PROBLEMAS PROPUESTOS

1° Determinar la probabilidad de que:

a) A lo más uno prefiere A

DATOS:

n: 6 p: 0.5 q: 0.5 x: P(x ≤ 1)

RESOLUCIÓN:

P (x ≤ 1) = p (x = 0) + p( x = 1)

P = ( )(0.5) + ( ) (0.5) (0.5)

P= 0.1094

6

0

6

1

6 1 5

b) Por lo menos 3 prefieren A

DATOS:

n: 6 p: 0.5 q: 0.5 X: P(x> 3)

RESOLUCIÓN:

P(x ≥ 3) = p(x=3) + p(x=4) + p(x=5) + p(x=6)

P= ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5)

P= 0.6563

6 6 6 6 6

3

3 3

4

4 2

5

5

6

2° Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de

reproductores de discos compactos, a la larga el procentaje de partes

defectuosas es de 5%. Sea X: un número de tarjetas defectuosas en una

muestra n = 25, entonces

X → B(25, 0.05)

a) determine p(x ≤ 2)

DATOS:

n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P( x≤ 2)

RESOLUCIÓN:

P( x ≤ 2) = p(x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2)

P = ( )(0.05) (0.95) + ( )(0.05) (0.95) + ( )(0.05) (0.95)

P = 0.8729

b) determine P (x ≥ 5)

DATOS:

n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P(x > 5)

25 25 25 1

1 0

0 25 2

2 24 23

RESOLUCIÓN:

P( X ≥ 5) = 1 [ P (X = 4) + P (X =3) + P( X=2) + P (X= 1) + P( x =0 )

P= 1 – [ (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) +

(25) (0.05) (0.95) + ( 25 ) (0.95)

P = 0.0071649

4 3 2

1

21

24 25

0

4 3 2

1

c) Determinar P (1 ≤ x ≤ 4)

DATOS:

n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P(1 ≤ x ≤ 4)

RESOLUCIÓN:

P(1 ≤ x ≤ 4) = [ P(x=1) + P( x= 2) + P(x= 3) + P(x =4)

P= (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) +(25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (9.95)

P = 0.7154

1

1

2

2

3

3

4

4 24 23 22 21

d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté

defectuosa¿

P( x= 0)

P= ( 25 )(0.95) → P = 0.2773

e) Calcule el valor esperado y la desviación estándar

µ = np σ = 𝑛𝑝𝑞

25 x 0.05 σ =√25 0.05 0.95

µ = 1.25 σ = 1.0897

3. Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para

repararse cuando todavía esta vigente su garantía. De éstos, 60% puede

ser reparado y el otro 40% debe sustituirse por aparatos nuevos. Si una

compañía compra 10 de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que

exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garantía?

n = 10

p = 0,4

q = 0,6

x = 2 Aplicamos a la fórmula:

10!

2! 10 − 2 !(0,4)2(0,6)8= 0,1209

4. La producción de cuatro maquinas es recogida en cajas de 5

unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente

distribución de las cajas, según el numero de unidades defectuosas

que contienen:

Nº de unidades

defectuosas 0 1 2 3 4 5

Porcentaje de

cajas 0,70 0,15 0,08 0,05 0,02 0,00

La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada

caja. Se acepta una caja cuando contiene de dos unidades

defectuosas. En caso contrario se rechaza.

a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no

contenga unidades defectuosas?

n = 5

p = 15% = 0,15

q = 85% = 0,85

Para a) x = 0

5

0! 5 − 0 !(0,15)0(0,85)5 = 0,4437

a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga

unidades tres unidades defectuosas?

n = 5

p = 85% = 0,85

q = 15% = 0,15

Para a) x = 3

5

3! 5 − 3 !(0,85)3(0,15)2 = 0,1381

5. Una compañía telefónica emplea cinco operadoras que reciben

solicitudes de información independientemente una de otra, cada

una según un proceso de Poisson con tasa ƛ =2 por minuto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto la primera operadora

no reciba solicitudes?

