La trasformata di Huang -Hilbert e sue ottimizzazioni · L’innovazione portata dal metodo Huang-Hilbert sta proprio nell’intro- ... ! e funzione del tempo ci o vuol dire che ad

Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Misure per l’Automazione e la Produzione Industriale

La trasformata di Huang-Hilbert e sue ottimizzazioni

Anno Accademico 2014/2015 Candidato: Pasqua Piscopo matr. N46/1109

“Nella vita non bisogna mai rassegnarsi, arrendersi alla mediocrita, bensı

uscire da quella zona grigia in cui tutto e abitudine e rassegnazione

passiva, bisogna coltivare il coraggio di ribellarsi.”

Rita Levi Montalcini

Indice

Introduzione iii

1 La trasformata di Huang-Hilbert 1

1.1 La frequenza istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Intrinsic Mode Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Empirical Mode Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Un’ ottimizzazione: l’ EEMD 12

2.1 Ensemble Empirical Mode Decomposition (EEMD) . . . . . 13

2.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Bibliografia 16

ii

Introduzione

Lo scopo di questo elaborato e di illustrare la trasformata di Huang-

Hilbert, strumento matematico che permette di analizzare segnali non

lineari e non stazionari.

Un segnale contiene informazioni riguardanti un determinato fenome-

no. Un segnale, quindi, descrive un fenomeno. Vi sono diverse tipologie di

segnale, la prima differenza da fare e tra segnali analogici e segnali digitali.

Si definisce analogico (Figura 1) un segnale che puo assumere infiniti

valori nel campo di variabilita del segnale stesso.

Un segnale analogico e un segnale tempo continuo ad ampiezze conti-

nue, ovvero e un segnale che puo assumere tutti i valori sull’asse del tempo

e che, in termini di ampiezza, puo assumere valori continui tra il suo valore

massimo ed il suo valore minimo.

Si definisce digitale (Figura 2), o numerico, un segnale che puo assu-

mere solo un numero limitato di valori; un caso particolare si ha quando i

valori possibili sono due: in tal caso si parla di segnale digitale binario.

Un segnale digitale e un segnale tempo discreto ad ampiezza discreta,

ovvero un segnale che puo assumere valori di tempo discreti e che i valori

assunti dall’ampiezza appartengono ad un insieme numerabile.

Un segnale si dice deterministico se e completamente descritto da un’e-

spressione matematica, da un grafico, da una tabella o da una regola.

iii

Introduzione

Figura 1: Segnale analogico

Figura 2: Segnale digitale

Un segnale si dice aleatorio se e una collezione di valori risultanti da un

esperimento casuale.

I segnali, inoltre, possono essere periodici o aperiodici. Un segnale pe-

riodico (Figura 3) e un segnale per cui risulta vera la seguente uguaglianza:

x(t) = x(t+ T )

iv

Introduzione

Figura 3: Segnale periodico

dove T e detto periodo del segnale, in pratica avremo una porzione di

segnale che si ripete ad intervalli fissi di tempo T. Per questa tipologia di

segnali puo essere definita la frequenza che e l’inverso del periodo, ovvero

il numero di ripetizioni del segnale nell’ intervallo di tempo:

f = 1/T

ne deriva che

T = 1/f

Un segnale aperiodico (Figura 4), invece, e un segnale che non si ripete nel

tempo.

Lo strumento piu usato per l’analisi dei segnali e l’analisi di Fourier.

Il concetto alla base di questa analisi e quello per cui qualsiasi segnale

periodico puo essere scomposto in una serie di Fourier, ovvero in una

somma di funzioni armoniche elementari quali seni e coseni. L’idea e quella

v

Introduzione

Figura 4: Segnale aperiodico

di scomporre un segnale nelle sue componenti elementari per poi giungere

a delineare le proprieta del segnale di partenza attraverso le proprieta delle

sue componenti elementari e le regole che le legano.

Dato un segnale periodico x(t) la sua trasformata di Fourier sara:

X (ω) =

∫ +∞

−∞x (t) e−jωtdt

dalla trasformata possiamo ricavare x(t) antitrasformando

x (t) =1

2π

∫ +∞

−∞X (ω) ejωtdω

per le proprieta di cui gode la trasformata di Fourier possiamo scrivere

x (t) =1

π

∫ +∞

0|X (ω)| cos (ωt+ argX (ω)) dω

si osserva che il segnale x(t) e espresso come somma integrale di un numero

infinito di componenti sinusoidali.

