumore nel nostro caso si

otterrebbe

Le condizioni iniziali di funzionamento dell'interferometro sono scelte in modo

tale che caratteristico di una interferenza distruttiva (frangia scura) e in

queste condizioni il rapporto vale 1 e il limite goniometrico per vale

1/2 quindi si ha ricavando OG

che è la differenza di fase indotta dalla OG che attraversa lo strumento. Da

essa facilmente possiamo ricavare

dove

con l0 la lunghezza dei bracci dell'interferometro.

Di conseguenza se confrontiamo teniamo conto dell'ampiezza hshot ˜ e della

differenza di fase minima che lo strumento può rivelare

si ottiene la densità spettrale equivalente del rumore di shot

Se ad esempio volessimo valutare questa quantità ponendo ∆t = 1 s

nella formula precedente si ha che lo shot noise dipende in modo

inversamente proporzionale dal prodotto

se per noi il valore di Pin = 17 W e l0 =3000 m, η = 1 ( caso di Virgo) si

ottiene

che rappresenta il valore limite di h dovuto al rumore di shot e come è

evidente tale rumore è in linea giusto con i valori di h attesi per il passaggio di

una OG vera.

Pertanto è importantissimo ridurre il rumore di shot.

Il rumore determinato dalla pressione di radiazione

Le fluttuazioni statistiche dei fotoni determinano anche un altro tipo di rumore,

quello di pressione di radiazione dovuto al fatto che i fotoni, incidendo sullo

specchio, trasferiscono a questo un impulso provocandone lo spostamento..

Per uno specchio di massa m e potenza del fascio in ingresso Pin la densità

spettrale dello spostamento dovuto alla pressione di radiazione è della forma

cui corrisponde una densità spettrale equivalente

Si osserva come la pressione di radiazione si riduce aumentando l0 e

diminuendo Pin, e invece, lo stesso effetto, per il rumore shot, viene raggiunto

aumentando l0 e Pin. Quindi, riguardo alla potenza in ingresso è necessario

cercare un valore ottimale per la potenza del fascio laser in ingresso Pott che

si ottiene eguagliando h r̃ad e h ˜shot. Il risultato è:

per cui sostituendo nelle precedenti espressioni si ha che la minima densità

spettrale equivalente è:

detta anche di limite quantistico poiché rappresenta la massima precisione

con cui è possibile conoscere la posizione degli specchi senza violare il

principio di Heisenberg.

Nel caso specifico di Virgo dove L = 1 µm si ottiene:

Pott() ≈ 104 2 W

Per = 10 Hz si ottiene Pott ≈ 1 MW !!!.

In Virgo si ha una potenza pari ad 20 kW.

A questo punto trascuriamo per ragioni di tempo le fluttuazioni della potenza

in uscita dovute alle fluttuazione della potenza in ingresso del laser.

Diciamo solo che per eludere questo tipo di problematiche si usa la tecnica di

modulazione frontale onde evitare che gli effetti siano troppo grandi alle

basse frequenze.

Essa è un’opportuna tecnica di modulazione-demodulazione per isolare il

segnale di interesse da ogni tipo di disturbo esterno alla cavità

interferometrica e consiste nel traslare le informazioni a frequenze più alte (in

Virgo sono le radio frequenze). Il segnale acquisito è pertanto non nullo solo

in presenza di variazioni reali del cammino ottico della luce dovuto a segnali

gravitazionali o allo spostamento reale degli elementi ottici.

Rimedi per accrescere la sensibilità

Uno dei parametri che, aumentato, renderebbe il rumore quantico meno

efficace è, come abbiamo visto nella trattazione precedente, la lunghezza dei

bracci l0. Questo equivale ad accrescere il cammino ottico del fascio e

conseguentemente incrementare la sensibilità dello strumento. Una soluzione

a questa esigenza non è costruire bracci molto più lunghi di quelli già in uso

in quanto sulla Terra questo comporterebbe numerose problematiche

difficilmente risolvibili ed economicamente non convenienti, ma utilizzare

delle cavità ottiche risonanti e in particolare quelle che sono note come

cavità di Fabry – Pérot.

