Lagrange

Mecanica Racional - UTFSM - Mecmica de Lagrange 1

8 MECANICA DE LAGRANGE

8.1 INTRODUCCION

8.1.1 Coordenadas cartesianas Un sistema dinmico de n partculas tiene 3n grados de libertad requiere 3n coordenadas cartesianas para especificar su configuracin. El vector que contiene las 3n coordenadas cartesianas es:

8.1.2 Restricciones y Grados de Libertad Las restricciones limitan la configuracin geomtrica y el movimiento del sistema. Una restriccin genera reacciones y disminuye el nmero de grados de libertad del sistema. Supngase un sistema de:

n partculas 3n grados de libertad m restricciones r = (3n-m) grados de libertad requiere r coordenadas para

especificar configuracin

8.1.3 Fuerzas Supngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, acta una fuerza f. En coordenadas cartesianas es:

8.2 COORDENADAS GENERALIZADAS

8.2.1 Definicin Conjunto de r coordenadas qk que, junto con las ecuaciones de restriccin, permiten especificar unvocamente la configuracin de un sistema de r grados de libertad.

Por ejemplo, para una partcula que se mueve sobre una esfera de radio a:

La ecuacin de la restriccin es x2+y2+z2-a2=0

La partcula tiene 2 grados de libertad Se pueden usar como coordenadas generalizadas las coordenadas esfricas (,) o las cilndricas (,z).

{ }n321 x,........,x,x,xx = (8.1)

{ }n321 f,........,f,f,ff = (8.2)

{ }{ } dasgeneralizasVelocidadeq,.....,q,...,q,q,qq

dasgeneralizasCoordenadaq,.....,q,...,q,q,qq

rk321

rk321&&&&&=

= (8.3)


Ntese que el par (x,y) no sirve como coordenadas generalizadas en este ejemplo, ya que dado sus valores, existen dos valores de z que satisfacen la ecuacin de restriccin.

8.2.2 Transformacin de coordenadas Conocidas las ecuaciones de restriccin, es posible expresar cualquiera de las componentes del vector de coordenadas cartesianas en trminos de las coordenadas generalizadas:

Las restricciones estn incluidas en forma implcita en estas relaciones.

8.3 COMPONENTES GENERALIZADAS DE LAS FUERZAS

8.3.1 Desplazamiento Virtual Cambio ficticio, infinitamente pequeo, en la configuracin del sistema en un instante cualquiera t. Este cambio debe ser compatible con las restricciones del sistema y se supone que ocurre en t = cte. El vector que contiene los desplazamientos virtuales correspondientes a cada una de las coordenadas es:

8.3.2 Trabajo Virtual Supngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, acta una fuerza F. Supngase que en ese instante se impone un desplazamiento virtual x sobre el sistema. El trabajo virtual W efectuado por las fuerzas es:

El vector de fuerzas externas F en componentes cartesianas se separa en un vector f que contiene las fuerzas activas y un vector f que contiene las reacciones. El vector de fuerzas es entonces:

8.3.3 Sistema holonmico Aquel que en que todas sus restricciones cumplen con:

Toda configuracin posible del sistema satisface una ecuacin del tipo (x,t) = 0 Para cualquier desplazamiento virtual compatible, el trabajo efectuado por las reacciones es

nulo.

( ) n3,.....,3,2,1jt,qxx jj == (8.4)

{ }n321 x,........,x,x,xx = (8.5)

n3,.....,3,2,1jxFxFW jj === (8.6)

'ffF += (8.7)


En general, si existen m restricciones, cada una asociada a una ecuacin del tipo k(x,t) = 0 , aparecen m reacciones. Un sistema holonmico es aquel cuyas restricciones son todas holonmicas. En adelante se considerar slo sistemas de este tipo. El trabajo virtual de las fuerzas en un sistema holonmico es:

Los dos trminos del lado derecho de la ecuacin representan el trabajo virtual de las fuerzas activas y el de las reacciones respectivamente. Dada las condiciones del sistema holonmico, el segundo trmino es nulo y el trabajo virtual es entonces:

8.3.4 Componentes generalizadas de las fuerzas Sea Q el vector de fuerzas generalizadas asociadas a las componentes de las coordenadas generalizadas q.

El vector Q se determina igualando las expresiones del trabajo virtual evaluadas en ambos sistemas de coordenadas.

Usando las ecuaciones (8.4) de transformacin de coordenadas, y recordando que el desplazamiento virtual ocurre en un tiempo cte, xj se puede escribir como:

El trmino del lado izquierdo de la Ec. 8.11) queda entonces:

Comparando con el lado derecho de la Ec. (8.11), se tiene que:

( ) n3,.....,3,2,1jx'fxfx'ffxFxFW jjjjjjjjj =+=+=== (8.8)

n3,.....,3,2,1jxfW jj == (8.9)

{ }r321 Q,........,Q,Q,QQ = (8.10)

==

==

==

r

1kkk

n3

1jjj qQqQxfxfW (8.11

( )r,.....,3,2,1kq

q

t,qxx

k

jj k

k

=

= (8.12)

( ) ( )r,.....,3,2,1kn3,.....,3,2,1j

qq

t,qxfq

q

t,qxfxfW

k j

jj

j k

jj

jjj k

kk

k=

=

=

==


Donde Qk es la componente k de la fuerza generalizada Q Ntese que:

Qk no es necesariamente una fuerza. Si qk es una rotacin, entonces Qk es un torque. La componente k de Q no es, en general, la componente de Q en la direccin de qk Qk no depende solamente de qk sino de todos los q, es decir: Qk = Qk (q) De las condiciones establecidas para sistemas con reacciones holonmicas, y de la definicin de

fuerza generalizada, se concluye que las componentes generalizadas de una reaccin holonmica son nulas.