DATOS:

ƛ=2/ minuto P(X)=ƛ˟ е⁻ ͪ n=5 X!

P(X=1)= 2⁵(2.71828)¯² = 0.0361= 3.61%

5!

b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto exactamente cuatro

de las cinco operadoras no reciban solicitudes?

P(X=4)= 2⁴(2.71828)¯² = 0.0902= 9.02%

4!

c) Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un periodo de un

minuto todas las operadoras reciban exactamente el mismo número de solicitudes.

P(X=5)= 2⁵(2.71828)¯² = 0.0361= 3.61%

5!

6)Un puesto de periódicos ha solicitado cinco ejemplares de cierta edición de

una revista de fotografía , Sea X: numero de individuos que entran a comprar

esta revista . Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 4.

¿Cuál es el numero esperado de ejemplares que se venderán ?

Usamos una distribución de Poisson con parámetro

λ = 4

Un puesto de periódicos ha solicitado 5 ejemplares

P ( X < 5)

DATOS

7. Una universidad procesa 100 000 calificaciones en determinado

semestre. En ocasiones anteriores se ha descubierto que 0.1% de

todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una

persona estudia cinco materias en esta universidad en un

semestre. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones

estén correctas?

np = (100 000/5)*0,001 = 20 λ = 20 x = 5 e = 2,71828

P₍ₓ₎ = 𝑒−λλ𝑥

𝑥! =

2,71828−20𝑥 205

5!= 0,000054964

8° en cada página de una enciclopedia caben 3000 letras. La editorial

estima que se comete una errata en cada 5000 letras. Suponiendo que el

número de erratas por página sigue aproximadamente una distribución de

Poisson, se pide:

DATOS:

Cada página = 3000 letras

Errores = cada 5000

letras

A) Calcular la probabilidad de que en una página haya exactamente dos erratas.

P X = 1 = e−1 x (10000)1

1!

P( X = 1) = 3678. 80

UNA PÁGINA = 2 ERRATAS

5000 PÁGINAS = 2 ERRATAS EN CADA

UNO

10000 = 1 ERRATA EN CADA UNA

B) SI SE VAN REVISANDO LAS PÁGINAS UNA A UNA, CALCULAR LA

PROBABILIDADA DE QE LA PRIMERA ERRATA QUE SE ENCUENTRE

APAREZCA EN LA QUINTA PÁGINA REVISADA

P X = 5 = e−5 x (5000)5

5!

P( X = 5) = 1.7546 x 1014

C) CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EN LAS CINCO PRIMERAS

PÁGINAS HAYA AL MENOS DOS ERRATAS

P X = 5 = e−5 x (10000)5

5!

P( X = 5) = 5.6149 x 1015

9. Si X→ n(0.1); hallar:

a) P[Z ≤ 1,57] = 0,9418

b) P[Z ≥ 1,84] = 1 – P[Z ≤ 1,84] = 1 – 0,9671 = 0,0329

c) P[1,57 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] - P[Z ≤ 1,57]

= 0,9671 – 0,9418 = 0,0253

d) P[-1,84 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] – (1 - P[Z ≤ 1,84])

= 0,9671 – (1 – 0,9671) = 0,9342

e) P[Z ≥ -2,08] = P[Z ≤ 2,08]

= 0,9812

10. Si P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50 ; hallar Ζ₀.

P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50

Aplicamos la propiedad:

P (Z ≥ Ζ₀) → 1 – P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50

1 - P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50

P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50

Por lo tanto: Ζ₀= 0,00

11° Si P[Z ≥Z○] =0.025. Hallar Z○

Resolución:

1- P (Z ≤ Z○) = 0.025

P (Z ≤ Z○) = 1 – 0.025

P (Z ≤ Z○) = 0.975

Buscamos

Z○ = 1,96

12. ¿Entre que dos valores de Z (simétricos alrededor de la

media) estará contenido el 68.26% de todos los valores posibles

de Z?

