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Resumen En esta prctica observaremos los beneficios de trabajar
con los diferentes tipos de modulacin digital de
seales. Para esto se utilizara el software MATLAB y una
herramienta importante, como lo es SIMULINK, que ayudara
a analizar los diferentes tipos de modulacin y sus
diferentes
variables. Mediante el desarrollo de este laboratorio se
podr
observar que las tcnicas de modulacin digital son
indispensables en cualquier sistema de comunicacin, gracias
a ellas se pude generar una poderosa seal con un nivel alto
de transmisin y con el uso de propiedades como codificacin
se puede generan un canal ms robusto.
En esta gua se tratarn conceptos bsicos de comunicaciones
digitales, en donde se implementaran simulaciones basadas en
Matlab que permitan recordar el funcionamiento bsico de
tcnicas de modulacin y de los bloques de codificacin.
Adems se comprobarn y analizarn parmetros de tasa de
error, ganancia de codificacin, diagramas de constelacin
entre otros aspectos de los sistemas digitales.
I. INTRODUCCIN
Las tcnicas de modulacin digital son indispensables en
cualquier sistema de comunicacin, gracias a ellas se pude
generar una poderosa seal con un nivel alto de transmisin y
con el uso de propiedades como codificacin se puede generan
un canal ms robusto.
En esta gua se tratarn conceptos bsicos de comunicaciones
digitales, en donde se implementaran simulaciones basadas en
Matlab que permitan recordar el funcionamiento bsico de
tcnicas de modulacin y de los bloques de codificacin.
Adems se comprobarn y analizarn parmetros de tasa de
error, ganancia de codificacin, diagramas de constelacin
entre otros aspectos de los sistemas digitales.
En el presente informe de laboratorio se plantea realizar
las
diferentes tcnicas de modulacin indispensable para los
diferentes sistemas de comunicacin, generando con ello una
seal de un alto valor de transmisin, al emplear diferentes
propiedades de codificacin generando robustez en el canal
donde se trasmite.
II. OBJETIVOS
Analizar el efecto de las modulaciones sobre una transmisin
digital.
Recordar el concepto de codificacin de canal y analizar el uso
de la etapa de codificacin en un
sistema digital.
III. MARCO TEORICO
Modulacin BPSK
La Transmisin por Desplazamiento de fase binaria
(BPSK), posibilita dos fases de salida para una sola
frecuencia
de portadora. Una fase de salida representa un 1 lgico y la
segunda un 0 lgico. Conforme la seal de entrada cambia de
estado, la fase de la portadora de salida se desplaza entre
dos
ngulos que estn 180 fuera de fase. BPSK es una forma de
modulacin de onda cuadrada de portadora suprimida de una
seal de onda continua (CW). Figura 1.
Modulacin QAM
La Modulacin de Amplitud en Cuadratura (QAM) es una
forma de modulacin en donde la informacin est contenida
en la fase y la amplitud de la portadora transmitida.
Este tipo de modulacin usa una tcnica de codificacin M-
ario en donde M vara segn el tipo como se muestra a
continuacin.
8-QAM: Los datos se dividen en grupos de 3 bits (Tribit), en
donde dos de estos varan la fase de la portadora y el otro
la
amplitud. De esta manera la seal modulada toma 4 diferentes
fases y dos diferentes amplitudes, para un total de 8
estados
diferentes. Figura 2.
16-QAM: Los datos se dividen en grupos de 4 bits
(cuadribits). Las 163 posibles combinaciones hacen variar la
amplitud y la fase de la portadora, por ende esta puede
tomar
16 estados diferentes. Figura 3.
M-QAM: En la actualidad se estudia y maneja una divisin de
datos en grupos de 9 bits, en donde se pueden legar a
obtener
constelaciones con hasta 512 puntos de modulacin.
