OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE

Eduardo de Mena (8-818-1987), Luis Guerra (4-764-1858), José Lara (8-851-1497). Panamá, 5 de Septiembre de 2012. Dinámica Aplicada. Universidad Tecnológica de Panamá – Facultad de

Ingeniería Mecánica. 1IM-132 (B)

Abstracto

Si una partícula tiene movimiento rectilíneo, su aceleración es siempre proporcional a la distancia a un punto fijo de la trayectoria y está dirigida hacia este punto fijo, entonces se dice que la partícula tiene movimiento armónico simple. Este tipo de movimiento es la forma más sencilla de movimiento periódico, y es el que presenta el péndulo analizado en el presente informe.

Marco Teórico

El movimiento que describe un péndulo simple se puede describir como el de una vibración de un cuerpo rígido respecto a un eje de referencia, donde el desplazamiento está medido en términos de una coordenada angular. Si se analiza esta definición con detenimiento, se podrá notar que lo dicho es válido también para cuerpos que describen vibración torsional. Así, se podría tomar a la oscilación de un péndulo simple como un caso especial de vibración torsional, donde una masa está suspendida verticalmente a partir de un marco de soporte por medio de un hilo o filamento, como se presenta en la ilustración contigua. Cuando la masa es desplazada de la vertical que se forma a partir del origen O, la masa oscilará respecto a dicha vertical periódicamente.

Si se restringe el movimiento a un solo plano, la coordenada que describe el movimiento es

el desplazamiento angular respecto a la mencionada vertical θ, medido en dicho plano. La longitud del alambre es una restricción la cual restringe a la masa del péndulo a moverse en un movimiento circular respecto al marco de soporte. Al reconocer a la longitud del alambre como una restricciones lo que hace a θ una coordenada generalizada del movimiento de oscilación del péndulo.

A continuación se presenta el diagrama de cuerpo libre de la masa:

A partir de la Segunda Ley de Newton, se tiene que:

ΣF θ=maθ

−mgSinθ=mlӪ [1]

Para pequeños ángulos de oscilación, la función seno puede ser remplazada por dicho ángulo, alcanzando una precisión cercana al 100% para ángulos de 5.5º. Así, sustituyendo Sinθ por θ, reordenamos [1] como sigue:

−mgθ=mlӪ

Despejando se y reacomodando se obtiene:

Ӫ+ glθ=0 [2]

La ecuación [2] es análoga a la expresión (2.5) utilizada en la experiencia pasada (ver guía de laboratorio No. 3, “Modelado de un Sistema Masa Resorte” para mayor información). La mencionada ecuación es:

mẍ+kx=0

Donde θ hace las veces de x y g/l hace las veces de k/m, al desarrollar la mencionada ecuación (2.5).

La frecuencia natural se escribe como sigue:

f n= 12 π √ gl

Aquí se observa que la longitud del alambre es la única variable de la cual depende la frecuencia natural, por lo que la masa dentro del modelado de un péndulo simple no es de importancia para realizar este cálculo. El periodo será a su vez, como vimos en experiencias pasadas, el inverso de f n.

τ n=2 π √ lg

La aplicación más famosa del péndulo simple es en los relojes de pared antiguos debido a su gran precisión y confiabilidad.

Procedimiento

1. Seleccione los parámetros (longitud y masa) de un péndulo simple. Para cada una de las tres experiencias a realizar.

2. Especifique las condiciones iniciales (condiciones de frontera).

3. Mida el periodo natural de oscilación para tres ciclos de movimiento. Calcula el periodo promedio de ola oscilación. Calcule la frecuencia natural y la frecuencia natural circular.

4. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento en función de θ. Obtener la posición, velocidad y aceleración para:4.1 θ(0) = xθ0 y Ӫ(0) = 0. Graficar

utilizando: Excel, MATLAB o Scilab y Simulink o XCOS.

5. Determine analíticamente el periodo, la frecuencia circular

natural y la frecuencia natural del movimiento.

Resultados para una masa puntual

Masa de la esfera: 520 g = 0.520 kg.

Data experimental:

Longitud(m)

τ1 (s)

τ2 (s)

τ3 (s)

τprom' (s)

τprom = τn

(s/oscilación)

fn

(Hz)ωn

(rad/s)

0.6004.46

04.46

04.44

0 4.453 1.484 0.674 4.233

0.4003.68

03.69

03.66

0 3.677 1.226 0.816 5.126

0.2002.58

02.51

02.58

0 2.557 0.852 1.173 7.372

τprom’ vendría siendo el periodo promedio medido para tres oscilaciones. Por definición, el periodo es el tiempo que dura una oscilación, por lo que el periodo es en realidad τprom (τprom’/3).

