Katedra Wytrzymałości Materiałów  i Metod Komputerowych Mechaniki       Wydział Mechaniczny Technologiczny  Politechnika Śląska 

    

LABORATORIUM   WYTRZYMAŁOŚCI  MATERIAŁÓW 

    

  ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  2 

1. CEL ĆWICZENIA ♦ Zapoznanie się z metodą elementów skończonych w aspekcie zastosowania do rozwiązy-

wania układów prętowych. ♦ Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych (PROZC, KRATA, BELKA,

RAMA2D, PRO-MES, ABC, PATRAN lub podobne) i jego obsługą w przypadku zagad-nień prętowych.

♦ Wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w ramach i kratownicach statycznie wy-znaczalnych i niewyznaczalnych.

2. WPROWADZENIE Metoda elementów skończonych (MES) jest jedną z najczęściej stosowanych metod kom-

puterowych (numerycznych) służących do rozwiązywania tzw. zagadnień brzegowych me-chaniki. Istota metody sprowadza się do zastąpienia modelu ciągłego układu mechanicznego modelem dyskretnym. Model dyskretny przyjmuje w rezultacie postać układu równań alge-braicznych.

W niniejszym rozdziale przedstawiono zastosowanie MES do rozwiązywania układów prętowych, w tym prętów rozciąganych (ściskanych), belek, kratownic i ram.

Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla układów prętowych przedsta-wiono w literaturze zamieszczonej na końcu rozdziału. W niniejszym rozdziale przedstawiono metodę elementów skończonych wykorzystując koncepcję całki ważonej oraz tzw. sformuło-wanie słabe, które szczegółowo przedstawiono w [2]. Inne, alternatywne sformułowanie, rów-noważne niniejszemu, można wyprowadzić z warunku minimalizacji energii potencjalnej.

3.  PODSTAWY TEORETYCZNE 

3.1 Metoda elementów skończonych dla prętów rozciąganych (ściskanych) i kratownic Rozważany jest pręt prosty o zmiennym przekroju A(x) i długości L, wykonany z materiału

o module Younga E, obciążony obciążeniem ciągłym q(x) rozłożonym wzdłuż długości pręta i siłą Q0 na końcu (rys. 1a, b).

Pole przemieszczeń osiowych spełnia następujące równanie różniczkowe

( )( ) ( ) 0 dla 0d du xa x q x x Ldx dx

⎛ ⎞ + = < <⎜ ⎟⎝ ⎠

, (1)

które należy uzupełnić warunkami brzegowymi w postaci:

u u adudx

Qx L

( )0 0 0=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

=

, , (2)

gdzie: a = a(x)=A(x)E – sztywność na rozciąganie.

Aby rozwiązać równanie (1), tzn. znaleźć pole przemieszczeń u(x) przy warunkach brze-gowych (2), dzieli się obszar pręta Ω(x) na N odcinków o długości eh , e = 1,2,...,N, które nazywa się elementami skończonymi (rys. 1c).

Rozważmy typowy element skończony Ωe = (xA, xB) = (xe, xe+1), którego końce mają współ-

rzędne x = xA i x = xB (rys. 2a).

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  3 

Oznaczmy przemieszczenia węzłowe eiu i siły normalne e

iQ , i = 1,2, zdefiniowane na rys. 2b. Poszukiwane pole przemieszczeń na elemencie Ωe aproksymować będziemy za pomocą

pewnego wielomianu potęgowego 1

( ) ( )n

e ej j

j

u x U u N x=

≈ = ∑ , gdzie eju są nieznanymi wartoś-

ciami węzłowymi przemieszczeń, natomiast ( )ejN x są funkcjami interpolacyjnymi zwanymi

także funkcjami kształtu. Wówczas równanie różniczkowe (1) spełnione jest na elemencie Ωe tylko w sposób przy-

bliżony. W celu obliczenia nieznanych wartości przemieszczeń węzłowych eju żądamy, aby

równanie różniczkowe (1) spełnione było przez przybliżenie eU w sensie tzw. całki ważonej, która określona jest następująco:

( ) 0B

A

x

x

d duw x a q dxdx dx

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ , (3)

gdzie w(x) – tzw. funkcja ważona.

