Lecciones de Fsica

Termologa 1

Manuel R. Ortega GirnUniversidad de Crdoba

Jos A. Ibez MengualUniversidad de Murcia

Departamento de Fsica Aplicada.Universidad de Crdoba.

LeccionesLecciones dede FsicaFsica (T(Termologaermologa 1)1)Quinta edicin: Enero 2003

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Ninguna parte de este libro puede ser reproducidapor cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin elpermiso por escrito de los autores.

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I.S.B.N. 84-404-4291-2Depsito legal: CO. 1218-1989

ii Mecnica

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio delas letras y, como quiera que me aseguraban quepor medio de stas se poda adquirir un conoci-miento claro y seguro de todo aquello que es tilpara la vida, yo tena un vivsimo deseo de apren-derlas. Pero cuando acab el curso de los estudios,al finalizar los cules es costumbre ser admitido enla jerarqua de los doctos, cambi enteramente deopinin. Por que me encontraba turbado y confusoentre tantas dudas y errores que me pareca nohaber obtenido otro provecho, al procurar instruir-me, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia.

REN DESCARTES (1596-1650)El Discurso del Mtodo.

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iv Lecciones de Fsica.

Prlogo de los autores

Este libro est destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades deCiencias y Escuelas Tcnicas. Durante su elaboracin hemos pretendido laconsecucin de dos objetivos principales que entendemos que deben orientar ladocencia de las asignaturas de Fsica de Primer Ciclo de los estudios universitarios:familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes bsicas queconstituyen la esencia de la Fsica y desarrollar en el estudiante la habilidad paramanejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Adems, creemos queestas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer CursoUniversitario, deben proponerse unos objetivos de cimentacin y estructuracin delos conocimientos adquiridos en los cursos de enseanza media.

A lo largo de los sucesivos cursos en los que hemos participado en la docenciade la Fsica de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autnoma deBarcelona, Crdoba y Murcia, hemos tenido ocasin de ir perfilando los programasde las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto deequilibrio entre la extensin de los programas y el nivel y profundidad en eltratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuracin yperfeccionamiento, siempre hemos tenido muy presente que los programas de estasasignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoquesdiferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos, ... de ningn modopueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre s, pormuy interesantes y bien estructurados que estn cada uno de ellos. Entendemos queel propsito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visinunificada de la Fsica a travs de la compresin de los conceptos, leyes y principiosque constituyen el aspecto ms fundamental de esta ciencia.

Por supuesto que conocemos muchos y excelentes libros adecuados a este nivel,que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayorparte de ellos son de procedencia fornea, lo que los distancia, hasta cierto punto, dela problemtica de la enseanza en nuestras Universidades. Para soslayar esteinconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios librosde texto, como complemento de los apuntes que stos tomen en clase. Sin embargo,pensamos que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando elalumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia ala consulta de otros libros de texto y de obras ms especializadas. Fruto de estaconviccin es el presente libro, que ser completado con otros tomos, preparados encolaboracin con colegas de otras Universidades espaolas, hasta cubrir los

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vi Prlogo

contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Fsica de PrimerCiclo de nuestras Facultades y Escuelas Tcnicas.

No debera considerarse esta obra como un libro ms de Fsica General, en laacepcin que tradicionalmente tiene esta denominacin, ya que tanto su nivel comosu extensin son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en loslibros de texto de tal denominacin. Nuestra intencin ha sido desarrollar unprograma en el que tengan cabida aquellos temas de la Fsica Clsica que configuranlos contenidos de la Fsica que se ensea en los primeros cursos universitarios, en susvertientes cientfica y tcnica, prestando una atencin especial a la asignatura dePrimer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que seanapropiados a los Planes Docentes de sus Centros.

Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en elprograma de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al quenormalmente encontramos en los textos de Fsica General. De este modo, el profesorpodr graduar el nivel de sus enseanzas al de la preparacin previa de sus alumnos,evitando as que la Fsica que se ensea en los primeros cursos universitarios sea, enalgunos casos, una mera repeticin de las correspondientes a la EnseanzaSecundaria.