Figura 1. Constelacin Modulacin BPSK
Informe de Laboratorio
Televisin Digital
Ramrez Tavera Luis Eduardo, Gantiva Gabriel Alejandro
[email protected], [email protected]
Universidad Militar Nueva Granada
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Figura 2. Constelacin Modulacin 8QAM
Figura 3. Constelacin Modulacin 16-QAM
Cdigos de Hamming
Bsicamente los cdigos de Hamming que fueron introducidos
por Golay en 1949, permiten reducir el tiempo y el espacio
de
codificacin. Para definir esto es necesario precisar el
concepto de tasa de informacin de un cdigo lineal, C(n,k).
Se llama as al cociente R=k/n. Este representa el nmero de
bits de informacin por smbolo que porta cada palabra-
cdigo. Obviamente si se presenta una igualdad en la
capacidad correctora, va a interesar ms el cdigo con la tasa
ms prxima a 1.
Cuando se trata de cdigos lineales 1-correctores, se
establece
que la matriz de control no puede tener menos de 3 columnas
linealmente dependientes. Si con ello la capacidad
correctora
es 1, se debe seguir d 3, y recordar que el nmero mnimo de
columna linealmente dependiente en la matriz de control
coincide con el valor de d. Como r = n k, por lo tanto si se
aumenta n aumenta la tasa R, lo que quiere decir que n debe
ser lo ms grande posible.
No es difcil construir este tipo de cdigos, hay que tener
presente una matriz de control slo puede contener conjuntos
de 3 o ms columnas linealmente dependientes. Por ende se
debe cumplir que:
Todas las columnas deben ser diferentes.
Ninguna columna es nula.
Las columnas son de r=(n - k) coordenadas de A.
La matriz de control debe tener el mayor nmero posible de
columnas, para que la tasa de informacin
sea lo ms prxima a 1 posible.
Cdigos Convolucionales
Los cdigos convolucionales son adecuados para usarse sobre
canales con mucho ruido (alta probabilidad de error). Estos
cdigos son lineales, donde la suma de las palabras de cdigo
cualesquiera tambin es una palabra de cdigo, pero a
diferencia de los lineales, se prefieren los cdigos no
sistemticos.
El sistema de memoria en la codificacin convolucional
depende de los datos que se envan ahora y de los que fueron
enviados en el pasado. Un cdigo convolucional est
especificado por tres parmetros (n,k,m )al igual que en los
cdigos Hamming:
n: Es el nmero de bits de la palabra codificada.
k: Es el nmero de bits que de la palabra de datos.
m: es la memoria del cdigo o longitud restringida. Esta
codificacin es continua en la que la secuencia de bits
codificada depende de los bits previos. El codificador
consta
de un registro de desplazamiento K segmentos de longitud,
que se desplaza k posiciones por ciclo y genera n funciones
EXOR tambin por ciclo.
Finalmente la tasa de codificacin es: R = k/n [5].
IV. PROCEDIMIENTOS Y ANLISIS DE RESULTADOS
PARTE A.
Para la realizacin de la prctica se trabaj con el software
de
Matlab, la aplicacin Simulink y el toolbox de
comunicaciones. Implementando la siguiente simulacin de
modulacin BPSK con y sin codificacin. Para este caso se
usa un codificador Hamming.
Figura 4:diagrama de bloques Modulacion BPSK con y sin
codificacion
Despus de implementa la figura anterior se realiz para cada
bloque su debida configuracin con las siguientes
caractersticas:
Los parmetros de cada bloque que no aparecen mencionados,
se deja el valor por defecto.
Bernoulli Binary Generator: Generador de datos binarios.
Initial seed: 12345
Sample time: 0.001
Frame-based en outputs: ON
Samples per frame: 4
Output data type: uint8
BPSK Modulator Baseband/BPSK Modulator Baseband1:
Modulador BPSK.
Output data type: Single
-
AWGN Channel/AWGN Channel1: Canal de transmission.
Initial seed: 54321
Mode: Single to noise ratio (SNR)
SNR (dB): 10
BPSK Demodulator Baseband/BPSK Demodulator
Baseband1: Demodulador BPSK.
Pestaa Data Type: Output: uint8.
Error Rate Calculation/Error Rate Calculation: Calculo de
la tasa de error en la transmisin.
Output data: Port
Stop simulation: ON
Target Number of error: 100.