Rys. 1. a) Pręt rozciągany; b) idealizacja matematyczna; c) dyskretyzacja elementami skończonymi

u = u0 ≡ 0

b) q(x)

0dua Qdx

≡

2

c) q(x) h1 h2

x

he hN

e e+1 N+11 2 e N... ...

Numer elementu Numer węzła

L x

0x L

duQ adx =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a)

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  4 

Całkując równanie (3) przez części otrzymuje się:

0 ( ) ( )B

A

x

A A B Bx

dw dua wq dx w x Q w x Qdx dx

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ , (4)

gdzie:

, A B

A B

du duQ a Q adx dxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5)

są siłami normalnymi w węzłach elementu.

Równanie (4) nazywa się sformułowaniem słabym zagadnienia brzegowego opisanego równaniem różniczkowym (1) z warunkami brzegowymi (2). Termin „sformułowanie słabe” pochodzi od tego, że w równaniu (4) „słabsze” są wymagania dotyczące różniczkowalności pola przemieszczeń u(x).

Rys. 2. a) Typowy element skończony; b) definicja przemieszczeń i sił węzłowych

W równaniu różniczkowym (1) u(x) musi być funkcją dwukrotnie różniczkowalną, nato-miast w sformułowaniu słabym (4) wymaganie różniczkowalności obniżone jest o jeden rząd i funkcja U

e, aproksymująca pole przemieszczeń u(x) na elemencie skończonym Ωe, może być funkcją liniową i przyjmuje postać:

2

1 1 2 21

( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e ej j

j

U x N x u N x u N x u=

= + = ∑ , (6)

gdzie funkcje kształtu (funkcje interpolacyjne) wyrażają się wzorami:

N xx x

x xN x

x xx x

e B

B A

e A

B A1 2( ) , ( )=

−−

=−−

(7)

W metodzie elementów skończonych podstawowe równania metody wyprowadzić można korzystając ze sformułowania słabego (4) przyjmując, że pole przemieszczeń aproksymowane jest przybliżeniem (6), a funkcja wagowa wyrażona jest przez funkcję kształtu, tzn.

1 2( ) ( ) i ( ) ( )e ew x N x w x N x= = . Otrzymuje się wówczas dwa równania, które w postaci macie-rzowej przyjmują postać:

x

a)

he

xB

xA

x A B

0x = ex h=

Ax x x= −

b)

2B

e

x x

duQ adx =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

1( ) eAu x u= 2( ) e

Bu x u=

1A

e

x x

duQ adx =

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  5 

{ } { } { }e e e eK u f Q⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ; (8) gdzie:

e eijK K⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ – kwadratowa macierz sztywności elementu zdefiniowana następująco:

1

0

ee

e

x e ee ehj je i iij e e

x

dN dNdN dNK a dx a dxdx dx dx dx

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ (9)

{ } { }e eif f= – macierz kolumnowa sił określona zależnością:

1

0

e e

e

x he e e

i e i e ix

f q N dx q N dx+

= =∫ ∫ (10)

oraz:

2

1

( )e e e ej i j i

j

N x Q Q=

=∑ , (11)

przy czym 1e B A e eh x x x x+= − = − jest długością e-tego elementu skończonego.

Macierze eK⎡ ⎤⎣ ⎦ i { }ef dla liniowych funkcji kształtu (7) mają postać:

1 11 1

e e

e

aKh

−⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦, (12)

{ }fq he e e=

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭2

11 (13)

Macierz sztywności elementu (12) jest macierzą symetryczną. W równaniach (9), (10), (12) i (13) przyjęto, że i e ea q przyjmują stałe wartości na Ωe.

