Laboratoridel Sapere Scientifico · simmetrie assiali Istituto Comprensivo “G. Mariti” Scuole secondarie 1° grado Fauglia e Santa Luce ... Docenti: Cecilia Salutini, Alessandra

Laboratori del

Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana

nell'ambito dell'azione regionale di sistema

Laboratori del

Sapere Scientifico

Traslazione, simmetria centrale, rotazione e

antitraslazione anche come composizione di

simmetrie assiali

Istituto Comprensivo “G. Mariti”

Scuole secondarie 1° grado Fauglia e Santa Luce

Classi seconde

Docenti: Cecilia Salutini, Alessandra Orlandini , Amelia Buono

Collocazione del percorso nel curricolo verticale

Il percorso rappresenta la seconda fase di studio delle trasformazioni geometriche e costituisce un ulteriore supporto per affrontare il tema dei poligoni, della loro classificazione, delle loro proprietà e delle loro aree, dei fregi e delle pavimentazioni.

Esso necessita di competenze precedentemente acquisite:

• saper osservare

• saper usare gli strumenti per il disegno geometrico e la misura

• saper individuare figure congruenti• saper individuare figure congruenti

• aver acquisito il concetto di trasformazione geometrica, di varianti e invarianti

• aver acquisito il concetto di isometria come trasformazione geometrica del piano in sé la cui unica variante è la posizione .

• riconoscere figure direttamente e inversamente congruenti

• aver acquisito i concetti di isometria invertente e non invertente, punto unito, retta unita, retta fissa

• conoscere la simmetria assiale

• riconoscere e saper disegnare figure corrispondenti in una simmetria assiale.

Obiettivi essenziali di apprendimento

• acquisire i concetti di traslazione, simmetria centrale, rotazione ed antitraslazione

• individuare la caratterizzazione delle suddette isometrie

• riconoscere e saper disegnare figure corrispondenti nelle varie isometrie

• acquisire il concetto di composizione di isometrie• acquisire il concetto di composizione di isometrie

• sviluppare il linguaggio specifico

• sviluppare competenze informatiche

• potenziare la capacità di usare gli strumenti per il disegno geometrico

• conoscere e saper utilizzare il sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Elementi salienti dell’approccio metodologico

La metodologia didattica scelta per affrontare lo studio di questo argomento privilegia un approccio di tipo laboratoriale attraverso il quale lo studente, sotto la guida dell’insegnante, arriva a scoprire proprietà e ad acquisire concetti.

Allo scopo si è fatto ricorso a:

• Lavoro individuale

• Lavoro in piccoli gruppi omogenei e/o eterogenei

• Utilizzo di GeoGebra come strumento didattico che consente di affrontare le varie

tematiche in modo dinamico e veloce, trovando conferme di intuizioni e proprietà. tematiche in modo dinamico e veloce, trovando conferme di intuizioni e proprietà.

• Problem solving

• Costruzione della conoscenza attraverso la ricercazione :

a) osservazione della realtà

b) manipolazione di opportuni materiali

c) confronto, discussione collettiva, condivisione dei risultati

d) individuazione di un linguaggio appropriato via via più articolato e corretto

e) organizzazione logica delle esperienze fatte e brevi relazioni scritte dopo attività

collettive di verbalizzazione

f) concettualizzazione

Materiali, apparecchi e strumenti impiegati

• Carta quadrettata

• Cartoncino

• Carta bianca

• Carta da lucido

• Spilli

• Bottoni automatici

Forbici• Forbici

• Matite colorate

• Geopiano

• Gommini

• Strumenti per il disegno geometrico

• Quaderno

• Lavagna

• Computer (Geogebra)

Ambiente/i in cui è stato sviluppato il percorso

Aula di classe

Tempo impiegato

• Per la messa a punto preliminare nel Gruppo LSS,

corso di formazione di 10 ore su attività laboratoriali

relative alle isometrie.

• Per la progettazione specifica e dettagliata nelle Per la progettazione specifica e dettagliata nelle

classi , 4 ore.