Maximum number of symbols: 1e6
Discrete-Time Scatter Plot Scope: Medidor y visualizador
del diagrama de constelacin.
Points displayed: 2500
New points per display: 300
Pestaa Axes Properties:
X-axis mnimum: -1.5
X-axis mximum: 1.5
Y-axis mnimum: -1.5
Y-axis mximum: 1.5
Pestaa Figure Properties:
Scope-position: figposition([9 10 30 35])
Title: Constelation BPSK/Constelation BPSK Hamming Encoder.
Display: se alarga (long)
Posteriormente se ejecut la simulacin y se observ cmo se
comportan los parmetros BER, Total de Errores y Total de
smbolos. Se pudo identificar tambin que para cada sistema
digital simulado, debe obtener un diagrama de constelacin.
Figura 5: Constelacin.
En la imagen anterior se observa los datos de BER, total
errores y total smbolos con los datos predeterminados:
BER: 0
Total Errores: 0
Total Smbolos: 10004
Haciendo modificaciones de 30dB para AWGN se tiene que
entre menos relacin seal a ruido los puntos sern ms
distantes.
Figura 6: Constelacin con 30 dB relacin seal a ruido.
Se tabulo los resultados en la siguiente tabla modificando
el
valor de SNR (dB).
Tabla 1. Tabla resultados BPSK con y sin codificacin
Tabla 2. Diagramas de constelacin para BPSK con y sin
codificacin
-
PARTE B.
Se representa los valores de las constelaciones de SNR en
funcin de BER para los casos con y sin codificacin
-6 -4 -2 0 2 4 6 810
-5
100
Figura 7: SNR en funcin del BER sin codificacin.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 510
-4
10-3
10-2
10-1
100
Figura 8: SNR en funcin del BER con codificacin
Mediante el comando en matlab Bertool se obtuvo una grfica
terica de la modulacin BPSK sin codificacin como
se muestra en la figura 9 y con codificacin como se muestra
en la misma figura.
Figura 9: BPSK con y sin codificacion por medio de BERTOOL.
Con lo anterior se realiza el anlisis encontrando que la
ganancia de codificacin es de 0.61 dB
PARTE C.
Se realiz el montaje correspondiente para la modulacin 16-
QAM
Como tercer ejercicio desarrollar una simulacin en la cual
se
observa el mismo efecto de la anterior pero, para una
modulacin 16-QAM con un codificador Convolucional y
decodificador Viterbi. Identificar y analizar dichos valores
y
graficas como se hizo en las actividades 1 y 2.
-
Figura 10: diagrama de bloques Modulacion 16-QAM con y sin
codificacion
Para este montaje configurar los bloques como se muestra a
continuacin:
Bernoulli Binary Generator: Generador de datos binarios.
Figura 11: Generador de datos binarios.
Rectangular QAM Modulator Baseband/ Rectangular
QAM Modulator
Baseband 1: Modulador QAM.
Figura 12: Modulador QAM.
AWGN Channel/AWGN Channel1: Canal de transmission.
Figura 13: Canal de transmission.
Rectangular QAM Demodulator Baseband/ Rectangular
QAM Demodulator
Baseband 1: Demodulador QAM.
Figura 14.1: Demodulador QAM.
Figura 14.2: Demodulador QAM.
-
Error Rate Calculation/Error Rate Calculation: Calculo de
la tasa de error en la transmisin.
Figura 15: Tasa de error en la transmisin.
Error Rate Calculation1: Calculo de la tasa de error en la
transmisin.
Figura 16: tasa de error.
Discrete-Time Scatter Plot Scope: Medidor y visualizador
del diagrama de constelacin.
Figura 17: Medidor y visualizador del diagrama de
constelacin.
Viterbi Decoder: Decodificador de cdigo convolucional.
Figura 18: Decodificador de cdigo convolucional.
Para el punto N 3 al correr la simulacin se present el
siguiente error, el cual no permiti concluir de forma
completa
el taller. Por lo tanto el punto N 3 y N 4 no tendrn su
correspondiente culminacin:
Figura 19: Error al correr la simulacin.