W przypadku kratownicy (układu prętowego wykonanego z prętów połączonych przegu-bowo i przenoszących tylko rozciąganie bądź ściskanie) przemieszczenia węzłowe i siły wę-złowe wygodnie jest przedstawić w każdym węźle za pomocą dwóch składowych w układzie lokalnym (rys. 3a) jak i globalnym (rys. 3b).

a) b)

Rys. 3. Element skończony kratownicy: a) w układzie lokalnym; b) w układzie globalnym

Zależność między przemieszczeniami węzłowymi i siłami węzłowymi w układzie lokal-nym (rys. 3a) ma postać:

{ } { }e e eK u Q⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (14)

1eQ

2eQ

1

2 3eu

y

0 x

α 4eQ

3eQ

2eu

1eu

4eu

1eQ

y

0 x

α

2eQ

4eQ

3eQ

eh

eΩ 2eu 1

eu

4eu 3

eu x

1

2

y

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  6 

Macierz sztywności elementu kratownicy w układzie lokalnym eK⎡ ⎤⎣ ⎦ jest wyrażona nastę-pująco:

sym.

1 0 1 00 0 0

1 00

e e e

e

E AKh

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (15)

gdzie: EeAe – sztywność na rozciąganie (ściskanie) e-tego elementu kratownicy; he – długość e-tego elementu kratownicy.

W układzie globalnym (rys. 3b) macierzowe równanie dla e-tego elementu ma postać:

{ } { }e e eK u Q⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , (16)

gdzie macierz sztywności elementu:

Te e e eK T K T⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (17)

Macierz transformacji eT⎡ ⎤⎣ ⎦ ma postać:

cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos

eT

α αα α

α αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(18)

Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla pręta rozciąganego (ściskanego) i płaskiej kratownicy można znaleźć w pracy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu za-gadnień (odpowiednio PROZC i KRATA) znajdują się na stronach internetowych: http://dydaktyka.polsl.pl/mes.

3.2 Metoda elementów skończonych dla prętów zginanych i ram

Rozważany jest pręt prosty (belka) o zmiennej sztywności b(x)=EI(x) (E – moduł Younga, I – moment bezwładności) i długości L, obciążony obciążeniem ciągłym o intensywności q(x) oraz siłą F0 i momentem M0 na końcu (rys. 4a).

Pole przemieszczeń poprzecznych (ugięć) v = v(x) spełnia równanie różniczkowe:

2 2

2 2

( )( ) ( )d d v xb x q xdx dx

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ dla 0<x<L (19)

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  7 

Równanie (19) należy uzupełnić warunkami brzegowym:

0 0 0

2 3

0 02 3

(0) ,

v v,

x

x L x L

dvv vdx

d db M b Fdx dx

ϑ ϑ=

= =

⎫= = = ⎪

⎪⎬⎪⎪− = − =⎭

(20)

Między momentami gnącymi M, siłami poprzecznymi T i obciążeniami ciągłymi q(x) za-chodzą następujące relacje (rys. 11.4b):

2

2

v , , d dM dTM b T qdx dx dx

= − = = − (21)

Rys. 4. a) Belka zginana; b) siły wewnętrzne w belce

Aby rozwiązać równanie (19), tzn. znaleźć pole ugięć v(x) przy warunkach brzegowych (20), dzielimy obszar pręta Ω(0, L) na N elementów skończonych (rys. 5a).

Rozważmy typowy element skończony Ωe(xe, xe+1) ze zdefiniowanymi na rys. 5b prze-mieszczeniami uogólnionymi (v,Θ ) i siłami uogólnionymi (T, M ).

Dla przyjętych zwrotów przemieszczeń i sił uogólnionych wprowadzono następującą no-tację:

vd

dxϑ = − (22)

oraz

1

1

2 2

1 22 2

2 2

3 42 2

v v,

v v ,

ee

ee

e e

e e

xx

xx

d d dQ b Q bdx dx dx

d d dQ b Q bdx dx dx

+

+

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≡ ≡⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(23)

gdzie:

q(x) F0

x

y

M0

a)

b)

T+dT

x

M+dM

T

M

dx

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  8 

Q Qe e1 3, – siły poprzeczne;

Q Qe e2 4, – momenty gnące.

Rys. 5 a) Podział belki na elementy skończone; b) definicja przemieszczeń i sił uogólnionych

Ugięcie v(x) będzie aproksymowane na elemencie Ωe za pomocą pewnego wielomianu Ve(x). Wówczas równanie różniczkowe (19) spełnione jest na elemencie Ωe w sposób przy-bliżony. Żądamy, aby równanie (19) spełnione było przez Ve w sensie całki ważonej:

1 2 2

2 2

v0 ( )e

e

x

x

d dw x b q dxdx dx

+ ⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∫ (24)

gdzie: w(x) – funkcja ważona.

