VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTNEA Y ACELERACIN

VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTNEA Y ACELERACIN

VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTANEA Y ACELERACIONI. OBJETIVOS:1.1. Determinar la velocidad media de un mvil que se desplaza a lo largo de un plano inclinado.1.2. Determinar la velocidad instantnea de un mvil (rueda de Maxwell), en un punto de su trayectoria.1.3. Determinar experimentalmente la aceleracin instantnea de un mvil con movimiento rectilneo uniforme variado.1.4. Utilizar correctamente las ecuaciones de un movimiento variado.

II. MATERIAL A UTILIZAR:2.1. Una rueda Maxwell.2.2. Una regla graduada en milmetros.2.3. Un cronometro.2.4. Un soporte con dos varillas paralelas.2.5. Un tablero de madera con tornillos de nivelacin.2.6. Un nivel de burbuja.

III. MARCO TERICO Y CONCEPTUAL

3.1. Velocidad Media:La velocidad entre dos puntos de la trayectoria de un mvil, se define como:(1)Dnde:, representa el desplazamiento del mvil y, es el intervalo de tiempo mediante el cual se efecta el desplazamiento.

3.2. Velocidad Instantnea:La velocidad instantnea en un punto cualquiera de la trayectoria se obtiene haciendo los intervalos de tiempo tan pequeos como sea posible, acercndose cada vez ms al punto en referencia, es decir:

(2)

Para determinar la velocidad instantnea del mvil en el punto P de su trayectoria, basta medir las velocidades medias alrededor de dicho punto. La fig. 1 Muestra una pista formada por dos varillas inclinadas sobre la cual se encuentra en movimiento el eje de una volante desplazndose sin deslizar desde A hacia B, se determinan las velocidades medias en un tramo cada vez ms corto respecto al punto P, tanto a la izquierda: AP, A1 P, A2 P, A3 P, como por la derecha: PB1, PB2, PB3, PB.

Fig. 1. Movimiento de un mvil sobre un plano inclinado

Un grafico de las velocidades medias ( x / t ), en funcin de los intervalos de tiempo t, se muestra en la figura 2, donde, es la velocidad media correspondiente al intervalo AP; es la velocidad media correspondiente al intervalo A1P; etc. Debe tenerse en cuenta que el mvil siempre inicia su movimiento partiendo del reposo en el punto A. De este grfico se puede encontrar la velocidad instantnea en el punto P al prolongar la recta hasta que corte en el eje Vm (es decir cuando t 0), tal como se muestra en la fig.2.

Fig. 2. Grfico velocidad media en funcin del tiempo.

Siguiendo el mismo procedimiento se procede con el tramo PB. En este caso el mvil tambin inicia su movimiento en el punto A. Trazando un grafico similar a la Fig. 2, se puede hallar el otro valor para la velocidad instantnea en el punto P (tericamente debera ser el mismo). Esta superposicin de grficos esta mostrado en la figura 3:

Para PB

Para AP

Fig. 3. Grfico velocidad media en funcin del tiempo para ambos tramos AP y PB.

3.3. Aceleracin Instantnea:Para encontrar la aceleracin de un mvil a lo largo del plano inclinado se grafican las velocidades instantneas en diferentes puntos de su trayectoria en funcin del tiempo. Las pendientes de dicha grafica nos dan la aceleracin. Para el logro de este objetivo se utiliza un procedimiento que permite encontrar la velocidad instantnea a partir de las velocidades medidas.Consideremos el movimiento uniformemente variado de un mvil que partiendo del punto O pasa por A y B, como se ve en la figura 4.

Fig.4. Movimiento rectilneo unifrmenle variado de una partcula.