No podemos dejar de expresar nuestro agradecimiento a todos aquelloscompaeros que de un modo u otro han colaborado en la preparacin de este libro,muy especialmente a nuestro amigo y colega Dr. Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB),cuyas acertadas sugerencias y tiles intercambios de puntos de vista han resultadomuy provechosos, y a nuestros compaeros en las tareas docentes, los Dres.C. Baixeras (UAB), D. Bar (UAB), S. Bordas (UAB), A. Coronas (U. Tarragona),C. Domingo (UAB), F. Gonzlez (U. Granada), F. Fernndez (UAB),A. Hernndez (U. Valladolid), J.I. Jimnez (U. Granada), E. Martn (U. Murcia),R. Perea (E.U. Jan), L.F. Sanz (U. Valladolid), S. Suriach (UAB) yM.A. Villaman (U. Valladolid), por la buena acogida que han dispensado a estasLecciones de Fsica y por sus tiles comentarios y sugerencias. Y no podemosolvidar la deuda de gratitud contrada con D. Antonio Montaud Andurell, Jefe delServicio de Imprenta de la UAB, cuyo celo y esmero hicieron posibles las primerasediciones de esta obra.

Crdoba, Enero 2002.

Lecciones de FsicaTermologa 1

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viii ndice de materias.

I. 1. Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.2. Gases ideales y reales. Ecuaciones trmicas de estado.3. El calor y su medida.4. Propagacin del calor.5. Primer Principio de la Termodinmica.6. Segundo Principio de la Termodinmica.7. Aplicacin simultnea del Primer y Segundo Principios de la

Termodinmica.II. 8. Potenciales termodinmicos.

9. Transiciones de fase.10. Teora Cintica de los Gases.11. Fsica Estadstica.

Apndices.

ndice de materias

Termologa.1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Descripciones microscpica y macroscpica (3); 1.2. Clasificacin de lasvariables termodinmicas. Estados de equilibrio (4); 1.3. Procesos termodinmicos(5); 1.4. Interacciones termodinmicas. Clasificacin de los sistemas termodinmi-cos (7); 1.5. Equilibrio trmico. El principio cero de la termodinmica y latemperatura (8); 1.6. Escalas de temperatura (10); 1.7. Termmetro de gas avolumen constante. Escala de temperaturas del gas ideal (15); 1.8. Las escalasCelsius, Fahrenheit y Rankine (18); 1.9. Escala Prctica Internacional deTemperaturas (19); 1.10. Termmetros (20); 1.11. Ecuacin trmica de estado.Coeficientes trmicos (26); 1.12. Dilatacin de slidos (30); 1.13. Esfuerzos deorigen trmico (34); 1.14. Dilatacin de lquidos (35); 1.15. Dilatacin anmaladel agua (36); 1.16. Dilatacin de gases (37); 1.17. Leyes de Gay-Lussac yCharles (40); Problemas (41)

2.- Gases ideales y reales. Ecuaciones trmicas de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1. Gas ideal. Ley de Boyle (45); 2.2. Ecuacin trmica de estado del gas ideal.Ley de Avogadro (46); 2.3. Densidad de un gas perfecto. Densidad relativa al aire(50); 2.4. Mezcla de gases perfectos no reaccionantes. Ley de Dalton (50);2.5. Superficies PVT de un gas ideal (52); 2.6. Gases reales (52); 2.7. Deter-minacin de las coordenadas crticas. Tubos de Natterer (57); 2.8. Ecuacin deestado de Clausius (58); 2.9. Ecuacin de estado de Van der Waals (60);2.10. Isotermas de Van der Waals (63); 2.11. La ecuacin de Van der Waals y lascoordenadas crticas (64); 2.12. Otras ecuaciones de estado (65); 2.13. Ecuacinde estado reducida. Ley de los estados correspondientes (68); Problemas (70)