Całkując (24) przez części otrzymujemy następujące sformułowanie słabe dla belki: 1 2 2

1 2 1 3 42 21

v0 ( ) ( )e

e

xe e e e

e ex x xe e

d d w dw dwb wq dx w x Q Q w x Q Qdx dx dx dx

+

++

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ (25)

Warto zwrócić uwagę, że rząd różniczkowalności funkcji ugięcia v(x) został obniżony z rzędu czwartego do rzędu drugiego. Ponieważ całkowita liczba warunków dotyczących przemieszczeń uogólnionych dla elementu belkowego wynosi cztery (po dwa w każdym węźle), więc wygodnie jest przyjąć czteroparametrowy wielomian aproksymujący dla v(x):

4

1 1 2 2 3 3 4 41

v( ) ( )e e e e e e e e e e ej j

j

x V x u N u N u N u N u N=

≈ = + + + = ∑ , (26)

3eQ

1 2euϑ =

x 1

eQ xc

he h2 h1 hN

1 2 N N+1

a)

b)

x

dx

2eQ 4

eQ

2 4euϑ =

1 1ev u= 2 3

ev u=

1 2

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  9 

gdzie funkcje kształtu N je mają postać:

( )

( )

2 3 2

1 2

2 3 2

3 4

1 3 2 , 1

3 2 ,

e ee e ee

e e e

e ee e e ee

e e e e

x x x x x xN N x xh h h

x x x x x x x xN N x xh h h h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −= − + = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(27)

W metodzie elementów skończonych podstawowe równania metody wyprowadzamy ze sformułowania słabego (25) przyjmując przybliżenie (26) oraz zakładając, że funkcja ważona w(x) wyrażona jest przez funkcje kształtu, tzn. 1

ew N= , 2ew N= , 3 ew N= i 4

ew N= . Otrzymujemy wówczas cztery równania, które w postaci macierzowej mają postać :

K K K KK K K KK K K KK K K K

uuuu

FFFF

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e

e

e

e

e

e

e

e

e

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

1

2

3

4

1

2

3

4

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

≡

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

, (28)

gdzie: eK⎡ ⎤⎣ ⎦ –macierz sztywności elementu belkowego, której elementy określone są nas-

tępująco:

1 22

2 2

e

e

x eeje i

ijx

d Nd NK dxdx dx

+

= ∫ (29)

{ }eF –macierz kolumnowa sił:

1e

e

xe e e

i i ix

F N qdx Q+

= −∫ (30)

Współczynniki eijK są symetryczne, tzn. e e

ij jiK K= . Przy przyjętej aproksymacji ugięć v(x) za pomocą (26) macierze sztywności i sił przyjmują

postać:

{ }

2 2

3

2 2

1

2

3

4

6 3 3 33 2 32 , ( const.)6 3 6 33 3 2

6

, ( const.)612

e

e

h hh h h hbK b EI

h hhh h h h

QQhqhF qQQh

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(31)

Znając macierze sztywności i sił dla elementu belkowego można określić macierz sztyw-ności i sił dla całej belki uwzględniając warunki zgodności uogólnionych przemieszczeń i wa-runki równowagi dla sił uogólnionych.

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  10 

Rozważmy płaską ramę, którą dzielimy na elementy skończone Ωe, e = 1,2,...,N. Element skończony dla ramy jest złożeniem elementu prętowego o sztywności EeAe i obciążeniu ciągłym qR i elementu belkowego o sztywności EeIe i obciążeniu ciągłym qZ. W każdym węźle mamy po trzy uogólnione przemieszczenia węzłowe i odpowiadające im uogólnione siły węz-łowe. Uogólnione przemieszczenia i siły węzłowe dla elementu skończonego ramy mogą być przedstawione w układzie lokalnym i globalnym (rys. 6).

a) b)

Rys. 6. Element skończony ramy: a) w układzie lokalnym; b) w układzie globalnym

W układzie lokalnym element skończony dla ramy jest opisany równaniem:

{ } { }e e eK u F⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (32)

W równaniu tym macierze kolumnowe uogólnionych przemieszczeń i sił węzłowych są rów-ne:

{ } { }

1 1 1

1 2 22

1 3 3

2 4 4

2 5 52

2 6 6

66

1, 12 6

6

e R ee e

e Z ee e

e Z ee e e e

e R ee e

e Z ee e

e Z ee e

u u q h Qu q h Qu q h Q

u Fu u q h Q

u q h Qu q h Q

υϑ

υϑ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ≡ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(33)

Macierz sztywności elementu skończonego w układzie lokalnym ma postać:

2 2

3

2 2

0 0 0 00 6 3 0 6 30 3 2 0 32[ ]

0 0 0 00 6 3 0 6 30 3 0 3 2

e e

e e e ee e e

e

e e

e e e e

c ch h

h h h hE IKc ch

h hh h h h

−⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

, (34)

gdzie: 2

2e e

e

A hcI

=

1eQ 1

3eQ

y

0 x

α

2eQ

5eQ

4eQ

eh

eΩ

2eu 1

eu

5eu 4

eu x2

y 2 4

eu

1eQ

y

0 x 2eQ

5eQ

4eQ

2eu

1eu

5eu

6eQ 3

eu

6eu

3eQ

6eQ

3eu

6eu

α

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  11 

Równanie macierzowe dla elementu skończonego ramy w układzie globalnym ma postać:

{ } { }e e eK u F⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (35)

Macierz sztywności elementu skończonego ramy eK⎡ ⎤⎣ ⎦ w powyższej zależności ma postać:

Te e e eK H K H⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (36)

gdzie eH⎡ ⎤⎣ ⎦ – macierz transformacji w postaci:

cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1

eH

α αα α

α αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(37)

Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla belki i ramy można znaleźć w pra-cy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu zagadnień (odpowiednio BELKA i RAMA2D) znajdują się na stronach internetowych:

http://dydaktyka.polsl.pl/mes.

3.3 Przygotowanie zadania do rozwiązania metodą elementów skończonych

W celu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębnia się części składowe, które modeluje się jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płyto-we, tarczowe, powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane elementa-mi przestrzennymi (trójwymiarowymi). W niniejszych rozwiązaniach ograniczono się do ele-mentów jednowymiarowych - prętowych i belkowych.

Pręty (belki) modelowane są jako dwa węzły połączone za sobą odcinkiem. Węzły repre-zentują początek i koniec elementu prętowego, odcinek - dane geometryczne i własności ma-teriałowe. W węzłach można przykładać siły skupione, momenty skupione lub przemieszcze-nia (liniowe lub kątowe). Wielkości te mogą być również wyznaczane w węzłach.

Podział na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu. Siły skupio-ne i momenty skupione mogą być przykładane tylko węzłach. W przypadku zastosowania ele-mentów prętowych połączenia w węzłach nie przenoszą momentów. W przypadku stosowa-nia elementów belkowych połączenia w węzłach przenoszą siły podłużne, siły poprzeczne oraz momenty gnące, a dla układów przestrzennych również momenty skręcające. Elementy prętowe stosowane są do modelowania kratownic, zaś elementy belkowe do modelowania ram.

Podczas tworzenia modelu numerycznego należy przestrzegać następujących zasad: 1. Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach. 2. Siły skupione i momenty skupione mogą być zadawane tylko w węzłach. 3. Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach. 4. Obciążenia ciągłe należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zas-

tąpić obciążeniami skupionymi. 5. Momenty ciągłe rozłożone należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowe-

go lub zastąpić momentami skupionymi. 6. Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  12 

7. Odległości pomiędzy węzłami (długości elementów) powinny być w miarę równomierne. 8. Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo

minimalne). 9. Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA Dla wybranych układów prętowych lub belkowych przeprowadzić obliczenia (wyznacze-

nie przemieszczeń, naprężeń i reakcji podporowych) przy użyciu programu metody elemen-tów skończonych wskazanego przez prowadzącego.

