DAMARIS LIZ CHAMBI TONCONI ING. SISTEMAS ELECTRÓNICOS

8VO SEMESTRE

TRABAJO PRÁCTICO I

INTRODUCCION

Nos ocupamos en este tema de dar una breve introducción a la teoría de

espacios de Hilbert. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial dotado de

un producto interior (lo que permite medir distancias) que como espacio

métrico es completo.

Los espacios de Hilbert constituyen la generalización más inmediata a

espacios de dimensión infinita de los espacios euclídeos finito-

dimensionales. De hecho, la intuición geométrica desempeña un papel

importante en muchos aspectos de su teoría: en ellos se puede hablar de

ortogonalidad, y sus elementos están unívocamente determinados por sus

coordenadas respecto a una base ortonormal, análogamente a lo que ocurre

con las coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio.

Los espacios de Hilbert surgen de modo natural y frecuente en matemáticas,

física e ingeniería; son herramientas indispensables en la teoría de

ecuaciones en derivadas parciales, mecánica cuántica y procesamiento de

señales.

OBJETIVO

Adquirir conocimientos sobre los espacios de Hilbert como

herramienta en procesamiento de señales

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MARCO TEORICO

DAVID HILBERT

Nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg, Estudió en las universidad de

Königsberg, de Heidelberg y de Berlín.

Obtiene el doctorado en 1885 en matemáticas con su tésis titulada: Über

invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der

Kugelfunctionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias

especiales, en particular las funciones circulares").

Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886

a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix

Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de

Göttingen, que en aquel momento era el mejor centro de investigación

matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.

EUCLIDES (325 a.C. – 265 a C.):

Euclides es, sin lugar a dudas, uno de Los tres mayores matemáticos de la

Antigüedad junto a Arquímedes y a Apolonio. Quizás sea el más nombrado y

también uno de Los mayores de todos los tiempos.

El nombre de Euclides está indisolublemente Ligado a la geometría, al

escribir su famosa obra Los Elementos. Este es el libro más famoso de La

Historia de la Matemática. Esta obra está constituida por trece libros, cada

uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas y en él se exponen

las bases esenciales de la geometría

El único teorema que La tradición asigna definitivamente a Euclides es el

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Teorema de Pitágoras que se demuestra en Las proposiciones 47 y 48 del

primer libro de Los Elementos. Aunque La mayoría de Los tratados versan

sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a

lo que hoy conocemos como Teoría

ESPACIOS DE HILBERT

En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las

ecuaciones integrales analiza las técnicas desarrolladas a finales del

XIX por matemáticos como Poincaré y Fredholm.

En el cuarto artículo, publicado en 1906, Hilbert nos muestra como las

ecuaciones integrales son en realidad un sistema de “infinitas ecuaciones

lineales con infinitas incógnitas”.

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. .

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Espacio de Hilbert (matemáticas): generalización de espacio euclídeo.

Ej. De las técnicas: ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el

teorema de Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre vectores y

convergencia de una sucesión.

FORMALMENTE: espacio de producto interior que es completo con

respecto a la norma vectorial definida por el producto interior.

Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto

de series de Fourier.

Cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o

complejo, da lugar a una norma ||.||

||x||=√¿ x , x>¿¿

Los usos de los espacios infinito-dimensionales incluyen:

La teoría de las representaciones del grupo unitarias.

La teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables.

La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales

parciales, en particular formulaciones del problema de Dirichlet.

Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de wavelets.

Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.

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Cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cada elemento del

espacio de Hilbert se puede escribir en una manera única como suma de

múltiplos de estos elementos bajos.

Ejemplo:

Espacio euclideo

¿ x , y>¿∑k=1

n

xk yk

BASES ORTONORMALES

Tienen que cumplir:

-Elementos normalizados: ||ek|| = 1 para todo k en B

-Elementos ortoganales: <ek, ej> = 0 para todo k, j en B , j ≠ k.

- Expansión densa: La expansión lineal de B es densa en H.

Lema de Zorn: cada espacio de Hilbert admite una base orto normal. Un

espacio de Hilbert es separable admite una base orto normal numerable.

Si {ek}k ∈ B es una base orto normal de H, entonces cada elemento x de H se

puede escribir como:

x=∑k∈ B

¿ek , x>ek

Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.

Operaciones en los espacios de Hilbert

En un espacio métrico (X;d), la distancia d de un elemento x € X a un

conjunto no vacío M unión X se define como

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Por tanto, en un espacio normado

En la práctica, frecuentemente X es un determinado espacio de funciones

(por ejemplo, el formado por las funciones continuas en un intervalo

compacto) y M es un subconjunto de X constituido por funciones con un

«buen comportamiento» (por ejemplo, polinomios). Es importante saber si

existe un vector Y pertenece a M que minimiza la distancia a x, esto es, tal

que y, en caso de existir, si es único. Este constituye el llamado

problema de existencia y unicidad de la mejor aproximación a x desde M.

Como ilustran las imágenes incluso en el caso elemental del plano euclídeo,

puede que dicho problema carezca de solución, o que ésta no sea única.

Cabe esperar que en espacios de dimensión infinita la situación resulte

bastante más compleja. Afortunadamente, como veremos a continuación, en

el caso de espacios de Hilbert todavía permanece «bajo control».

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COMPLEMENTOS ORTOGONALES

S⊥= {x∈H :< x , s>¿0 ∀ s∈S }Si V es un subespacio cerrado de H, V⊥ es el

complemento ortogonal

Entonces ∀ x∈H x=v+w , v∈V

w∈ V⊥

Proyección ortogonal, es el operador lineal Pv :H→H que mapea x a v.

REFLEXIVIDAD

Se cumple:

- Su espacio idual (dual del dual) es isomorfo al propio espacio.

- El propio espacio dual es isomorfo al espacio original.

- El teorema de representación de Riesz: para cada elemento φ del H

dual existe un y solamente un u en H tal que

φ(x)= ¿u , x>¿

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ITERRELACIONES EN UN EUCLIDEO

NOTA en una de las series que aparecen se cumplen los requisitos que

garantizan que la convergencia de las mismas y en su caso el valor de la

suma no se ven afectados por el reordimiento

Nota sobre la terminología

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Notas sobre la convergencia de las serias

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Bibliografía

Analisis Funcional [Informe] / aut. Blasco Oscar. - 2013.

Espacios de Hilbert [Informe] / aut. Marrero Isabel. - Universidad Laguna : [s.n.].

Histori MCS [En línea] / aut. .. - www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Hilbert.html.

Sygnal Analysis [Libro] / aut. Wiley Jhon. - [s.l.] : Mertins.

Una aproximacion a la Teoria de Hilbert [Libro] / aut. Marchena Carlos Chinea. - Marchena : [s.n.], dic 2000.

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