1- 0.6826 = 0.3174 … (a este valor lo dividimos entre dos porque se distribuye en

ambas colas)

0.3174/ 2 = 0.1587…(lo buscamos en la tabla)

VALORES DE “Z” PARA= 0.1587 (está entre)

Valor Z -1.00 0.15866

Valor Z -0.99 0.16109

13) Si x X → n(100.100). Hallar

X n(100.100). u= 100 o= 100

a) P(X < 75 ) = (𝑥 ; µ

σ < 75)

( z < 75;100

100) =(z < -0.25)

P(z < -0.25) = 1-P ( z < -0.25) 1 – 0.4013 = 0.5987

b) P(X < 70 ) = (𝑥 ; µ

σ < 70)

( z < 70;100

100) = (z < -0.30)

P(z < -0.30) = 1-P ( z < -0.30) 1 – 0.3821 = 0.6179

c) P(75 < X < 85 ) = (75;100

100 < z <

85;100

100)

(-0.25 < z < -0.15) 0.5987 – 0.5596 = 0.0391

e) P( X < 110 o X > 110 ) = (z <110;100

100) o ( z >

110;100

100)

(z < 0.10 ) o ( z > 0.10) 0.5398 o 1- 0.5398 0.5398 o 0.4602

d) P(X < 112) = (𝑥 ; µ

σ > 112)

( z > 112;100

100) (z > 0.12)

P(z > 0.12) = 1-P ( z < -0.12) 1 – 0.5478 = 0.4522

G) Hallar los dos valores de X ( simétricos alrededor de la media de 80% de los

valores )

𝑝 𝑥 > 𝑥1 = 0.10

1 − 𝑃 ( 𝑋 < 𝑋1 )

𝑃 = 1 − 0.10

P= 0.90

F) El valor mínimo de X para el 10% de los valores

P( X < 80% o X > 80%) = (z < 0.80) o ( z > 0.80) 0.7881 o 1- 0.7881 0.5398 o 0.2119

14. Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro

miembros en una ciudad grande son en promedio de 420 dólares

con una desviación estándar de 80 dólares. Suponga que los

gastos mensuales por alimentación tiene distribución normal.

a) ¿Qué porcentaje de gastos es menor que 350 dólares?

Z = 𝑥 ; µ

σ=

350 ;420

80= −0,88 = 0,18943

0,18943 (100%) = 18,94 %

b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 350 dólares?

Z = 𝑥 ; µ

σ=

250 ;420

80= −2.13 = 0,01659

Z = 𝑥 ; µ

σ=

350 ;420

80= −0,88 = 0,18943

0,18943 – 0,01659 = 0,17284 (100%) = 17,28%

c) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 450 dólares?

Z = 𝑥 ; µ

σ=

250 ;420

80= −2.13 = 0,01659

Z = 𝑥 ; µ

σ=

450 ;420

80= 0,38 = 0,64803

0,64803 – 0,01659 = 0,63144 (100%) = 63,14%

d) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor 250 o mayor que 450 dólares?

Z = 𝑥 ; µ

σ=

250 ;420

80= −2.13 = 0,01659 100% = 1,66%

Z = 𝑥 ; µ

σ=

450 ;420

80= 0,38 = 0,64803 100% = 64,80%

e) ¿Cuál es el gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos?

P (Z ≥ Z₁)= 0,10

Estandarizando obtenemos:

P (Z ≥ Z₁) = 0,10

Aplicamos la propiedad:

P ( Z ≥ Z₁) = (1 – P (Z < Z₁) = 0,10

1 - P (Z ≤ Z₁) = 0,10

P ( Z < Z₁) = 0,90

Z₁ = 1.282 = 1,282

Por lo tanto:

𝑋1 − 420

80= 1,282

𝑋1 = 522,56

Respuesta: El gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos es de 522,6

A) ENTRE 60 Y 70 Kg

Z= x-u

o

P ( 60 < x < 70 )

P (60-65.3 < x < 70-65.8)

5.51 5.51

P (-0.9619 < x < 0.8529 )

P (z<0.85) - P(z<-0.96)

0.80234 – 0.16853

0.6338

Rpta. 380

B) MÁS DE 63.2 Kg

Z= x-u

o

P ( x > 63.2 )

