Laboratorio II, modulo 2 2016-2017duranti/Sito/LaboratorioII-Modulo2-2016... · Elaborazione di un segnale La conversione da analogico a digitale permette il processamento del segnale

Laboratorio II, modulo 2 ��2016-2017

Segnali a tempo discreto (cfr. http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_04.pdf

e http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_06.pdf

Luise, Vitetta, D’Amico Teoria dei segnali analogici)

Equazioni di analisi

Segnale periodico

Segnale aperiodico

Equazioni di sintesi

Segnale periodico

Segnale aperiodico

Dal tempo continuo al tempo discreto

fc = 1/T

Frequenza di campionamento (nel seguito chiameremo Tc)

Elaborazione di un segnale

La conversione da analogico a digitale permette il processamento del segnale con un sistema discreto (i.e. un PC, o in generale un Digital

Signal Processor, DSP). Può essere necessario/utile, successivamente, convertire di nuovo il

segnale in analogico.

Appunti di Teoria dei Segnali

a.a. 2010/2011

Dai segnali analogici a quelli numerici

L.Verdoliva

In questo capitolo descriveremo i passi che subisce un segnale analogico quando viene discretiz-zato per ottenere un segnale numerico (conversione A/D), e quelle che a partire da un segnalenumerico consentono di ricostruire il segnale in forma analogica (conversione D/A). Questoprocesso e estremamente importante qualora si voglia elaborare un segnale attraverso sisteminumerici, che fanno quindi uso della tecnologia digitale, piu flessibile, economica e leggera diquella analogica, ed e reso possibile dal fatto che sotto particolari ipotesi, quasi sempre verificatenella pratica, un segnale analogico e rappresentato adeguatamente dai suoi campioni.

Quindi, anziche elaborare un segnale tempo continuo con un sistema analogico, puo risultarepiu vantaggioso convertirlo in un segnale tempo discreto e ampiezza discreta (segnale numerico)per poi elaborarlo con un sistema discreto (Digital Signal Processor, DSP), il cui segnale inuscita verra poi nuovamente convertito in un segnale analogico, come si mostra nel seguenteschema a blocchi.

-x(t)A/D - DSP - D/A -y(t)

1 Conversione A/D

La conversione analogico-digitale (A/D) e costituita da tre blocchi fondamentali: campiona-mento, quantizzazione e codifica. Il campionamento e l’operazione che consente di discretizzarel’asse temporale del segnale analogico, mentre la quantizzazione rende discreti i valori che puoassumere il segnale. Infine, il processo di codifica converte la sequenza numerica in un flusso dibit. Si tenga presente che quest’ultima operazione e fondamentale qualora si voglia memorizzareil segnale numerico su un supporto digitale o trasmetterlo su un canale.

-x(t)Camp. -x(n)

Quantiz. -bx(n)Codifica -..010110..

1

Dal tempo discreto al tempo continuo

Conversione D/A 17

6

-

T°T t

bx(t)

Figura 15: Ricostruzione mediante interpolazione a mantenimento.

6

-

T°T t

bx(t)

Figura 16: Ricostruzione mediante interpolazione lineare.

a.a. 2010-2011 Dai segnali analogici a quelli numerici

Conversione D/A 17

6

-

T°T t

bx(t)

Figura 15: Ricostruzione mediante interpolazione a mantenimento.

6

-

T°T t

bx(t)

Figura 16: Ricostruzione mediante interpolazione lineare.



Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t):


Conversione A/D 3

1.2 Campionamento mediante impulsi ideali

Un modo molto semplice per campionare un segnale e mediante il prodotto con un treno diimpulsi ideali. Ricordiamo, infatti, che per un impulso ideale vale l’importante proprieta:

x(t) ±(t° t0) = x(t0) ±(t° t0)

che permette di estrarre il valore del segnale in cui e centrato l’impulso. Moltiplicando allorax(t) per un treno di impulsi, ±T (t), periodico di periodo pari proprio al passo di campionamentoT , si ottiene il segnale campionato x±(t):

x±(t) = x(t) ±T (t)

= x(t)+1X

n=°1±(t° nT ) (1)

=+1X

n=°1x(nT ) ±(t° nT ) (2)

il segnale campionato non e altro che un treno di impulsi le cui ampiezze rappresentano i campionidi x(t) in intervalli equispaziati di T (figura 3).

