Linköpings universitet IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi

Laborationer i Modern fysik

TFYA44, 9FYA341

Rev Okt. 11

2

3

Laborationer i Modern fysik

1a Fotoelektrisk effekt 1b Rydbergs konstant

2a e/m 2b Geiger-Müller rör

3 Silvers halveringstider 4a α-absorption 4b β-strålning

2011-10-12

4

5

Inledning Kursen omfattar 4 laborationer, laborationsgenomgångar (där närvaro för blivande laboranter är obligatorisk) ett antal förberedelseuppgifter samt skriftlig redogörelse för utförandet av en av dessa 4 laborationer. Förberedelseuppgifterna bearbetas dagarna innan och redovisas så snart tid ges under laborationspasset. Säkerhets aspekter är viktiga i denna laborationskurs då exempelvis radioaktiva preparat hanteras och anslutning till aggregat som lämnar höga spänningar ska utföras.

6

1a: FOTOELEKTRISK EFFEKT

Målsättning Syftet med denna laboration är att visa att energin i elektromagnetisk strålning är kvantiserad och att kvantats energi är proportionell mot strålningens frekvens. Proportionalitetskonstanten, Plancks konstant h, mellan kvantats energi E och frekvens ν i sambandet E = hν skall bestämmas. _________________________________________________________________________ Teori Den fotoelektriska effekten innebär att elektroner bundna till atomerna i en kropp upptar energi från infallande elektromagnetisk strålning och frigörs. Den elektromagnetiska strålningen beskrivs fullständigt av storheterna intensitet, frekvens och polarisationstillstånd. Laborationen avser att visa hur energin hos de vid fotoeffekten frigjorda elektronerna beror av strålningens frekvens. Elektronerna i en metall är bundna med olika energier. Om vi tillför en elektron en energi E som är större än dess bindningsenergi Φ kan den frigöras och röra sig som en fri partikel. Den har då rörelseenergin: E k = E − Φ (1)

Den maximala kinetiska energi en elektron kan ha är: E k,max = E − Φ0 (2) där Φ0 är bindningsenergin för de mest energirika elektronerna i metallen. Φ0 kallas också utträdesarbetet för metallen. Energin hos den elektromagnetiska strålningen, E, beskrivs av

E = hν (3) Då fås E k,max = hν − Φ0 (4) Den maximala kinetiska energin kan mätas enligt den metod som beskrivs i figur 1.

Figur 1 Principskiss för mätning av fotoelektrisk effekt

V

7

Genom att lägga en spänning mellan plattorna A och B kan de frigjorda elektronerna från platta A retarderas. Vid en särskild spänning Umax blir strömmen genom galvanometern G noll. Detta indikerar att inte ens de snabbaste elektronerna når platta B. Då fås: eUmax = Ek,max = hν − Φ0 (5) Genom att ändra frekvensen på det infallande ljuset kan man få ett antal värden på bromsspänningen Umax. Eftersom Umax =

he

ν −Φ0

e=

he

ν − ν0( ) (6)

bör Umax som funktion av ν vara ett linjärt samband. Ur linjens riktningskoefficient kan man beräkna ett värde på Plancks konstant h. Frekvensen ν0 kallas tröskelfrekvensen. För lägre frekvenser än tröskelfrekvensen får man ingen emission alls (se figur 2).

Figur 2 Bestämning av tröskelfrekvensen

Utförande Börja med att undersöka funktionen hos de filter som används tillsammans med kvicksilver-lampan. Använd välkända instrument och komponenter från optiken (exempelvis lampa med vitt ljus, spektrometer med prisma med 90 grader konstant deviation och filterhållare) för att bestämma vilket (vilka) våglängdsområden som transmitteras av filtren. Här är det inte frågan om att göra någon precisionsmätning utan bara att undersöka filtrens funktion och märkning. Det finns ingen anledning att göra en grundlig spektrometerkalibrering utan det är tillräckligt att kontrollera spektrometerns skala med hjälp av en känd ljusvåglängd genom att använda exempelvis en natriumlampa. Varje filter är märkt med en våglängd mätt i nanometer. Konsultera tabell för att bestämma vilka våglängder som kan vara aktuella för kvicksilver-lampans ljus och jämför med de resultat som mätningarna på filtrena har givit. Den funktion som kombinationen av ljuskälla och filter kommer att ha i laborationens

8

nästa moment bör därmed vara bestämd.

Figur 3 Fotoelektrisk effekt, försöksuppställning

Övergå nu till mätningarna som avser fotoelektrisk effekt! Se försöksuppställningen i figur 3!

1. Tänd kvicksilverlampan. Lampan når full effekt först efter ca 10 minuter. Efter släckning måste den ges tillfälle att svalna innan den tänds igen.

OBS! Var aktsam när det gäller ljuset från lampan som är skadligt för synen. Använd så korta avstånd som möjligt mellan de optiska komponenterna på optiska bänken så att direktljuset från lampan inte träffar ögonen OBS!

2. Justera strålgången så att det existerar en (rätlinjig) optisk axeln för systemet. Skydda fotocellen från onödig bestrålning genom att ha luckan framför fotocellen stängd så snart du inte mäter.

3. Ställ nanoamperemetern G på lägsta känslighet. Sätt i ett filter i filterhållaren. Öppna luckan framför fotocellen och justera bländaren.

4. Justera spänningen på fotocellen så att strömmen genom amperemetern blir noll. Öka stegvis känsligheten hos G och justera för varje steg strömmen till noll. Observera att utslaget på den mycket känsliga nanoamperemetern lätt kan påverkas kapacitivt. Stillhet under mätningen är en fördel! När detta gjorts för instrumentets känsligaste område stängs luckan framför fotocellen och G:s känslighet minskas.

5. Avläs på voltmetern bromsspänningen Umax. Detta upprepas några gånger, t.ex. 3 gånger, för varje filter för att undersöka spridningen i mätdata.