Se solucion el error cambiando el siguiente parmetro en el
mdulo Rectangular QAM Modulator Baseband/
Rectangular QAM Modulator
Baseband 1: Modulador QAM.
-
Figura 20: Solucin de error.
Posteriormente se ejecut la simulacin y se observ cmo se
comportan los parmetros BER, Total de Errores y Total de
smbolos. Se pudo identificar tambin que para cada sistema
digital simulado, debe obtener un diagrama de constelacin.
Variando los diferentes parmetros se tomaron distintos
datos,
que se muestran en la siguiente tabla (tabla 3).
Tabla 3. Tabla resultados 16-QAM con y sin codificacin
En la tabla 4 se muestran las diferentes graficas de
constelacin que dieron como resultado despus de modificar
los parmetros respectivos.
Tabla 4. Diagramas de constelacin para 16-QAM con y sin
codificacin
Ejecutar en la lnea de comandos de Matlab, el comando
bertool.
Mediante esta herramienta obtenga la grfica de Eb/No(dB)
vs BER para las modulaciones 16-QAM con y sin
codificacin.
Figura 21: Parmetros de configuracin de la Herramienta Bertool
de
Matlab para 16-QAM.
Con la anterior grafica se analiza que la ganancia de
codificacin tiene un valor de 3.68dB. Con diferencia a la
modulacin BPSK que tuvo una ganancia de 0.61dB.
-
PARTE D.
Efectos del ruido de fase en una modulacin 256-QAM.
Para observar los diferentes efectos que causa el ruido de
fase
en una modulacin 256-QAM, se Implementando la siguiente
simulacin de modulacin QAM que incluye el ruido de fase.
Figura 22: diagrama de bloques Modulacion 256-QAM con ruido de
fase.
Posteriormente se ejecut la simulacin y se observ cmo se
comportan los parmetros SER, Total de Errores y Total de
smbolos. Se pudo identificar tambin que para cada sistema
digital simulado, debe obtener un diagrama de constelacin.
Lo primero que se hizo fue darle un valor bajo a la relacin
seal a ruido del canal de trasmisin AWGN (32dB) y despus
se fue variando la relacin seal a ruido al factor de ruido
de
fase, para observar los distintos cambios que sufre la
trasmisin al tener un factor de ruido del canal igual a 32
dB.
Los resultados obtenidos fuero los siguientes.
Factor De Ruido de Canal: Es/No (dB): 32
Phase noise level (dBc/Hz): -10
Figura 23: Phase noise level (dBc/Hz): -10
Phase noise level (dBc/Hz): -20
Figura 24: Phase noise level (dBc/Hz): -20
Phase noise level (dBc/Hz): -30
Figura 25: Phase noise level (dBc/Hz): -30
Phase noise level (dBc/Hz): -40
Figura 26: Phase noise level (dBc/Hz): -40
-
Phase noise level (dBc/Hz): -50
Figura 27: Phase noise level (dBc/Hz): -50
Phase noise level (dBc/Hz): -60
Figura 28: Phase noise level (dBc/Hz): -60
Phase noise level (dBc/Hz): -70
Figura 29: Phase noise level (dBc/Hz): -70
Phase noise level (dBc/Hz): -80
Figura 30: Phase noise level (dBc/Hz): -80
-
Phase noise level (dBc/Hz): -90
Figura 31: Phase noise level (dBc/Hz): -90
Phase noise level (dBc/Hz): -100
Figura 32: Phase noise level (dBc/Hz): -100
Despus de obtener estos valores y las constelaciones con ese
nivel bajo en el canal de transmisin lo que se hizo despues
fue darle un valor alto a la relacin seal a ruido del canal
de
trasmisin AWGN (88dB) y despus se fue variando la
relacin seal a ruido al factor de ruido de fase, para
observar
los distintos cambios que sufre la trasmisin al tener un
factor
de ruido del canal igual a 88 dB.
Los resultados obtenidos fuero los siguientes.