• Tempo-scuola di sviluppo del percorso, 16 ore.

• Per la documentazione, 25 ore.

Descrizione del percorso didattico (1)

In questo percorso si è voluto far sì che i ragazzi familiarizzassero con i concetti di traslazione, rotazione ed antitraslazione comprendendone le proprietà e che acquisissero successivamente la consapevolezza che ciascuna di esse può essere consapevolezza che ciascuna di esse può essere ottenuta anche dalla composizione di simmetrie assiali. E’ stato pertanto ripreso il lavoro precedente (classe 1a) nella sua parte introduttiva alla simmetria assiale.


I ragazzi avevano compreso che in alcune coppie di bandierine le due figure potevano essere sovrapposte in tre modi diversi: trascinando, ruotando o ribaltando indifferentemente una delle due fino a farla indifferentemente una delle due fino a farla combaciare con l’altra. Nel precedente percorso fu scelto di sviluppare il concetto di ribaltamento per poter poi affrontare le altre isometrie anche come trasformazioni generate da più simmetrie assiali.


Si è proposto agli alunni un ritorno al foglio

con le bandierine colorate, rosse e verdi, che

avevano utilizzato per scoprire la relazione di avevano utilizzato per scoprire la relazione di

congruenza diretta e inversa e si sono invitati

ad individuare coppie di bandierine in cui le

due figure si sovrapponevano con un

movimento di trascinamento.



Gli alunni ne hanno individuato agevolmente alcune, come ad esempio 16-17, 21-10 e 14-8, rilevando immediatamente come esse fossero formate da bandierine dello stesso colore e che quindi dovesse trattarsi di trasformazione non quindi dovesse trattarsi di trasformazione non invertente.

Si sono invitati i ragazzi a scegliere una delle coppie prese in esame (21-10), ad individuare punti corrispondenti delle due figure e ad unirli con segmenti.


Si sono invitati i ragazzi a scegliere una delle

coppie prese in esame (21-10), ad individuare

punti corrispondenti delle due figure e ad

unirli con segmenti.unirli con segmenti.


Si è poi chiesto loro quali fossero le

“caratteristiche” di tali segmenti; non hanno

trovato difficoltà a coglierne congruenza e

parallelismo (tutti i punti si erano mossi di uno parallelismo (tutti i punti si erano mossi di uno

stesso tratto e nella stessa direzione), mentre

è stato necessario l’intervento dell’insegnante

per completare l’osservazione in merito al

fatto che il movimento di ciascun punto era

avvenuto nello stesso verso.


E’ stato chiaro a questo punto che gli elementi caratterizzanti tale trasformazione sono tre:

• la direzione

• la lunghezza (modulo)• la lunghezza (modulo)

• il verso

Si è dunque introdotto il concetto di segmento orientato (vettore) che riassume in sé le caratteristiche della trasformazione, definita TRASLAZIONE.


I ragazzi sono stati in grado a questo punto,

con la guida dell’insegnante, di formulare una

definizione corretta di traslazione come

trasformazione del piano in sé tale che i trasformazione del piano in sé tale che i

segmenti che congiungono ciascun punto P

con il corrispondente P’ sono paralleli, di

uguale lunghezza e stesso verso.


Affinché i ragazzi familiarizzassero con la

traslazione si è proposto di costruire figure sul

geopiano e sul foglio di carta quadrettata e di geopiano e sul foglio di carta quadrettata e di

individuarne le traslate secondo vettori

assegnati, dapprima paralleli alla

quadrettatura e successivamente obliqui.






Con una serie di domande e considerazioni l’insegnante ha condotto la classe a puntualizzare e a approfondire la conoscenza della traslazione:

E’ un’ isometria invertente o non invertente?E’ un’ isometria invertente o non invertente?

I ragazzi hanno disegnato un triangolo ABC e, aiutandosi con la quadrettatura, hanno individuato il suo traslato secondo un certo vettore. Le lettere del contorno ABC e A’B’C’ si susseguono nello stesso verso dunque si tratta di una isometria non invertente.