-

-

-

6 6 6 6666

t

t

t

±T (t)æ -T

6

6 6 6

6

66x±(t)

x(t)

x(0)

x(T )

0

Figura 3: Campionamento mediante un treno di impulsi ideali.


il segnale campionato è un treno di impulsi le cui ampiezze rappresentano il segnale x(t) agli istanti di campionamento



Conversione A/D 3



x(t) ±(t° t0) = x(t0) ±(t° t0)


x±(t) = x(t) ±T (t)

= x(t)+1X

n=°1±(t° nT ) (1)

=+1X

n=°1x(nT ) ±(t° nT ) (2)


-

-

-

6 6 6 6666

t

t

t

±T (t)æ -T

6

6 6 6

6

66x±(t)

x(t)

x(0)

x(T )

0



Conversione A/D 3



x(t) ±(t° t0) = x(t0) ±(t° t0)


x±(t) = x(t) ±T (t)

= x(t)+1X

n=°1±(t° nT ) (1)

=+1X

n=°1x(nT ) ±(t° nT ) (2)


-

-

-

6 6 6 6666

t

t

t

±T (t)æ -T

6

6 6 6

6

66x±(t)

x(t)

x(0)

x(T )

0





xs(t) =1X

n=�1x(nTc)�(t� nTc)


Conversione A/D 3



x(t) ±(t° t0) = x(t0) ±(t° t0)


x±(t) = x(t) ±T (t)

= x(t)+1X

n=°1±(t° nT ) (1)

=+1X

n=°1x(nT ) ±(t° nT ) (2)


-

-

-

6 6 6 6666

t

t

t

±T (t)æ -T

6

6 6 6

6

66x±(t)

x(t)

x(0)

x(T )

0



il segnale campionato è un treno di impulsi le cui ampiezze rappresentano il segnale x(t) agli istanti di campionamento



xs(t) =1X


che, nel caso generale, sarà un segnale aperiodico

Trasformata di Fourier di una sequenza

Trasformata di Fourier per segnali tempo discreto 25

2 Trasformata di Fourier per segnali tempo discreto

In questa sezione estendiamo l’analisi in frequenza mediante trasformata di Fourier anche aisegnali aperiodici tempo discreto. Abbiamo gia notato nella studio dello sviluppo in serie cheesistono molte similitudini tra il caso continuo e quello discreto, ci sono tuttavia anche signi-ficative diÆerenze. Proprio per questo motivo, cominceremo lo studio prima estendendo larappresentazione in frequenza ai segnali aperiodici tempo discreto, cosı come e stato fatto nelcontinuo, quindi descriveremo le proprieta comuni col caso continuo, ma soprattutto cercheremodi enfatizzare le diÆerenze allo scopo di comprendere meglio le due rappresentazioni.

2.1 Dalla serie alla trasformata di Fourier

Applichiamo una procedura analoga al caso continuo per sviluppare la rappresentazione median-te trasformata di Fourier dei segnali aperiodici. Consideriamo una sequenza, x(n), di duratafinita N , e costruiamo il segnale aperiodico x

p

(n) = repN0

[x(n)], con N0 > N . Per esem-pio, supponiamo che x(n) sia il segnale mostrato in figura 9 e x

p

(n) il corrispondente segnaleperiodico.