OBS! Efter en viss tids användning kommer en del katodmaterial att finnas på anoden och förorena denna. Anoden kan dock renas igen genom så kallad glödgning, där en ström skickas genom anoden som förångar bort katodmaterialet. Detta bör du göra exempelvis före varje filterbyte för att erhålla bästa möjliga resultat. När tråden just jämt börjar glöda i ett helt mörkt rum är proceduren utförd. Försiktighet krävs för att anoden inte ska skadas. Varför tror du att fotocellen är konstruerad som den är?

9

Redovisning Medelvärde och felgränser (standardavvikelse eller maximalfel) för varje Umax bestäms. En graf över bromsspänningen som funktion av frekvensen uppritas. Drag den linje som bäst ansluter till mätresultaten. Räkna ut riktningskoefficienten h

e och bestäm Plancks

konstant genom att använda tabellvärde på elektronladdningen e. Uppskatta felet i h. Bestäm även tröskelfrekvens samt metallens utträdesarbete (med felgränser) och vilken metall det är.

10

1b: RYDBERGS KONSTANT Målsättning Studera vätets synliga atomspektrum (Balmerserien), som visar på kvantiseringen av energin. Beräkna Rydbergs konstant för väte, RH, ur vätelinjernas våglängder. _________________________________________________________________________

Teori Väteatomen består av en atomkärna med en positiv elementarladdning, e, och en elektron med negativ elementarladdning. För en elektron i någon bana runt en godtycklig kärna med laddningen Ze gäller att Coulombkraften F verkar på systemet:

F = −Ze2

4πε 0r2 ˆ r (1)

Energin hos elektron-kärnsystemet är då summan av den kinetiska och den potentiella energin:

E =12

mev2 −Ze2

4πε0r=

12

Ze2

4πε 0r−

Ze2

4πε0r= −

12

Ze2

4πε0r (2)

Förberedelseuppgift 1 Utgå från kvantiseringen av rörelsemängdsmomentet dvs. L = n ћ. Dessutom gäller för Bohrmodellen för rörelsemängdsmomentet L = mevr, som är en rörelsekonstant eftersom vi har en centralkraft, och visa att energin kan skrivas som:

E = −mee4Z2

2 4πε0( )22n2 = −mee4Z2

8ε02h2n2 (3)

Om man tar hänsyn till att elektronen inte rör sig omkring själva kärnan, utan kring kärnans och elektronens gemensamma tyngdpunkt fås att me i ovanstående uttryck bör ersättas med den så kallade reducerade massan, µ: µ =

mMm + M

≈ m om m << M (4)

där M är kärnans massa. Om väteatomens elektron exciteras till ett högre liggande tillstånd, E2, förblir den i detta tillstånd under cirka 10-8 s, varefter den återgår till något lägre liggande tillstånd, E1, under utsändande av strålning. Vi låter nu E1 och E2 beteckna energin hos de respektive tillstånden. Den utsända strålningens frekvens, ν, blir då:

ν =E2 − E1

h= kc (5)

där k är vågtalet (= antalet våglängder per längdenhet i vakuum).

11

Detta ger Balmers formel:

k =E2 − E1

hc=

µ ⋅ e4

8 ⋅ε02 ⋅ h3 ⋅ c

⋅ Z2 ⋅1

n12 −

1n2

2

= RH ⋅ Z2 ⋅

1n1

2 −1

n22

=

1λ

(6)

där

RH =µe4

8ε02h3c

(7)

och där RH kallas Rydbergs konstant för väte. För väte gäller dessutom Z = 1. När n1 är 2 och n2 har värdena 3, 4, 5, 6, ... o.s.v. får man den så kallade Balmerserien, en serie spektrallinjer som ligger i det synliga eller nära ultravioletta området.

Figur 1 De olika linjeserierna i vätets spektrum

Förberedelseuppgift 2 Betrakta den övergång som motsvarar lägsta energin i Lymanserien, och den övergång som motsvarar högsta energin i Paschenserien, och kontrollera att ingen av dessa båda linjer ligger inom det synliga området. Utförande I vårt experiment analyserar vi ljuset från en vätgaslampa i en spektrometer. Principen för spektrometern är att en stråle innehållande ljus av olika färger faller in mot ett prisma, där ljuset bryts olika mycket för olika färger, så att olika färger går ut i olika riktningar från prismat.

1215

.7 Å

1025

.7 Å

972.

5 Å

Lyman

Hα Hβ

Hγ

Balmer

PaschenBrackett Pfund

1

2

34 5

n E (eV)

-13.60

-3.39

-1.51-0.85-0.54 0

12

På grund av osäkerhet vid tillverkning av prisman måste spektrometern i praktiken alltid kalibreras för det aktuella prisma som används i den. Vi kalibrerar med hjälp av heliums spektrum, som anses ha kända våglängder. Vi erhåller en kalibreringskurva som visar korrektionen som måste adderas till avläst våglängd, som funktion av denna våglängd. Vätets Balmerserie ses som tre distinkta linjer mot en bakgrund av svagare tättliggande linjer, vilka härrör från vätets molekylspektrum. När kvanttalet identifierats för var och en av linjerna kan Rydbergskonstanten beräknas. Som slutresultat anges medelvärdet av de erhållna värdena. Observera att vätgaslampan drivs med en spänning på flera kV. Se till att spänningen inte är på när lampan monteras. Behöver man flytta lampan under mätningen är det lämpligt att bara använda ena handen. Om tiden medger kan det vara intressant att ersätta vätgaslampan med en vanlig glödlampa. Därmed kan man kontrollera mellan vilka våglängder det synliga ljuset ligger. (Jämför PH T-4.2 eller tabellverket Tefyma sid 113. Tefyma är utförligare på denna punkt.) Noggrannheten i bestämningen av Balmerseriens våglängder kan kontrolleras i PH T-4.5.