La aceleracin media se define como: (3)

Donde:

La aceleracin instantnea se obtiene tomando valores ms y ms pequeos de t, y valores correspondientes ms y ms pequeos de v, de tal forma que:

(4)Una relacin que involucra el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin a lo largo de la trayectoria esta dada por la ecuacin: (5)Cuando la velocidad es constante, a = ac, cada una de las tres ecuaciones cinemticas a = dv/dt; v = dx/dt; y a = v dv/dx pueden integrarse para obtener frmulas que relacionen: a, v, x y t. Para determinar la velocidad como una funcin del tiempo se integra la ecuacin (4), de la forma:

(6)

Para determinar el desplazamiento como funcin del tiempo se integra la ec. (6) esto es:

(7)

Si el mvil parte desde el reposo en el origen de coordenadas, la ec. (7) se escribe: (8)

Para determinar la velocidad como una funcin del desplazamiento se integra la ec. (5) en la forma:

(9)

Teniendo en cuenta que, la ec. (9) se escribe:

(10)

Por otro lado se sabe que en un movimiento uniformemente variado la velocidad instantnea en el punto medio de AB de la figura 4 es: (11)*Donde vi, es la velocidad instantnea en el tiempo: (12)*Reemplazando la ecuacin (11)* en la ecuacin (10), se obtiene: (13)

Al sustituir la ecuacin (6) en la ecuacin (13), obtenemos:(14)*

Que corresponde al valor de la velocidad media entre los puntos A y B. Esta velocidad media en el intervalo de tiempo mencionado es igual en valor a la velocidad instantnea en el tiempo/2. Si se traza una grfica, como se muestra en la fig. 5, la pendiente de la recta nos da el valor de la aceleracin instantnea.

Fig. 5. Grfico velocidad en funcin del tiempo para encontrarla aceleracin instantnea

Desaceleracin: Se utiliza cuando la rapidez (mdulo de la velocidad) disminuye.La aceleracin es representada por una cantidad positiva o negativa, un valor positivo (+) para indicar cuando la velocidad aumenta, esto puede indicar que la partcula se est moviendo ms despacio en la direccin (-) .Un valor negativo de la aceleracin indica que la velocidad disminuye esto puede significar que la partcula se est moviendo ms lentamente en la direccin (+) o ms rpidamente en la direccin negativa (-).

IV. METODOLOGIA

4.1. Para determinar la velocidad instantnea:a. Nivele el tablero horizontal mediante los tres pernos de apoyo, utilizando el nivel de burbuja.b. Coloque las barras paralelas en forma inclinada, buscando un ngulo apropiado de tal manera que la volante ruede sin deslizar por la pendiente.c. Dividida el tramo AB en dos partes, una de longitud L/3 y otra 2L/3 y ubique el punto P tal como se muestra en la figura 6. A continuacin dividir los tramos AP y BP en cuatro partes iguales cada una.d. Con la regla medir las distancias AP, A1P, A2P, A3P, en forma anloga las distancias PB, PB3, PB2, PB1, registrando sus valores en la tabla I.e. Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro medir el tiempo que demore la rueda en recorrer el tramo AP por cinco veces consecutivas. Registrando sus lecturas en la tabla I.f. Dejando libre la volante desde el mismo punto de partida que para el caso anterior, medir los tiempos correspondientes a los tramos AP, A1P, A2P, A3P, por cinco veces consecutivas para cada caso. Registre sus lecturas en la tabla I.g. Siempre poniendo en movimiento la rueda desde el mismo punto de partida que en los pasos c y d, meda por cinco veces los tiempos correspondientes a los tramos PB, PB3, PB2, PB1. Registrando sus valores en la tabla I.

(a) (b)Fig. 6. Instalacin de la pista para encontrar: (a) velocidad instantnea.(b) la aceleracin instantnea.

Tabla I. Datos y clculos para determinar la velocidad instantnea.TramoDesplazamientox(cm)Tiempo t (s)=x/t(cm/s)

12345t

AP169.619.349.319.7610.19.6061.666

A1P124.824.774.944.774.804.822.49

A2P82.852.882.882.612.692.7822.876

A3P41.491.391.501.341.521.4482.762

PB327.157.157.187.157.287.1824.46

PB3245.775.685.635.535.685.5684.31

PB2163.963.963.914.004.073.984.02

PB182.111.982.012.122.122.073.87

4.2. Para determinar la aceleracin instantnea:a. Instale el equipo tal como se muestra en la fig. 6b.b. Divida el tramo a recorrer por la volante en puntos que estn situados a 7, 14, 21, 28, 35, 42 cm., respectivamente desde un origen comn A. Registre las medidas en la tabla II.c. Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro mida el tiempo que demora en recorrer el tramo AA1, por cinco veces consecutivas. Registre sus valores en la tabla II.d. Dejando libre al volante en el mismo punto que el paso c, mida los tiempos correspondientes para los tramos AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, etc. Registre sus valores en la tabla II.

