Las Cónicas

Las cónicas son curvas que se obtienen como intersección de un cono y un plano:

En esta sección solo se revisaran las circunferencia y la parábola

Las Cónicas

circunferencia

elipse parábola hipérbola

Las cónicas son curvas planas.

Las Circunferencia

Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante

r = radio ( es la medida de este segmento)

centro

Los puntos de la circunferencia son los que están a distancia r de un punto fijo llamado centro.

P (x, y)r

C (a, b)

Si se traza en un eje cartesiano toda circunferencia conviene considerar:

C: es el centro de la circunferencia.

P: un punto cualquiera de la circunferencia.

r: se le conoce como radio y es la distancia del centro de la circunferencia al punto P.

Ecuación analítica de la circunferencia Si se hace coincidir el centro con el origen de coordenadas, las

coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2.

Ecuación analítica de la circunferencia

• Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r por lo tendría que:

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

• Al desarrollar resolviendo los cuadrados y obtenemos:x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0

x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0 • Si se reemplaza D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2 • Se tendría que:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo1Si la ecuación es x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0

Entonces :

D = 6 6 = – 2a a = – 3 E = – 8 – 8 = – 2b b = 4

El centro de la circunferencia es (–3,4). Se encuentra el radio al calcular F

F = (– 3)2 + (4) 2 – r2 – 11 = (– 3)2 + (4) 2 – r2 r 2 = 11+9+16 así que r 2 =36 y r = 6

La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2

(x – a)2 + (y – b)2 =r2

Ejemplo 2Si la circunferencia tiene el centro en (3,5) y radio de 1.4 ¿cual es la

ecuación que define dicha condición?

r

C (a, b)

(x – a)2 + (y – b)2 =r2

El centro es :C(a, b) en este caso C (3,5) El radio es 1.4

(x – a)2 + (y – b)2 =r2

a=3 y b=5 Y si es el radio es 1.4

4.1)5()3( 22 yx222 )4.1()5()3( yx

96.1)5()3( 22 yx

Esta es la ecuación de

la circunferencia de

centro (3,5) y radio

1,4

Ejemplo 3Si la circunferencia tiene el punto (4,6) está en la circunferencia de centro (3,5)

y radio 1,4 ¿cual es la ecuación que define dicha condición

96.1)5()3( 22 yx

96.1)56()34( 22

Esta ecuación no se satisface, ya que el miembro de la izquierda es 2.

Por lo que se puede responder que el punto (4,6) no es un punto de la circunferencia

dada.Así, la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (a,b) y de radio r es:

222 r )()( byax

Esta es la ecuación estándar de la circunferencia con

centro (a,b) y radio r

A partir de las siguientes ecuaciones cuadráticas en x y y, ¿como se podría definir si se trata de la ecuación de una circunferencia?

032 ) 22 yxyxa 432 ) 22 yxyxb

Ejemplo4 032 ) 22 yxyxaCompletando cuadrados, se ve con claridad observa que la ecuación dada es equivalente a las siguientes:

22

2222

23)1(0

233)1(2

yyxx

491

23)1(

22

yx

413

23)1(

22

yx

Ejemplo3

Y esta es claramente la ecuación estándar de la circunferencia con centro (1, -3/2) y radio

213

213

213

472x4x1. 2

418x)4(x2. 2

Doble producto = 2axEntonces a=9

222 a2axx.......18xx

4)18x4(x3. 2 + 81 - 81

4814)94(x4. 2

320)94(x5. 2

Listo!!!

¿?

Ejemplo5Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en

el punto P(-5,6).

• Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.

Se debe encontrar la pendiente del radio que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es m=3/4.

De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en P es

–4/3; por tanto su ecuación es y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0

6

-5 3

12

La Parábola

Parábola es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ.

Elementos distintivos de una parábola:

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vértice. El vértice es el único punto de la parábola que pertenece a ese eje.

Por ejemplo, si tomamos como foco el punto F(0,p) (donde p es un número positivo) y como directriz, la recta y = -p, la parábola es la que aparece a la derecha.

Ecuación de una Parábola con vértice en el origen Caso 1

La ecuación de una Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje X y foco en el punto F(a, 0) con a > 0 es:

Abre a la derechaVértice: V(0, 0)Foco: F(a, 0)Longitud del Lado Recto: Ecuación de la Directriz:

R(a, -2a)

V(0, 0) F(a, 0)L(a, 2a)

Punto de equilibrio

Una pequeña compañía que ofrece tours particulares a la Ciudad e México tiene como personal a una secretaria y un instructor. Mensualmente se tienen los siguientes gastos fijos: renta de oficina $5700, servicios $2000, sueldo de la secretaria $3500 y $800 en materiales (hojas, lápices, gises y borradores). El instructor percibe $200 por cada hora impartida, si la compañía cobra $350 por hora trabajada:

a)¿Cual es la variable independiente?b)Cuál es la fórmula de costo total?c)¿Cual es la función de ingreso?d)¿Cuál es el punto de equilibrio?e)Construya el grafico

tECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN CASO 3

La ecuación de una Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje Y y foco en el punto F(0, a) con a > 0 es:

Abre hacia arriba Vértice: V(0, 0) Foco: F(0, a) Longitud del Lado Recto: Ecuación de la Directriz:

V(0, 0)F(0, a)

L(-2a, a) R(2a, a)

ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN CASO 4

La ecuación de una Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre eleje Y y foco en el punto F(0, a) con a < 0 es:

Abre hacia abajo Vértice: V(0, 0) Foco: F(0, a)

Longitud del Lado Recto:

Ecuación de la Directriz:

V(0, 0) F(0, a)L(2a, a) R(-2a, a)

Ecuación de una Parábola con Vértice en el punto distinto

al origen.

a > 0 a < 0Abre a la derecha Abre a la izquierdaVértice: Vértice:Foco: Foco:Directriz: Directriz:

Eje Focal paralelo al eje X

Ecuación de una Parábola con Vértice en el punto distinto al origen

a > 0 a < 0Abre a la derecha Abre a la izquierdaVértice: Vértice:Foco: Foco:Directriz: Directriz:

Eje Focal paralelo al eje X

Eje Focal paralelo al eje y

a > 0 a < 0Abre a la derecha Abre a la izquierdaVértice: Vértice:Foco: Foco:Directriz: Directriz:

Ecuación de una parábolaen forma general

* Si su eje focal es paralelo al eje X:

* Si su eje focal es paralelo al eje Y:

Ejercicio:Trazar la gráfica y encuentra la ecuación canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y foco en el punto (– 2, 3).

4

2

ahxky

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación x = – 2 ,

Abre hacia abajo ya que a = – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5.

La ecuación normal o canónica de la curva dada es:

424

2 xy