I bracci degli interferometri Virgo e Ligo sono cavità ottiche di questo tipo.

Le Cavità di Fabry-Pérot

Una cavità ottica di Fabry-Pérot o anche etalon ( figura seguente) è costituita

da due specchi con riflettività r1 ed r2 posti a distanza l0 tra di loro.

Grosso modo la cavità funziona così:

sul primo specchio viene fatto incidere il fascio laser che in parte entra nella

cavità ( teniamo conto che r1 < r2). Se la distanza tra gli specchi è giusta la

cavità risuona ossia si ha interferenza positiva al suo interno e il fascio viene

fuori rafforzato in ampiezza. Viceversa se l'interferenza fosse distruttiva dalla

cavità non viene fuori nulla.

Nelle due immagini precedenti un raggio penetra nella cavità attraverso il

primo specchio che per semplicità è stato scelto piano. Nella seconda

immagine si ha una descrizione più dettagliata di ciò che avviene.

Ricordiamoci che ogni volta che il raggio subisce una riflessione su una

superficie di separazione tra due mezzi, di cui il primo ha indice di rifrazione

minore di quello del secondo, si ha uno sfasamento nell'onda di che

equivale a una differenza di cammino ottico di Nel punto C' in figura si

sovrappongono due onde quella proveniente da B' e quella proveniente da C.

La differenza di cammino ottico tra le due onde è con un po’ di calcoli :

BC + CC' -A'B' essendo in figura BC = CC' = d / cos() e A'B' = AB' sin( )

Ma AB’ = BC’ = 2d tg( ) 2BC -A'B'= 2 d / cos() - 2d sin2( )/ cos() =

= 2 d / cos() ( 1 - sin2( ) )

e si ha

2BC -A'B' = 2d cos()

Se quindi 2d cos() = m

avremo interferenza costruttiva e le due onde in E e E' in figura risulteranno

in fase e sommeranno le loro ampiezze.

Se invece 2d cos() = (m +1/2)

l'interferenza sarà distruttiva e non avremo raggi uscenti dalla cavità.

Quando = 0, cioè quando le onde incidono perpendicolarmente alle

superfici delle due lastre la differenza di cammino diventa 2d, pari ad

un’andata e ritorno all’interno della cavità, per cui avremo interferenza

costruttiva solo se

2d = ml

relazione che nel nostro caso equivale a una condizione di risonanza.

Questo significa che solo le lunghezze d’onda in risonanza con la cavità possono essere trasmesse praticamente con la stessa intensità incidente.

Le lunghezze d’onda che non soddisfano la relazione scritta, attraverso varie riflessioni, tendono ad annullarsi reciprocamente, per cui non avremo onde uscenti dalla cavità diverse da quelle fissate dai modi in cui la cavità risuona.

Un parametro caratteristico della cavità è il coefficiente di finesse

esso determina con quanta precisione si possono separare due diverse

lunghezze d'onda. Alti valori di F indicano strumenti di alta qualità.

In una cavità Fabry-Pérot il cammino ottico della luce viene amplificato del

fattore 2F/

per cui definendo Leff = (2F/) l0 si ha

La cavità Fabry-Pérot si comporta come un filtro passa basso cioè un filtro

che consente il passaggio solo ai segnali di frequenza più bassa della

frequenza di taglio.

La frequenza di taglio nel nostro caso è legata al tempo di permanenza dei

fotoni tra i due specchi.

Un fotone che entri all’interno della cavità, vi permane un tempo (storage

time) pari a:

Ts = (2 F/ π) l0 /c

Lo storage time è il tempo necessario affinché la luce riflessa dalla cavità

diminuisca di 1/e una volta spento il laser di alimentazione.

Dal tempo di permanenza si può quindi calcolare la frequenza limite della

cavità data da :

Nell’interferometro Virgo si hanno due cavità di Fabry-Pérot formate ciascuna

da due specchi posti a 3 km tra loro. Per ogni cavità gli specchi hanno due

diversi coefficienti di riflessione con gli specchi di ingresso r1 = 0.88 e r2 =

0.99, quindi si ottiene F = 140 e quindi 2F/ ≈ 90 .

