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( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp ( )
2f t F i t d
La transformadade
Fourier
De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T/2
0
T/2 T . . .
p
-p/2 p/2
22
22
22
0
1
0
)(Tp
pp
pT
t
t
t
tf
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra = n0.
)(
)(
20
20p
p
n n
nsen
T
pc
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c n
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p = 1, T = 20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6p = 1, T = 2
=n0
c n
...el espectro se "densifica".
En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T =
t
f(t)
Si hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n0, sino como una función continua de la frecuencia .
Así, la serie:
al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:
n
tinnectf 0)(
Recordemos:
La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2
O bien:
n
tinT
T
tinT edtetftf 00
2/
2/
1 )()(
0
2/
2/
1 2y)( 0
TdtetfcT
T
tinTn
n
tinT
T
tin edtetftf 000
2/
2/21 )()(
dedtetftf titi)()( 21
T
T
/2
/2
0
0
Cuando T , n0 y 0 d y el sumatorio se convierte en:
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1
( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1p
p
tii e
)( 2/2/1 pipi
i ee
)2/(sinc2/
)2/()( pp
p
psenpF
ieepsen
pipi
2)2/(
2/2/
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
)2/(sinc)( ppF
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difración de una ranura.
La función sinc(x)
Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, (t), es sinc2()
0
2sinc ( / 2)1
t0
( )t1
1/2-1/2
TF
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):
Grafica U() = F[u(t)].¿Qué rango de frecuencias contiene U()?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0
tt
t
t
(t)
,
1 if
0 if m n
m n
m n
La función impulso o delta de Dirac
Podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
f3(t)
(t)
Propiedades de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1 es:
t
)(21ˆ
dtef ti
21
Recordemos
f t
0 , t T
2
1 , T
2t
T
2
0 , T2 t
T
2
T
2
T
2T
2T
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tf
2
, 0
22 , 1
2
, 0
tT
Tt
T
Tt
tf
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
Transformada de Fourier de la función coseno
0{cos( )}tFcos(0t)
t
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
dteedteee tititititi
)()( 00
00
2
1
2
)()(2
2)(ˆ
00 f
)()()(ˆ00 f
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
)()( 00
2
1
)()()(ˆ00 if
sen(0t)
t
t)}sen({ 0F
La transformada de Fourier de la onda plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
Sum
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
TF
TF
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
0
0,0
0 ,
a
t
tetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(
1
ai
a
aia
ia
ia
iaia
iaedte
tiatia
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es ella misma.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
b) Encontrar la transformada de Fourier de la función: siendo a>0 constante.
2exp)(
2axxf
a
k
tuuax
ikxax
a
k
ea
kfFa
t
dte
adue
adue
adxe
fFBdxeeBekfF
kfFdk
diakfikF
kfFdk
dikxxfF
kfikFkfF
xaxfax
axxfax
xf
2
00
2
22
22
2
22
2
22
2))((
2
222
2
)0)(())((
))(())(())(()()(
))(())((
)(2
exp)(2
exp)(
u2=t
La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(2
1)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
2
1)(
)()(2
1
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
b) A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función
33 3
5
3
2
iig
3orden de polo 3
3)(
3
2
:residuos) de (teoría de Cálculo
3
5
3
2
3
5
3
2
3
31
1
33
331
1
21
iziz
ezf
dei
I
I
dei
dei
deii
gF
deggF
izx
xi
I
xi
I
xi
xi
xi
0;0
0;2
52)(10
2)(
3orden de polo 33
)(
3
5
:residuos) de (teoría de Cálculo
0;0
0;2)(4
2)(
2
32
3iz2
32
3iz
3
32
2
1
32
-3iz1
32
-3iz
Res
Res
Res
Res
xI
xexzfiI
eixzf
iziz
ezf
dei
I
I
xI
xexzfiI
eixzf
x
x
izx
xi
x
x
0;2
52
0;2
:esFourier de inversa ada transformla Luego
32
32
1
xex
xexgF
x
x
6136
1)(
2
ig
degxf xi)()(
b) A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier
de la función:
Respuesta.
