Embed Size (px)
Citation preview
Laplasova transformacija
• L{.} – Laplasova transformacija
• L-1{.} – Inverzna Laplasova transformacija
• s – kompleksna učestanost (komp. prom. Laplasove trans.)
• F(s) – kompleksan lik funkcije f(t)
• f(t) – original funkcije F(s)
0
)()()}({ dtetfsFtfL st
j
j
st tdsesFj
tfsFL 0,)(2
1)()}({1
Osobine Laplasove transformacije
1. Teorema linearnosti
2. Čisto vremensko kašnjenje
3. Pomeranje kompleksnog lika
4. Konvolucija originala
5. Teorema o izvodu originala
6. Teorema o integralu originala
7. Teorema o izvodu kompleksnog lika
8. Teorema o promeni vremenske skale
9. Prva granična teorema
10. Druga granična teorema
)()}({ asFtfeL at
)()()}()({ 22112211 sFasFatfatfaL
)()}({ sFetfL s
)()()}(*)(( 2121 sFsFtftfL
)0()()}({ fssFtfLdtd
s
sFdttfL
t)(
})({
0
n
nnn
ds
SFdtfL
)()1()}({
)()}({ asaFfLat
)(lim)(lim0
ssFtfst
)(lim)(lim0
ssFtfst
Tablica Laplasove transformacije
22
22
22
22
1
1
)()sin(
)sin(
)()cos(
)cos(
)(
!
1
!)(
1)(
)()(
ste
st
s
ste
s
st
as
net
ase
s
ntht
t
sFtf
t
t
n
atn
at
n
n
Hevisajdov signal
h(t)
1
0 t
ss
edtedtetftfLsF
t
tth
ststst 1
1)()}({)(
0,1
0,0)(
000
Dirakov impuls
(t)
0 t
101
)0()}({})(
{)(
1)(
0,
0,0)(
sshthsL
dt
tdhLsF
dtt
t
tt
Jedinični nagibni signal
f(t)
1
0 t1
200
0
11)}({)}({)(
0,
0,0)(
sdte
ss
etdtetthtLtfLsF
tt
tth
stst
st
f(t)
1
0 ta 2a
-1
at
ata
at
t
th
,0
2,1
0,1
0,0
)(
Primer – složen signal 1
asas ees
tfLsF
athaththtf
211
)}({)(
)2()(2)()(
2
0 2-A
0
A
t
ttA
t
th
,0
0,sin
0,0
)(
Primer – složen signal 2
ss
es
A
s
e
sAsF
thtAthtAtf
1111
1)(
)()sin()(sin)(
222
f(t)
A
0 T
A/2
t
TtA
TttT
A
t
th
,2
0,
0,0
)(
Primer – složen signal 3
sTsT es
Ae
Ts
AsF
TthTtT
ATth
Atht
T
Atf
21)(
)()()(2
)()(
2
Inverzna Laplasova transformacija
• Za određivanje inverzne Laplasove transformacije su od posebnog značaja polovi funkcije F(s), i tu se mogu uočiti četiri karakteristična slučaja: – Svi polovi funkcije F(s) su realni i prosti
– Funkcija F(s) ima višestruke realne korene
– Postoje konjugovano-kompleksni polovi, a realni su, ako postoje, prosti
– Funkcija F(s) ima višestruke konjugovano kompleksne polove
011
1
011
1
...
...
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sQ
sPsF
nn
n
mm
mm
Polovi funkcije su realni i prosti
))...()((
)(
)(
)()(
21 nssssss
sP
sQ
sPsF
n
k k
k
n
n
ss
K
ss
K
ss
K
ss
KsF
12
2
1
1 ...)(
)(
)(
)(
)()(lim
)(
)()(lim
)(
)()(
k
k
dsd
kdsd
ssk
ssk
ss
kk
sQ
sP
sQ
sPss
sQ
sPssK
sQ
sPssK
kk
k
0,)(
11
1
teKss
KLtf
n
k
tsk
n
k k
k k
Polovi funkcije su realni višestruki
))...(()(
)(
)(
)()(
43
1 nssssss
sP
sQ
sPsF
n
k k
k
ss
K
ss
K
ss
K
ss
KsF
41
13
21
12
31
11
)()()()(
1
1
1
)(
)()(
2
1
)(
)()(
)(
)()(
312
2
13
3112
3111
ss
ss
ss
sQ
sPss
ds
dK
sQ
sPss
ds
dK
sQ
sPssK
pm
sQ
sPss
ds
d
mK
rss
prm
m
rm
,...2,1
)(
)()(
)!1(
11
1
0,2
)(
4
1312211 111
teKeKteKetK
tf
n
k
tsk
tststs k
n
k k
k
ss
KssKssKssK
sQ
sPss
4
3113
2112111
31 )()()(
)(
)()(
Polovi funkcije su konjugovano kompleksni
))...()()((
)(
)(
)()(
3*11 nssssssss
sP
sQ
sPsF
jbaKjbaK
jsjs
ss
K
ss
K
ss
K
ss
KsF
n
n
*11
*11
3
3
*1
*1
1
1
,
,
...)(
jssQ
sPjbaK
)(
)(1
n
k k
kn
k k
k
ss
K
s
bsa
ss
K
js
jba
js
jbasF
322
3 )(