13

2a. BESTÄMNING AV e/m

Målsättning Förhållandet mellan elektronens laddning och dess massa ska bestämmas genom att studera hur en elektronstråle länkas av i ett magnetfält. Metod I Teori När en elektron rör sig i ett plan vinkelrätt mot ett homogent magnetfält påverkas den av en kraft som är riktad så att elektronen beskriver en cirkel. Ur sambandet mellan den kraft som verkar på partikeln och uttrycket för centripetalkraften i en centralrörelse kan cirkelns radie bestämmas enligt

Bve =mv2

r⇒ r =

mvBe

(1)

där m är elektronens massa, v är dess hastighet, e är dess laddning och B är magnetiska flödestätheten. Elektronstrålen i röret alstras av en elektronkanon bestående av en glödtråd och en anod med ett hål. Elektronerna får alltså sin hastighet genom att de accelereras av ett spänningsfall U. Hastigheten kan då beräknas ur energiprincipen (rörelseenergi = potentiell energi)

mv2

2= eU ⇒ v =

2eUm

(2)

Magnetfältet genereras i vårt fall av två likadana spolar med relativt stor diameter och med gemensam symmetriaxel, s.k. Helmholtzspolar. Den magnetiska fältstyrkan i ett plan mitt emellan spolarna och nära deras gemensamma symmetriaxel ges av

B = µ045

3/2 NIR

(3)

där µ0 = permeabiliteten i vakuum = 4π.10-7 Vs/Am N= antalet lindningsvarv hos en spole I = strömmen som flyter genom spolarna [A] R = radien hos spolarna [m] Förberedelseuppgift 1 Plocka fram ett uttryck för e

m genom att kombinera (1), (2) och (3).

e

m= ________________________ (4)

14

Utförande Röret innehåller argonånga till ett tryck av 0,1 Pa. De elektroner som passerar ut genom hålet i anoden har så hög energi att de vid kollision med Ar - atomerna exciterar dessa. När atomerna sedan återgår till grundtillståndet utsänds överskottsenergin i form av ljus. Därför kan vi se elektronernas väg som ett svagt lysande spår. Genom att lägga på ett magnetfält vinkelrätt mot elektronbanan får vi den tidigare omtalade cirkelbanan. För att minimera störande inverkan från det jordmagnetiska fältet placeras försöksapparaten så att fältet från spolarna blir vinkelrätt mot det jordmagnetiska fältet. För 3 olika inställningar på U, mät den ström I som krävs för att elektronbanan ska få de önskade radierna (5, 4, 3, 2 cm). Beräkna e

m som medelvärdet av samtliga mätningar.

Figur 1 Skiss över elektronkanonen. U = 200 - 300 V

OBS! Den totala accelerationsspänningen, som är summan av två pålagda spänningar (a: negativ potential på glödtråden 50V, b: accelerationsspänning mellan katod och anod, max 250V) får ej överstiga 300V och strömmen genom spolarna får ej överstiga 5A. Intressanta tekniska data Spolarnas diameter: 400 mm Antal varv per spole: 154 Redovisning 1. Härledning av e

m.

2. Värdet på em

med feluppskattning. Jämför med värde uträknat från i Physics Handbook

angivna värden på elektronens laddning och massa. 3. Diskussion av felkällor.

Anod

Katod

6.3V Glödtråd

U

+ -

15

2b: GEIGER-MÜLLER RÖR

Målsättning Laboration avser att göra dig förtrogen med den utrustning och de frågeställningar som blir aktuella vid mätning med GeigerMüller-rör. _________________________________________________________________________ Teori GM-röret består av en metallcylinder i vars centrum en elektrod i form av en tunn tråd är uppspänd. Tråden är elektriskt isolerad från cylindern. I röret finns vidare en lämplig gas. Mellan cylindern och centraltråden läggs en spänning med polaritet enligt figur 1.

Figur 1 Principiellt uppkopplingsschema för den elektroniska utrustningen till GM-röret

Då en joniserande partikel (elektron, foton eller α-partikel) tränger in i GM-röret kommer, beroende på partikelns art och energi, ett varierande antal jon-elektronpar att skapas i gasen. Elektronerna accelereras i det elektriska fältet mot tråden och gasjonerna mot cylindern. Är spänningen tillräckligt hög bildas genom stöjonisation nya joner och elektroner. Rörets ledningsförmåga ökar och vi får en strömrusning varvid spänningen över röret minskar. Notera i figur 1 att röret ligger i serie med ett motstånd. Då röret inte leder har röret hög resistans och så gott som hela spänningen ligger då över röret. När röret, till följd av bildningen av elektron-jonpar börjar leda, minskar dess resistans och därmed spänningen över röret, varvid bildningen av nya elektron-jonpar förhindras. De fria elektroner som redan bildats driver till tråden i centrum och de tyngre jonerna rör sig mot metallcylindern och röret får åter hög resistans och är därmed berett att registrera nästa inkommande partikel. I och med att röret under en kort tid varit ledande har vi fått en kortvarig strömpuls, vilken via en kondensator leds vidare genom en förstärkare till en räknare. Kondensatorn är nödvändig för att undvika att den konstanta högspänningen på röret förs till ingången på den efterföljande förstärkaren.

Puls- omvandlare

(Elektroniskt räkneverk)

Scaler

Gas vid lågt tryck

Metall- cylinder

Isolering

16

Under den tid en puls varar är röret oförmöget att detektera andra partiklar som råkar komma in. Röret är under denna tid ”dött” - vi talar om en viss dödtid eller återhämtningstid innan en ny partikel kan registreras. Som framgår av den graf här som visar karakteristikans utseende måste drivspänningen på röret komma över ett visst tröskel-värde för att elektron-jonpar ska kunna bildas. Dock, om vi kommer över en viss spänning kommer urladdningen i röret att fortsätta oavbrutet, även om inte någon fler partikel kommer in i röret - röret tänder, dvs. leder ström kontinuerligt, ungefär som ett lysrör gör. Röret är inte konstruerat för sådana förutsättningar och tål inte detta under någon längre tid utan blir förstört. Det gäller alltså att finna en lagom hög drivspänning. Vilken drivspänning man ska välja beror på rörets dimensioner och ligger mellan några hundra volt upp till tusen volt.

