La teoria relativistica dell’elettrone

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29.11.2004 – 4.12.200429.11.2004 – 4.12.2004

L’equazione di Schrödinger:una strada per capirne la struttura

PisaPisa

1.12.2003 1.12.2003 –– 6.12.2003 6.12.2003

H

ti

),,,( tzyxVV

2

2

2

2

2

222

2

22 zyxmm

nella quale H è l’hamiltoniano, somma degli operatori per l’energia cinetica, T, e potenziale, V;

La forma più generale dell’equazione è

dove, mentre V è una funzionedelle coordinate spazio-temporali,

T è l’operatore differenziale

Alla prima pagina di testo effettivo di un vecchio ma vigoroso trattato di teoria quantistica dei campi (S.S. Schweber, H.A. Bethe, F. de Hoffman, Mesons and Fields, Row, Peterson & Co., Evanston/New York, 1956), si legge che l’equazione per una particella libera,

22

2

mti

m

pE

2

2

si può ottenere dalla

rimpiazzandot

iE

ip

Osservato che la cosa è banalmente vera, ci si domanda che cosa c’è sotto. La questione è opportunamente discussa per il caso mono-dimensionale, cioè per l’equazione

2

22

2 xmti

Si fa propria l’ipotesi di de Broglie che “alle particelle siano associate delle onde”, e che le proprietà ondulatorie siano legate a quelle corpuscolari dalle relazioni

hET kh

p

Si mostra allora che

- deve figurarvi una derivazione del primo ordine rispetto al tempo - e del secondo ordine rispetto alla coordinata spaziale - che a coefficiente della prima deve figurare un fattore i- che devono figurarvi m e h nella forma prevista

- In conclusione, che l’equazione deve proprio avere quella forma, o, che è dire la stessa cosa, che essa si può proprio ottenere rimpiazzando E e p con gli operatori differenziali di cui sopra.

L’equazione d’onda sarà un’equazione alle derivate parziali,alla quale chiediamo di avere soluzioni monocromatiche, peresempio della forma:

)cos(),( tkxtxu

L’equazione di Klein-Gordon

L’equazione di Schrödinger, in quanto basata sulla

m

pE

2

2

non è relativistica. D’altra parte ora sappiamo che la ricetta di Schweber, Bethe, de Hoffman,

hET kh

p

è legittima. Utilizziamola partendo dalla relazione relativistica

2222

cmpc

E

)()()( 22222

2

2

2

cmtc

Otteniamo subito l’equazione, detta di Klein-Gordon,

1

2

2

2

2

22

mc

tc

o, in notazione più compatta,

L’equazione presenta alcune difficoltà interpretative.

2),,,( tzyx

Nel caso dell’equazione di Schrödinger,

rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella. La probabilità di trovarla nel volume dV all’istante t è data dalla

dVtzyxdV2

,,,

mi

j2

La probabilità deve conservarsi. Se definiamo la corrente di probabilità come

segue dall’equazione di S. che vale l’equazione di continuità

0 v/ jdit

Nel caso dell’equazione di Klein-Gordon, se definiamo analogamente

2mi

j

segue dall’equazione stessa che vale l’equazione di continuità

0 v/ jdit

ma con una densità di probabilità data dalla

ttmc

i22

Ma allora la ρ può assunmere anche valori negativi, poiché sia lafunzione d’onda sia la sua derivata prima possono essere prescrittearbitrariamente a un dato istante t, essendo l’equazione del secondoordine.

Perché un’equazione del prim’ordine?L’equazione di Dirac

Nel 1928 Dirac introdusse un’equazione d’onda relativisrtica che evitava le probabilità negative che emergevano inrelazione all’equazione di Klein-Gordon.

Allo scopo, bisogna evitare che compaiano derivate prime nell’espressione per ρ. Ma allora non devono comparire derivate temporali di ordine superiore al primo nell’equazionestessa.

Ora, secondo i dettami relativistici, ci deve essere perfetta simmetria fra x,y,z, e ct. L’equazione deve quindi essere del prim’ordine anche nelle derivate rispetto alle coordinatespaziali.

