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CHAPITRE 3

LE THÉORÈME DE GAUSS

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PLAN DE MATCH

1. Le flux électrique

2. Le théorème de Gauss

3. Exemples d’application du théorème de Gauss

4. Le théorème de Gauss et les conducteurs

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1. Le flux électrique

• Flux électrique = E = EA (Nm2/C)

• E nb de lignes de champ traversant A

• Si A fait un angle avec E : E = EAcos() EE A

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• Pour un champ non uniforme ou pour une surface quelconque :

EE dA

• Si pas de charge dans une surface fermée alors E = 0!

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2. Le théorème de Gauss

Pour une charge ponctuelle :

• E a la même grandeur pour tout R.

• Tous les éléments d’airs sont parallèles à E en tout point de la surface sphérique

24E

E dA EdA E dA E R

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• Loi de Coulomb : 2 2

14 o

Q QE k

R R

• E ne dépend pas de R car E (1/r2) et A r2

• Comme E représente le nb de lignes de E traversant A, E ne dépend pas de la forme de A!

Eo

Q

1 2E

o o

q q Q

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Théorème de Gauss :

Le flux net à travers une surface fermée est égale à la charge nette à l’intérieur de la surface divisée par o :

• E est le champ total créé par toutes les charges, pas seulement celles qui sont à l’intérieur de la surface de Gauss

• Si Q = 0 ça ne veut pas nécessairement dire que E = 0 sur toute la surface!

o

QE dA

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Exemple 1

Soit le champ électrique suivant.

Imaginons maintenant une surface de Gauss de forme cylindrique centrée à l’origine. Le cylindre a un rayon R de 5 cm et une longueur de 20 cm. L’axe longitudinal du cylindre coïncide avec l’axe des x.

a) Que vaut le flux électrique à travers chaque bout ?

b) Que vaut le flux à travers la surface latérale du cylindre ?

c) Que vaut le flux net à travers la surface fermée ?

d) Quelle est la charge nette à l’intérieur du cylindre ?

200 ( / ), 0

200 ( / ), 0

E i N C x

E i N C x

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3. Exemples d’application du théorème de Gauss

Le théorème de Gauss est utile pour déterminer le champ électrique produit par une distribution de charges très symétrique afin de ne pas faire l’intégrale!

Critères du choix de la surface de Gauss :

i. Sur toute la surface E doit être constant en grandeur.

ii. Sur toute la surface E doit être parallèle ouperpendiculaire à dA.

Vous ne trouvez pas de surface qui obéit à ces critères ? Utilisez la loi de Coulomb et intégrez…

o

QE dA

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Exemple 2

Une sphère creuse (coquille) de rayon R porte une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Trouvez le champ électrique à une distance r du centre dans les cas suivants : (a) à l’intérieur (r<R) et (b) à l’extérieur (r>R) de la sphère.

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Exemple 3

Une coquille de rayon R = 3 m est centrée à l’origine et porte sur sa surface une densité de charge uniforme = 3 nC/m2. Une charge ponctuelle q de 250 nC est placée sur l’axe des y en y = 2 m. Trouvez le champ électrique en un point situé sur l’axe des x à

(a) x = 2 m et (b) x = 4 m

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Exemple 4

Trouvez le champ électrique (a) à l’intérieur et (b) à l’extérieur d’une sphère pleine non-conductrice de rayon R portant une charge Q uniformément distribuée.

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Exemple 5

Trouvez le champ électrique à une distance r d’un fil infini uniformément chargé .

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Exemple 6

Trouvez le champ électrique à une distance r d’un plan infini de densité surfacique de charge uniforme .

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4. Le théorème de Gauss et les conducteurs

1. En équilibre électrostatique, E = 0 à l’intérieur d’un conducteur Q = 0 à l’intérieur

2. E près de la surface est à la surface (voir chap.2)

3. E = /o près de la surface.

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Exemple 7

Trouvez le champ électrique créé par une plaque conductrice infinie dont la densité surfacique de charge positive de chacune des faces est uniforme et vaut .

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Un plan infini : E = / 2o

Une plaque conductrice : E = / o?

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Encore plus troublant :

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Exemple 8

Une charge ponctuelle q positive est placée au centre d’une coquille métallique de rayon R et portant une charge –Q. Trouvez E (a) à l’intérieur et (b) à l’extérieur de la coquille. Dans chaque cas préciser comment se distribuent les charges.On suppose q > Q.

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RÉSUMÉ

• Le flux électrique :

• Le théorème de Gauss :

• Le théorème de Gauss est intéressant lorsqu’il y a une distribution symétrique de charges.

• Pour les conducteurs :

· E = 0 à l’intérieur· La charge nette se distribue sur la surface.· Près de la surface E est et vaut /o.

EE dA

o

QE dA