Integrando en el plano complejo:
izizzzzz
zg2
3 ,
3
2 ,
))((6
1)( 21
21
• Si x > 0:
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
izxg(z)eG(z) Tomando
Haciendo lim R→∞
06136
1lim)(lim Como
2zz izzzg
-R R
C
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces:
xx
k eezzGixf 3
2
2
3
5
2)),((Res2)(
• Si x < 0:
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
-R R
Haciendo lim R→∞
06136
1lim
)(lim Como
2z
z
izz
zg
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces:
0)),((Res2)( kzzGixf
0 x ,0
0 x ,5
2)( :TOTAL
3
2
2
3xx
eexf
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a + y – en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg2
)(
La TF y su inversa son simétricas.
( ) exp( )
12 ( )exp( [ ] )
2
F t i t dt
F t i t dt
Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )
2F i d
2 ( )f
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado"
Que podemos escribir:
Fourier Transform Magnitude and PhaseComo en el caso de cualquier complejo, podemos descomponer f(t) y F() en su magnitud y fase. f(t) puede escribirse como:
f(t) = Mag{f(t)} exp[ -i Phase{f(t)}]
donde Mag{f(t)}2 es a menudo llamada intensidad, I(t) y Phase{f(t)} es llamada fase, (t).
Análogamente: F() = Mag{F()} exp[ -i Phase{F()}]
Mag{F()}2 se llama espectro, S() y Phase{F()} se llama el espectro de fase, ().
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir
potencia de espectro A
espectral fase
espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dxkxxfkF
dxkxxfkF
i
r
)sin()()(
)cos()()(
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)
F() + G()
)}({)}({
)}()({
tgbFtfaF
tbgtafF
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a2
1 , b
2 t
a
2
2 , t b2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) h(t)
donde g(t) 0 , t a
2
1 , t a2
; h(t)0 , t b
2
1 , t b2
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
ˆ f ( ) a
2
sen(a
2)
a
2
b
2
sen(b
2)
b
2
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a
1, a t b
0, b t b
1, b t a
0, t a
; h(t) 0 , t b
1 , t b
g( t)0 , t a
1 , t a
f t g(t) h(t)
F.T . ˆ g () 2a
2sen(a)
a
h(t) 0 , t b
1 , t b
g( t)0 , t a
1 , t a
F.T . ˆ h () 2b
2sen(b)
b
ˆ f () ˆ g () ˆ h () 2a
2sen(a)
a
2b
2sen(b)
b
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(
1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF
ˆ1
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a)g(t)
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ2
10
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee
titi'
')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd
ti
'
)'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g( t) f (t) 2
dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff eti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)cos()(2ˆ dtttff
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff eti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)()(2ˆ dttsentfif
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.
k
x )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt
b)1. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la función:
21
1)(
xxf
221)(
x
xxg
iz-izzfz
zfdzz
eI
dxx
ekF
ikz
ikx
21
22
2
y excepto C,z analítica es )(1
1)(con 3" tipo" integral
1
:complejo plano al integral la Pasamos1
)( integral lapiden Nos1.
k
kikz
iz
ikz
iz
kikz
iz
ikz
iz
ekF
eiz
ei
z
eikF
eiz
ei
z
eikF
lím
lím
)(:que modo De
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
2
1
2
2
Res
Res
C1
C2
21)(
12
1
2
:1
2y que Puesto
22
2222
22
k
k
eik
x
xFkG
eikx
xF
x
xF
x
x
dx
df fikF
dx
dfF
2.
ConvoluciónSe define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:
duutguftgf )()()(
dutgutf )()(
rect(x) * rect(x) = (x)
Ejemplo visual:
Convolución con la función delta
Convolucionar una función con una delta, simplemente centra la función sobre la delta.