Nel caso avessimo un segnale discreto x = (x1, x2, ..., xn) allora si de-

vi

Introduzione

finisce la sua trasformata di Fourier discreta rappresentata dalla n-upla

X = (X1, X2, ..., Xn) tale che:

Xi =n∑

q=1

xke−j 2π

nkq

conq = 1, 2, ..., n

anche in questo caso abbiamo la formula di antitrasformazione

xk = 1/nn∑

q=1

Xqej 2πnkq

conk = 1, 2, ..., n

Seppure il metodo di Fourier sia il piu utilizzato da quando e stato

introdotto, esso ha delle limitazioni. Affinche un segnale possa essere ana-

lizzato con il metodo di Fourier questo deve essere prodotto da un sistema

lineare e deve avere la proprieta di periodicita o quella di stazionarieta.

Le limitazioni della trasformata di Fourier sono invece i punti di forza del-

la trasformata di Huang-Hilbert la quale e il metodo piu appropriato per

trattare segnali non-lineari e non-stazionari.

vii

Capitolo 1

La trasformata di

Huang-Hilbert

Questo metodo proposto da Norden E. Huang nel 1998 propone la

scomposizione del segnale non in componenti sinusoidali, ma in componenti

empiriche, in questo modo un segnale verra scomposto mediante una base

che non e stabilita a priori.

Confrontiamo le proprieta dell’analisi di Fourier e quella di Huang-

Hilbert:

FOURIER HILBERT

Base a priori adattativa

Presentazione Energia-Frequenza Energia-Tempo-Frequenza

Non-linearita No Sı

Non-stazionarieta No Sı

Base teorica Teoria Completa Empirica

Il concetto chiave di questo metodo e l’empirical mode decomposition

1

Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert

(EMD) grazie al quale qualsiasi set di dati puo essere scomposto in un

numero finito, e spesso piccolo, di intrinsic mode function (IMF) alle quali

e possibile applicare la trasformata di Hilbert.

Questo metodo di decomposizione e adattativo e molto efficiente e

poiche richiede il soddisfacimento di alcuni vincoli, e applicabile a processi

non lineari e a segnali non stazionari.

Il risultato finale e una distribuzione energia-tempo-frequenza detta

spettro di Hilbert.

L’innovazione portata dal metodo Huang-Hilbert sta proprio nell’intro-

duzione delle IMF, le quali si basano sulle proprieta locali del segnale in

modo da rendere significativo e sensato il concetto di frequenza istantanea

e inoltre rendono possibile l’eliminazione di forme armoniche spurie, che

vengono fuori quando si applica il metodo d’analisi di Fourier a segnali

non lineari e non stazionari.

Il metodo di Huang Hilbert in pratica prevede l’applicazione dell’ EMD

e dell’analisi spettrale di Hilbert a vari tipi di dati: dai risultati numerici

alle classiche equazioni non lineari che rappresentano fenomeni naturali.

1.1 La frequenza istantanea

La nozione di frequenza istantanea e alquanto controversa, infatti l’ac-

cettazione del concetto di frequenza istantanea e ostacolata da due pro-

blematiche:

- la prima problematica e il risultato della profonda influenza che il

metodo di Fourier ha nell’ analisi dei segnali da quando e stato

introdotto. Tale metodo definisce la frequenza per funzioni sinusoidali e

cosinusoidali ad ampiezza costante come l’inverso del periodo, e dunque

2


necessaria almeno un’oscillazione completa della forma d’onda per

definire la frequenza locale. Cosı facendo, pero, la frequenza che si va ad

estrapolare non riesce a seguire tutte le variazioni di frequenza che invece

sono caratteristiche di un segnale non stazionario, di conseguenza tale

definizione non avrebbe senso per segnali non stazionari per i quali la

frequenza cambia volta per volta.

- la seconda problematica e legata alla non univocita della definizione di

frequenza istantanea.

Quest’ultima problematica, tuttavia, puo essere tralasciata se si rende

analitico il segnale mediante la trasformata di Hilbert.

Per un’arbitraria X(t) e sempre possibile ottenere la sua trasformata

di Hilbert Y (t):

Y (t) =1

πP

∫ +∞

−∞

X (τ)

t− τdτ (1.1)

dove P e il valore principale dell’integrale di Cauchy. Questa trasformata

esiste per tutte le funzioni di classe LP .

Da questa definizione e ora possibile ricavare il segnale analitico Z(t)

definito in questo modo:

Z(t) = X(t) + jY (t) = a(t)ejϑ(t) (1.2)

dove

a(t) = [X2(t) + Y 2(t)]1/2

ϑ(t) = arctanY (t)

X (t)

L’equazione (1.1) definisce la trasformata di Hilbert come la convolu-

zione tra X(t) e 1t .