3.- El calor y su medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1. Teoras acerca de la naturaleza del calor (73); 3.2. Calor y trabajo (74);3.3. Unidades de calor (75); 3.4. Capacidad calorfica y calor especfico (76);3.5. Calores especficos de los gases (78); 3.6. Calor especfico de los slidos(81); 3.7. Mtodos calorimtricos (82); 3.8. Mtodo calorimtrico de las mezclas(84); 3.9. Mtodo calorimtrico elctrico (86); 3.10. Mtodo calorimtrico de flujocontinuo (88); 3.11. Ley de enfriamiento de Newton (89); 3.12. Mtodo de lascurvas de enfriamiento (90); 3.13. Mtodo calorimrico isotermo (91); 3.14. Cam-bios de fase. Calores latentes (92); 3.15. Medida de algunos calores de transforma-cin (95); Problemas (96)

4.- Propagacin del calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.1. Formas de propagacin del calor (103); 4.2. Transmisin del calor porconduccin (104); 4.3. Conduccin calorfica a lo largo de una barra (107);4.4. Conduccin del calor a travs de paredes planas (109); 4.5. Conduccin delcalor a travs de paredes cilndricas y esfricas (111); 4.6. Ecuacin general de laconduccin trmica en un slido istropo (112); 4.7. Medida de la conductividadtrmica (114); 4.8. Determinacin de la conductividad trmica mediante el mtodo

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x ndice de materias

calorimtrico (115); 4.9. Mtodo de los discos de Lees (116); 4.10. Estudio dela propagacin del calor en una barra metlica (117); 4.11. Experiencia deIngenhausz (120); 4.12. Transporte del calor por conveccin. Fenmenosconvectivos (121); 4.13. Estudio de la conveccin (122); 4.14. Conveccin yconduccin simultneas (124); 4.15. Radiacin (125); 4.16. Ley de enfriamientode Newton (127); Problemas (129)

5.- Primer Principio de la Termodinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.1. El trabajo en la Mecnica (131); 5.2. El trabajo en la Termodinmica (133);5.3. El trabajo en los cambios de volumen (133); 5.4. El trabajo no es funcin deestado (137); 5.5. El trabajo en algunos sistemas termodinmicos (138); 5.6. Calory trabajo (140); 5.7. Energa interna (142); 5.8. Primer Principio de la Termodin-mica (143); 5.9. Entalpa (145); 5.10. Ecuacin energtica. Propiedades energticas(147); 5.11. Energa interna y entalpa de un gas ideal. Ley de Joule (149);5.12. Transformaciones adiabticas en un gas ideal (151); 5.13. Frmula de Reech.Coeficiente de compresibilidad adiabtico (152); 5.14. Transformacionespolitrpicas (153); 5.15. Determinacin del ndice de adiabaticidad: mtodo deClment y Dsormes (158); 5.16. Determinacin del ndice de adiabaticidad:experiencia de Rckhart (160); 5.17. Determinacin del ndice de adiabaticidad:mtodo acstico (161); 5.18. Aplicacin del Primer Principio a una corriente fluida(163); 5.19. Efecto de Joule-Kelvin (166); Problemas (167)

6.- Segundo Principio de la Termodinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.1. Necesidad del Segundo Principio de la Termodinmica (177); 6.2. Procesosde transformacin de calor en trabajo (178); 6.3. Mquinas trmicas. Rendimientoy eficacia (180); 6.4. Ciclo de Carnot (181); 6.5. Segundo Principio de laTermodinmica (184); 6.6. Teorema de Carnot (187); 6.7. Escala termodinmicade temperaturas (190); 6.8. Cero absoluto de temperaturas (192); 6.9. Teorema deClausius (192); 6.10. Entropa (195); 6.11. Definicin matemtica de la entropa(196); 6.12. Entropa en un proceso irreversible abierto. Entropa y SegundoPrincipio (200); 6.13. Principio de creacin de la entropa (203); 6.14. Entropade un gas ideal (203); 6.15. Entropa de una mezcla de gases ideales no reaccionan-tes (207); 6.16. Entropa y desorden (209); Problemas (212)