Poiché l0 = 3 km, la lunghezza efficace risulta pari a Leff = 270 km. Quindi con

l’ausilio di una cavità ottica Fabry-Pérot il cammino ottico effettivo nei bracci

dell’interferometro diventa 270 km!

Per cercare di avere la Potenza in ingresso Pin prossima alla potenza ottimale

Pott è stata introdotta anche una cavità di recycling. Essa opera sulla parte di

fascio che viene riflessa sul beam splitter, reintroducendo lo stesso con una

ampiezza accresciuta di un certo fattore di guadagno che dipende dalle

caratteristiche della cavità di ricircolo.

Di seguito riportiamo un' immagine dello schema ottico dello strumento in cui

si riconoscono le varie parti descritte

Il laser utilizzato è del tipo Nd:YAG con lunghezza d’onda 1064 nm. La

potenza del laser è di circa 20 W. Le masse di test sono costituite da quattro

specchi collocati a formare le due cavità Fabry-Pérot.

Essi sono dei cilindri di silice fusa (Suprasil 312) del diametro di 35 cm e

massa 20 kg. Sulla superficie degli specchi è applicato uno strato altamente

riflettente (coating = rivestimento) costituito da strati alternati di silice e Ta2O5

(pentossido di Tantalio).

Rumore sismico e newtoniano

Un’altra sorgente di rumore intrinseco nella rivelazione interferometrica è il

rumore sismico dovuto ai movimenti della crosta terrestre. Accurati studi di

geofisica hanno consentito di determinare una densità spettrale di

spostamento dovuta al rumore data dalla espressione

dividendo per la lunghezza l0 del braccio si ha che la densità spettrale

equivalente è a 10 Hz corrisponde a

h ˜sism(10) ∼ 10−11 1/√Hz.

Questo valore è un grosso problema in quanto molto maggiore della

sensibilità che si spera di ottenere per lo strumento.

Inoltre a causa delle fluttuazioni della distribuzione delle masse in prossimità

dello strumento, si hanno fluttuazioni anche del campo gravitazionale il cui

contributo è

Queste variazioni, che determinano il rumore newtoniano, sono in grado di

modificare lo stato di quiete dello specchio; su di esso la fluttuazione del

campo gravitazionale locale incide direttamente senza che qualsiasi sistema

di attenuazione riesca a filtrarlo. Nel caso di Virgo la densità spettrale

equivalente associata al rumore newtoniano è piccola rispetto alla attuale

sensibilità di Virgo e quindi meno fastidiosa, ma con i rivelatori futuri si dovrà

tener conto anche di questa fonte .

Riduzione del rumore sismico

Si può ridurre il rumore sismico sospendendo una massa ad un pendolo. Se

ne consideri uno avente lunghezza l, costante elastica k = mg/l, dove è il

coefficiente di dissipazione assunto di tipo viscoso.

Sia F (t) una sollecitazione applicata dall’esterno che modifica la posizione di

equilibrio della massa sospesa m. L’equazione del moto dello specchio ( la

nostra massa di test) è :

L’equazione dell’oscillatore smorzato e forzato non è omogenea. La soluzione

generale è somma di una parte transitoria, che si smorza in un tempo che

dipende dal coefficiente e di una parte di oscillazione permanente di

pulsazione uguale a quella della forza esterna ω =ωF :

Senza entrare nella soluzione dell'equazione del moto possiamo dire che se

è la pulsazione di risonanza

per ω = ω0 siamo nella condizione di risonanza, l’ampiezza sarà massima e

anche il trasferimento di energia.

per ω>> ω0, le vibrazioni sono attenuate di un fattore,

e quindi per un pendolo a N stadi si ha un fattore di attenuazione pari a

Poiché con Virgo si ha l'obiettivo di ottenere una sensibilità h ∼ 10−21 1/√Hz

abbiamo calcolato che se la frequenza fosse di 10 Hz il fattore di

attenuazione dovrà coprire 10 ordini di grandezza cioè 1010 e per un pendolo

di lunghezza l =1 m sappiamo che

e quindi la frequenza di risonanza è di 0,5 Hz.