3


Anche con la trasformata di Hilbert e ancora controversa la definizione

di frequenza istantanea come:

ω =dθ (t)

dt(1.3)

Sono, infatti, necessarie alcune limitazioni. Per come e stata definita

sopra, ω e funzione del tempo cio vuol dire che ad ogni valore di t puo

essere associato un solo valore di frequenza, ovvero ω rappresenta una

singola componente; da qui il termine funzione monocomponente. Poiche

non e chiaro come discernere se un segnale e monocomponenete o no, si

da la limitazione di banda stretta.

Per illustrare questa limitazione facciamo uso di un semplice esempio.

Dato il seguente segnale:

x(t) = sin(t)

la sua trasformata di Hilbert sara

y(t) = cos(t)

Nel piano di Gauss la funzione analitica associata sara una circonferenza

di raggio unitario centrata nell’origine, quindi la sua fase una retta e,

per l’espressione (1.3), la frequenza istantanea una costante. Se invece

considerassimo:

x(t) = α+ sin(t)

la funzione analitica associta sara comunque una circonferenza di raggio

unitario, ma il centro variera a seconda di α; se α < 1 l’origine resta nella

circonfereznza, ma la fase e la frequenza istantanea sono molto differenti

4


dal caso precedente; se α > 1 l’origine e esterna alla circonferenza, il

vettore che descrive il segnale analitico cambia verso di rotazione con il

risultato che si hanno valori di frequenza negativi, risultato che non ha

senso fisico.

Figura 1.1: (a)funzione analitica al variare di α (b)fase al variare di α(c)frequenza istantanea al variare di α

Si deduce che per definire la frequenza istantanea di una funzione que-

sta deve essere simmetrica rispetto allo zero.

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1.2 Intrinsic Mode Decomposition

Una IMF e una funzione che soddisfa due condizioni:

- nel set di dati il numero di massimi e minimi e il numero di

attraversamenti per lo zero devono essere coincidere o al piu differire di

uno;

- in ogni punto il valor medio dell’inviluppo superiore ed inferiore deve

essere zero.

La prima condizione ci assicura che il segnale sia monocomponen-

te. Dalla seconda deduciamo che la frequenza istantanea non deve avere

fluttuazioni indesiderate indotte da asimmetrie nella forma d’onda.

Poiche non puo esser definita la media locale per un segnale non sta-

zionario si usa sostituirla con la media locale degli inviluppi definiti dai

massimi locali e dai minimi locali.

Anche se gli effetti dovuti a forme d’onda non lineari introducono un

disturbo nella frequenza istantanea, gli effetti di disturbo dovuti alla non

stazionarieta sono piu consistenti. Con l’approccio fisico e le approssi-

mazioni fatte, il metodo non garantisce sempre una frequenza istantanea

perfetta sotto ogni condizione. Tuttavia anche sotto le peggiori condizioni

la frequenza istantanea cosı definita e ancora consistente con la fisica del

sistema studiato.

Queste componenti sono dette IMF in quanto rappresentano il modo

oscillatorio incorporato nei dati; con questa definizione si puo superare la

costrizione di banda stretta per un’ IMF, permettendo di modularla in

frequenza ed in ampiezza.

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Definita la frequenza istantanea, si dimostra che la definizione (1.3)

rappresenta il modo migliore per esprimere la frequenza istantanea.

Figura 1.2: Esempio di IMF

Per usare la definizione (1.3) di frequenza istantanea e necessario scom-

porre il set di dati in componenti IMF dalle quali e poi possibile ricavare

le frequenze istantanee, in quanto per dati complessi si puo avere piu di

un valore di frequenza per volta.

Per determinare da un set di dati le componenti IMF si introduce la

tecnica EMD.

1.3 Empirical Mode Decomposition

Questo tipo di decomposizione e basato su alcune assunzioni:

- il segnale ha almeno un minimo e un massimo, se cosı non fosse sarebbe

impossibile estrapolare le IMF;

- il tempo scala caratteristico e definito dal tempo tra due estremi;

- se i dati sono privi di estremi, ma contengono punti di flesso, li si puo

differenziare una o piu volte per rivelarne gli estremi.

In virtu della definizione di IMF, il metodo di decomposizione puo

semplicemente usare l’inviluppo definito dai punti di massimo e quello

7


definito dai punti di minimo separatamente. Una volta individuati tutti

i massimi locali, questi vengono connessi mediante una spline cubica, in

questo modo danno forma all’ inviluppo speriore; viene fatto lo stesso

ragionamento, ma sui minimi, per quanto riguarda l’inviluppo inferiore. I

due inviluppi per come sono definiti contengono al loro interno tutti i dati.