7.- Aplicacin simultnea del Primer y Segundo Principios. . . . . . . . . . . . . . . . 2177.1. Formulaciones energtica y entrpica (217); 7.2. Representacin energtica(218); 7.3. Representacin entrpica (219); 7.4. Contenido informativo de lasrepresentaciones energtica y entrpica para un sistema cerrado simple (220);7.5. Otras representaciones para un sistema cerrado simple (221); 7.6. Traccinde un hilo elstico (225); 7.7. Sustancia paramagntica perfecta (229); Problemas(232)

B.- ndice alfabtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Termologa.

Tomo I.

1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin. 3

2.- Gases ideales y reales.

Ecuaciones trmicas de estado. 45

3.- El calor y su medida. 73

4.- Propagacin del calor. 103

5.- Primer Principio de la Termodinmica. 131

6.- Segundo Principio de la Termodinmica. 177

7.- Aplicacin simultnea del Primer y Segundo

Principios de la Termodinmica. 217

Tomo II.

8.- Potenciales termodinmicos . 231

9.- Transiciones de fase. 26710.- Teora Cintica de los gases. 303

11.- Fsica Estadstica. 349

Manuel R. Ortega Girn y Jos A. Ibez Mengual 1

2 Lecciones de Fsica

1.- Conceptos previos.Temperatura y dilatacin.

1.1. Descripciones microscpica y macroscpica (3); 1.2. Clasificacin de las variablestermodinmicas. Estados de equilibrio (4); 1.3. Procesos termodinmicos (5);1.4. Interacciones termodinmicas. Clasificacin de los sistemas termodinmicos (7);1.5. Equilibrio trmico. El principio cero de la termodinmica y la temperatura (8);1.6. Escalas de temperatura (10); 1.7. Termmetro de gas a volumen constante. Escalade temperaturas del gas ideal (15); 1.8. Las escalas Celsius, Fahrenheit y Rankine (18);1.9. Escala Prctica Internacional de Temperaturas (19); 1.10. Termmetros (20);1.11. Ecuacin trmica de estado. Coeficientes trmicos (26); 1.12. Dilatacin de slidos(30); 1.13. Esfuerzos de origen trmico (34); 1.14. Dilatacin de lquidos (34);1.15. Dilatacin anmala del agua (36); 1.16. Dilatacin de gases (37); 1.17. Leyes deGay-Lussac y Charles (40); Problemas (41)

1.1. Descripciones microscpica y macroscpica.- Un sistema termodin-mico es una porcin del espacio o materia separada del exterior por una superficiecerrada, que puede ser real o imaginaria. Como ejemplo, pensemos en un trozo dehierro; considerndolo como un sistema, la superficie de separacin del mismo es lasuperficie lmite del metal. Anlogamente ocurre cuando el sistema es un gascontenido en una vasija. En ambos casos, las superficies que limitan al sistema sonreales. Por el contrario, cuando en el seno de un fluido aislamos mentalmente unvolumen fijo del mismo, la superficie que limita al sistema es de tipo imaginario.Adems, dichas superficies pueden ser fijas o variables; como ejemplo de estasegunda clase puede considerarse el sistema constituido por un gas que se expansionao comprime en un cilindro.

El medio exterior a un sistema, o ms exactamente, la parte del Universo exterioral sistema y que interacciona con l, constituye su entorno o alrededores.