6

-

xp(n)

n

-æN

N0

-n

x(n)

°N1 N2

Figura 9: Andamento temporale di x(n) e xp(n)

Il segnale periodico ammette la seguente espansione in serie (eq. sintesi):

x

p

(n) =X

k=<N0>

X

k

e

j2ºkn/N0 (55)

dove i coe±cienti di Fourier si calcolano come (eq. analisi):

X

k

=1

N0

X

n=<N0>

x

p

(n) e

°j2ºkn/N0 (56)

a.a. 2010-2011 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza

Utilizziamo il solito “trucco” di “periodicizzare” i segnali aperiodici


In analogia con quanto visto per i segnali aperiodici a tempo continuo:

avremo, nel caso discreto:

xs(t) =1X


Dal tempo continuo al tempo discreto (passaggi)


per le proprietà della trasformata della δ:

xs(t) =1X


Xs(f) =1X

n=�1x(nTc)e

�i2⇡fnTc

che è periodica in (frequenza normalizzata alla frequenza di campionamento)

F = fTc

Effettuiamo il cambio di variabile, (frequenza normalizzata alla frequenza di campionamento) e chiamiamo:

quindi:

F = fTc

Xs(f) =1X

n=�1x(nTc)e

�i2⇡fnTc

x[n] = x(nTc) X(F ) = Xs

✓F

Tc

◆

Xs(f) = X(F ) =1X

n=�1x(nTc)e

�i2⇡fnTc

Dal tempo continuo al tempo discreto (passaggi)

Caso continuo:

Caso discreto:

Inoltre:


X(F + 1) = X(F )o, in altri termini:

X

✓f +

1

Tc

◆= X(f)

cioè è periodica, con periodo 1/Tc: quindi vale l’espansione in serie di Fourier:

di cui sappiamo come valutare i coefficienti:


x[n] = Tc

Z 12Tc

�12Tc

X(f)ei2⇡nfTcdf

Equazioni di analisi

Tempo continuo

Tempo discreto

Equazioni di sintesi

Tempo continuo

Tempo discreto x[n] = Tc

Z 12Tc

�12Tc

X(f)ei2⇡nfTcdf

x[n] =

Z 12

�12

X(F )ei2⇡nFdFTempo discreto (a partire dalla trasformata in F)

Trasformata Discreta di Fourier (DFT)

purtroppo ancora siamo lontani dalla realtà, in un caso reale:

•  il numero di campioni nel tempo è finito •  anche le frequenze sono in numero finito e non nel

continuo

In questo caso si dimostra che:

x[n] =N�1X

k=0

X[k]ei2⇡knN

X[k] =1

N

N�1X

n=0

x[n]e�i2⇡k nN

La condizione di Nyquist

xs(t) =1X


Campionare il segnale è equivalente a moltiplicarlo per un treno di impulsi:

Usando il teorema di prodotto e convoluzione e le proprità della δ:

da cui:

Xs(f) = X(f)⌦ 1

Tc

1X

k=�1�

✓f � k

Tc

◆

Xs(f) =1

Tc

1X

k=�1X

✓f � k

Tc

◆= fc

1X

k=�1X (f � kfc)


Conversione A/D 4

Per comprendere in quali condizioni questa operazione non causa una perdita di informazionesul segnale e necessario operare nel dominio della frequenza. Trasformando la (1):

X±(f) = X(f) § 1T

+1X

k=°1±

µf ° k

T

∂(3)

=1T

+1X

k=°1X

µf ° k

T

∂= fc

+1X

k=°1X(f ° kfc) (4)

Nella (3) si e sfruttato il fatto che la trasformata di Fourier di un treno di impulsi e ancora untreno di impulsi (cap.4, pag.21), mentre nella (4) si e usata la proprieta: X(f) § ±(f ° f0) =X(f°f0) (cap.2, pag.36). Lo spettro del segnale campionato e dato dunque dalla sovrapposizionedi repliche di X(f) centrate in 1/T = fc e scalate della stessa quantita. Nell’ipotesi in cui ilsegnale abbia spettro X(f) = §(f/B), la trasformata di Fourier del segnale campionato emostrata in figura 4 nei casi in cui a) fc > 2B, b) fc = 2B, c) fc < 2B.