Identificata con m1 la media dei due inviluppi, la differenza tra il

segnale e m1 e la prima componente h1;

h1 = X(t)−m1

Idealmente h1 dovrebbe essere una IMF, infatti per come e stata definita

sembra fatta proprio per soddisfare la definizione di IMF e quindi per avere

tutti i massimi positivi e tutti i minimi negativi. Il procedimento usato,

pero, non e matematicamente rigoroso quindi per arrivare ad avere una

IMF pura il procedimento, il processo di sifting, va iterato piu volte; in

seconda battuta avremo:

h1 −m11 = h11

e dopo k iterazioni:

h1(k−1) −m1k = h1k

Il risultato dell’ultima iterazione possiamo prenderlo come prima IMF

c1 = h1k

Il processo di sifting ha due scopi:

- eliminare le onde sovraimposte;

- rendere simmetrico il profilo d’onda.

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Mentre la prima condizione e assolutamente necessaria affinche la fre-

quenza istantanea sia significativa, la seconda e necessaria quando le am-

piezze di onde vicine sono troppo diverse tra loro. Il secondo effetto puo

eliminare fluttuazioni di ampiezza fisicamente significativa.

Per garantire che le componenti IMF conservino significato fisico sia

per la modulazione di ampiezza che di frequenza, e necessario determinare

un criterio per stoppare il meccanismo di sifting. Cio puo esser fatto

limitando la grandezza della deviazione standard calcolata tra due risultati

consecutivi dello sifting

SD =

T∑t=0

[h1(k−1) (t)− h1(k) (t)

h21(k−1)(t)

]

un valore tipico e compreso tra 0.2 e 0.3.

Supponendo che il criterio sia stato soddisfatto e che quindi sia stata

trovata c1 la prima IMF, ovvero la modalita di oscillazione piu veloce

presente nei dati. A questo punto potremmo isolare c1 dal resto dei dati e

ottenere

r1 = x(t)− c1

r1 e trattato come nuovo segnale e ad esso e applicato il processo di sifting;

questa procedura puo essere ripetuta piu volte

r1 − c2 = r2, ..., rn−1 − cn = rn

Il processo di sifting puo essere fermato se si verifica una di queste condi-

zioni:

- la IMF cn (o il residuo rn) diventa piu piccola di un certo valore

prestabilito;

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- rn diviene una funzione monotona da cui e impossibile estrarre una

IMF.

In definitiva possiamo esprimere x(t) in questo modo

x (t) =n∑

j=1

cj + rn

Quindi abbiamo ottenuto x(t) come somma di n IMF ed un residuo rn che

sara una funzione monotona o costante.

In FIgura (1.3) e possibile vedere il segnale e le sue IMF.

Figura 1.3

10


1.4 Conclusioni

L’associazione del metodo EMD e dell’ analisi basata sullo spettro di

Hilbert offre un metodo potente per l’analisi di dati non lineari e non

stazionari. Punto focale di questo metodo e l’estrazione di IMF da un set

di dati complesso, le quali permettono che lo studio di tali dati si riduca allo

studio di componenti per le quali puo esser definita la frequenza istantanea.

I vantaggi di questa analisi sono molteplici, ma l’innovazione piu si-

gnificativa che questo studio ha apportato e la definizione di frequenza

istantanea come qualcosa di fisicamente significativo e l’introduzione del-

le IMF. Con il supporto del concetto di frequenza istantanea e possibile

definire sia la modulazione in frequenza interwave che intrawave concetti

entrambi importanti per la interpretazione di fenomeni oscillatori. Con

l’introduzione della frequenza istantanea non sono piu necessarie armoni-

che di ordine superiore per rappresentare i disturbi dovuti a non linearita

e neanche armoniche spurie per rappresentare fenomeni non stazionari.

In definitiva questo nuovo metodo permette di avere una visione fisica

di fenomeni non lineari e non stazionari, vantaggio che il metodo di Fourier

non offre.

11

Capitolo 2

Un’ ottimizzazione: l’

EEMD

Abbiamo visto come l’ EMD sia un metodo d’analisi utile per estrarre

segnali da dati prodotti da sistemi non lineari. Per quanto pero questo

metodo sia utile, lascia ancora dei problemi irrisolti. Uno dei maggio-

ri inconvenienti e la continua presenza di modi sovrapposti che vengono

incorporati in una sola IMF, oppure che due segnali con scale simili finisca-

no in due IMF distinte. Come discusso da Huang l’intermittenza non solo

puo essere causa dell’aliasing in una distribuzione tempo-frequenza, ma

puo anche privare del significato fisico una IMF. Per eludere questo pro-

blema Huang et al. (1999) hanno proposto il test d’intermittenza, il quale

puo effettivamente portare a dei miglioramenti. Tuttavia questo approc-

cio da solo presenta dei problemi: in primo luogo, il test d’intermittenza e

basato su una scala selezionata soggettivamente, cio rende il metodo dell’

EMD non totalmente adattativo; in secondo luogo la selezione delle scale

funziona se nei dati ci sono time scales chiaramente separabili.