Tabla II. Datos y clculos para determinar a.

TramoDesplazamientox (cm.)Tiempo t (s)Vi(cm/s)t1(s)

12345t

AA176.756.786.436.376.416.551.0693.275

AA2149.399.319.459.479.439.411.4884.705

AA32111.0211.1211.3811.4410.7511.141.8855.57

AA42812.3912.2812.3412.9612.5612.512.2386.255

AA53514.2914.2614.2114.4414.4714.332.4427.165

AA64215.2215.1215.8315.7715.7915.552.7017.775

e) Con los datos de la tabla II y las ecuaciones (12)* y (14)*, elabore la tabla III para determinar las velocidades instantneas en los puntos medios de los tramos AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6.Tabla III. Datos y clculos para determinar a.Tramo

AA11.0693.275

AA21.4884.705

AA31.8855.571

AA42.2386.253

AA52.4427.165

AA62.7017.775

V. CUESTIONARIO:

5.1. Para determinar la velocidad media E instantnea:a. Con los datos de la tabla I, trace en papel milimetrado una grfica velocidad media Vm en funcin del intervalo de tiempo t, y a partir de ella determine la velocidad instantnea del mvil en el punto P.

Para el tramo AP:Tramo

Desplaz.Tiempo t (s)Vm = x/ tDatos para la recta de ajuste

x (cm.)12345t(cm/s)tt.vm

AP169.619.349.319.7610.19.6061.66692.27516.004

A1P124.824.774.944.774.804.822.4923.23212.002

A2P82.852.882.882.612.692.7822.8767.748.001

A3P41.491.391.501.341.521.4482.7622.0973.999

18.6569.794125.34440.006

Graficando por el mtodo de mnimos cuadrados

Donde:n = 4 (Nmero de medidas)

Reemplazando tenemos:

Clculo del error absoluto para el tramo AP

TramoDatos de laboratorioRecta Ajustada(Vm - Vm ')

t (s)t (s2)Vm (cm/s)t (s)Vm' (cm/s)(cm2/s2)

AP9.60692.2751.6669.6061.7173120.002633

A1P4.8223.2322.494.822.425640.004142

A2P2.7827.742.8762.7822.7272640.022122

A3P1.4482.0972.7621.4482.9246960.02647

18.656125.3440.055367

Clculo del error absoluto de a Donde:

Clculo del error absoluto de b

Entonces a y b son:

Por lo tanto las rectas ajustadas sern: (a) (b)

Para el tramo PB:

Tramo

Desplazamientox (cm.)Tiempo t (s)Vm = x/t(cm/s)Datos para la recta de ajuste

12345t (s)t (s2)t.Vm (cm)

PB327.157.157.187.157.287.1824.4651.58132.032

PB3245.775.685.635.535.685.5684.3131.00323.998

PB2163.963.963.914.004.073.984.0215.8416

PB182.111.982.012.122.122.073.874.2858.011

18.816.66102.70980.041

Graficando por el mtodo de mnimos cuadrados

Donde:n = 4

Reemplazando tenemos:

Clculo del error absoluto para el tramo PBTramoDatos de laboratorioRecta Ajustada(Vm - Vm ') (/s2)

t (s)Vm (cm/s)t (s2)t (s)Vm' (cm/s)

PB7.1824.45651.5817.1824.6290.0299

PB35.5684.3131.0035.5684.43370.0153

PB23.984.02015.843.984.24160.0491

PB12.073.8654.2852.074.01050.0212

18.816.583102.70918.80.1155

Clculo del error absoluto de a Donde:

Clculo del error absoluto de b

Entonces a y b son:

Por lo tanto las rectas ajustadas sern: (c) (d)P es la interseccin del as restas, hallamos las coordenadas de P:Igualamos las ecuaciones (b) y (d):