8.3.5 Caso fuerzas conservativas Supngase el caso que la fuerzas f provienen de un potencial V(x) tal que:

Reemplazando en la Ec. (8.13), la fuerza generalizada se puede escribir en trminos de la Energa Potencial V:

8.4 ECUACIONES DE LAGRANGE DEL MOVIMIENTO PARA SISTEMAS HOLONOMICOS

Se formularn las ecuaciones del movimiento en trminos de las coordenadas generalizadas. Se tiene que:

Se reduce el nmero de ecuaciones a resolver No aparecen las reacciones en las ecuaciones

La ecuacin del movimiento para una partcula i est dada por la ley de Newton:

( )

=

j

jjk

kq

t,qxfQ (8.13)

( )j

j xxVfxf

== (8.14)

( ) ( ) ( ) ( )kj

j

jj

jjk q

t,qVq

t,qx

xt,xV

q

t,qxfQ

kk

=

=

= (8.15)


Las componentes de iF y ix&& son las componentes de F y x&& asociadas a la partcula i. Separando el vector de fuerzas externas en el vector f que contiene las fuerzas activas y el vector f que contiene las reacciones, la componente j de la ecuacin de movimiento del sistema es:

Multiplicando a ambos lados por ( )

kq

t,qx j

y sumando sobre j se tiene:

El primero de los trminos del lado derecho de la ecuacin (8.18) es la componente Qk de la fuerza generalizada asociada a las fuerzas activas f:

El segundo trmino corresponde a la componente del vector fuerza generalizada asociado a las reacciones f. Dado que el trabajo efectuado por las reacciones es nulo, la fuerza generalizada tambin es nula.

El lado izquierdo de la ecuacin (8.17) se puede escribir como:

Remplazando en el lado izquierdo de la Ec. (8.18) se tiene:

n,...,3,2,1ixmF iii == && (8.16)

'ffxm jjjj +=&& (8.17)

( ) ( ) ( )

+

=

j

jj

j

jj

j

jjj

kkkq

t,qx'f

q

t,qxf

q

t,qxxm && (8.18)

( )

( )

( )

=

==

=

==

jjj

k

2kk2

1

k

2kk2

1j

2jj2

1j

jjjj

xt,x,xT

dtdxm

sistemadelcinticaEnergat,x,xTxmpero

xmxdt

dxmxdt

dxmdtdxm

&

&&&

&&

&&

&&

&&&

( )k

j

jj Qq

t,qxf

k

=

( )0

q

t,qx'f

j

jj

k

=

( ) ( ) ( )

=

=

j k

j

jj k

j

jj k

j

jj k

jjj q

x

dtd

xt,x,xT

q

x

xt,x,xT

dtd

q

x

xt,x,xT

dtd

q

xxm

&

&

&

&

&

&&&


Las derivadas se pueden evaluar utilizando las siguientes igualdades:

Reemplazando Ecs. (8.20) y (8.21) en la expresin anterior se tiene:

Se tiene entonces

Reemplazando en la ecuacin (8.18) se llega a:

Las r ecuaciones (8.22) son las Ecuaciones de Lagrange para el sistema, que corresponden a las ecuaciones de movimiento de dicho sistema, bajo la accin de fuerzas arbitrarias. Caso Fuerzas Conservativas Supngase el caso que la fuerzas f proviene de un potencial V(x). Segn Ec.(8.15):

Ntese que la energa potencial del sistema depende slo de q y t. Reemplazando en la Ec. (8.22):

( )[ ] ( ) ( ) ( )t,q,qxxt

t,qxq

q

t,qxxt,qx

dtd

jjj

k

jjj k

k

&&&&& =

+

== (8.19)

( ) ( ) ( ) ( )

=

+

=

s

j

s

j2

kk s

j2

s

jq

t,qx

dtd

tq

t,qxq

qq

t,qx

q

t,q,qx

k

&&&

(8.20)

( ) ( ) ( ) ( )s

jj

sk

j

ss

jq

t,qx

t

t,qx

qq

q

t,qx

qq

t,q,qxk

k

=

+

=

&&

&&

&& (8.21)

( ) ( )r,.......,3,2,1kQ

qt,q,qT

qt,q,qT

dtd

kkk

==

&&

& (8.22)

( ) ( )kkj k

jjj q

t,q,qTq

t,q,qTdtd

q

xxm

=

&

&

&&&

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kj k

j

jj k

j

j

kj k

j

jj k

j

j

qt,q,qT

q

x

xt,x,xT

q

x

dtd

xt,x,xT

qt,q,qT

dtd

q

x

xt,x,xT

dtd

q

x

xt,x,xT

dtd

=

=

=

=

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

( )k

k qt,qV

Q

=


Se define el Lagrangiano o Funcin de Lagrange L como:

Reemplazando en la Ec. de Lagrange (8.23) se tiene:

(8.25) son las Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos.

( ) ( ) ( )r,.......,3,2,1k

qt,qV

qt,q,qT

qt,q,qT

dtd

kkk=

=

&&

& (8.23)

( ) ( ) ( )t,qVt,q,qTt,q,qL = && (8.24)

( ) ( )r,.......,3,2,1k0

qt,q,qL

qt,q,qL

dtd

kk==

&&

& (8.25)

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