Figur 2 GM-rörets karakteristika

Med räknehastighet menas antal räknade partiklar per tid. Räknehastigheten, n, som funktion av pålagd spänning, U, ger GM-rörets karakteristika. Parallellt med att mätningen genomförs ritas resultatet, karakteristikan, i ett diagram, bland annat för att bevaka och förhindra att mätpunkterna inte hamnar långt upp på kurvans högra branta del. Man undviker då enligt ovan att röret blir skadat under mätningen. I ett visst spänningsintervall, kallad platån, är räknehastigheten obetydligt beroende av den pålagda spänningen. Platåns relativa lutning, f-värdet, är ett mått på GM-rörets kvalitet: f =

∆nn0

100% per 100 V. (1)

Där ∆n avser ändring i räknehastighet per 100 Volt förändring av rörets drivspänning, och n0 är räknehastigheten vid arbetsspänningen. Ett bra GM-rör har ett f-värde som är mindre än 10 % per 100 V, men om utrustningen innehåller ett välstabiliserat spänningsaggregat kan högre f-värden tolereras. Vid användningen av GM-röret håller man spänningen på ett konstant värde, arbetspunkten, belägen något nedanför mitten av platån.

∆U

∆n

Arbetsspänning

Platå

n 0

n

U

17

På grund av GM-rörets egenskaper kommer all strålning som överhuvudtaget detekteras att ge pulser av ungefär samma form och röret kan därför inte diskriminera vare sig mellan olika energier hos strålningen eller olika slag av strålning. Effektiviteten är hög för α- och β−strålning (nära 100 %). För gammastrålning är effektiviteten däremot låg (mindre än 1 %). Vid räkning av pulser (med rätt pulshöjd) måste man känna till GM-rörets dödtid, τ. Om räknehastigheten är för hög löper man risk att partiklar träffar GM-röret utan att registreras. I extremfallet kan röret blockeras och inkommande partiklar registreras då inte alls. Förberedelseuppgift 1 Med resonemanget nedan kan ett samband för den verkliga räknehastigheten, nkorr, konstrueras med förutsättningen att detektorn räknar n pulser/sekund: nkorr = _________________ (2) Om dödtiden är τ (τ<<1 sekund) blir röret varje sekund oförmöget att detektera nya partiklar under tiden nτ. Detta eftersom efter varje partikeldetektion följer dötiden τ. Den effektiva mättiden under en sekund blir då 1 - nτ. Den korrigerade räknehastigheten per sekund blir då en logisk följd av detta. Vid den sannolikhetsteoretiska behandlingen av det radioaktiva sönderfallet antas att sannolikheten adt gäller för registrering av en partikel i ett mycket litet tidsintervall av längden dt. Antalet registreringar i ett intervall av längden t kan då visas vara Poissonfördelat med parametern at, det vill säga:

P t (N) =(at)N

N!e−at (3)

t är tidsintervallet som används för mätningarna i försöksserien. N är antalet sönderfall som observeras under tiden t vid ett visst försök i serien. a är en konstant, där adt alltså anger sannolikheten för ett sönderfall under tiden dt. Pt(N) är sannolikheten för att N sönderfall skall observeras under tiden t i ett enskilt försök. Förberedelseuppgift 2 Ur Poissonfördelningen kan standardavvikelsen D beräknas till m . Härled ett uttryck för medelvärdet m: D = m = ______________________ (4) Vidare gäller givetvis: Pt (N) =1∑ för alla värden på t. (5) Redan för måttliga värden på medelvärdet m (m≥20) kan den diskreta Poissonfördelningen approximeras med en kontinuerlig normalfördelning:

18

P(x)dx =1

2πme

−(x− m)2

2m dx (6)

där x är en kontinuerlig variabel. För m smalnar emellertid Poisson-fördelningen kring m. Man kan därför i praktiken sätta N lika med m där N är det observerade antalet pulser. Standardavvikelsen blir då: D = N (7) och det relativa felet blir följaktligen:

Dm

=1N

(8)

Utförande Burken ST360 COUNTER innehåller högspänningsaggregat, räkneutrustning, och har knappar för manuell styrning av mätningarna. Vi låter dock datorn med tangentbord och dataskärm till höger styra alla mätningar genom att gå in i dess program ST360. Bilden på dataskärmen visar därvid överst en menyrad och närmast därunder en rad med kommandoikoner. Denna består av först en grupp av tre för oss mindre intressanta ikoner, därefter en grupp av tre intressanta ikoner, för funktionerna COUNT, STOP resp. ERASE Därunder utgöres bilden på skärmen av stora fält som visar aktuella inställningar och data. Menyn ger först alternativen File, Edit, Setup, View, Preset, Instrument Display, Windows och Help. Man kan inför en mätning gå in på Preset och där sätta Number of runs, antal mätomgångar, samt Preset Time, hur lång varje omgång skall vara. Om man sedan från huvudmenyn går in på Setup, och bland alternativen där på HV setting, så kan man sätta spänningsnivån High Voltage och även med Step Voltage Enable aktivera en successiv uppstegning av spänningen för varje mätomgång och därvid satta steget Step Voltage. 1. Bestämning av arbetsspänning Innan vi går vidare måste vi välja en lämplig arbetsspänning för vårt GM-rör genom att ta upp dess karakteristika. För att ta upp GM-rörets karakteristika byts nu preparatet till 137Cs. 137Cs är samma isotop som vi hört en hel del om i massmedia efter Tjernobyl-olyckan. Problemet med 137Cs i naturen är dess halverings tid. Vore den betydligt längre skulle den ju inte stråla så kraftigt - är halveringstiden mycket lång är isotopen stabil och utgör inget problem. Med en mycket kort halveringstid får vi visserligen hög aktivitet under den första tiden men aktiviteten avtar snabbt. En halveringstid på några tiotal år är alltså ur miljösynpunkt ett olyckligt optimum men nu, då vi i laboratoriet studerar radioaktivitet, är 137Cs ett lämpligt val. Den ger oss en radioaktivitet som är signifikant högre än den allestädes närvarande naturliga bakgrundsstrålningen och kan anses ha konstant aktivitet

19

under de timmar som ett laborationspass utgör. Preparaten behöver inte heller förnyas varje år.