La traslazione ha o no punti fissi?

I ragazzi hanno disegnato un poligono

ABCDEF, lo hanno ricopiato su carta lucida e

trascinato il lucido “parallelamente” secondo trascinato il lucido “parallelamente” secondo

un certo vettore individuando il poligono

A’B’C’D’E’F’. Il movimento di scorrimento

effettuato non ha lasciato dubbi: non ci sono

punti fissi.

Questa esperienza

ha fornito anche


ha fornito anche

l’occasione per

introdurre il

concetto di

traslazione inversa

come movimento

che riporta la

figura traslata sulla

figura iniziale.


Le attività grafiche fin qui effettuate hanno evidenziato che la traslazione trasforma rette in rette parallele, quindi si è ritenuto opportuno chiedere ai ragazzi:

Nella traslazione ci sono rette che vengono Nella traslazione ci sono rette che vengono

trasformate in sé?

L’insegnante ha indirizzato l’attività chiedendo di disegnare una figura a piacere, di scegliere in essa un segmento e di effettuare una traslazione con vettore parallelo al segmento scelto.


Un gruppo di ragazzi ha disegnato un

rettangolo ABCD, in esso ha scelto la

diagonale AC ed ha effettuato la traslazione di diagonale AC ed ha effettuato la traslazione di

vettore t parallelo alla diagonale ottenendo il

rettangolo A’B’C’D’. Le diagonali AC e A’C’

vengono a trovarsi sulla stessa retta.


E’ evidente come la retta a cui appartiene la diagonale del rettangolo sia

trasformata in sé dalla traslazione con vettore parallelo alla diagonale stessa.

Si è introdotta dunque la terminologia di retta unita e si è concluso che le rette

unite in una traslazione sono quelle parallele al vettore.


Si è passati ora alla costruzione di figure traslate

su carta bianca utilizzando riga e squadra.


Dopo aver proposto diverse applicazioni sia su

foglio quadrettato che bianco si è passati

all’utilizzo del foglio quadrettato dotato di

sistema di riferimento cartesiano esteso ai sistema di riferimento cartesiano esteso ai

quattro quadranti (utilizzando i numeri relativi

solo per individuare punti nel piano),

ritenendo che questo renda anche più agevole

lo svolgimento di vari esercizi sulle isometrie.


Nel contempo il ricorso al riferimento cartesiano offre l’occasione di proporre figure attraverso le coordinate dei loro vertici e vettori mediante le loro componenti, nonché di controllare gli esiti di esercitazioni con informazioni valide per tutti gli esercitazioni con informazioni valide per tutti gli alunni. Le componenti del vettore andranno intese come spostamenti: verso destra o sinistra (componente orizzontale positiva o negativa) e verso l’alto o il basso (componente verticale positiva o negativa).


Il lavoro nel piano cartesiano è stato approfondito con l’utilizzo di GeoGebra, che ha consentito di visualizzare velocemente e correttamente numerose traslazioni rendendo più agevoli ulteriori osservazioni.più agevoli ulteriori osservazioni.

In tale contesto i ragazzi hanno scoperto facilmente l’equazione di una traslazione, inizialmente di vettore parallelo ad uno degli assi e successivamente obliquo.






Si è proposto poi ai ragazzi di cercare

immagini nel mondo reale nelle quali

potessero individuare le isometrie fin qui

esaminate, considerando in particolare motivi esaminate, considerando in particolare motivi

che si ripetessero indefinitamente in una sola

direzione a formare fregi. Si sono presi in

esame motivi architettonici, vetrate, stoffe,

carte da parati…





Il lavoro è proseguito con domande dell’insegnante:

• Quali immagini sono riconducibili a fregi?

• Quali caratteristiche hanno questi ultimi?

• Qual è il motivo che si ripete?• Qual è il motivo che si ripete?

• Quale isometria è stata utilizzata per la

ripetizione del motivo?

• Il motivo che si ripete presenta delle isometrie?