E’ necessario, dunque, ottimizzare il comportamento dell’ EMD.

12

Capitolo 2. Un’ ottimizzazione: l’ EEMD

2.1 Ensemble Empirical Mode Decomposition (EE-

MD)

Il principio dell’EEMD e semplice: l’aggiunta di rumore bianco fa in

modo che il problema dei modi sovrapposti che venivano associati ad una

stessa IMF scompaia. Mostreremo che l’EEMD utilizza il principio usato

dall’ EMD per la separazione delle scale, ma fa in modo che l’EMD si com-

porti come un vero banco di filtri diadico per qualsiasi dato. Pertanto l’EE-

MD rappresenta un importante miglioramento dell’ EMD. Ricapitoliamo

brevemente le proprieta dell’ EMD:

- l’ EMD e un metodo d’analisi adattativo basato sulle caratteristiche

locali dei dati;

- si comporta come un banco di filtri diadico per qalsiasi rumore bianco

serie;

- quando il dato e intermittente il comportamento dell’EMD non e

propriamente diadico.

Tenendo conto di quanto appena detto vediamo quali sono i passi di

cui si compone il metodo EEMD:

1. al dato viene aggiunto un rumore bianco serie

2. la somma del dato con il rumore bianco viene decomposta in IMF

3. i passi 1 e 2 vengono ripetuti piu volte ma il segnale viene sommato

con rumori bianchi diversi volta per volta

4. ricavare l’insieme delle IMF ottenute dalla decomposizione come

risultato finale

Questo tipo di analisi incrementa significativamente la capacita di

estrarre segnali dai dati.

Va sottolineato che l’effetto del rumore bianco deve diminuire seguendo

13


una di queste due leggi:

εn =ε√N

lnεn +ε

2lnN = 0

dove N e il numero di elementi dell’ insieme, ε e l’ amplificazione del

rumore e εn e la deviazione standard finale dell’errore definita come la

differenza tra il segnale d’ingresso e la IMF corrispondente.

L’ampiezza del rumore va scelta opportunamente in quanto, se scelta

troppo piccola, potrebbe non introdurre cambiamenti in termini di massimi

e minimi, i quali sono fondamentali per l’analisi EMD.

2.2 Conclusioni

Il principio base dell’EEMD e semplice: puo separare segnali di scale

differenti senza l’inconveniente della sovrapposizione di modi. Il fatto che

l’EMD utilizzi tutte le caratteristiche del rumore aiuta a perturbare il

segnale opportunamente permettendo all’ EMD di lavorare in condizioni

migliori.

Tuttavia restano dei problemi irrisolti uno dei quali e dovuto al fatto

che l’EEMD non soddisfa del tutto la definizione di IMF, ma cio non

influisce notevolmente nel calcolo della frequenza istantanea che viene poi

usata per la trasformata di Hilbert. Una soluzione potrebbe essere quella

di applicare il sifting alle IMF prodotte dall’ EEMD.

L’ EEMD non risolve, pero, il problema dell’ end effect e non definisce

un criterio per stoppare il sifting.

In conclusione possiamo dire che l’ EEMD garantisce un vero meto-

do d’analisi adattativo portando l’EMD ad essere uno strumento migliore

14


per l’analisi in condizioni di non stazionarieta e non linearita anche se

permangono delle problematiche.

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Bibliografia

[1] Norden E. Huang, Zheng Shen, Steven R. Long, ManliC. Wu, Hsing H. Shih, Quanan Zheng, Nai-Chyuan Yen,Chi Chao Tung, Henry H. Liu, “The empirical mode de-composition and the Hilbert spectrum for nonlinear andnon-stationary time series analysis”, 4 Novembre 1996.

[2] ZhaohuaWu, Norden E. Huang, “Ensemble Empirical ModeDecomposition: A Noise Assisted Data Analysis Method”,Agosto 2005.

[3] Leonardo Amico, “Trasformata di Hilbert-Huang per larilevazione di segnali non stazionari nel progetto SETI”,2008.

[4] Massimo Ferrari, “Confronto metodologico per l’estrazionedi indici da tracciati elettroencefalografici per la valutazionedell’ adattamento motorio”, 2010.

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