På laborationsplatsen har Du tillgång till en liten röd kapsel som ligger i en plastlåda. Kapseln innehåller radioaktivt cesium 137Cs med en halveringstid på 30 år. Du skall inte ta i kapseln med händerna! Använd i så fall pincett! Egentligen skall Du inte ta ut kapseln ur plastlådan. Preparatet strålar åt alla håll vilket betyder att intensiteten avtar med kvadraten på avståndet. På avståndet l cm är alltså intensiteten 104 ggr högre än på avståndet 1 m!

Placera plastlådan med det radioaktiva preparatet på ett lämpligt avstånd från GM-röret så att mätningarna får ett fel som är av storleksordning 3% på grund av inverkan av rörets dödtid och ett jämförbart fel på grund av karaktären i den statistiska processen (ekvationerna (2) respektive (8)).

Du skall nu ta upp GM-rörets karakteristika genom att köra en mätserie där spänningen automatiskt stegas upp medelst Step Voltage. Mättiden Preset Time kan ställas kort, t ex 10 s. GM-röret har sin ansatsspänning, dvs. börjar räkna någonstans i trakten kring 700 V. För att få karakteristikan kan vi gå från t ex 600 V till 1000 V i steg om 20 V. Vi sätter då High Voltage på 600, Step Voltage på 20 och Run på 20 (20 steg om 20 V = 400V), och kör. Röret bör i viket fall som helst inte utsättas för högre spänning än 1000 V. Rita upp en graf och jämför med figur 2. Välj en arbetsspänning mitt på platån. Sedan har du den hela tiden, dvs. använder inte mer funktionen Step Voltage. 2. Bestämning av dödtid Vi är intresserade av att bestämma dötiden hos GM röret. Detta kan göras på flera sätt, t.ex. genom att koppla in ett oscilloskop och studera strömpulserna och deras dödtid. Detta ger dock endast en noggrannhet på ca 30%. Vi ska istället mäta dödtiden med hjälp av en noggrannare metod. Anta att vi har två radioaktiva källor, A respektive B, och att vi mäter antalet detekterade partiklar. Partiklarna kommer således från båda källorna. Därmed gäller nkorr = nkorr(A)+n korr(B) (9) där nkorr är det totala antalet detekterade partiklar per sekund och nkorr(A) och n korr(B) är antalet partiklar detekterade per sekund från källa A respektive B. Från ekvation (2) tillsammans med ekvation (9) kan man uttrycka dödtiden τ i n, nA och nB. Förberedelseuppgift 3 Härled uttrycket för dödtiden τ enligt ovan. Du kommer att behöva lösa en andragradsekvation, motivera teckenval. Vad har τ för enhet? Ledtråd: Vad gäller när τ = 0?

20

τ = _____________________________________________________________________________ (10) För att räkna ut τ enligt ovan behöver vi ha reda på n, nA och nB. Detta görs genom att detektera partiklar från två källor samtidigt samt de två källorna var för sig under vardera en sekund. Det är viktigt att orienteringen mellan de radioaktiva källorna är densamma i alla tre fallen. Arbetsgång:

1) Ställ in GM rörets arbetspänning (High Voltage) som bestämdes i förra uppgiften. 2) Set Preset Time till 60 sekunder. 3) Positionera de två radioaktiva källorna i träbehållaren. Se till att inte sticka in dem

för långt! Då går GM röret sönder! Se till att preparaten är så pass nära att räknehastigheten är 10 000 per sekund.

4) Tryck COUNT. Spara antalet detekterade partiklar som N. 5) Ta bort källa (b) och tryck COUNT. Notera antalet detekterade partiklar som Na. 6) Sätt tillbaka källa (b) och ta bort källa (a). Tryck på COUNT. Notera antalet

detekterade partiklar som Nb. 7) Räkna ut τ enligt (10). Observera att N≠n o.s.v.

3. Undersökning av sönderfallets statistiska natur För att undersöka de statistiska fluktuationerna placeras ett preparat 137Cs på lämpligt avstånd. Olika avstånd ger olika värde på N. Ställ in analysatorn så att Du mäter under t ex 10 sekunder. Ni anger alltså antalet pulser på 10 s. Kör förslagsvis 100 runs och återge resultatet som ett histogram. Ju fler mätningar Du gör desto bättre bör histogrammet likna en poissonfördelning. En egenskap hos poissonfördelningen är att standardavvikelsen, s, ges direkt ur sambandet s = √m, där m är medelvärdet av antalet pulser. Det är intressant att approximativt bekräfta detta samband när vi nu har tillgång till en serie oberoende händelser och en automatisk räknare. Redovisning 1. Redovisa den uppmätta karakteristikan. Sätt ut det statistiska felet. Ange vald

arbetsspänning. Beräkna relativa lutningen och bestäm Gm-rörets f-värde. 2. Ange uppmätt dödtid, härled formeln för verklig räknehastighet (2) och dötiden (10),

och uppskatta felet.

3. Beräkna medelvärde och standardavvikelse för den statistiska fördelningen. Rita ett histogram över den experimentella fördelningen. Rita i samma diagram en normalfördelning med det experimentellt bestämda medelvärdet som medelvärde. Beräkna s = √m. Beräkna hur många procent av antalet mätvärden som hamnade i intervallet m ±1.65s (90 % konfidensnivå). Kontrollera att Du har ungefär 90 % av mätvärdena i detta intervall.