I ragazzi hanno compreso che un fregio si

ottiene applicando ripetutamente la

traslazione di un motivo sempre secondo lo

stesso vettore, mentre tra le isometrie stesso vettore, mentre tra le isometrie

eventualmente presenti nel motivo del fregio

hanno individuato ovviamente soltanto la

simmetria assiale. L’osservazione e lo studio

dei fregi potrà pertanto essere completata una

volta affrontate le altre isometrie.


E’ stato poi proposto agli alunni di disegnare

con GeoGebra un motivo base a piacere e di

utilizzare le funzioni di simmetria assiale e

traslazione per costruire fregi.traslazione per costruire fregi.



A questo punto si è ritenuto opportuno

stabilire un collegamento tra la traslazione e la

simmetria assiale, facendo scoprire che la

composizione di due simmetrie assiali può composizione di due simmetrie assiali può

generare una traslazione; a questo scopo si

sono invitati i ragazzi a disegnare una figura e

ad effettuare in sequenza due simmetrie

assiali con assi tra loro paralleli.



Esiste una isometria che fa passare dalla figura ABCDE alla

figura A’’B’’C’’D’’E’’?

Si tratta di una isometria invertente o non invertente?

Ha punti fissi?

Dalla discussione è emerso che si trattava di una traslazione e

sono stati proprio i ragazzi a volerne individuare il vettore;

direzione e verso sono emersi facilmente, mentre non è statodirezione e verso sono emersi facilmente, mentre non è stato

immediato individuarne il modulo. A tale scopo si è suggerito

agli alunni di ripetere l’esercizio variando la distanza fra gli assi

paralleli e i ragazzi hanno scoperto che la lunghezza della

traslazione era sempre doppia della distanza tra gli assi;

guidati dall’insegnante ne hanno capito il perché.



Si è provato poi ad invertire l’ordine di esecuzione delle simmetrie assiali ad assi paralleli. Partendo dalla figura ABCDE si è eseguita stavolta prima la simmetria rispetto a r2 e poi su A’B’C’D’E’ la seconda simmetria assiale rispetto a r . Gli alunni hanno simmetria rispetto a r2 e poi su A’B’C’D’E’ la seconda simmetria assiale rispetto a r1. Gli alunni hanno dimostrato che si è generata una traslazione da ABCDE ad A’’B’’C’’D’’E’’ come nel primo caso; stavolta però si è ottenuta una traslazione con stesso modulo, stessa direzione ma con verso opposto al precedente.


Il proseguimento del percorso ha previsto lo sviluppo di attività riguardanti le altre isometrie ed ha utilizzato gli stessi criteri operativi.

Per introdurre la simmetria centrale e la rotazione si è lavorato con un foglio di carta bianca (per rappresentare il piano) e un foglio di carta trasparente rappresentare il piano) e un foglio di carta trasparente fissato al precedente con un bottone automatico inserito in un punto qualsiasi. Sul foglio di carta bianca sono stati disegnati punti e figure che sono stati ricalcati sulla carta trasparente; ruotando il foglio trasparente di angoli di 180°, 90°, 45° ecc. si sono individuati i punti e le figure corrispondenti attraverso la bucatura del foglio con uno spillo.


Lo studio di quanto ottenuto ha permesso di

caratterizzare queste isometrie e di

individuarne le proprietà (isometrie non

invertenti con un solo punto unito; involutoriainvertenti con un solo punto unito; involutoria

la simmetria centrale ma non la generica

rotazione; con rette unite la simmetria

centrale; ...…..).


A questo punto si sono effettuate attività volte

ad evidenziare come la simmetria centrale e la

rotazione si possano ottenere come rotazione si possano ottenere come

composizione di due simmetrie assiali ad assi

incidenti, perpendicolari nel caso della

simmetria centrale.


Si è disegnato un triangolo ABC su un foglio di carta che si è poi piegato in modo da ottenere due assi incidenti, rispetto ai quali si sono costruite in successione le figure simmetriche A’B’C’ e A’’B’’C’’.