4.1 Przykładowe zadania

Zadanie 1 Dla pręta stopniowanego podpartego i obciążonego jak na rys. 7 wyznaczyć przemiesz-

czenia punktów B, C oraz rozkład naprężeń. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążeń.

Przykładowe dane: A1 = 0.01 m2; A2 = 0.005 m2; A3 = 0.008 m2; l1 = l2 = l3 = 0.5 m; P1 = 5 kN; P2 = 2 kN; E = 2·1011 Pa (stal).

Rys. 7. Pręt rozciągany – schemat statyczny

Zadanie 2 Dla kratownicy płaskiej podpartej i obciążonej jak na rys. 8 wyznaczyć przemieszczenia

punktów B, D oraz naprężenia w prętach. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążeń.

Przykładowe dane: A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = 0.01 m2; l1 = l3 = 1.0 m; l2 = l4 = 0.5 m; P1 = 4 kN; P2 = 1 kN E = 2·1011 Pa (stal).

A1

l2 l3

A3 A2

P1 P2

A B C D l1

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  13 

Rys. 8. Kratownica – schemat statyczny

Zadanie 3

Dla belki podpartej i obciążonej jak na rys. 9 wyznaczyć położenie osi ugiętej oraz rozkład naprężeń w przekroju poprzecznym wzdłuż osi belki. Wyznaczyć analitycznie przemiesz-czenia końca swobodnego belki dla wskazanego wariantu obciążenia i porównać z wynikami otrzymanymi numerycznie. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążenia.

Przykładowe dane: l1 = l2 = 0.5 m; I1 = I2 = 8.33·10-6 m4; W1 = W2 = 1.66·10-4 m3; P1 = 7 kN; P2= 3 kN; M1 = 4 kNm; M2= 2 kNm. E = 2·1011 Pa (stal).

Rys. 9. Belka wspornikowa – schemat statyczny

Zadanie 4 Dla ramy podpartej i obciążonej jak na rys. 10 wyznaczyć położenie osi ugiętej oraz roz-

kład naprężeń. Wyznaczyć analitycznie przemieszczenia końca swobodnego D ramy dla wskazanego wariantu obciążenia i porównać z wynikami otrzymanymi numerycznie. Do obli-czeń przyjąć różne warianty obciążenia.

Przykładowe dane: l1 = l2 = 1.0 m; l3 = 0.5 m I1 = I2 = I3 = 42.19·10-6 m4; W1 = W2 = W3 = 5.63·10-4 m3;

P1

l1 l2

P2

M1 M2

A B C

l 1

l3 l4 l2

P1

P2 B D

A B

1 3 5

4

2

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  14 

P1 = 8 kN; P2= 4 kN; M1 = 5 kNm; M2= 3 kNm. E = 2·1011 Pa (stal).

Rys. 10. Belka statycznie niewyznaczalna – schemat statyczny

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRAWOZDANIA 

Sprawozdanie powinno zawierać: I. Cel ćwiczenia II. Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie III. Opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami) IV. Wyniki obliczeń w formie wydruków sporządzonych na drukarce. Wyniki powinny

zawierać: 1. Rysunki ugięć dla różnych wariantów obciążenia 2. Wykresy naprężeń dla wykonanych wariantów

V. Analizę wyników VI. Wnioski

6. PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE 1. Do czego służy metoda elementów skończonych?

2. Jakie są istotne cechy metody elementów skończonych?

3. Co to jest macierz sztywności i w jakim wzorze występuje?

4. Co to są funkcje kształtu?

5. Co to są elementy skończone, jakie rodzaje elementów modelują dany przypadek wytrzy-małościowy?

6. Jakich zasad należy przestrzegać w przypadku rozwiązywania zagadnienia metodą ele-mentów skończonych?

l2

l 3

l 1

P1 P2

M1

M2

B C

D

A

 ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH  15 

7. LITERATURA 1. Beluch W., Burczyński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium

z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.

2. Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001.

3. Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji, Wyd. Poli-techniki Warszawskiej, Warszawa 1981.

4. Kruszewski J.: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warsza-wa 1981.

5. Pietrzak J., Rakowski G., Wrześniowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, War-szawa-Poznań 1979.

6. Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980.

7. Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa 1979.

8. Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980.

9. Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.