21

3: SILVERS HALVERINGSTIDER

Målsättning Bestämning av halveringstider för två silverisotoper som uppstår vid bestrålning med termiska neutroner. _________________________________________________________________________ Teori Vid kollision mellan neutroner och atomkärnor kan någon av följande processer inträffa: 1. Neutronerna sprids elastiskt 2. Neutronerna sprids inelastiskt 3. Neutronerna absorberas av atomkärnorna De neutroner som ska användas i detta experiment är neutroner från Am-Be. Sannolikheten (tvärsnittet) för att producera de isotoper som intresserar oss är stort för termiska neutroner. Neutronerna från Am-Be har en för vårt ändamål ofördelaktig hastighetsfördelning. Dessa bromsas därför ned genom process 2 i en paraffinmoderator. De på detta sätt producerade neutronerna användes i nedanstående kärnreaktioner (process 3), 47

109Ag+01n→ 47

110Ag + γ (1) 47

107Ag+ 01n→ 47

108Ag + γ (2) Förberedelseuppgift 1 Fullborda reaktionsformlerna nedan med förutsättningen att de båda silverisotoper undergår β-sönderfall 47

110Ag → β− +______________________ (3) 47

108Ag → β− + ______________________ (4) Förberedelseuppgift 2 För det radioaktiva sönderfallet gäller: N = N0e−λt (5) där N = antalet radioaktiva kärnor vid tiden t N0 = antalet radioaktiva kärnor vid tiden t=0 λ = sönderfallskonstanten Vilket samband finns mellan sönderfallskonstanten λ och halveringstiden T? T= _______________________ (6) Antalet atomer, Ni, av de nybildade radioaktiva silverisotoperna under bestrålningstiden t erhålls genom ett resonemang om direkt proportionalitet (förutsätt nu att ingen kärna sönderfaller)

22

Ni = kciσi t där k= en konstant ci= isotopkoncentrationen (48,18 % för 109Ag och 51,28 % för 107Ag) σi= tvärsnittet för aktivering med hjälp av termiska neutroner Men eftersom de nya isotoperna både bildas och sönderfaller erhålles aktiviteten

dNidt

= kciσi − λiN i (7)

Om ekvationen löses med integration och med begynnelsevillkoret att Ni är 0 vid tiden 0 fås efter tiden t0

N i =kciσi

λi(1− e−λ it 0 ) (8)

Bestrålningen äger rum vid tiden t0. Tiden t-t0 efter bestrålningens upphörande är antalet atomer: N i =

kciσiλi

(1− e−λ it 0 )e−λ i (t−t 0) (9)

I ett Geiger-Müller rör registreras aktiviteten n, som är proportionell mot summan av de två komponenternas sönderfallshastigheter.

ni ≈ −

dNidt

= λiN i = kciσi (1− e−λ it 0 )e−λ i (t− t0 )

ni ≈ ni0e−λ i (t−t 0) (10)

där ni = aktiviteten vid t=t0

n = n1 + n2 = n10e−λ1(t−t 0) + n20e−λ2 (t− t0 ) (11)

Figur 1 Diagram för beräkning av T1 och T2

ln(n)

ln(n10)

ln(n20)

t 0t

ln(n)

ln(n10)

ln(n20)

t 0t

23

I ett diagram avsätts logaritmen för antalet sönderfallande atomer som funktion av tiden t. På grund av att de båda halveringstiderna är så olika kan en approximation i ett rätlinjigt förlopp göras för långa tider jämfört med halveringstiden för den kortlivade isotopen. (se figur 1). Eftersom halveringstiden för 110Ag är mycket kortare än halveringstiden för 108Ag, kan man alltså dra slutsatsen att aktiviteten som mäts i slutet av experimentet enbart kommer från 108Ag. Genom att anpassa en rät linje till punkterna i diagrammets högra del och extrapolera den bakåt till tiden 0, får vi bidraget från 108Ag till den totala aktiviteten. Från den totala aktiviteten kan vi nu subtrahera bidraget från 108Ag, och resterande del måste då komma från 110Ag. I ett nytt diagram presenteras dessa beräkningar som visar bidraget enbart från den kortlivade 110Ag. Ur de räta linjernas lutning kan halveringstiderna Ti och sönderfalls-konstanterna λi beräknas. Ovanstående beräkningar förutsätter att GM-rörets känslighet är lika stor för de båda reaktionernas β-partiklar. Detta torde även vara fallet med tillräcklig noggrannhet, då β-partiklarnas energier inte skiljer sig alltför mycket från varandra. Val av bestrålningstid: Efter en bestrålningstid lika med två halveringstider har man nått upp till ca 75 % av maximal aktivitet. Lämplig bestrålningstid bör då vara ca 2-3 halveringstider. Eftersom vi har en halveringstid på cirka 2 minuter för den mest långlivade isotopen kan en lämplig bestrålningstid vara 5 minuter. Utförande Arbetspunkt för GM-röret bestäms i en annan laboration. I PM för laboration 2b under utförande finns en kort beskrivning av den mätdatorutrustning som GM-röret är anslutet till. Om GM-röret används för första gången kan spänningen till GM-röret väljas till 800 V och en kontroll göras med preparatet 137Cs. Preparatet 137Cs har lång halveringstid, dvs. ungefär konstant aktivitet, så att om GM-rörets arbetspunkt är rimligt vald ska inte aktiviteten ändras mycket när spänningen till röret ändras med 20 V uppåt respektive nedåt. Kontakta handledaren om du får problem med detta. Bestråla blecket i 5 minuter och flytta det sedan till en position i preparathållaren nära GM-röret. Anledningen till att silverblecket placeras så nära detektorn som möjligt är att mättiden är kort och aktiviteten låg, varför man vill detektera så många sönderfall som möjligt för att få bra statistik. Aktiviteten har efter cirka 6 minuter minskat till nivån för bakgrundsstrålningen så starta mätningen snarast möjligt efter bestrålning. Välj t ex ett mätintervall på 4 sekunder under 6 minuter. Försöket upprepas ett par gånger för att få god statistik. För att aktiviteten skall avklinga ordentligt efter varje mätserie, bör oanvända silverbleck användas. Önskvärt är nu att punkt för punkt addera de olika mätseriernas mätvärden. Resultatet av mätningarna skrivs ut på den skrivare som är ansluten till datorn. Efter avslutade mätserier mäts bakgrundsstrålningen, nolleffekten, under lika lång tid som en mätserie (lite över 5 minuter).

24

Redovisning Korrigera för dödtid och för bakgrund där detta är motiverat, dvs. när effekten av korrektionerna inte är försumbara. Avsätt logaritmen för den korrigerade räknehastigheten som funktion av t. Sätt ut felen. Varje mätpunkt ger aktiviteten mätt under en fyrasekunders intervall. Placera mätpunkterna i mitten av tidsintervallen. De båda halveringstiderna T1 och T2 bestäms ur de båda diagrammen, och sönderfallskonstanterna λi beräknas. Felen uppskattas grafiskt med hjälp av felen i räknehastigheterna.

