Le dernier théorème de Fermat

récréations mathématiques du 1er Octobre 2004

préhistoire

chronologie-600 Thalès-500 Pythagore-300 Euclide+200 Diophante+400 Hépatie1000 Al Khayyam1200 Fibonacci1500 Bâchet1600 Fermat1750 Euler1800 Germain

mathêma : sciences

Souvenirs de collégien

Dans un triangle rectangle, le carré de de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

la corde tendue sous l’angle droit !

Théorème de Pythagore

une preuve…

Arithmétique

Euclide explore les propriétés des nombres au travers de la divisibilité : unité, nombre premier, nombres premiers entre-eux…

arithmos : nombre -300 : les éléments, livre vii

Divisibilité

Soient x, y et z trois entiers. Si x divise yz et si x et y sont premiers entre eux alors x divise z

Lemme d’Euclide

Tout nombre entier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

valuation dyadique

Unicité de la décomposition en facteurs premiers

valuation dyadique

Il s’agit de l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers d’un entier…

Incommensurable !

pair = impair

Triangle Pythagorique

Quelques instances

Remarques et Premières interrogations

Classification des triangles pythagoriques,par classe de similitude.

triangle pythagorique primitif

Arithmétiques de Diophante

Platon -400. Il existe une infinité de classes de triangles pythagoriques.

Euclide. caractérisation de toutes les solutions de x2 + y2 = z2.

Diophante. généralisations, nouvelles questions, nouvelles équations.

équations diophantiennes.

preuve

(1) Pythagoricité et (2) primitivité

Infinitude

triangle Pythagorique.

pythagoricité

Algébrique

primitivité

Arithmétique

x =

+ =

congruences

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2 + 3 = 5 2 + 8 = 10

2 x 3 = 6 7 x 8 = 56

Exemple : entiers modulo 5

congruences

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

+ =

x =

compatibilité additive

multiple du module

compatibilité multiplicative

multiple du module

applications aux équations diophantiennes

Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :

applications aux équations diophantiennes

Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :

carrés modulo 4

réciproque

impair + impair = pair

Un et donc un seul de ces trois entiers est pair

est obligatoirement impair !

On peux supposer pair.

Soient x, y et z trois entiers.

un lemme fondamental

Si y et z sont premiers entre eux

+ 800 Al-kwarizmi

• Les mathématiques se réfugient au moyen orient. Traductions systématiques des œuvres grecques.

Algébraisation des mathématiques

+950 Al-Khujandi

La démonstration d’Al-Khujandi est incorrecte !Al-Khasin

1200 Léonard de Pise introduit les textes arabes, grecs en Italie. Traduction Latines.

L’école Italienne s’attaque aux équations polynomiales de degré 3, 4, 5

1540 Bâchet traduit les textes originaux Diophante renaissance de l’arithmétiques.

Renaissance de l’arithmétique.

1640 Fermat

Fermat utilise les triangles pythagoriques pour prouver l’absence de solution dans le cas de l’exposant n = 4 par un méthode merveilleuse, la descente infinie.

1640 Fermat 4

1753 Euler 3 F

1830 Legendre & Dirichlet 5

1840 Lamé 7

1847 Lamé & Cauchy n F

184x Germain

184x-1995 Kummer & successeurs 109

Premier cas de Fermat

Théorème de Sophie Germain. Si p et 2p+1 sont des premiers impairs alors le premier cas de Fermat estvérifié pour l’exposant p.

Résoudre le premier cas de Fermat pour un Exposant p premier c’est montrer l’implication :

Exercices

Etudier les cubes modulo 9 pour démontrer le premier cas de Fermat de l’exposant 3.

Etudier les puissances cinquième modulo 25 pour démontrer le premier cas de Fermat pour l’exposant 5.

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