Factor De Ruido de Canal: Es/No (dB): 88
Phase noise level (dBc/Hz): -10
Figura 33: Phase noise level (dBc/Hz): -10
Phase noise level (dBc/Hz): -20
Figura 34: Phase noise level (dBc/Hz): -20
Phase noise level (dBc/Hz): -30
-
Figura 35: Phase noise level (dBc/Hz): -30
Phase noise level (dBc/Hz): -40
Figura 36: Phase noise level (dBc/Hz): -40
Phase noise level (dBc/Hz): -50
Figura 37: Phase noise level (dBc/Hz): -50
Phase noise level (dBc/Hz): -60
Figura 38: Phase noise level (dBc/Hz): -60
Phase noise level (dBc/Hz): -70
-
Figura 39: Phase noise level (dBc/Hz): -70
Phase noise level (dBc/Hz): -80
Figura 40: Phase noise level (dBc/Hz): -80
Phase noise level (dBc/Hz): -90
Figura 41: Phase noise level (dBc/Hz): -90
Phase noise level (dBc/Hz): -100
Figura 42: Phase noise level (dBc/Hz): -100
-
Despues de realizar este procedimiento y de observar
los cambios que presentaban los diferentes datos y las
constelaciones al realizar las variaciones en los
parametros de ruido de fase en ambos casos. Se
tomaron los valores de ruido de fase y los valores de
SER, y con ayuda de matlab se graficaron para
ambos casos, tanto para 88dB como para 32dB en el
AWGN.
Figura 43: Ruido de fase Vs SER.
Trabajo Complementario
a. Qu tipos de codificadores de canal existen, como se
clasifican? Defina: Cdigos de bloque, distancia mnima de
cdigo, cdigos cclicos y cdigos polinomios.
El propsito de un sistema de comunicaciones es transmitir
informacin desde un emisor hasta un receptor a travs de un
canal. El esquema genrico de un sistema de comunicaciones
es el siguiente:
Figura 44: El sistema de comunicaciones
El emisor en una fuente discreta de informacin desde la que
se emiten los distintos smbolos del alfabeto fuente que se
quieren transmitir.
Los smbolos emitidos por la fuente llegan al codificador de
la
fuente donde son transformados en smbolos de un cdigo
binario ms adecuado para ser transmitido a travs de un canal
de comunicaciones.
Opcionalmente estos smbolos codificados pueden ser
comprimidos con el objetivo de reducir su tamao para
conseguir una transmisin ms rpida.
Durante la transmisin de los smbolos a travs del canal
pueden producirse alteraciones de los mismos debidas a la
presencia de ruido en el canal. A estas alteraciones se las
denomina errores. Por ello, antes de enviar los smbolos
codificados a travs del canal, se realiza una nueva
codificacin orientada a que el receptor pueda detectar y
corregir los errores producidos en el canal.
En la recepcin se realiza un proceso inverso. Primeramente
se realiza una decodificacin del canal para detectar y
corregir
los posibles errores que contengan los smbolos recibidos a
travs del canal.
A continuacin se procede a una posible descompresin de los
smbolos en el caso de haber sido comprimidos en la fuente.
Por ltimo se realiza una decodificacin en la que los
smbolos codificados se transforman en los smbolos
originales que fueron transmitidos por el emisor.
Conceptos generales 1. Informacin y Entropa
Podramos intentar dar una definicin amplia sobre el
concepto de informacin, segn la cul, la informacin es una
disciplina matemtica que proporciona importantes
contribuciones a diversas ciencias como la informtica,
comunicaciones,....... Sin embargo, trataremos de dar una
definicin ms intuitiva del concepto de informacin.
La informacin que transmite un mensaje no est relacionada
con su longitud. Podemos tener dos mensajes con distinta
longitud y que transmitan la misma informacin. El concepto
de informacin est muy relacionado con el concepto de
probabilidad. Cuanto ms probable es un mensaje menos
informacin contiene.
En nuestro caso contamos con los smbolos de un alfabeto
fuente que son transmitidos por el emisor. Cada uno de estos
smbolos tiene asociada una probabilidad. El contenido en
informacin de cada uno de los smbolos se define como:
Las unidades son bits de informacin. Un concepto muy
ligado al de cantidad de informacin es el concepto de
entropa.