2)(2
)()()(
0,cos2sin2)(
3
teKtebteatf
n
k
tsk
tt k
Primer primene Laplasove transformacije
• Mehanički sistem je opisan diferencijalnom jednačinom
m
x(t)
f(t)k
c
0)0(,1)0(,0)(
)()()()(
0
2
2
dt
dxxxtf
tftxkdt
tdxc
dt
txdm
Primer – nastavak
• Primena Laplasove transformacije na dif. jedn. daje:
• a nakon sređivanja:
0)()0()()0()0()(2
sXkxssXc
dt
dxsxsXsm
kcsms
cmsx
kcsms
cmssX
xcmssXkcsms
22
2
)0()(
)0()(
mk
mc
mc
ss
s
sQ
sPsX
2)(
)()(
Primer – realni jednostruki polovi
• Za k/m=2 i c/m=3 Razvoj u sumu parcijalnih sabiraka
• Original x(t) se dobija promenim inverzne Laplasove transformacije (upotrebom tablica)
K=2; M=1; c=3;
P=[M c]; Q=[M c K];
[nule,polovi,ostatak]=residue(P,Q)
plot(polovi+eps*j,'x')
roots(Q)
nule =
-1
2
polovi =
-2
-1
ostatak =
[]
tt ees
Ls
LsXLtx 2111 22
1
1
2)}({)(
2
1
1
2
)2)(1(
3
23
3)(
2
ssss
s
ss
ssX
Primer – realni višestruki polovi
• Za k/m=4 i c/m=4 Razvoj u sumu parcijalnih sabiraka
• Original x(t) se dobija promenim inverzne Laplasove transformacije (upotrebom tablica)
K=4; M=1; c=4;
P=[M c]; Q=[M c K];
[nule,polovi,ostatak]=residue(P,Q)
plot(polovi+eps*j,'x')
roots(Q)
nule =
1
2
polovi =
-2
-2
ostatak =
[]
tt tees
Ls
LsXLtx 22
2
111 2)2(
2
2
1)}({)(
222 )2(
2
2
1
)2(
4
44
4)(
sss
s
ss
ssX
Primer – konjugovano-kompleksni polovi
• Za k/m=3 i c/m=2 Razvoj u sumu parcijalnih sabiraka
• Original x(t) se dobija promenim inverzne Laplasove transformacije (upotrebom tablica)
)2sin(2
1)2cos()(
)2()1(
2
2
1
)2()1(
1)}({)(
22
1
22
11
tetetx
sL
s
sLsXLtx
tt
2222222)2()1(
2
2
1
)2()1(
1
)2()1(
11
32
2)(
ss
s
s
s
ss
ssX
Primer – uporedni prikaz
0 1 2 3 4 5 6 7-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Odziv modela 2. reda
• Uvođenjem smena model se može napisati kao
• Na karakter odziv sistema utiču polovi sistema
02202 2
2)(
2
xss
sx
kcsms
cmssX
m
k
km
c
nn
n
n
22,1
22,1
22
1
1
02
nn
nn
nn
js
s
ss
Faktor relativnog prigušenja
Prirodna učestanost
Realni koreni 1
Konjugovano-kompleksni polovi <1
Im{s}=j
-n 0-n
s1
s2
n
Re{s}=
2n 1j
2n 1j
Lokacije konjugovano-kompleksnih polova
Im{s}=j
0 Re{s}=
Smer porasta
Smer porasta
Uticaj na lokacije polova
t
y(t)
Polovi sistema konjugovano kompleksni.
Odziv je prigušeno oscilatoran.
Polovi sistema realni i prosti.
Odziv je prigušeno aperiodičan.
arccos1sin
1)( 2
2
0 tey
ty ntn
Prigušen odziv sistema
Osobine linearnih modela
• Princip superpozicije. Odziv linearnog sistema na pobudu datu zbirom pojedinačnih pobuda može se dobiti kao suma odziva na pojedinačne pobude, koje na sistem deluju nezavisno jedna od druge.
• Princip stacionarnosti. Ako na linearan, stacionaran sistem bez početne energije (nulti početni uslovi) deluje pobuda x(t)h(t) i odziv na tu pobudu je y(t)h(t), tada de za čisto vremenski zakašnjenu pobudu x(t-T)h(t-T) sistem imati odziv y(t-T)h(t-T). – Ova se osobina još naziva i nezavisnost početka računanja vremena.
Primer – pobuda h(t)
>> K=2; M=1; c=3;
>> P=[1]; Q=[M c K 0];
>> [nule,polovi,ostatak]=residue(P,Q)
nule =
0.5000
-1.0000
0.5000
polovi =
-2
-1
0
ostatak =
[]
>> t=0:0.01:10; y=0.5+0.5*exp(-2*t)-1*exp(-t);
>> plot(t,y)
>> step(1,[M c K]) % kasnije