Se non dovesse contenere altro che termini derivati, l’equazionedovrebbe quindi avere la forma

3

10

1k

kk xtc

dove le α sono coefficienti numerici e 1/c è introdotto per ragioni dimensionali (che poi la velocità sia proprio c è dettatodalla considerazione che la teoria che si vuol costruire èrelativistica).

Ma niente vieta che l’equazione possa contenere anche un termine non derivato. Ora, i termini introdotti hanno coefficienti delle dimensioni dell’inverso di una lunghezza. Tali dovranno essere anche quelle del coefficiernte della ψ nel termine non derivato.

La costante con le dimensioni dell’inverso di una lunghezza si potrà costruire, al più, con le costanti universali caratteristiche di una teoria quanto-relativistica, e cioè c ed h; e con quello che appare come un dato specifico ed ineliminabile del problema: la massa m dell’elettrone. Si verifica che le dimensioni corrette sono date dal rapporto mc/h.

Si approda dunque alla formula:

3

10

1k

kk

imc

xtc

nella quale si è considerata la possibilità di un coefficiente numerico β, sullo stesso piano dei coefficienti α, si è estratto per convenienza un fattore i, e si è usata la costante di Planck razionalizzata invece di quella ordinaria.

Il passo successivo è l’intuizione da parte di Dirac che la lafunzione d’onda possa (debba) avere più componenti.

Nella

3

10

1k

kk

imc

xtc

La ψ deve allora essere pensata come una matrice colonna. Le α e la ß saranno allora matrici quadrate. Se, per fare un esempio, la ψavesse due componenti, ß ψ si costruirebbe effettuando il prodotto

2

1

2221

1211

Interpretazione probabilisticaVogliamo ora introdurre la densità di probabilità e la densità di corrente associate al’equazione. Poiché vogliamo restare il piùvicino possibile alla forma consueta per la prima, poniamo

N

ii

N

ii

1

2

11

*

dove i distingue le componenti della funzione d’onda, N ne indicail numero; l’asterisco indica la complessa coniugazione e la croce la coniugazione hermitiana. Nell’ultima espressione ψ denota lamatrice colonna delle componenti; la sua coniugata hermitiana è lamatrice riga delle complesse coniugate delle componenti.

La densità di probabilità è così sempre definita positiva.

La forma generale di questa equazione si può ottenere moltiplicandol’equazione a sinistra per la coniugata hermitiana della funzione d’onda , la coniugata hermitiana dell’equazione a destra per la funzione d’onda stessa e sommando membro a membro. Se si vuole avere un’equazione della forma

01

jttc

si deve richiedere

Se d’altra parte si vuole ottenere un termine in forma di divergenza diun vettore si deve anche avere

kk ossia tutte le matricidevono esserehermitiane

Con questa scelta la forma della densità di corrente è univocamente individuata come:

kk cj

Sarà forse opportuno sottolineare che, per ogni valore di k, ciòche figura a secondo membro è il prodotto fra la matrice rigadelle complesse coniugate delle componenti e la matrice colonna che risulta dalla moltiplicazione della matrice α per quelvalore di k per la matrice colonna della funzione d’onda, dunque un numero, il valore della componente k del vettore densità dicorrente.

Formulazione hamiltoniana

L’equazione

3

10

1k

kk

imc

xtc

può essere posta in forma hamiltoniana. Moltiplicando membro a membro per icħ, essa può essere infatti riscritta come

3

1

2 0 k

kk mcxi

ct

i

o ancora come

H

ti

2mci

cH

con

La necessità di rispettare la relazione relativistica fra energia e impulso

Ci si domanderà a questo punto dove sia finito il requisito cheun’equazione d’onda relativistica deve rispecchiare la relazione

2222

cmpc

E

La risposta è che deve ancora – e può – essere imposto: semplicemente richiedendo che la funzione d’onda ψ soddisfi all’equazione di K.-G. A questo scopo, si moltiplichi l’equazione

3

10

1k

kk

imc

xtc

kk

k imc

xtc

1

per

Si ottiene così un’equazione del secondo ordine che deve esseresoddisfatta dalla funzione d’onda. Si verifica che essa si riduce a quella di Klein-Gordon se le matrici α e β soddisfano alle condizioni:

1

02

1

22

k

kk

klkllk

dove a secondo membro si sottindente una matrice identità.