La entropa es una forma de evaluar la calidad del
dispositivo
codificador. Se define como el valor medio de la informacin
por smbolo:
Las unidades son bits/mensaje.
2. Codificacin
La codificacin consiste en establecer una correspondencia
entre cada uno de los smbolos de un alfabeto fuente y una
secuencia de smbolos de un alfabeto destino. Al alfabeto
destino se le denomina alfabeto cdigo y a cada una de las
secuencias de smbolos de este alfabeto que se corresponda
con un smbolo del alfabeto fuente se denomina palabra de
cdigo.
Figura 45: Alfabeto fuente y alfabeto cdigo
El alfabeto fuente contiene los smbolos originales que se
quieren codificar. El alfabeto cdigo contiene las palabras
de
-
cdigo equivalentes en que se codificarn los smbolos
originales. Estas palabras de cdigo son aptas para ser
transmitidas por un sistema de comunicaciones.
Cdigos polinomiales
En ocasiones se enva un nmero considerable de datos
(mayor de 103) y es necesario determinar de una forma
extensa si se produjo un error en la transmisin, sin
disminuir
la eficiencia o la velocidad. Adems de esto, se requiere
controlar y administrar el intercambio de dichos datos.
Estas
funciones las puede realizar un codiciador o una funcin
lgica que permita no solo detectar sino procesar
escientemente las fallas presentadas. Esta lgica se denomina
Control de Enlace de Datos (DLC). Los cdigos poligonales
operan sobre un bloque de datos. Se agrega la secuencia
codificada resultante al final o intercalada en cada bloque,
dependiendo del contenido de la secuencia. El nmero de
smbolos agregados depende de la longitud de la dispersin
promedio (valor esperado de dispersin) del error.
Tpicamente se agregan 16 o 32 smbolos. El conjunto de
smbolos calculados se denomina la sucesin de verifiaccin
de trama (Frame Check Sequence FCS) o la comprobacin de
redundancia cclica (Cyclic Redun ancy Check CRC ). Antes
de la transmisin, cada trama se divide por un polinomio
generador. El residuo de esta division se agrega a la trama.
En
la recepcin la divisin se repite. Como se agreg el residuo,
el resultado debe ser cero. Un resultado distinto de cero
indica
que ha ocurrido un error. Un cdigo polinomio puede detectar
cualquier dispersin de error de longitud menor o igual a la
longitud del polinomio generador. Esta tcnica requiere
hardware adicional para realizar la divisin. Sin embargo,
con
la circuitera integrada moderna, este hardware esta
disponible
y es debajo costo. La verifiaccin de error CRC es ahora
bastante comn, y su uso sigue en aumento.
b. Cmo funcionan los cdigos Hamming y los cdigos
Convolucionales? Consulte varias fuentes para resolver esta
pregunta, busque ejemplos.
La idea bsica de los cdigos correctores de errores es enviar
dos veces la informacin de cada bit y comparar en la
recepcin que los bits recibidos por cada uno de los dos
caminos es la misma. En caso de ser diferente, se puede
afirmar que se ha producido un error en esa lnea de datos.
Figura 32: Idea bsica para detectar un error en un bit
concreto.
Para corregir un error binario es suficiente con la inversin
lgica del valor recibido por la lnea errnea de datos. En la
figura 4b no hay suficiente informacin para saber cul de los
dos hilos ha sufrido el cambio de valor, por este motivo, el
segundo envo de la informacin se realiza codificado a travs
de bits de paridad para que la lnea de datos sea nica.
En general, la distancia mnima de un cdigo para que permita
corregir errores en X lneas de datos ha de ser:
En particular, para corregir un error la distancia mnima
necesaria ha de ser 3. Si la distancia mnima fuera de 2, las
circunferencias de la figura 5 seran tangentes y una
combinacin errnea sera adyacente a dos combinaciones
vlidas. Al disponer de distancia mnima 3, se garantiza que
cualquier combinacin errnea sea adyacente solamente a una
combinacin vlida [4].