A partir de la ecuación diferencial de movimiento que modela el sistema de péndulo simple, presentada en el marco teórico (Ecuación [2]), y considerando la ecuación de frecuencia natural angular, se obtienen las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración:

Ӫ+ glθ=0

θ (t )=C1sin (ωn t )+C 2cos (ω n t)

θ̇ (t )=ω n [C1cos (ω n t )−C2sin (ωn t ) ]

Condiciones iniciales

θ(0) = 10º = π18

.

θ̇(0) = 0.

Remplazando las condiciones iniciales en las ecuaciones inmediatamente arriba, se tiene que:

C1 = 0.

C2 = π18

.

Por lo que tenemos las siguientes ecuaciones:

Posición

θ (t )= π18cos (ωn t )

La ecuación de posición también puede escribirse de la forma x(t) = θSin(ωnt + φ):

θ=√ (C 1 )2+(C2)2=C2= π18

φ=tan−1(C2C1 )=tan−1∞=π

Remplazando los valores correspondientes, tenemos que:

θ (t )= π18sin (ω n t+π )

Velocidad

θ̇ (t )=−π18

ωn sin (ωn t )

Aceleración

Ӫ ( t )=−π18

ωn2cos (ωn t )Gráficas en Excel: las tablas de las gráficas aparecen en la

sección de Anexos.1. Para L = 0.600 m

0 1 2 3 4 5 6

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

θ (radianes)θ (rad/s)Ӫ (rad/s2)

2. Para L = 0.400 m

0 1 2 3 4 5 6

-6.0000

-4.0000

-2.0000

0.0000

2.0000

4.0000

6.0000

θ (radianes)θ (rad/s)Ӫ (rad/s2)

3. Para L = 0.200 m

0 1 2 3 4 5 6

-15.0000

-10.0000

-5.0000

0.0000

5.0000

10.0000

15.0000

θ (radianes)θ (rad/s)Ӫ (rad/s2)

Gráficas en MATLAB1. Para L = 0.600 m

2. Para L = 0.400 m

3. Para L = 0.200 m

Gráficas en SIMULINK: el Diagrama de Bloques aparece en los Anexos.1. Para L = 0.600 m

2. Para L = 0.400 m

3. Para L = 0.200

Data Analítica:

Frecuencias angulares naturales

ω n=√ gl =√ 9.81m / s20.600m

=4.044 rads

.

ω n=√ gl =√ 9.81m / s20.400m

=4.952 rads

.

ω n=√ gl =√ 9.81m / s20.200m

=7.004 rads

.

Frecuencias naturales

f n= 12 π √ gl = 1

2π √ 9.81m /s 20.600m

=0.644Hz

f n= 12 π √ gl = 1

2π √ 9.81m /s 20.400m

=0.788Hz

f n= 12 π √ gl = 1

2π √ 9.81m /s 20.200m

=1.115Hz

Periodo natural

τ n=2 π √ lg=2π √ 0.600m

9.81m /s2=1.554 s /oscilación

τ n=2 π √ lg=2π √ 0.400m

9.81m /s2=1.269 s /oscilación

τ n=2 π √ lg=2π √ 0.200m

9.81m /s2=0.897 s /oscilación

Se analizan los resultados obtenidos hasta ahora en la siguiente tabla:

Comparación de ResultadosAnalítico Experimental Error (%)

Longitud (m)

ωn

(rad/s)fn

(Hz)τn

(s/oscilación)ωn

(rad/s)fn

(Hz)τn

(s/oscilación)ωn fn τn

0.600 4.044 0.644 1.554 4.233 0.674 1.4844.67

4.66

4.50

0.400 4.952 0.788 1.269 5.126 0.816 1.2263.51

3.55

3.39

0.200 7.004 1.115 0.897 7.372 1.173 0.8525.25

5.20

5.02

Como se puede observar en la tabla, ya sea mediante datos recabados experimentalmente o calculados analíticamente, se puede apreciar tres hechos recalcables:

1. La frecuencia angular natural y la frecuencia natural son inversamente proporcionales a la longitud del cable:

ω n=f n∝ 1L

Así, a medida que se disminuía la longitud del cable durante la experiencia de laboratorio, se pudo observar cómo las oscilaciones de la masa se volvían “más rápidas”, o sea, aumentaban en su frecuencia. De modo análogo, si se aumenta la longitud del alambre, se espera que las frecuencias disminuyan.

2. Al ser la frecuencia natural el inverso del periodo natural, se esperará que lo concluido en el punto 1 experimente un efecto inverso. Así, mientras más corto el alambre, mayor será el periodo natural, como bien se constata en la tabla presente. Podemos escribir entonces:

τ n∝L

3. La frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural son independientes a la masa para este caso, por lo que el efecto del peso no se ha considerado dentro del presente análisis.

Gráficas en SIMULINK: el Diagrama de Bloques aparece en los Anexos.4. Para L = 0.600 m

5. Para L = 0.400 m

6. Para L = 0.200

Anexos

Anexo I: Tablas utilizadas para graficar en Excel

Longitud = 0.600 mTiempo

(s)θ

(radianes)θ

(rad/s)Ӫ

(rad/s2)0 0.1745 0.0000 -3.1273

0.2 0.1156 -0.5534 -2.07200.4 -0.0213 -0.7333 0.38180.6 -0.1439 -0.4182 2.57790.8 -0.1693 0.1791 3.03411 -0.0805 0.6555 1.4424

1.2 0.0627 0.6895 -1.12281.4 0.1635 0.2582 -2.93021.6 0.1540 -0.3474 -2.75991.8 0.0406 -0.7186 -0.72692 -0.1003 -0.6047 1.7967

2.2 -0.1734 -0.0827 3.10772.4 -0.1295 0.4951 2.32122.6 0.0018 0.7388 -0.03202.8 0.1319 0.4838 -2.36353 0.1730 -0.0977 -3.0999

3.2 0.0973 -0.6133 -1.74403.4 -0.0440 -0.7149 0.78903.6 -0.1557 -0.3340 2.78943.8 -0.1622 0.2723 2.90724 -0.0593 0.6948 1.0628

4.2 0.0837 0.6484 -1.49894.4 0.1702 0.1644 -3.04904.6 0.1418 -0.4306 -2.54124.8 0.0178 -0.7350 -0.31835 -0.1183 -0.5433 2.1194

Longitud = 0.400 mTiempo

(s)θ

(radianes)θ

(rad/s)Ӫ

(rad/s2)0 0.1745 0.0000 -4.5860

0.2 0.0906 -0.7648 -2.37980.4 -0.0805 -0.7937 2.11610.6 -0.1742 -0.0590 4.57600.8 -0.1002 0.7325 2.63311 0.0701 0.8192 -1.8432

1.2 0.1730 0.1177 -4.54611.4 0.1094 -0.6970 -2.87501.6 -0.0595 -0.8411 1.56231.8 -0.1711 -0.1760 4.49642 -0.1181 0.6585 3.1044

2.2 0.0485 0.8594 -1.27452.4 0.1685 0.2334 -4.42722.6 0.1264 -0.6171 -3.32022.8 -0.0373 -0.8739 0.98123 -0.1651 -0.2899 4.3386

3.2 -0.1340 0.5731 3.52163.4 0.0260 0.8847 -0.68373.6 0.1610 0.3451 -4.23123.8 0.1411 -0.5265 -3.70774 -0.0146 -0.8915 0.3832

4.2 -0.1562 -0.3987 4.10534.4 -0.1476 0.4777 3.87764.6 0.0031 0.8945 -0.08104.8 0.1508 0.4507 -3.96165 0.1534 -0.4268 -4.0306

Longitud = 0.200 mTiempo

(s)θ

(radianes)θ

(rad/s)Ӫ

(rad/s2)0 0.1745 0.0000 -9.4852

0.2 0.0168 -1.2807 -0.91290.4 -0.1713 -0.2465 9.30950.6 -0.0498 1.2332 2.70500.8 0.1617 0.4839 -8.78881 0.0809 -1.1401 -4.3967

1.2 -0.1461 -0.7034 7.94251.4 -0.1090 1.0047 5.92561.6 0.1252 0.8968 -6.80181.8 0.1331 -0.8321 -7.23492 -0.0995 -1.0569 5.4091

2.2 -0.1523 0.6286 8.27622.4 0.0702 1.1779 -3.81602.6 0.1658 -0.4019 -9.01072.8 -0.0383 -1.2553 2.08153 -0.1732 0.1602 9.4114

3.2 0.0050 1.2861 -0.26993.4 0.1741 0.0873 -9.46333.6 0.0286 -1.2693 -1.55183.8 -0.1686 -0.3317 9.16464 -0.0610 1.2055 3.3159

4.2 0.1569 0.5637 -8.52634.4 0.0912 -1.0970 -4.95724.6 -0.1393 -0.7749 7.57214.8 -0.1180 0.9478 6.41485 0.1166 0.9573 -6.3373

Anexo II: Diagrama de bloques en Simulink