A las diferentes formas de estar o de presentarse un sistema se las denominaestados del mismo. La descripcin del estado de un sistema puede hacerse por dosvas diferentes:

(1) DESCRIPCIN MICROSCPICA.- En esta descripcin pretendemos conocer encada instante la posicin y estado de movimiento de todas y cada una de lasindividualidades que integran el sistema. Si conociramos la posicin y la velocidadde cada una de esas individualidades en un instante determinado, as como las leyesde las fuerzas que actan entre ellas, las leyes de la Mecnica nos permitiranpredecir la posicin y velocidad de cada individualidad en cualquier instanteposterior. Obviamente, una descripcin de este tipo es inabordable. Pensemos que unsistema constituido por un mol de sustancia (v.g., 18 g de vapor de agua) estintegrado por 6.061023 molculas, por lo que sera necesario especificar

Manuel R. Ortega Girn y Jos A. Ibez Mengual 3

4 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

66.061023 cantidades para especificar el estado del sistema (en el supuesto de quese tratase de molculas monoatmicas), ya que la especificacin de la posicin (trescoordenadas) y de la velocidad (tres componentes) de cada una de ellas representael conocimiento de seis cantidades. No obstante, la descripcin microscpica de unsistema puede ser propiciada mediante consideraciones de tipo probabilstico oestadstico, tal como pondremos de manifiesto en las lecciones que dedicaremos a laTeora Cintica y a la Mecnica Estadstica.

(2) DESCRIPCIN MACROSCPICA.- Esta descripcin consiste en caracterizar elestado del sistema mediante un reducido nmero de parmetros macroscpicos querepresentan la medida de propiedades de conjunto del sistema. Las magnitudescorrespondientes a esas propiedades macroscpicas del sistema se denominanparmetros, variables o coordenadas termodinmicas. As, por ejemplo, el estado deun gas en el interior de un recinto quedar caracterizado por su presin, volumen ytemperatura. De este conjunto de variables, aqullas que actan como independientesson denominadas variables o coordenadas de estado. Contrariamente a la vamicroscpica, esta descripcin no formula ningn tipo de hiptesis acerca de laestructura de la materia, por lo que, como se ver ms adelante, es incapaz deproporcionar valores absolutos de las variables termodinmicas, sino tan slovariaciones de las mismas. Este tipo de descripcin es el que utiliza la Termodinmi-ca Macroscpica, que ser objeto de estudio en este libro.

1.2. Clasificacin de las variables termodinmicas. Estados deequilibrio.- Las variables termodinmicas se clasifican en externas e internas. Lasvariables externas expresan el acoplamiento del sistema con su entorno y dependende la posicin de cuerpos externos al sistema (de ah procede su nombre). Porejemplo, el volumen de un gas encerrado en un cilindro provisto de un pistndepende de la posicin de este ltimo; por consiguiente, el volumen del gas es unavariable externa. Lo mismo ocurre con el campo magntico en el interior de unsistema, ya que ste depende de la posicin del sistema respecto al elementogenerador del campo. Por el contrario, las variables internas dependen directamentede la distribucin y estado de movimiento de las partculas del sistema y slodependen indirectamente de la posicin de ste respecto a otros cuerpos externos y,por tanto, de las variables o parmetros externos. As, por ejemplo, son parmetroso variables internas la presin de un gas, la temperatura, la energa interna, ...

Existe otra clasificacin de las variables termodinmicas en extensivas eintensivas. Las variables extensivas se definen como aquellas que dependen de lacantidad de materia que constituye el sistema. As, por ejemplo, la masa, el volumen,la superficie, la longitud, la energa, la entropa, el momento magntico total de unsistema paramagntico, ... son parmetros o variables extensivas. El valor de unavariable extensiva cualquiera correspondiente a un sistema completo es igual a lasuma de los valores de esa variable correspondiente a las diferentes partes osubsistemas en los que pueda considerarse dividido el sistema total.