-

6

6

-

6

-

6

-

X(f)

X±(f)

f

1

1T

f

B°B

fc°fc B fc °B

B fc°fc °B

1T

X±(f)

a)

b)

c)

fc

1T

X±(f)

f

ffc °B

Figura 4: Analisi del campionamento nel dominio della frequenza.


la larghezza del segnale nel dominio delle frequenza è la sua banda (B) a)  fc > 2B b)  fc = 2B c)  fc < 2B


La trasformata di Fourier di una sequenza è la periodicizzazione della trasformata del segnale originale, con una periodicità pari alla frequenza di campionamento fc = 1/Tc. Per garantirsi l’assenza di aliasing, la frequenza di campionamento deve essere tale che: dove B è la banda del segnale

Xs(f) =1

Tc

1X

k=�1X

✓f � k

Tc

◆= fc

1X

k=�1X (f � kfc)

fc =1

Tc� 2B

Aliasing

Aliasing

Aliasing

Trasformata Discreta di Fourier (DFT) Caso reale:

•  il numero di campioni nel tempo è finito •  anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo

Se si acquisisce un segnale per un tempo Tp con una frequenza di campionamento fc = 1/Tc, in totale si avranno N = Tp/Tc campioni. Lo spettro di Fourier avrà una “risoluzione” di fp = 1/Tp e la frequenza massima che sarà rappresentata è N*fp, cioè 1/Tc = fc (cfr. Nyquist)

x[n] =N�1X

k=0

X[k]ei2⇡knN

X[k] =1

N

N�1X

n=0

x[n]e�i2⇡k nN

Trasformata Discreta di Fourier (DFT) Caso reale:

•  il numero di campioni nel tempo è finito •  anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo

Se si acquisisce un segnale per un tempo Tp con una frequenza di campionamento fc = 1/Tc, in totale si avranno N = Tp/Tc campioni. Lo spettro di Fourier avrà una “risoluzione” di fp = 1/Tp e la frequenza massima che sarà rappresentata è N*fp, cioè 1/Tc = fc (cfr. Nyquist*) *in realtà N/2 elementi della DFT (FFT) sono usati per le frequenze negativi

x[n] =N�1X

k=0

X[k]ei2⇡knN

X[k] =1

N

N�1X

n=0

x[n]e�i2⇡k nN

FFT su Labview In Labview è disponibile un “blocchetto” (sub-VI) per fare la DFT (in particolare la FFT) e la sua inversa: Spiegazioni e dettagli qui: http://www.ni.com/white-paper/4541/en/

Power Spectrum su Labview

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-100

-80

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-40

-20

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40

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Plot 0Segnale vs tempo

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1E-12

1E-10

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1E-6

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0.01

1

100

Frequenza50000 1000 2000 3000 4000

Plot 0Spettro di potenza

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30

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0.020 0.005 0.01 0.015


0.1250

Frequenza di taglio bassa

5000.00

Frequenza di taglio alta

10000

1E-12

1E-10

1E-8

1E-6

0.0001

0.01

1

100

Frequenza50000 1000 2000 3000 4000


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Acquisizione audio:

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Segnale vs tempo

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Spettro di potenza

1

Segnale vs tempo



Ydtt0

00:00:00.000 PM MM/DD/YY

Spettro di potenzaBandpass

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Segnale

interruttore

Spettro di potenza

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dt

t0

0

Y

dt

t0

Ampiezza

Filtro

Posizione

1

1

1

Filtro usato:

Ampiezze:

1

1

1

Filtro usato:

Posizioni:

0.00

100000

Frequenza campionamento

1

frequenza di campionamento:

Data

Cognome

Nome

1

Nome lettura e commenti

1

1

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Spettro di potenzaBandpass

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Per il power spectrum diverse implementazioni sono possibili:

* … *calcolandolo “a mano” dai termini della FFT…

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