Questo significa che per ottenere il fattore di attenuazione voluto deve essere

N=5.

In Virgo e Ligo sono utilizzati dei superattenuatori a 5 filtri, dove ogni filtro è

un cilindro d'acciaio sospeso al precedente per mezzo di un unico cavo di

1.14 m con frequenza di pendolo di 440 mHz.

Come esempio semplice di pendolo a più stadi analizziamo il caso del

pendolo doppio

Il superattenuatore è a sua volta sospeso ad una struttura verticale detta

pendolo invertito. Questa struttura è stata concepita per ridurre i movimenti a

bassissima frequenza non controllati dagli stadi successivi e che, pur non

introducendo direttamente rumori sulle misure, impedirebbero di mantenere

l’interferometro nel punto di lavoro poiché potrebbero compromettere la

condizione di risonanza nelle due cavità Fabry-Pérot e nella cavità di ricircolo

di potenza.

Essa è composta da tre barre lunghe 6 m vincolate tramite giunti meccanici

flessibili alla base della torre che contiene il sistema di sospensioni. Ed infine

il sistema di payload che è di seguito in figura.

Esso consente di correggere le rotazioni dello specchio sui tre gradi di libertà

rotazionali possibili e di mantenere lo specchio perfettamente allineato con il

laser e protetto da eventuali rotture dei fili di sospensione.

Attuatori bobina-magnete completano la procedura di allineamento degli

specchi. Infatti per ridurre il moto angolare residuo degli specchi al livello di ∼

1 nrad si ricorre perciò alla procedura di allineamento automatico (automatic

alignment). Il sistema di allineamento automatico controlla gli angoli θx e θy. Per

esigenze di tempo trascuriamo questi aspetti molto tecnici.

Tuttavia mi sento di aggiungere una constatazione personale e cioè : tutta la

struttura si ispira ai progetti di edifici antisismici. Infatti la mancanza di una

frequenza di risonanza nel pendolo doppio si presta a immaginare l'intero

edificio come un pendolo invertito a cui si aggiunge una massa secondaria

sospesa al suo interno che quindi trasforma la struttura proprio in un

pendolo doppio. Ed è proprio questa la strategia che si usa nel nostro caso.

Rumore termico

1. rappresenta uno dei limiti alla sensibilità più importanti

2. in Virgo e Ligo esso dipende dalla somma di tre contributi

E' la forma di rumore dominante nella gamma di frequenze 5 - 300 Hz

come è evidente nell'immagine della sensibilità teorica.

Si evince che

il rumore sismico è dominante fino a 3 Hz, dove sono confinate le

risonanze dei superattenuatori.

Al di sopra dei 3 Hz fino a circa 30 Hz il rumore dominante è quello

termico di pendolo (∝ ^ − 5/2),

nell’intervallo (30 ÷ 300) Hz il contributo principale viene dal rumore

termico degli specchi (∝ ^− 1/ 2)

infine a frequenze maggiori di 300 Hz domina il rumore shot.

I picchi presenti oltre i 100 Hz sono dovuti al rumore termico alle

risonanze dei modi di violino dei fili di sospensione che vengono filtrati

ed esclusi dalla banda di rivelazione.

In un sistema all’equilibrio termodinamico con temperatura T, il teorema di

equipartizione dell’energia assegna a ciascun grado di libertà un’energia

media pari a kbT/2 con kb costante di Boltzmann.

A causa delle interazioni tra gli elementi microscopici tale energia è soggetta

a fluttuazioni temporali, l’effetto di queste fluttuazioni si traduce in oscillazioni

casuali delle osservabili macroscopiche del sistema; il meccanismo appena

descritto è noto come rumore termico. termodinamico.

Il Moto browniano

Un tipo di rumore termico è il moto browniano di una particella immersa in un

fluido in equilibrio termodinamico. R Brown (1828) quasi due secoli fa

osservò al microscopio spore di polline sospese nell'acqua e notò che queste

si muovevano in modo rapido e discontinuo. Le sue prime ipotesi che i grani

di polline fossero dotati di vita propria furono smentite dalle verifiche

successive che il botanico approntò usando stavolta sospensioni di materiale

inorganico come granelli di vetro. Il risultato fu che anche in questo secondo

caso era osservato lo stesso tipo di comportamento delle spore di polline.