Los parmetros o variables termodinmicas cuyo valor permanece inalterado aldividir el sistema, i.e., al considerar como sistema una porcin de un sistema(homogneo) total, se denominan variables intensivas. La presin de un gas, latemperatura, la densidad de masa, la imanacin (momento magntico por unidad devolumen), la tensin superficial, ... son variables de esta categora. As, al considerar

1.2.- Clasificacin de las variables termodinmicas. Estados de equilibrio. 5

una regin en un gas encerrado en un recinto, la presin en esta regin es indepen-diente del tamao de la misma y, por tanto, de la cantidad de materia, contrariamentea lo que ocurre con el volumen. En consecuencia, las variables intensivas puedendefinirse en un punto, pues exhiben valores finitos cuando el tamao del sistema querodea a un punto del espacio tiende a cero.

El nmero de parmetros macroscpicos independientes que son necesarios paradescribir el estado de un sistema depende de la complejidad del mismo. Una vezconocidos los valores de esos parmetros independientes, los valores de los demsparmetros quedan completamente determinados. Al nmero de parmetrosindependientes correspondientes a un sistema termodinmico se le denomina gradosde libertad del sistema. Los sistemas que slo poseen dos grados de libertad recibenel nombre de sistemas simples; v.g., un gas confinado, un alambre en tensin, unslido paramagntico, una sustancia pura y homognea, ... El acoplamiento de estossistemas simples con su entorno se hace a travs de un parmetro externo nico.

Cuando los parmetros que caracterizan a un sistema son independientes deltiempo, se dice que el sistema se encuentra en un estado estacionario; entonces, losvalores de las variables extensivas (en todo el sistema) e intensivas (en cada puntodel sistema) permanecen constantes en el transcurso del tiempo, a pesar de lasposibles interacciones del sistema con su entorno. Por el contrario, si los valores delas variables que caracterizan el estado del sistema varan con el tiempo, se dice queel sistema es asiento de un proceso, siendo ste consecuencia de la interaccin delsistema con su entorno.

El estado estacionario es requisito necesario para la existencia de equilibriotermodinmico; pero no es suficiente, pues adems se debe cumplir que losparmetros intensivos independientes no varen al pasar de un punto a otro delsistema. En estas condiciones, se dice que el sistema se encuentra en equilibriotermodinmico y es imposible un cambio espontneo de este estado. La Termodin-mica Clsica se refiere a sistemas en equilibrio termodinmico, por lo que lasrelaciones existentes entre las propiedades de los sistemas y los cambios que stassufren debido a las interacciones del sistema con sus alrededores se referirn exclu-sivamente a estados de equilibrio.

Los estados de un sistema y los procesos que pueden tener lugar en el mismo

Figura 1.1.- Representacin de los procesos en elespacio termodinmico.

pueden representarse grficamente conla ayuda de un espacio de estadosmacroscpicos o espacio termodinmi-co, definido mediante unos ejes perpen-diculares entre s correspondientes acada una de las variables de estado delsistema. Cada punto de dicho espaciocorresponde a un estado termodinmi-co. En el caso de un sistema simple, elespacio termodinmico es un plano, talcomo se ha indicado en la Figura 1.1,donde se han designado por X e Y a lasvariables termodinmicas (v.g., la pre-sin (p) y el volumen (V) para un gas).

6 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

1.3. Procesos termodinmicos.- En el apartado anterior hemos introducidoel concepto de proceso termodinmico, que puede definirse como el procedimientomediante el cul el sistema cambia de estado. En un proceso termodinmico, losestados inicial y final sern siempre estados de equilibrio; por el contrario, losestados intermedios podrn ser o no ser estados de equilibrio.

Cuando un proceso puede representarse en el espacio termodinmico medianteuna trayectoria que une los puntos correspondientes a los estados inicial y final,recibe el nombre de proceso cuasiesttico o de equilibrio1. En este tipo de procesos,cada punto de la trayectoria representativa corresponde a un estado termodinmicode equilibrio del sistema; el paso desde el estado inicial al final se realiza medianteuna sucesin de estados de equilibrio, lo que implica, como veremos, una variacininfinitamente lenta de las variables termodinmicas.