Reemplazamos en (b) o en (d): (e)Igualamos las ecuaciones (a) y (c):Reemplazamos en (a) o en (c): (f)

Las ecuaciones (e) y (f) nos indican las velocidades instantneas en el punto P:

b. En qu tramo se tiene mayor valor para la velocidad media y para cual el menor valor? Por qu?El mayor valor se da en el tramo PB, puesto que el desplazamiento es mayor que la t y el menor se da en el tramo A3P, debido a que la variacin de t es mayor al desplazamiento.

c. Qu importancia tiene que las rectas se crucen antes o despus del eje de coordenadas o sea cundo?Las rectas nos indican la velocidad instantnea en un determinado punto.

5.2. Para determinar la aceleracin instantnea:a. Con los datos de la tabla II y utilizando la ecuacin (8), trazar en papel milimetrado una grfica de desplazamiento x, en funcin del intervalo de tiempo (t) y a partir de ella determine la aceleracin instantnea de la volante.En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuacin de la recta sea:

TramoDesplazamientox (cm)t (s)t (s)

t.x (cm.s)

( t)2(s4)

AA176.5542.9025300.31751840.6245

AA2149.4188.54811239.67347840.766

AA32111.14124.09962606.091615400.7107

AA42812.51156.50014382.002824492.2813

AA53514.33205.34897187.211542168.1707

AA64215.55241.802510155.70558468.449

14769.49859.201725871.0018150211.0022

Hallando el valor de a0:

Donde:n = 6

Hallando el valor de a1:

Finalmente se obtiene la siguiente ecuacin:

Calculo del error absoluto de a0 y a1:

TramoDatos de laboratorioRecta ajustada(x - x')(cm2)

t (s2)(t) (s4)x (cm)t (s2)x' (cm)

AA142.90251840.6245742.90256.690.0961

AA288.54817840.7661488.548114.7690,5914

AA3124.099615400.710721124.099621.0620,0038

AA4156.500124492.281328156.500126.7971.4472

AA5205.348942168.170735205.348935.4430.1962

AA6241.802558468.44942241.802541.8950,011

859.2017150211.00222.3457

Para ao se tiene:

Dnde.n = 6

Para a1 se tiene:

Entonces los errores de a0y a1 son:

Por lo tanto las rectas ajustadas sern:

Sabemos que la aceleracin es igual a la pendiente de la recta: () ()De la ecuacin cinemtica tenemos: (a)Tambin sabemos que: (b)

De las ecuaciones (a) y (b) deducimos que:

Reemplazando en () y (), tenemos:

d. Compare los datos de aceleracin obtenida en a, b, c Cul cree usted que es mejor valor para la aceleracin?El mejor valor se obtuvo en a, ya que los valores de la aceleracin son casi iguales.

e. De qu forma influye el ngulo de inclinacin de los rieles en la determinacin de la velocidad y la aceleracin instantnea? Cul fue el ngulo que utilizo en su experimento?Cuanto mayor sea el ngulo de inclinacin mayor ser la aceleracin del mvil y su rapidez.

f. Cules cree que son las posibles fuentes de error de su experimento?i. Al momento de soltar el objeto y medir el tiempo, puesto que no era exacto cuando pulsbamos el cronometro y soltbamos el volante.

ii. No haber puesto en equilibrio los rieles, por no haber estado bien ubicado, haciendo que la rueda se vaya hacia un costado delos rieles y exista friccin haciendo que desacelere.

V RECOMENDACIONES:

Usar adecuadamente los instrumentos de medicin, sobre todo al manipular el cronmetro. La rueda no debe chocar con los lados de los rieles. Utilizar valores menores de ngulos de inclinacin de los rieles.

VIII BIBLIOGRAFIA:GIANBERNANDINO, V. Teora de errores Edit. Reverte. Espaa 1987 SQUIES, G.L.Fsica practica Edit. Mc. Graw-Hill 1990GOLDEMBERG, J.Fisica general y experimental , Vo.l I Edit. Interamericana S.A. Mexico 1972SERWAYFisica Vol. I. (1993) p. 539 -540. Edit. Mc. Graw- HillTIPLERFisica Vol. I (1993) p. 517 518 Edit. Reverte.

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