Figura 32: Justificacin grfica de la necesidad de cdigos con
distancia
mnima 3 para corregir un error.
Definiendo:
n : nmero de bits del cdigo original que se pretende
transmitir.
P: nmero de bits de paridad par generados en el transmisor,
o
sea, nmero de lneas que aadimos al cdigo inicial.
C: nmero de bits detectores de paridad par generados por el
receptor.
Numricamente c debe ser igual a p para que cada un de los
bits detectores de paridad par estn vinculados a una sola
lnea
de bit de paridad par. As, tambin se deber cumplir que cada
pi solo est contenido una vez en alguno de los detectores de
paridad, y ms concretamente lo estar en su correspondiente
ci
c = p 107
El propsito del algoritmo de Hamming es realizar una tabla
detectora del bit errneo a partir de los bits detectores de
paridad par generados por el receptor, es decir, poder
identificar la lnea donde se ha producido el error y as
proceder a su correccin.
El nmero de combinaciones que se pueden formar con los c
bits tiene que ser mayor o igual que el nmero de lneas del
cdigo original (n) ms el nmero de lneas de paridad
aadidas (p) ms uno, este ltimo para contemplar el caso de
no error.
La asignacin de una combinacin de las 2^c posibles a una
lnea fsica o a un bit en concreto no es aleatoria. Las
combinaciones se clasifican en tres grupos bien
diferenciados:
1. Combinacin asignada a la situacin en que no haya error
en la transmisin.
2. Combinaciones asignadas a los bits de paridad generados
en
el transmisor.
3. Combinaciones asignadas a los bits de datos del cdigo
original.
EJEMPLO Desarrollar el algoritmo de Hamming para corregir un
error en
un bit en la transmisin de palabras de 7 bits en cdigo
ASCII.
Atendiendo a la frmula anterir:
Con c = 3 se pueden tratar cdigos de hasta n = 4 bits.
Con c = 4 se pueden tratar cdigos de hasta n = 11 bits.
Por lo tanto, se aadirn 4 bits en el origen de la transmisin
(p =4).
-
Tabla. 5: Tabla detectora del bit errneo.
Se pretende que el minterm c4 c3 c2 c1 indique la lnea fsica
o el bit donde se ha producido el error.
Para ello hay que responder a la siguiente pregunta:
Cundo ser uno el bit ci? En general, un bit ciser 1 siempre
que la combinacin donde se ha
producido el error tenga un uno en dicho ci. El bit c4 ser
uno
cuando haya un error en las combinaciones comprendidas
entre b8 a b15, ambas incluidas. Para construir la ecuacin
booleana bastar con introducir en la funcin detectora de
paridad par (XOR) todos los bits que tengan un uno en la
columna de ci. En el caso de que haya error en una
combinacin que tenga un cero en la columna ci, este cero se
conseguir precisamente no incluyendo la combinacin bien la
funcin XOR.
c1 = b1 b3 b5 b7 b9 b11 b13 b15; c2 = b2 b3 b6 b7 b10 b11 b14
b15; c3 = b4 b5 b6 b7 b12 b13 b14 b15; c4 = b8 b9 b10 b11 b12 b13
b14 b15; Como ya se ha mencionado al principio de este punto, la
idea
bsica de los cdigos correctores de errores es enviar dos
veces la informacin de cada lnea bi. Para conseguir este
objetivo hay que codificar la informacin a travs de los bits
de paridad par, y estos bits se deben elegir para que no se
produzcan interacciones entre los distintos detectores de
pararidad par ci. La nica forma de cumplir con todos estos
requisitos es utilizar las combinaciones b1, b2, b4 y b8
como
bits de paridad puesto que solamente aparecen una vez en sus
respectivas ci, es decir, solamente tienen un uno en su
minterm.