Cosa è possibile dire delle figure ABC e A’’B’’C’’? Osserviamo il senso di percorrenza del contorno delle figure: cosa notiamo? Esiste una isometria che porta Osserviamo il senso di percorrenza del contorno delle figure: cosa notiamo? Esiste una isometria che porta ABC in A’’B’’C’’? Di quale isometria si tratta? I ragazzi hanno concluso agevolmente che si tratta di una rotazione e ne hanno individuato il centro e l’angolo orientato, trovandone conferma attraverso la sovrapposizione di un lucido fissato al foglio bianco nel punto d’incontro degli assi con un bottone automatico.


Successivamente si è scoperta la relazione tra

l’ampiezza dell’angolo di rotazione e quella

dell’angolo compreso tra i due assi: l’angolo di

rotazione è sempre doppio rispetto a quello rotazione è sempre doppio rispetto a quello

tra gli assi di simmetria.


Utilizzando GeoGebra è stato possibile

visualizzare in maniera dinamica cosa accade

facendo variare l’ampiezza dell’angolo

compreso tra i due assi di simmetria. Questa compreso tra i due assi di simmetria. Questa

attività ha reso evidente che la simmetria

centrale non è altro che un caso particolare di

rotazione, ossia quella di 180° : il mezzo giro.


Per completare il quadro delle isometrie si è esaminato il caso di un’isometria inversa senza punti fissi.

Si è proposto ai ragazzi di disegnare su carta quadrettata una figura e di eseguire su di essa una simmetria assiale e successivamente una traslazione parallela all’asse di simmetria (o viceversa). parallela all’asse di simmetria (o viceversa).

La trasformazione che porta la prima figura nella terza è sicuramente priva di punti fissi e cambia il verso di percorrenza del contorno; si tratta pertanto di una nuova isometria, detta antitraslazione o glissosimmetria, che trova corrispondenza nella realtà con le orme dei passi di una persona.

Verifiche degli apprendimenti

a) Tipologie impiegate:

- osservazione degli alunni durante le attività

e ascolto dei loro interventi nelle discussioni

collettivecollettive

- prove strutturate (scelta multipla, vero-falso,

completamento)

- prove grafiche

- domande aperte

b) Esempi1) Individua le caratteristiche della traslazione:

a) � mantiene la lunghezza dei lati

b) � mantiene la posizione nel piano e) � ha punti fissi

c) � mantiene l’ampiezza degli angoli f) � ha rette unite

d) � conserva il verso di percorrenza del contorno g) � trasforma rette in rette parallele

2) Elenca gli elementi che caratterizzano una traslazione

3) Completa la seguente affermazione: una traslazione può essere ottenuta come

composizione di due simmetrie assiali con assi:

a) � incidentia) � incidenti

b) � paralleli

c) � perpendicolari

4) Le figure ABC e A’B’C’ si corrispondono in una traslazione.

Individua graficamente il vettore che porta la prima nella seconda.

Nella traslazione inversa, quale elemento caratterizzante il vettore risulta variato?

5) Data la figura F, disegna la simmetrica F’ nella simmetria di asse s e

successivamente realizza un fregio con il motivo ottenuto secondo il vettore t

indicato.

6) Data la figura F disegna la simmetrica F’nella simmetria di asse r e successivamente

trasla F’ secondo il vettore t perpendicolare ad r ottenendo la figura F’’

Si può passare dalla figura F alla

figura F’’ con una simmetria

assiale? Se sì, rispetto a quale

asse? Disegnalo.

Risultati ottenuti

(analisi critica in relazione agli apprendimenti degli alunni)

Gli alunni non hanno mostrato difficoltà a comprendere le questioni generali del percorso; hanno evidenziato buone capacità di intuizione e di osservazione; la fase operativa piuttosto articolata e anche l’utilizzo di GeoGebra hanno sicuramente motivato l’apprendimento articolata e anche l’utilizzo di GeoGebra hanno sicuramente motivato l’apprendimento agevolando il successivo momento della concettualizzazione.

Non per tutti è stato facile utilizzare gli strumenti del disegno geometrico nell’ultima parte del percorso riguardante la rotazione.

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