In conclusione, le matrici devono anticommutare fra loro ed averequadrato unità.

Aspetti formali

Sulla base delle proprietà stabilite per le matrici α e β si possono raggiungere le seguenti conclusioni:

- le matrici hanno traccia nulla-devono essere di dimensionalità pari

Le matrici

0

0

k

k

k

I 0

0 I

0 1

1 0x

0

0

i

iy

1 0

0 1z

soddisfano a tutte le condizioni.

dove

3

10

1k

kk

imc

xtc

Si può rendere più simmetrico il ruolo delle derivate temporale e spaziali nella

moltiplicandola a sinistra membro a membro per β; si ottiene la

3

10

1k

kk

imc

xtc

che assume una forma più simmetrica se si pone:

)3,2,1(

0

kkk

Si noti che mentre la0 resta hermitiana, le altre matrici γ

sono anti-hermitiane:

1)( )( 2 kkk

Le γ soddisfano alle regole di commutazione:

I 2

In termini delle matrici γ l’equazione si scrive ora:

3

00

mc

xi

O ancora, moltiplicando membro a membro per ħ, sottintendendo(convenzione di Einstein) la sommatoria sull’indice μ ripetuto) e scrivendo

x

0)( mci

o anche, ponendo

pi

0)()( mcpmcp

Ritorniamo alla

)3,2,1(

0

kkk

Moltiplicando la seconda a sinistra per β, e ricordando che β è a quadrato unità, otteniamo

kk

kk cj La

si riscrive

kkk ccj

avendo introdotto l’“aggiunta” della funzione d’onda, definita dalla

0

000

D’altra parte, ricordando che è a quadrato unità anche 0

possiamo scrivere

e quindi scrivere globalmente

j

L’invarianza di Lorentz

L’equazione di Dirac è stata introdotta in conformità al dettame relativistico per il quale ci deve essere perfetta simmetria fra x,y,z, e ct. Da qui la scelta che l’equazione fosse del prim’ordine nelle derivate rispetto a tutte le coordinate. Questa condizione ènecessaria ma non appare immediatamente sufficiente a garantirne l’invarianza di Lorentz. Di più, si tratta di stabilirequali siano le regole di trasformazione per quantità come laquadri-corrente

j

e per la stessa funzione d’onda e la sua aggiunta.

Ci limitiamo a menzionare le cose più importanti:

-le matrici dovranno restare inalterate

-la funzione d’onda trasformata, ψ’, dovrà ottenersi dalla ψin termini di una trasformazione lineare: ψ’=S ψ

-allora la matrice di trasformazione S deve soddisfare alla condizione

SS 1

dove la Λ è la matrice della trasformazione di Lorentz

xx

Quanto all’aggiunta della funzione d’onda, sotto trasforrmazioniortocrone si trasforma secondo la

1' S

Si verifica allora che le componenti della quadri-corrente

j

si trasformano come quelle di un quadri-vettore (uno pseudo-vettore sotto inversione del segno del tempo).

Soluzioni piane

Come l’equazione di Klein-Gordon, anche quella di Diracammette soluzioni in termini di onde piane della forma:

/)()( xipepux o, nel linguaggio delle componenti

/)()( xipjj epux

Esse sono autofunzioni degli operatori associati all’energia e all’impulso.

Sostituendole, insieme con la forma esplicita delle matrici α e β,nell’equazione di Dirac si ottiene un sistema lineare omogeneodi quattro equazioni con incognite le componenti della funzioned’onda u, che ha soluzione solo se il determinante è uguale a zero.Ora, il determinante vale

242222 cmcpE

e il suo annullamento esprime correttamente la relazione tra E e p.

Si ottengono soluzioni esplicite per ogni impulso p scegliendo un segno per l’energia. Scegliamo il segno positivo:

2/14222 )( cmcpE

Sia )( pu

una tale soluzione . Ricordando l’hamiltoniana

2mci

cH

o2mcpcH

)( pu

ne sarà un’autosoluzione:

)()()()( pupEpumcpc

Scriviamo

2

1)(u

upu dove le due componenti hanno a

loro volta due componenti.