25

4a: α-ABSORPTION

Målsättning Att studera α-strålning med hjälp av en ytbarriärdetektor. Studium av hur α-partiklarnas energi avtar i luft. Mätning av tjockleken hos ett aluminiumfolium med hjälp av α-partiklarna. ________________________________________________________________________ Teori Att sända ut joniserande strålning är ett sätt för instabila atomkärnor att göra sig av med överskottsenergi. För vissa (vanligtvis tunga) kärnor kan det vara fördelaktigt att sända ut α-partiklar. Energierna hos de utsända α-partiklarna visar sig vara diskreta, dvs. endast några få värden på alfaenergin förekommer. Figur 1 visar ett sönderfallsdiagram för 235U. Dotterkärnan är vanligen exciterad, vilket innebär att α-partiklarna får olika energier. Längst till höger finns angivet den procentuella fördelningen för de förekommande alfaenergierna.

Figur 1 Sönderfallsdiagram för 235U

0,448

0,387

0,337

0,279

0,234

0,2040,185

0,097

0,042

0

235 92 U

0,5%

5,7%

0,6%

3,4%

18%57%4%

1,2%

3,7%

4,6%

62 0

.021

38 0

.180

500.2

04

43 0

.204

43 0

.163

14 0

.110

83 0

.185

17 0

.143

A Z X =

26

Förberedelseuppgift 1 Ange en allmän reaktionsformel för en kärna med kärnladdning Z som undergår α-sönderfall. Z

AX → α +__________________ Fyll också i rätt grundämnesbeteckning på dotterkärnan i figur 1. Detektorn Den detektorn du ska använda är en ytbarriärdetektor, som alltså kan detektera och bestämma energin hos laddade partiklar. Den består av en n-dopad kiselkristall, i vars ena yta ett ytterst tunt (1µm) p-dopat skikt har skapats i en etsningsprocess. På detta skikt har en tunn (40 µg/cm2) guldkontakt förångats. Med positiv polaritet på n-skiktet blir detektorkristallen en backspänd diod. I n-skiktet fås då ett område utarmat på laddningsbärare. Tjockleken på detta utarmningsområde bestäms av den pålagda spänningen och halvledarens resistivitet. Eftersom α-partiklarnas räckvidd är kort, krävs endast ett tunt utarmningsområde, men vid mätning på β-partiklar måste det vara betydligt tjockare (storleksordningen mm). Den detektor du ska använda har ett utarmningsområde som är ungefär 500 µm djupt. Principen för detektorns funktion framgår av figur 2. Då den laddade partikeln bromsas upp i utarmningsområdet skapas elektron-hål-par, som kommer att ge upphov till en strömpuls. Om utarmningsområdet är tillräckligt tjockt kommer partikelns hela kinetiska energi att avlämnas och ge upphov till ett motsvarande antal elektron-hål-par, varvid den erhållna strömpulsens storlek blir strikt proportionell mot partikelns energi.

Figur 2 Skiss över ytbarriärdetektorn

U

Laddad partikel

R

Signal

Guldkontakt

p-dopat skikt

n-dopad Si-kristallutarmningsområde

27

Förberedelseuppgift 2 Den radioaktiva isotopen som undersöks är 241Am. i) Skriv ner reaktionsformeln med hjälp av nuklidkartan (se Appendix). ii) Beräkna med hjälp av de angivna nuklidmassorna (se Appendix) den frigjorda

energin vid sönderfallet. iii) Beräkna alfaenergierna för de två vanligast förekommande sönderfallen. iv) Hur många och vilka alfaenergier kan man förvänta sig utgående från nuklidkartan?

Uppgift 4a.1: Bromsförmågan i luft för α-partiklar Placera preparatet i detektorlådan och skjut in den så långt som möjligt. Ställ förstärkaren i läge α och starta datainsamlingen. Stoppa efter några sekunder. Drag ut preparatet 0,5 cm. Starta insamlingen och stoppa när toppen i spektrumet blivit ungefär liks stor som den första. Upprepa förflyttning av preparat och datainsamling ytterligare några gånger. Tag reda på centroiden för topparna i spektrumet och för in resultaten i tabell 1 tillsammans med avståndet mellan källa och detektor. Till de uppmätta avstånden måste adderas 1,1 cm, som är avståndet mellan källa och detektor när källan är inskjuten så långt som möjligt.

Tabell 1 Topp Avstånd (cm) Centroid

(kanaler) 1 2 3 4 5 6

Använd data från tabell 1 och rita ett diagram över centroiden som funktion av avståndet. Anpassa kurvan så bra som möjligt till punkterna och extrapolera den till y-axeln. Längs y-axeln kan vi nu göra en energiskala om vi låter skärningspunkten motsvara alfaenergin avläst i nuklidkartan och förutsätter att ”kanal 0” motsvarar ”energi 0”. • Beräkna genom att extrapolera kurvan i ditt diagram till x-axeln hur lång

räckvidden är i luft för dessa α-partiklar. Räckvidden i luft = _________________________ • Riktningskoefficienten för (tangenten till) kurvan ger energiförlusten per

längdenhet dE

dx (stopping power ≈ bromsförmågan) i luft. Beräkna bromsförmågan för luft vid

28

alfaenergin 3,0 MeV. Jämför med vad man avläser ur diagram 1 i Appendix. bromsförmågan = __________________ (experiment) bromsförmågan = __________________ (ur diagram) Beräkna bromsförmågan, dvs. riktningskoefficienten till kurvan i diagram 1 och för in värdena i tabell 2. Rita sedan ett diagram över bromsförmågan som funktion av avståndet; den s.k. Braggkurvan.