P ( z > 63.2-65.8 )

5.51

P ( z > 0.3811 )

P = 1 – P (Z > 0.3811)

P = 1 – 0.64803

P =0.35197

Rpta. 3211

15° los pesos de 600 paquetes están normalmente distribuidos con

medias 65.3 kg. Y deviación estándar 5.51 kg. Encuentre el

número de paquetes que pesan:

16. Las calificaciones de una prueba final de Estadística

tienen distribución normal con una media de 12. Si el

95,44% de los examinados obtuvo calificaciones entre 8 y

16.

a)Calcular la desviación estándar de la distribución.

µ = 12

σ = ? σ =

(𝑥ᵢ ; µ)²

𝑁

del 8 al 16

σ = 8;12 2: …….:(16;12)²

9

σ = 2,58

b) Si la nota aprobatoria es 11, ¿qué porcentaje de alumnos

aprobaron el curso?

x = 11

Z = 𝑥 ; µ

σ Z =

11 ;12

2,58

Z = -0,39

Probabilidad: 0,3483 ( 100%) = 34,83%

Respuesta: Aprobaron el 34,83% de alumnos

17. El tiempo de acceso al disco duro en un cierto modelo de

ordenadores se distribuye normalmente con media 15 milisegundos

y una desviación estándar de 3 milisegundos.

a. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro entre

10 y 20 milisegundos?

b. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro en más

de 20 milisegundos?

μ = 15 milisegundos σ = 3 milisegundos

Z = 𝑥 ; µ

σ=

10;15

3= −1,67 = 0,04746

Z = 𝑥 ; µ

σ=

20 ;15

3= 1,67 = 0,95254

0,95254 – 0,04746 = 0,90508 (100%) = 90,50%

c. ¿Cuál es el tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores

con menor tiempo de acceso al disco duro?

Z = 𝑥 ; µ

σ=

20;15

3= 1,67 = 0,95254 100% = 90,25%

P (Z ≤ Z₁)= 0,10

Z₁ = 4,00

Por lo tanto:

𝑋1 − 15

3= 4,00

𝑋1 =27

Respuesta: El tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores con menor tiempo de acceso al disco duro es de 27

18° Si T → t Hallar:

Resolución: a) P[T < -1.796] =

1 - P (T<-1.796)

1- 0.95

0.5

a) P[T > 1.363 ] =

1 - P (t ≤ 1.363)

1 - 0.90

0.10

a) P[T<3,497] =0,995

a) P[-2,718 ≤T≤ 2,718] =

P( T ≤ 2.718) – ( 1 – P( T ≤ 2. 718))

0.99 – ( 1 – 0.99)

0.98

11

19. SI T → t . Hallar:

a) P(T≥-1.7089)

=P(T≤1.7089)= 0.95

b) P(T≤2.485) = 0.99

c) P(T ≥3.450)

=1- P(T≤ 3.450)

= 1- 0.999

=0.001

d) P(T<-1.316)

= 1- P(T≤1.316)

= 1- 0.90

= 0.10

25

20) Si X → X . hallar

a) P(X < 32.8) = 0.995 b) P( X > 25.0) = 1-P ( X < 25.0) 1 – 0.95 = 0.05 c) P ( 11.0 < X < 30.8) = ( 11.0 < X < 30 . 8 ) ( X < 11.0 ) –P ( X < 308) 0.25 - 0.99 = -074 d) P( X > 30.6)= 1 - P ( X < 30.6) 1 – 0.99 = 0.01

2

15

21. Si X→ X²₂₀. Hallar:

a) P[ 12.4 ≤ X ≤ 40.0] = P(X ≤ 40.0) - P(X ≤ 12.4) = 0.995 – 0.10 = 0.895

b) P[X > 15.5] = 1 – P(X ≤ 15.5) = 1- 0.25 = 0.75

c) P[X < 9.59] = 0.025

d) P[X ≥ 28.4] = 1 - P(X ≤ 28.4) = 1 - 0.90 = 0.10