Si verifica che obbediscono alle equazioni seguenti:21 e uu

222

1

112

2

)(

)(

upEumcupc

upEumcupc

Dalla seconda otteniamo

122 )(u

mcpE

pcu

Si verifica che la prima equazione è allora soddisfatta identicamente.Ci sono dunque due soluzioni linearmente indipendenti per ogni impulso p. Possiamo sceglierle ponendo altermativamente

1

0 o

0

111 uu

Una forma esplicita per le due soluzioni è la

0

1

)(

0

1

)(

2

)1(

mcpE

pc

pu

1

0

)(

1

0

)(

2

)2(

mcpE

pc

pu

(è omessa la normalizzazione, determinata dalla condizione u*u=1)

Nel limite non relativistico la seconda coppia di componenti è piccola dell’ordine v/c rispetto alla prima.

Lo spin

Un operatore arbitrario F è una costante del moto se commutacon l’hamiltoniana, cioè se:

2mci

cH

0],[ FH

Il momento angolare orbitale

ri

prL

non commuta con l’hamiltoniana

Con l’hamiltoniana di Dirac commuta invece la somma

2

1LJ

il cui secondo termine è l’operatore di spin nel caso di uno “spin ½”.

L’equazione di Dirac non è la più generale ’equazione d’onda relativistica: essa descrive (relativisticamente) particelle di spin spin ½.

Vogliamo vedere le cose più in dettaglio, soprattutto in relazione al fatto che, per la descrizione di una particella di spin 1/2, sembrabastare una funzione d’onda a due componenti.

Vediamo perché. La determinazione della componente dello spin di una particella di spin ½ lungo una qualsiasi direzione dà comerisultato o +1/2 o –1/2. Denotati come

2

1,

2

1

2

1,

2

1 e

gli stati corrispondenti, lo stato generico di una particella di spin½ è sempre espresso nella forma

2

1,

2

1

2

1,

2

111 cc

dove le c sono numeri complessi il cui modulo quadro esprime laprobabilità di trovare la particella con l’una o l’altra orierntazione dello spin; essi saranno in generale funzioni delle coordinate, e siidentificheranno con le due componenti della funzione d’onda.

Interazioni con un campo elettromagnetico

Il problema che ci siamo posti è meglio affrontato considerandola particella in interazione con un campo elettromagnetico, cosa che, evidentemente, è di per sé interessante.

Come introdurre una tale interazione? La prescrizione è di sostituire nell’hamiltoniana della particella libera

2mcpcH

l’impulso secondo la Ac

epp

dove le A sono le componenti del quadri-potenziale e si è attribuitala carica e alla particella.

La sostituzione è quanto si deve fare per introdurre l’interazione elettromagnetica nelle equazioni classiche del moto di unaparticella carica. Il principio di Hamilton porta infatti allora a equazioni di Eulero-Lagrange che descrivono una particella di carica e soggetta a una forza di Lorentz (K. Moriyasu, An Elementary Primer for Gauge Theory, World Scientific, 1983,p. 15 segg.).

Quantisticamente, all’hamiltoniana libera si aggiunge ora un termine d’interazione

eAeH

'

Le matrici cα appaiono qui il corrispettivo delle componenti dellavelocità nell’espressione classica del termine d’interazione

eAc

eH

v'

La corrispondenza

vc

è d’altra parte conforme alla scrittura della probabilità di corrente come

kk cj

Con 2mcpcH

che diventa ora

emcAc

epcH

2

... l’equazione di Dirac informa hamiltoniana diventa ora:

])([ 2 emcA

c

epc

ti

Utilizzando la forma esplicita introdotta per le matrici α e β, eponendo

~

~Acep

)/(

si ottiene

~

~ ~

~

~

~

~

~2mcec

tì

L’evoluzione temporale delle soluzioni piane è retta dal fattore

tTmcitiE ee ]/)([)/( 2 Nel limite non relativistico domina il termine di massa; si potràscrivere allora

timce )/( 2

~

~

dove ora φ e χ sono funzioni del tempo lentamente variabili.Effettuando la derivazione nel termine

~

~

ti si approda all’equazione:

0

2 2mcect

i

in effetti un sistema di due equazioni differenziali accoppiate.Se nella seconda

22mcect

i

trascuriamo la debole dipendenza temporale e consideriamo una debole energia d’interazione eΦφ, otteniamo

mc2

Sostituendo nella prima equazione otteniamo la

emt

i2

Sfruttando l’identità

)( baibaba

ricordando che i

p

, che il prodotto π x π non si

annulla perché va considerata l’azione di A

e di A

su φ e che BArotA

l’equazione prende la forma:

]

22

))/(([

2

eBmc

e

m

Acep

ti

nella quale si riconosce l’equazione di Pauli per l’elettrone.