( ) ) ( ) ( – )
( )
f t t a f t u u a du
f t a
Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf
f (g h)( f g) h
f (gh) f g f h
)()()(*)( wGwFtgtfF
El teorema de convolución oteorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
Ejemplo del teorema de convolución
2
{ ( )}
sinc ( / 2)
x
k
F{rect( )}
sinc( / 2)
x
k
F
rect( ) rect( ) ( )x x x
2sinc( / 2) sinc( / 2) sinc ( / 2)k k k
dudegdef
duutguftgf
utiui ')'(ˆ2
1)(ˆ
2
1
)()()(
)('
dfddueeg
uiti)(ˆ'
2
1 )'(ˆ
)'(
)'('
Demostremos el teorema de convolución.
)()( )(ˆ )(ˆ tgtfdegf ti
dfdeg
ti )(ˆ ')'( )'(ˆ '
)()()(*)( wGwFtgtfF
Aplicando la TF a ambos lados:
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
2
2
0 )cos(ˆ
T
T
ti dtetf
2
2
2
00
T
T
tititi
dteee
2
20
)(
0
)( 00
2
1)(ˆ
T
T
titi ieief
Podemos hacerlo aplicando la definición:
2
)()2(
2)(
)2(
2
1)(ˆ
00
00
Tsen
iiTsen
iif
2
2)(
2
2)(
2)(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tf
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
2 , 1
2 , 0
)(T
t
Tt
th
; g t cos(0t)
)()(2
)(ˆ 00 g
2
2)(ˆ
T
Tsen
Th
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
)()( tgthtf
TF
TF
Pero, también podemos usar:
ghhgf ˆˆˆ
dtetgthgh ti
)()(
2
1)(ˆˆghhgf ˆˆˆ
')'(ˆ)'(ˆ)(ˆˆ dghgh
')'()'(2
2'
2'
2
100
d
T
Tsen
T
2
2)(
2
2)(
22
1))(ˆˆ()(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tghf
Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de lassiguientes funciones:
f (t) 0 , t a b
2
1 , t a b2
g( t) 2 t a b
2
t
a b
2
El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f g (t) 1
2f (u)
g(t u)du
f g (t) f (u)
( t a b
2 u) (t
a b
2 u)
du
f g (t) f (t a b
2) f (t
a b
2)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funcionespulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es lasiguiente:
0
1
-a -b b a0
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2a
2sen(a)
a
2b
2sen(b)
b
Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier delproducto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivasde f(t) y g(t):
f g (t) F .T . ˆ f () ˆ g ()
f (t) 0 , t a b
2
1 , t a b2
F.T . ˆ f () a b
2
sen(a b
2)
a b
2
Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
ˆ g 1
2g(t)
ite dt
ˆ g 1
22 t
a b
2
t
a b
2
ite dt
ˆ g i ab
2e i ab
2e 2cos a b
2
ˆ f () ˆ g a b
2
sen(a b
2)
a b
2
2cos a b
2
ˆ f () ˆ g a b
2
sen(a b
2)
a b
2
2cos a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
2sen(
a b
2)cos
a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
sen(a) sen b
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
ˆ f ( ) T 2
2
sen2(T
2)
2T 2
4
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
f t 1
2ˆ f ( )
ite d
f t 1
2T 2
2
sen2 (T
2)
2T 2
4
ite d
1
2T
2
sen(T
2)
T
2
2
ite d
f (t) 1
2T
2
sen(T
2)
T
2
T
2
sen(T
2)
T
2
ite d
y, llamando:
ˆ g ( )T
2
sen(T
2)
T
2
nos queda que:
f (t) 1
2ˆ g ( )ˆ g ( )
ite d
1
22 g g (t)
Teorema de convolución
g(t)0 , t T
2
1 , t T2
Antitransformadade Fourier
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
g g (t) 1
2g(u)
g(t u)du
g(t)0 , t T
2
1 , t T2
donde
Si t T g g (t) 0
Si T t 0 g g (t)1
211
T
2
tT
2
du t T
2
Si 0 t T g g (t) 1
211
t T
2
T
2
du T t
2
Si t T g g (t) 0
Luego:
f (t) g g (t) T t
2 , t T
0 , t T