Brown ipotizzò allora che vi fosse una relazione tra il comportamento dei

grani e la termodinamica. Infatti il moto caotico aumentava al crescere della

temperatura e al diminuire della dimensione dei granelli confermando che il

fenomeno aveva molte caratteristiche che ricollegavano alla teoria cinetica

del calore.

Fu Einstein che formalizzò tale relazione attribuendo il moto dei grani di

polline alle continue collisioni tra essi e le molecole costituenti il fluido per

effetto dell'agitazione termica.

La spiegazione del fenomeno è contenuta nell'articolo pubblicato nel 1905.

“Il moto delle particelle sospese in fluidi a riposo secondo la

teoria cinetica-molecolare del calore”

Si consideri una particella di massa m, immersa in un fluido all’equilibrio

termodinamico a temperatura T. La particella in esame è soggetta a due

forze, la prima quella di attrito viscoso con il fluido, F = − β v , avendo definito

β il coefficiente di attrito viscoso e v la velocità della particella, e la seconda,

quella aleatoria f (t), risultante degli urti della particella con le molecole che

costituiscono il fluido. Si assume che

1. La forza appena definita si assume isotropa ( media < f (t)> = 0) cioè non vi sono direzioni privilegiate

2. δ-correlata o scorrelata, cioè tale da assumere ad ogni istante un

valore indipendente da quello assunto precedentemente

(<f (t) f (t ' )>= F0 2 δ(t − t' ))

3. Gaussiana.

L’ipotesi di gaussianità è ragionevole poiché si suppone che la

particella abbia massa molto più grande delle molecole , questo implica

che la forza f (t) sia il risultato di un numero molto elevato di eventi

indipendenti.

Dal teorema del limite centrale si può perciò assumere una distribuzione

gaussiana avente varianza < f (t)2 > # 0. Il moto della particella è descritto

dall’equazione di Langevin :

e integrando una prima volta la soluzione è

dove m è detto tempo di rilassamento.

Integrando ancora una volta si ottiene lo spostamento e se consideriamo

tempi molto lunghi rispetto a la velocità quadratica media è

e lo spostamento quadratico medio dalla posizione iniziale dopo il tempo t è

Quindi Albert Einstein scoprì che la fluttuazione casuale (cioè la forza

stocastica necessaria a spostare la particella) di una particella all'equilibrio

termodinamico aveva la stessa origine della forza di attrito dissipativa.

In altri termini, egli dimostrò che una particella soggetta al un moto browniano

subisce, in un tempo infinitesimo δ t, uno spostamento δr distribuito come

una Gaussiana con media nulla e varianza 2Dt.

Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio

termico con l'ambiente.

In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà o, equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia media kbT.

L’intensità del rruummoorree tteerrmmiiccoo di un sistema macroscopico è strettamente legata ai pprroocceessssii ddiissssiippaattiivvii presenti in esso.

Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico.

Esso si manifesta con le fflluuttttuuaazziioonnii ccaassuuaallii ddeellll''oosssseerrvvaabbiillee

mmaaccrroossccooppiiccoo che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la sensibilità.

il Teorema di Fluttuazione Dissipazione per un qualsiasi sistema fisico,

fornisce un’analisi del legame tra un generico meccanismo dissipativo e le

sue fluttuazioni termiche.

La densità spettrale di potenza del rumore termico può essere ricavata

attraverso questo importante risultato della meccanica statistica. Infatti sia

Sia X(t) la coordinata di osservazione; Nel dominio delle frequenze possiamo

sempre scrivere la risposta di un sistema lineare ad una forza esterna F()

come:

X =

dove è la funzione di trasferimento.

