Funzioni e trasformazioniVincenza Russo

1

Outline:• Quesiti.• La funzione: iniettiva, suriettiva, biettiva.• Alcune trasformazioni: simmetrie, traslazioni.• Soluzione dei quesiti.

2

1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:

3

2)Se 23)( xxf

qual è il valore di f(x+3) ?

a) 962 xx

b)

c)

d)

62 x

36122 xx

92 x

4

3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da: a b

c

d e

5

6

C

D

3

1

3

2

4)

a)ha un solo zero in x=0b)è simmetrica rispetto all’originec)per x>0 si ha f(x)>0d)si ha sempre f(x)>0e)non si ha mai f(x)<0

5) La funzione

7

a) x<0b)x<-1c)x<-1 oppure x>0d)tutti i numeri realie)x<-1 oppure x>1

6) La funzione è minore di zero per:

8

7)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:

a)

b)

c)

d)

2

3)(1 x

xf

3)(1 xexf

2

3)(1

xexf

2ln3)(1 x

xf

9

FUNZIONE

Dati due insiemi A e B , la funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa un ed un sol elemento di B.

10

A Bf

DOMINIODOMINIO

xf(x)

Immagini o valori

11

A Bf

f (A)f (A)

12

A Bf

INIETTIVA

13

14

)x(f)x(fxx 2121

Funzione iniettiva

15

SURIETTIVAA Bf

1

2

3

4

7

9

11

16

Funzione suriettiva

AxBy , tale che f(x)= y

A Bf

INIETTIVA e SURIETTIVA

Suriettività e biettività

17

biettiva

A Bf - 1

inversa di f??

Ricerca dell’inversa

18

A Bf 1

19

20

A partire dal grafico delle funzioni , individuarne tutte le caratteristiche studiate.

-1+1

-2

f(x)=senx

21

22

23

1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:

24

000

25

a b c

La risposta esatta è la c perché ad ogni x corrisponde uno ed un solo f(x).

2)Se 23)( xxf

qual è il valore di f(x+3) ?

a) 962 xx

b)

c)

d)

62 x36122 xx

92 x

26

27

Si tratta di trovare il corrispondente di x+3.Pertanto si ha:

3612)6()33()3( 222 xxxxxf

La risposta esatta è la c

3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da

a bc

d e

28

29

kxxf

kb

xh

hbA

)(2

2

.

La funzione richiesta è una retta passante per l’origine.La risposta esatta è la b.

30

C

D3

1

3

2

4)

31

3

1

6

2

)4(2

)3(1)()(

4

2

3)(

1)(

ab

afbf

a

b

af

bf

La risposta esatta è la c

a)ha un solo zero in x=0b)è simmetrica rispetto all’originec)per x>0 si ha f(x)>0d)si ha sempre f(x)>0e)non si ha mai f(x)>0

5)La funzione

32

33

)1)(1()1()( 2245 xxxxxxxxf

f(x)=0 per x=0 , x=1, x=-1

0)( xf

1010)1(

0)1)(1()1(0)(2

2245

xoppurexxx

xxxxxxxxf

Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.

O x

y

34

35

Se f(x)= f(-x) la funzione si dice pari

Simmetria rispetto all’asse y

yy

xx'

'

'

'

yy

xx

36

Se f(x)= -f(-x) la funzione si dice dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

Simmetria rispetto all’origine

yy

xx'

'

'

'

yy

xx

La funzione è dispari in quanto:)()()( 55 xfxxxxxf

Pertanto è simmetrica rispetto all’origine.La risposta esatta è la b

37

f(x)=-f(-x)

a) x<0b)x<-1c)x<-1 oppure x>0d)tutti i numeri realie)x<-1 oppure x>1

5)La funzione è minore di zero per:

38

39

a>1

crescente

40

0<a<1

xaxf )(

decrescente

0a,a R 1a xaxf )(

x

x xe

11lim e = 2.71828...

Funzione esponenziale

Funzioni esponenziali

41

;0xaRx

Disequazioni esponenziali: attenzione alla base!

42

La funzione esponenziale è biettiva e, pertanto, è invertibile.(STRETTAMENTE CRESCENTE O STRETT. DECR.)

43

xaxy

Rxx

xxf

ya

a

a

log

log;0

log)(

Il logaritmo è l’esponente da dare alla base per avere l’argomento

xayx ya log

44

X>0

45

a>1

46

0<a<1

47

48

Disequazioni logaritmiche: attenzione alla base!

