Ingeniera Elctrica

Universidad Nacional De San AgustnIngeniera Elctrica

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PRCTICA N 2

ANALISIS DE RESPUETAS DE SISTEMAS

1. OBJETIVO

Implementar la FT de un sistema y analizar las grficas de lugar geomtrico de races, respuesta en el tiempo

Determinar el efecto de adicin de polos y ceros (diferentes valores) a un sistema y obtener conclusiones de las diferentes respuestas.

2. FUNDAMENTO TEORICO2.1. Conocer Los Conceptos De Lugar Geomtrico De Races, Respuesta En El Tiempo Lugar Geomtrico De RacesEnteora de control, ellugar de racesolugar de las raceses ellugar geomtrico de lospolosycerosde unafuncin de transferenciaa medida que se vara la ganancia del sistemaKen un determinado intervalo.El mtodo del lugar de races permite determinar la posicin de los polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de gananciaKa partir de la funcin de transferencia a lazo abierto.El lugar de races es una herramienta til para analizarsistemas dinmicoslinealestipo SISO) y suestabilidad. (Recurdese que un sistema esestablesi todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo delplanos(en el caso de sistemas continuos) o dentro del crculo unitario delplanoz(para sistemas discretos).

Enfoque del lugar geomtrico de las races para el diseo de un sistema de control.El mtodo del lugar geomtrico de las races es un enfoque grfico que permite determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algn parmetro (por lo general la ganancia) vara de cero al infinitoEn la prctica, una grfica del lugar geomtrico de las races de un sistema indica que el desempeo deseado no puede obtenerse con slo el ajuste de la ganancia.Cuando se disea un sistema de control, si se requiere de un ajuste diferente al de la ganancia, debemos modificar los lugares geomtricos de las races originales insertando un compensador conveniente. Una vez comprendidos los efectos de la adicin de los polos y/o ceros sobre el lugar geomtrico de las races, podemos determinar con facilidad las ubicaciones de los polos y los ceros del compensador que volvern a dar una forma conveniente al lugar geomtrico de las races.En esencia, en el diseo realizado mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, los lugares geomtricos de las races del sistema se vuelven a construir mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posicin deseada. (A menudo se especifican el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia no amortiguada natural de un par de polos dominantes en lazo cerrado).Sealafuncin de transferenciadelsistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de races todos los puntos delplano complejoque satisfacen laecuacin caracterstica

Para el caso en que, no se trata entonces dellugar de races verdadero, sino, dellugar de races complementario. Una solucin de la ecuacin para un valor dedado se llamalugar de la raz.Reglas Para Graficar El Lugar De RacesLas reglas que se detallan a continuacin permiten graficar el lugar de races sin resolver la ecuacin caracterstica, permitiendo que el mtodo sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo deR. Evans, publicado en1948, y por consiguiente se las conoce comoReglas de Evans.Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de races para valores dekpositivos. Para valores negativos dekse utiliza un conjunto de reglas similar.En lo que sigue, nos referimos a la funcin de transferencia a lazo abierto.1. Nmero de ramas. El nmero de ramas del lugar de races es igual al orden de la ecuacin caracterstica de la funcin de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuacin caracterstica de la funcin de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la funcin de transferencia a lazo abierto.2. Simetra. Dado que la ecuacin caracterstica es decoeficientes reales, lasracescomplejasdeben sercomplejas conjugadas. Por tanto, el lugar de races es simtrico respecto al eje real.3. Polos de lazo abierto. Los polos de la funcin de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de races y corresponden a.4. Ceros de lazo abierto. Los ceros de la funcin de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de races y corresponden a. Si haytpolos ms que ceros, entoncestposiciones se harn infinitas a medida quekse aproxime a infinito.5. Asntotas. Si la funcin de transferencia de lazo cerrado tienetpolos ms que ceros, entonces el lugar de races tienetasntotasequiespaciadas, formando entre ellas un ngulo de, dondey. El lugar de races se aproxima a estas asntotas a medida quektiende a infinito.6. Centroide de las asntotas. El punto del eje real donde las asntotas se intersecan se suele llamar elcentroidede las asntotas, se denota mediante, y se calcula mediante.7. Lugar de races sobre el eje real. Si la funcin de transferencia a lazo abierto tiene ms de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un nmero impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de races.8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de races mltiples de la ecuacin caracterstica, y se dan en los valores despara los cuales se verifica.9. Interseccin con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores dekque surgen de resolver la ecuacin caracterstica para.10. Pendiente del lugar de races en polos y ceros complejos (Condicin de Argumento). La pendiente del lugar de races en polos y ceros complejos de la funcin de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relacin, para k>0, o, para k