Allora lo spettro di potenza del rumore termico è pari a

e ad es. se considerassimo i modi normali di vibrazione relativi al modo di

pendolo avremmo che la densità spettrale equivalente delle oscillazioni

orizzontali, cioè l’ampiezza del segnale gravitazionale che produrrebbe uno

spostamento pari a quello indotto dal modo di pendolo è

mentre per quelle verticali è

dove è l’angolo di accoppiamento tra i gradi di libertà orizzontale e verticale

dovuto alla curvatura della superficie terrestre. Infatti a causa di quest’ultima,

Commento [carmelo m1]: la

funzione di trasferimento è una

funzione che caratterizza il

comportamento di un sistema dinamico

tempo-invariante nel dominio della

frequenza, mettendo in relazione

l'ingresso e l'uscita

le verticali locali delle sospensioni degli specchi di ingresso e di quelli

terminali, distanti tra loro 3 km, non sono ortogonali all’asse ottico del laser,

ma se ne discostano di un angolo pari a θ0 = l0/(2RT ) = 2.35×10^−4 rad .

Questo fa sì che un movimento verticale degli specchi sia trasmesso sul

piano orizzontale.

varie armoniche sono descritte dalla relazione

dove l, r, ρ e Λ sono rispettivamente la lunghezza, il raggio, la densità e la

tensione del filo.

Rumore termico degli specchi

Nell’interferometro Virgo gli specchi sono sospesi con fili dello stesso

materiale di cui essi stessi sono costituiti. Questo è il motivo per cui le

sospensioni di Virgo+ sono dette monolitiche.

In Virgo+ i fili sono realizzati in silice fusa (SiO2), e gli specchi in Suprasil

312, un tipo di silice fusa caratterizzato da un maggior grado di purezza; che

ha il vantaggio di avere basse perdite ottiche, proprietà richiesta nel caso

delle ottiche di Virgo (1 ppm). Le principali caratteristiche della silice fusa

sono i bassi coefficienti di dilatazione termica, di conducibilità termica e

l’elevato calore specifico.

dove i Φn sono gli angoli di perdite dissipative nel modo n, ωn è la pulsazione

di risonanza del modo n, Il parametro mn è la massa efficace del modo che si

sta considerando, cioè la massa del sistema che si muove nel modo

risonante n.

Le immagini seguenti ricordano i modi di vibrazione d membrane circolari

tese e vibranti descritti da Chladni

la cui frequenza di risonanza è descritta dalla legge dello stesso Clhadni

f = C (n+ 2m)p

e dove m è il numero di nodi diametrali e n è quello dei nodi circolari, C e p

parametri che dipendono dalle caratteristiche del materiale di cui è fatta la

lastra o la membrana vibrante. Valori tipici di p variano tra 1,4 e 2,4.

Per i modi a farfalla si distinguono per ogni ordine quelli di tipo “+” e “×”; sono

presenti entrambi poiché lo specchio non è simmetrico a causa delle superfici

laterali realizzate per l’ancoraggio delle sospensioni.

I modi interni degli specchi :

Immagine del modo a tamburo (0, 1).

I colori codificano lo spostamento della superficie dalla posizione di equilibrio:

la parte rossa è quella soggetta alla massima vibrazione, quella indicata con il

colore verde invece indica la minima vibrazione cioè la cosiddetta

circonferenza nodale.

Immagine del modo a farfalla (2, 0) [+]. I colori codificano lo spostamento

della superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde che forma una ’+’

indica i due diametri nodali.

Immagine del modo a farfalla (2, 0) [×]. I colori codificano lo spostamento

della

superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde che forma una ’×’ indica

i due diametri nodali.

Immagine del modo a farfalla (3, 0) [|]. I colori codificano lo spostamento della

superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde indica i tre diametri

nodali.

Immagine del modo a farfalla (3, 0) [\]. I colori codificano lo spostamento della

superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde indica i tre diametri

nodali.

Altre immagini degli stessi modi visti lateralmente

Ridurre il rumore termico

Ridurre le dissipazioni (Virgo Advanced e Ligo Advanced)

intervenire sui Pendoli

sospensioni monolitiche (silice fusa)

termoelastico ridotto

dissipazioni superficiali ridotte

intervenire sugli Specchi

coating meno dissipativi

substrati meno dissipativi

Ridurre la temperatura degli specchi(Virgo criogenico)

Criogenia

video onda gravitazionale

Grazie, sono un po' stanchino.

Fine