L’equazione di Dirac costituisce dunque un’estensione relativistica della trattazione standard delle particelle di spin ½. In quest’ultima gli stati sono descritti in termini di “spinori” - funzioni d’onda a due componenti - che bastano a render conto dei due gradi di libertà dispin di tali particelle. La trattazione relativistica deve invece far usodi spinori a quattro componenti.

Per il caso di un debole campo magnetico uniforme l’equazione puòessere posta nella forma

])2(

22[

2

BSLmc

e

m

p

ti

dove L è il momento orbitale e

2

1S lo spin.

A un momento angolare L=ħ corrisponde in generale un valore del momento magnetico di

mc

e

2

(si dice allora che il rapporto giromagnetico g vale 1). Il valoredi g per il momento magnetico intrinseco – quello legato allo spin – per l’elettrone deve valere 2 per rendere conto dell’effetto Zeeman. Il risultato è correttamente ottenuto dalla teoria di Dirac, come si controlla sull’ultima formula, nella quale a L è sommato 2S.

Il problema delle energie negative

Ritorniamo alle soluzioni piane dell’equazione di Dirac. Sostituendouna tale soluzione della forma

/)()( xipepux nell’equazione di Dirac si ottiene, come si ricordava, un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni con incognite le componenti della funzione d’onda u. Come pure si ricordava, si ottengono soluzioni esplicite per ogni impulso p scegliendo un segno per l’energia nella

2/14222 )( cmcpE

Abbiamo discusso le due soluzioni linearmente indipendenti chesi ottengono scegliendo il segno +. Ma accanto a queste ci sonodue analoghe soluzioni scegliendo il segno – .

Soluzioni ad energia negativa presentano ovvie difficoltà interpre-tative. Potremmo non dar loro troppo peso se non ci fosse una probabilità di transizione finita a stati di energia negativa; in talcaso, una particella ad energia positiva rimarrebbe sempre inun tale stato. Ma la teoria quantistica prevede la possibilià di unatale transizione in presenza di un campo esterno.

Nel 1930 Dirac propose una soluzione in termini della sua “holetheory”, secondo la quale gli stati ad energia negativa sarebbero di norma tutti occupati, con uno ed un solo elettrone in ogni stato secondo il principio d’esclusione di Pauli. Lo stesso principio rendeimpossibile la transizione a stati di energia negativa, a meno che ...

A meno che uno di essi non sia stato in qualche modo vuotato.Un tale stato ad energia negativa “apparirebbe come qualcosa avente energia positiva, poiché, per farlo scomparire, vale a dire per riempirlo, dovremmo aggiungere ad esso un elettrone ad energia negativa”. Per ragione analoga, la “hole” dovrebbe averecarica opposta a quella dell’elettrone.

Va allora sottolineato che per interpretare la teoria in presenza diinterazioni si è forzati a una formulazione a molte particelle nellaquale il numero delle particelle non è conservato, cioè a unateoria quantistica di campo.

Quando Dirac formulò la sua teoria le particelle cariche per cosìdire a disposizione erano l’elettrone e il protone, e venne naturale(anche allo stesso Dirac) pensare che la particella di carica piùche la teoria associava all’elettrone non fosse altro che il protone.

Oppenheimer (1930) e Weyl (1931) dimostrarono però che la particella doveva avere la stessa massa dell’elettrone. Poiché nulla di simile esisteva, nel 1931 Pauli considerò la cosa comeuna manchevolezza della teoria di Dirac.

Ma già nel 1932 Anderson scoprì il posit(r)one.

Acquisivano allora piena legittimità i processi di creazione di coppie eletrone-positrone e di annichilazione di una coppia: