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Giuliana Zibetti

Summer SchoolIncontriamo la Matematica, la Statistica e la Fisica

San Pellegrino Terme – 5-6-7 Settembre 2011

Laboratorio di calcolo delle probabilità

Giuliana Zibetti



Il concetto di probabilitàI

Estraendo a caso una carta da un mazzo è maggiore la probabilità che sia un carta con un numero maggiore di 6 (escluse le figure) o che sia una figura?

A) Un numero maggiore di 6B) Una figuraC) prima di rispondere dovrei porre un’altra domanda

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Il concetto di probabilitàII

Le prime tre carte sono nere?La nona carta è una figura?Qual è il seme dell’ultima carta?Nel mazzo gli assi sono tutti vicini?Nel mazzo ci sono dei nove?L’ultima carta è rossa?

Sì, è un mazzo di 52 carte

Numero dei casi possibili

P(A) = probabilità dell’evento A =Numero dei casi favorevoli ad A

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Il concetto di probabilitàIII

Le prime tre carte sono nere?La nona carta è una figura?Qual è il seme dell’ultima carta?Nel mazzo gli assi sono tutti vicini?Nel mazzo ci sono dei nove?L’ultima carta è rossa?

Sì, è un mazzo di 52 carte

P(A) = probabilità dell’evento A (carta che presenta un numero maggiore di 6) = 16

52

P(B) = probabilità dell’evento B (carta che presenta una figura) = 12

52

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Il concetto di probabilitàIV

Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte è maggiore la probabilità che sia un carta con un numero maggiore di 6 (escluse le figure) o che sia una figura?

A) Un numero maggiore di 6B) Una figura

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Il concetto di probabilitàV

Il forziere Un forziere ha 3 serrature. Ogni serratura è aperta da una chiave colorata. Hai a disposizione 4 chiavi colorate.Qual è la probabilità che indovini la combinazione?

In quanti modi puoi scegliere la prima chiave?In quanti modi puoi scegliere la seconda chiave?In quanti modi puoi scegliere la terza chiave?

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Disposizioni4⋅3⋅2 = 24 modi

Quindi la probabilità è1

24.

,

( 1) ... 1 !( 1) ... ( 1)

( ) ( 1) ... 1 ( )!n k

n n nD n n n k

n k n k n k

⋅ − ⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ − + = =− ⋅ − − ⋅ ⋅ −

DISPOSIZIONIUna disposizione semplice Dn,k di lunghezza k di elementi di un insieme Sdi n oggetti, con k ≤ n, è una presentazione ordinata di k elementi di S nella

quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto.

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Disposizioni II

Credete che sia importante sapere che le chiavi son o numerate e possono essere usate solo in sequenze crescenti?

Di quanto è maggiore rispetto alla prova precedente la probabilità di trovare la combinazione giusta?

Scelte possibili1 2 31 2 42 3 41 3 4

E’ 6 volte maggiore della probabilità precedente.

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DisposizioniIII

Bandiere da segnalazione in marina

Con le 26 bandiere di segnalazione usate in marina, quanti segnali di due lettere diverse si possono ottenere?

!24

!26

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Disposizioni con ripetizioneQuanti sono i risultati possibili del lancio di k dadi?(Questo problema fu risolto per la prima volta da Niccolò Fontana detto Tartaglia nel 1523)

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE O COMPLETEUna disposizione con ripetizione o completa D’n,k di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k ≤ n, è una presentazione ordinata di k elementi di

S nella quale ogni elemento si può essere ripetuto fino a k volte. D’n,k = nk

Consideriamo ad esempio il lancio di k=3 dadi. I risultati possibili del lancio di tre dadi si possono pensare come prodotto dei risultati del lancio del primo, del secondo e del terzo dado

Il primo risultato è un numero da 1 a 6, il secondo un numero da 1 a 6, il terzo un numero da 1 a 6 . I risultati possibili sono quindi 6·6⋅6=63

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PermutazioniI

Fila indiana

In quanti modi posso disporre 9 persone in fila indiana?

In quanti modi posso scegliere il primo elemento della fila?

Fissato il primo elemento, in quanti modi posso scegliere il secondo elemento della

fila?

Posso disporre le persone in 9!= 362880 modi.

n⋅(n-1)⋅(n-2) ⋅… ⋅1 = n!

PERMUTAZIONIUna permutazione Pn di un insieme di n oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene presentato

una e una sola volta.

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PermutazioniII

1 2

!

! !... !r

n

n n n

9!

4!3!2!

Quanti segnali distinti formati da 9 bandiere si possono formare con 4 bandiere bianche, 3 bandiere rosse, 2 bandiere blu?

Quindi si possono determinare = 1260 segnali distinti

Si tratta di una permutazione (con elementi non tutti distinti)n di oggetti dei quali n1 sono identici tra loro, n2 sono identici tra loro e distinti dai precedenti, …

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CombinazioniQuante diverse squadre di calcetto a cinque si possono formare a partire da 20 calciatori inscritti a un torneo?

COMBINAZIONISe n e k sono due interi positivi, si definisce combinazione C n,k di n

elementi presi k alla volta (oppure di n elementi di classe k) ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti. Se si impone la condizione che una combinazione non può avere un elemento ripetuto

si parla di combinazioni semplici

15504

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Il problema delle antenne I

Supponiamo di avere un sistema formato da n antenne identiche e allineate.Il sistema ottenuto sarà in grado di ricevere tutti i segnali che arrivano e in tal caso saràdetto funzionante se non vi sono due antenne difettose consecutive.

Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante?

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Il problema delle antenne II

10 11

1001 1010

0 1

0 1

1100

0

1

Esempion=4m=2

Diagramma ad albero

00 01

0011 0110

0 1

1 1

0101

0

0

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Il problema delle antenne IIIEsempion=4m=2

0 1 1 00 1 0 11 0 1 00 0 1 11 0 0 11 1 0 0

1

2

Sapendo che 2 delle 4 antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante?

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Il problema delle antenne IVIn generale Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la

probabilità che il sistema sia funzionante?

n −−−− m antenne funzionanti

Gli spazi tra due antenne funzionanti possono contenere al più un’antenna difettosa, dobbiamo quindi selezionare dagli n – m + 1 spazi tra le m – n antenne funzionanti, m spazi nei quali sistemare le antenne difettose.

Vi sono quindi1n m

m

− +

allineamenti nei quali c’è almeno un’antenna funzionante tra due antenne difettose

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Il problema delle antenne V

( 1)!!( 1 )!

!!( )!

n m

m n m mn

m n m

− +− + −

−

P (sistema funzionante) =

Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante?

=

(2 1)!2!(2 1 2)!

4!2!2!

++ − 1

2Nell’esempio proposto, con n=4 ed m=2 P = =

+−

m

n

m

mn 1

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Le scommesse del Cavalier De Méré I

Scommessa sull’uscita del “sei” almeno una volta in quattro lanci di un dado.La sorte favorisce lo scommettitore del sei? O coloro che scommettono su fatto che il “sei” non esce?

Casi possibiliL’esito dei 4 lanci è una quaterna di numeri da 1 a 6

Le quaterne sono in tutto 64

Casi favorevoli a chi non scommette sul 6I casi favorevoli sono Il sottoinsieme delle quaterne di numeri da 1 a 5; e sono 54

Probabilità di vincita di chi scommette sul 6

Probabilità (di uscita del 6) = P(E) =1 −4

4

5

6 ≈ 0,518

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Le scommesse del Cavalier De Méré II

Il cavaliere De Méré noto sperimentalmente che invece gettando due dadi per ventiquattro volte e scommettendo sul dodici in questo caso era sfavorito lo scommettitore sul dodici. Egli però non era convinto di questo risultato. Proviamo a dare una spiegazione.

Con 24 lanci di due dadi abbiamo: Esiti possibili : 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6 = (6 × 6)24

Probabilità della 24-upla = 1/3624

Casi favorevoli a chi non scommette sul dodici (6+6)I casi favorevoli sono Il sottoinsieme delle di 24-upledi numeri da 1 a 6 non entrambi 6 e sono (36 − 1)24

24

24

35

36Probabilità di vincita di chi scommette sul dodici ( 6+6)

Probabilità (di uscita del doppio 6) = P(E)=1−24

24

35

36≈ 0,491

Probabilità (di non uscita del doppio del 6)= P(Ē) =

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Le scommesse del Cavalier De Méré III

Siete degli emuli del Cavalier De Méré?Nel lancio di due dadi, su quale numero scommettereste?

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La festa di compleanno IQuante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia piùprobabile che alcune di loro compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa?

Ipotesi• Tutti gli anni non sono bisestili• La possibilità di nascita in ogni giorno dell’anno è uguale• numero persone n ≤ 365

Casi possibiliNumeriamo le persone da 1 a n e compiliamo liste di n giorni:

365n liste possibili, le assumiamo equiprobabili.In quante liste non compare due volte lo stesso giorno?

D 365,n = 365 * 364 * . . . * (365 − n + 1) ⇒

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La festa di compleanno II

Probabilità che non ci siano persone che compiano gli anni lo stesso giorno: p = D 365,n /365n

Probabilità che ci siano persone che compiano gli anni lo stesso giorno:

p = 1 − (D 365,n /365n)

n = 23 ⇒ p ≈ 0.507n = 30 ⇒ p ≈ 0.706n = 50 ⇒ p ≈ 0.97

Bastano 23 persone affinché la probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno sia maggiore di 0,5.

Giuliana Zibetti



La festa di compleanno IIIIn quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente almeno un mio “gemello” (nato nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa?

I possibili compleanni di n persone sono rappresentati da una n-upla di numeri da 1 a 365.

I casi possibili sono 365n

Il numero di casi favorevoli al fatto che nessun’altra persona compia gli anni il mio stesso giorno è 364n

P (che almeno un'altra persona compia gli anni il mio stesso giorno) =364

1365

n

n−

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I giochi d’ azzardo I

Il lotto Qual è la probabilità di uscita del numero 27 sulla ruota di Venezia?

90

5

89

4

89!

85!4!

89

490

5

p

=

1

18

IpotesiSu una ruota vengono estratti 5 numeri tra i 90 possibili

Casi possibili (cinquine che contengono il numero 27)(cinquine

possibili)=

Probabilità di uscita del numero 27 sulla ruota di Venezia: =

Casi favorevoli

=

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I giochi d’ azzardo II

Il lotto e i numeri “ritardatari”Il fatto che un numero non sia uscito per molte estrazioni precedenti non influisce sullaprobabilità che venga estratto alla successiva estrazione (1/18).

=

Probabilità che il numero 27 non venga estratto per 199 estrazioni:

p =

19917

18 = 0,0000115

PROBABILITA’ CONDIZIONATALa probabilità che l'evento A ha di verificarsi se si è verificato B (probabilità

condizionata dell’evento A dato l’evento B) è uguale al rapporto tra la probabilità congiunta degli eventi A e B e la probabilità dell’evento B.

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

Qual è la probabilità che il numero 27 dopo un ritard o di 199 estrazioni esca alla 200-esima?

Giuliana Zibetti



I giochi d’ azzardo III

A= esce il numero 27B= il numero 27 non esce per 199 estrazioni

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

19917 1

18 18 ⋅

199

199

17 118 18

1718

⋅

P(A|B)= = P(A)

P(A ∩ B) =

19917

18

P(B)=

A e B sono eventi indipendenti !

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I giochi d’ azzardo IV

Il gioco equo

Un gioco è equo se :(V - P) ⋅⋅⋅⋅ p - P ⋅⋅⋅⋅ (1 - p) = 0

dove p è probabilità di vincita , V è il valore della vincita e P la posta

Semplificando l’uguaglianza scritta sopra abbiamo:V⋅⋅⋅⋅ p = P

Il gioco è equo se il prezzo pagato (posta) è uguale al prodotto della vincita per la probabilità della vincita.

Giuliana Zibetti



I giochi d’ azzardo V

1 su 43 949 2686 000 000,0055

1 su 511 038120 000,0044

1 su 11 7484500,0033

1 su 400,5250,0022

1 su 1811,2311

Probabilità di vincita

Vincita lorda (euro)

Numeri indovinati

Numeri giocati

Il gioco di un numero su una ruota è un gioco equo?

V · p = 11,23 ⋅1

18< 1

Supponendo di giocare 1 euro:

Giuliana Zibetti



Il problema di Monty Hall ISupponi di partecipare a un gioco a premi in cui puoi scegliere tra tre scatole: dentro una c’è un premio di 100.000€, dentro le altre un premio di consolazione di 1€. Scegli una scatola e il conduttore del gioco, che sa il contenuto di ciascuna scatola, ne apre un’altra, rivelando un premio da 1€ e domanda: “Vuoi cambiare la tua scelta?”.

Conviene cambiare la tua scelta originale?È più probabile vincere cambiando la scelta iniziale o non cambiandola?

Giuliana Zibetti



Il problema di Monty Hall IITre scenari possibili:A. Il giocatore sceglie scatola con premio di 1€ , la

numero 1. Il conduttore apre la scatola con l’altro premio di 1€. Cambiando, il giocatore vince 100.000€.

B. Il giocatore sceglie scatola con premio di 1€, la numero 2. Il conduttore apre la scatola con l’altro premio di 1€, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince 100.000€.

C. Il giocatore sceglie scatola con premio di 100.000€. Il conduttore apre una qualsiasi delle due scatole con 1€. Cambiando, il giocatore trova l’altra scatola con 1€.

Giuliana Zibetti



Il problema di Monty Hall III

Se il giocatore non conoscesse il contenuto della scatola rivelato dal conduttore, non avrebbe nessuna ragione di preferire una scatola a un’altra, effettuerebbe quindi scelta “a caso”, e avrebbe quindi probabilità1/3 di vincere il premio da 100.000€.La strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, quindi la probabilità di vincere sale a 2/3.

Conviene cambiare la tua scelta originale?

Giuliana Zibetti



Gioco con tre carte I

Il banco propone al giocatore una scommessa alla pari che èrossa anche l’altra faccia (se è rossa vince il banco, se èbianca vince il giocatore).

Ogni carta è nascosta in una scatola nera.Il giocatore sceglie una delle scatole, estrae la carta e la posa sul tavolo senza vedere l’altra faccia.La faccia visibile è rossa.

La probabilità che l’altra faccia sia rossa è 0,5 e quindi il gioco è equo.

E’ giusto?

Giuliana Zibetti



Gioco con tre carte II

P(faccia nascosta = R|faccia visibile = R) = P(RR|R) =P(R∩∩∩∩RR)/P(R)

probabilità di vincita del banco

Dobbiamo valutare P(R) = P(R∩RR) + P(R∩RB)

P(R ∩∩∩∩ RB) = P(RB|R) ⋅⋅⋅⋅P(RB)

1/2 1/3

1/3

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Gioco con tre carte III

P(RR|R)=P(R∩∩∩∩RR)/P(R)

probabilità di vincita del banco

= 1/3 : 1/2 = 2/3

Il gioco è favorevole al banco

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Il paradosso dei due bambini I

Sapendo che una famiglia ha due figli, dei quali almeno uno un maschio, con che probabilitàl’altro figlio è una femmina?

MaschioMaschio

FemminaMaschio

MaschioFemmina

FemminaFemmina

Figlio minoreFiglio maggiore

P(F|M) = P(F ∩ M)/P(M) = 2/4 / 3/4= 2/3

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Il paradosso dei due bambini II

Sapendo che una famiglia ha due figli, dei quali il primo un maschio, qual è la probabilità che l’altro figlio sia una femmina?

MaschioMaschio

FemminaMaschio

MaschioFemmina

FemminaFemmina

Figlio minoreFiglio maggiore

I casi possibili in questo caso sono solo due

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Grazie per l’attenzione

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