49

a) x<0b)x<-1c)x<-1 oppure x>0d)tutti i numeri realie)x<-1 oppure x>1

5)La funzione è minore di zero per:

50

Il dominio della funzione si ottiene risolvendo la disequazione fratta:

01

01

12

2

2

x

x

x

Si ottiene:x<-1 oppure x>1

-1 +1

51

Per stabilire dove la funzione è minore di 0occorre risolvere la disequazione:

01

01

11

22

22

2

2

xx

xx

x

x

Essa è verificata per x<-1 oppure x>1

La risposta esatta è la eAttenzione alla risposta d!

52

1log1

1log01

1log 10210210

xx

6)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:

a)

b)

c)

d)

2

3)(1 x

xf

3)(1 xexf

2

3)(1

xexf

2ln3)(1 x

xf

53

54

2

3)(

2

332

32)32ln( )32ln(

x

yy

yxy

exf

exex

xeeexy

La risposta esatta è la c

55

Esaminiamo dei quesiti nei quali è utile la conoscenza delle traslazioni.

1)Qual è il grafico della funzione 21)( xxf

56

-1

1

ab c

57

2)Qual è il grafico della funzione 1)( 2 xxf

1

-1

a b c

58

3)

4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:

59

2

0

a

e

d

c

b1 xey

1 xeyxe

2 xey

1 xey

5) Il grafico della

a) Giace sempre sopra l’asse xb) Giace sempre sotto l’asse xc) Giace tutto nel primo e quarto quadranted) Interseca due volte l’assee) Non interseca mai l’asse x

60

)2(log)( 10 xxf

6)La funzione f(x)= ln(x+1):

a)Non interseca l’asse xb)È sempre positivac)È positiva per x>-1d)È positiva per x>0

61

62

7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1

12

a b

c

1d

Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.

O x

y

63

64

Una traslazione è una isometria di equazioni:

byy

axx'

'

Come si possono determinare le traslazioni?Che relazione c’è tra equazione della funzione e vettore traslazione?Basta partire da un esempio semplice per capire e poi estenderlo agli altri casi.Consideriamo il seguente esempio.Da y = x (retta blu), vogliamo ottenere la retta rossa traslata di 1 verso destra, osserviamo che essa ha equazione y=x-1

10In generale se mi sposto in orizzontale di a, ottengo da

65

y=x

y=x-1

-1 y = f(x) , y = f(x-a)

66

'

'

'

'

yy

axx

yy

axx

)()( '' axfyxfy

Operiamo ora una traslazione verso l’alto.Da y = x passiamo a y=x+1In generale se mi sposto in verticale di b, ottengo day = f(x) , y = f(x)+b

1

0

67

y=x

y=x+1

y = f(x) , y = f(x)+b

68

byy

xx

byy

xx'

'

'

'

bxfyxfbyxfy )()()( ''''

Attenzione:y = f(x+5) traslazione di 5 a sinistray = f(x-8) traslazione di 8 a destraY = f(x)+5 traslazione verso l’alto di 5y = f(x)-8 traslazione verso il basso di 8

69

1)Qual è il grafico della funzione 21)( xxf

70

-1

1

ab c

71

2)Qual è il grafico della funzione 1)( 2 xxf

1

-1

a b c

72

1)( 2 xxf 21)( xxf2xy

73

3)

74

2xy

Non è biettiva

xy

È biettiva

75

-10 0

'

'

'

' 11

yy

xx

yy

xx

xy 1 xy

)1()( '' xfyxfy

'

'

'

' 11

yy

xx

yy

xx

4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:

76

2

0

a

e

d

c

b1 xey

1 xeyxe

2 xey

1 xey

77

11

2

1 xeyxey

La risposta esatta è la e.

5) Il grafico della

a) Giace sempre sopra l’asse xb) Giace sempre sotto l’asse xc) Giace tutto nel primo e quarto quadranted) Interseca due volte l’asse xe) Non interseca mai l’asse x

78

)2(log)( 10 xxf

79

300

1

)2(log)( 10 xxf

xxf 10log)(

La risposta esatta è la c

80

312

1log)2(log0)2(log 101010

xx

xx

6)La funzione f(x)= ln(x+1):

a)Non interseca l’asse xb)È sempre positivac)È positiva per x>-1d)È positiva per x>0

81

82

-1 00

Traslazione verso sinistra di 1

La risposta esatta è la d

83

7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1

12

a b

c

1d

84

eex

y

x

y

x

y

xy

y

1

0

1ln

0

01ln

0

1ln

0

1

85

11

y=lnxy=lnx+1

La risposta esatta è la b

GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ1646 – 1716

86

ISAAC NEWTON1643- 1727

87

88

Grazie e in bocca al lupo!