b1 = b3 b5 b7 b9 b11 b13 b15; b2 = b3 b6 b7 b10 b11 b14 b15; b4
= b5 b6 b7 b12 b13 b14 b15; b8 = b9 b10 b11 b12 b13 b14 b15; Se
observa que si se sustituyen las ecuaciones de los bits de
paridad b1, b2, b4 y b8 en sus respectivas funciones ci,
queda
duplicada al informacin de todos los bi. Como la funcin
XOR de una variable repetida dos veces es cero (A A=0), cuando
no se produzca ningn error aparecer el minterm cero
en las variables c4 c3 c2 c1 , por este motivo el minterm
cero
se asigna a la situacin de no error en la tabla 3. Para
finalizar, las combinaciones asignadas a datos sern
aquellas que tengan ms de un uno, pero, preferiblemente el
menor nmero de unos para que las funciones ci sean ms
simples. Las combinaciones b3 , b5 , b6 , b9 , b11 y b12
tienen
dos unos en sus minterms. Por lo tanto, hay que coger una
combinacin de 3 unos para completar los 7 bits de datos que
utiliza el cdigo ASCII.
Siguiendo, las ecuaciones resultantes quedaran simplificadas
en relacin con las ecuaciones generales.
c1 = b1 b3 b5 b7 b9; c2 = b2 b3 b6 b7 b10;
c3 = b4 b5 b6 b7 b12; c4 = b8 b9 b10 b12; Y los bits generados
en el origen seran:
b1 = P1 = b3 b5 b7 b9; b2 = P2 = b3 b6 b7 b10; b4 = P3 = b5 b6
b7 b12; b8 = P4 = b9 b10 b12; La asignacin de los bits de paridad
pi dentro del grupo de
combinaciones que tiene un solo uno puede ser aleatoria. De
la
misma manera, la asignacin de los datos Didentro del grupo
de las 7 combinaciones b3 , b5 , b6 , b9 , b11 , b12 y b7
puede
ser tambin aleatoria. En este ejemplo se ha seguido un
criterio de subndices crecientes en ambos casos.
Se puede comprobar fcilmente que si hay un error en la linea
de datos D4, el conjunto de las cuatro variables ci indicaran
el
minterm 9. A c1 y a c4 llegara b9 a travs de los bits de
paridad b1 y b8respectivamente y simultneamente a ambos
llegara /b9 a travs del hilo fsico que ha sufrido el error.
c1 = b1 b3 b5 b7 b9 = 1 porque /b9 b9=1. c2 = b2 b3 b6 b7 b10 =
0 porque no interviene b9. c3 = b4 b5 b6 b7 b11 = 0 porque no
interviene b9. c4 = b8 b9 b10 b12 = 1 porque /b9 b9=1
V. CONCLUSIONES
Para la modulacin QAM tiene como ventaja ofrecer
la posibilidad de transmitir dos seales en la misma
frecuencia, de forma que favorece el
aprovechamiento del ancho de banda disponible.
La modulacin QAM posee un aprovechamiento mayor del ancho
debanda asignado que otras
modulaciones como ASK, PSK, etc.
La gran ventaja de las modulaciones PSK es que la potencia de
todos los smbolos es la misma, por lo
que se simplifica el diseo de los amplificadores y
etapas receptoras (reduciendo costes), dado que la
potencia de la fuente es constante.
REFERENCIAS
[1]http://www-gap.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hamming.html.
[2] Richard W. Hamming; Error detecting and error correcting
codes; The Bell System Technical Journal; Vol. XXVI, No. 2, pp.
147-160, April, 1950.
[3] Enrique Mandado; Sistemas electrnicos digitales; Editorial
Marcombo; 5 edicin; 1984.
[4] John F. Wakerly; Diseo digital. Principios y prcticas;
Editorial Prentice Hall, 3 edicin, 2001.
[5] Lisa Anneberg and Ece Yaprak; Error detection and correction
templates for digital courses; IEEE Transactions on Education, Vol.
42, No. 2, pp.114-117, May,
1999.
[6] 8206 Error detection and correction unit; Intel;
September,
1987.
[7] Ken Gray; Adding error-correcting circuit to ASIC memory;
IEEE Spectrum, pp. 55-60, April, 2000. [8] FX909A Wireless modem
data pump; CML
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