Tabell 2 Avstånd (cm) dE

dxMeV / cm( )

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Som du ser varierar bromsförmågan med avståndet som α-partiklarna färdats. Ju lägre rörelseenergi de har desto större bromsförmåga. Ökningen av bromsförmågan i slutet av partikelbanan syns i diagrammet som den s.k. Braggtoppen. I slutet av partikelbanan avges alltså mycket energi per längdenhet och det är detta som utnyttjas inom strålterapi för att skada en tumör maximalt men samtidigt skona omgivande vävnad. Uppgift 4a.2: Beräkning av tjockleken hos ett aluminiumfolium Placera preparatet inskjutet så långt som möjligt. Samla data några sekunder. För in ett aluminiumfolium (monterat i absorbatorhållaren) mellan källan och detektorn. Samla data några sekunder. Tag reda på centroiderna för de två topparna i spektrumet.

Tabell 3 Topp Centroid

(kanaler) Energi (MeV)

1 2

29

Ur diagram 2 i Appendix över energiförlusten för α-partiklar i aluminium avläses: dEdx

=__________________ för Eα = medelvärdet _______________(av energierna ovan).

Beräkna tjockleken av foliet enligt metoden i uppgift 4a.1. (Antag att tjockleken är x mg/cm2. Obs! Enheten! Energiskillnaden E2 - E1 kan sättas lika med dE

dx⋅x ).

Aluminiumfoliets tjocklek = _____________________________

30

4b. β−STRÅLNING

Målsättning Att studera β-strålning med hjälp av halvledardetektor. Med hjälp av spektrum över konversionselektronernas energi bestämma energidifferensen mellan K- och L- skalen i atomens elektronhölje. _________________________________________________________________________ Teori Vissa atomkärnor är instabila beroende på att dess sammansättning av protoner och neutroner inte är den optimala, utan kärnan kan sänka sin energi genom att omvandla en neutron till en proton enligt följande reaktionsformel: n → p +β − + ν . (1) Den totala laddningen är oförändrad genom att protonens positiva laddning uppvägs genom bildandet av en β−-partikel (elektron). Dessutom bildas ytterligare en partikel, en antineutrino. Det finns också kärnor där det omvända sker; en proton omvandlas till en neutron, enligt följande: p → n +β + + ν där β+-partikeln är en positron (elektronens antipartikel). Dessutom kan en del kärnor fånga in en elektron från de innersta K-skalen. Dessa elektroner når väldigt nära kärnan i sina banor och har därför relativt stor chans att fångas in av en proton i kärnan. Denna process kallas elektroninfångning och resulterar i att en proton övergår till en neutron. p + e− → n + ν Den energi som frigörs vid β-sönderfallet återfinns som kinetisk energi hos de bildade partiklarna och den fördelas godtyckligt mellan dem. Betaenergin kan alltså anta värden mellan 0 och den maximala energin, som är lika med den i reaktionen frigjorda energin. Om dotter-kärnan bildas i sitt grundtillstånd blir den frigjorda energin lika med Q-värdet för sönderfallet. Figur 3 visar hur 137Cs β-sönderfaller. Dotterkärnan kan efter sönderfallet vara i sitt grund-tillstånd, men vanligtvis är den i ett exciterat tillstånd med en energi 0,662 MeV över grund-tillståndet. Denna överskottsenergi sänds antingen ut som γ-strålning eller genom s.k. konversion. Det senare innebär att kärnans överskottsenergi överförs till en elektron i elektron-höljet som sänds iväg med en energi av 0,662 MeV minus elektronens bindningsenergi.

31

Figur 3 Sönderfallsdiagram för 137Cs Förberedelseuppgift i) Ange reaktionsformeln för 137Cs som undergår β-sönderfall. 55

137Cs → β− + __________________ Fyll också i rätt grundämnesbeteckning på dotterkärnan i figur 3. ii) Beräkna den frigjorda energin i sönderfallet, det s.k. Q-värdet. iii) Beräkna den maximala energin för β-partiklarna när dotterkärnan lämnas i – grundtillståndet – det exciterade tillståndet iv) Beräkna energin för den konversionselektron som härrör från K-skalet, om bindningsenergin för K-skalet är 37,4 keV. Utförande Placera 137Cs-preparatet i detektorlådan. Detektorn kan användas till att detektera både α–partiklar och β-partiklar. Detektorn ska nu med hjälp av en omkopplare på utrustningens baksida vara inställd i β-läge. Tag upp ett spektrum, mättid minst 5 minuter. Ett β-spektrum karakteriseras av den kontinuerliga fördelningen för betaenergin. Spektrumet för 137Cs domineras av de β-partiklar som sänds ut till det exciterade tillståndet, eftersom 93,5% av sönderfallen går den vägen. Längst till höger i spektrumet syns ett par diskreta toppar (en stor och till höger om den en mindre). Dessa härrör från konversionselektronerna som sänds ut då kärnan i det exciterade tillståndet återgår till grundtillståndet vid deexcitation av det exciterade tillståndet med energin 0,662 MeV. • Gör en energikalibrering av β-spektrumet med hjälp av 'K-toppen' förutsatt att

137 55Cs

A Z X =

0,662

0

93,5%

6,5%

30,0 y

32

kanal 0 motsvarar 0 MeV. Beräkna därefter energin för konversionselektronerna från L-skalet och bindningsenergin för L-elektroner. • Beräkna i spektrumet maximala betaenergin från sönderfallet till de exciterade tillståndet genom att ”extrapolera” den högra kanten av den breda fördelningen ner till energiaxeln. Jämför med värdet från förberedelseuppgiften. • Dessutom, förstora för höga energier. Vad ser du där?

33

Appendix

1. Några intressanta atommassor 2. Sönderfallsschema för 241Am 3. Energiförlust för α-partiklar

Appendix 1: Några intressanta atommassor

Isotop Atommassa (u)

24He 4,002602

55137Cs 136,907073

56137Ba 136,905812

93237Np 237,048168

95241Am 241,056823

34

Appendix 2: Sönderfallsschema för 241Am

(från 'Table of Isotopes', Seventh Edition, Wiley Interscience Publication, 1978)

35

Appendix 3: Energiförlust för α-partiklar

dEdx

α( )E

= 4dEdx

proton( ) E4

Energiförlust i kväve

Energiförlust i aluminium