Cuando los estados intermedios de un proceso son de no-equilibrio, el procesono admite una representacin geomtrica (mediante una trayectoria) en el diagramatermodinmico, y lo denominaremos proceso no-esttico o irreversible. Larepresentacin de estos procesos se hace mediante una lnea discontinua o quebrada,tal como se ilustra en la Figura 1.1.

Los procesos cuasiestticos son irreales, pues requeriran un tiempo infinito para

Figura 1.2.- Diferencia entre procesos no-estticos (a,b,c) y cuasiestticos (d,e).

realizarse. Sin embargo, en trminos aproximados, existen procesos reales que puedenconsiderarse como cuasiestticos; v.g., la expansin o compresin muy lenta de ungas. Los procesos no-estticos son los que se presentan en la Naturaleza. No obstante,la Termodinmica Clsica slo estudia procesos de equilibrio, obteniendo un conjuntode resultados que constituyen leyes lmites de la Termodinmica del No Equilibrio.

Para aclarar la diferencia entre procesos cuasiestticos y no-estticos, consideraremos con msdetalle el ejemplo mencionado anteriormente, referente a la compresin de un gas que supondremosencerrado en un cilindro provisto de un mbolo que ajusta perfectamente y que puede desplazarsesin rozamiento. El cilindro lo situaremos en un bao termosttico que mantendr constante latemperatura del gas. Inicialmente, el gas se encuentra en equilibrio con el medio exterior, siendo(p,V,T) sus coordenadas termodinmicas. Acto seguido, someteremos el gas a los siguientesprocesos.

1 La clasificacin de los procesos termodinmicos en reversibles e irreversibles se hace a laluz del Segundo Principio de la Termodinmica.

1.3.- Procesos termodinmicos. 7

(a) Aumentamos bruscamente la presin del gas mediante un desplazamiento rpido delmbolo (por ejemplo, bajo la accin de un peso que acta sobre l, como se ilustra en la Figura 1.2ab)y luego esperamos a que se reestablezca el equilibrio. Durante este proceso, la presin no est biendefinida en cada instante, por lo que no puede representarse el proceso mediante una lnea deevolucin continua, ya que no sabramos que presin debemos asociar a cada volumen determinado.Por tanto, el sistema pasa de un estado de equilibrio inicial (i) a otro final (f) sin pasar por estadosde equilibrio intermedios (Figura 1.2c). El proceso es irreversible.

(b) Ahora, supongamos que desplazamos el mbolo con gran lentitud (por ejemplo, aadiendomuy lentamente arena sobre l, tal como se indica en la Figura 1.2d), de tal modo que en todomomento estn bien definidos la presin y el volumen del gas. Al aadir una pequea cantidad dearena, aumenta la presin del gas (a volumen constante), alejndose ligeramente del equilibrio; peropronto se reducir el volumen hasta alcanzarse un nuevo estado de equilibrio. La lnea de evolucinasociada con este proceso podra ser la quebrada indicada en la Figura 1.2e. Si imaginamos que elproceso se realizase aadiendo cada vez cantidades infinitesimales de arena, habra infinitas etapasintermedias en las que las desviaciones de los estados intermedios respecto de los estados deequilibrio seran infinitesimales, de modo que la lnea de trazos de la Figura 1.2e se confundira conla lnea de evolucin isotrmica (lnea llena); de este modo tendramos un proceso cuasiesttico.

Los procesos cuasiestticos exhiben las siguientes caractersticas:(i) A partir de un estado intermedio cualquiera se puede invertir el sentidode la evolucin del mismo mediante una modificacin infinitesimal de lascondiciones externas.(ii) Son infinitamente lentos; i.e., requieren un tiempo infinito para surealizacin.(iii) Su rendimiento es superior al de cualquier otro proceso irreversible quetenga lugar entre los mismos estados inicial y final.(iv) Son irrealizables; pues es necesaria una diferencia finita entre lasvariables del sistema y las de su entorno para que pueda tener lugarcualquier proceso.Cuando coinciden los estados inicial y final de un

Figura 1.3.- Procesocclico.

determinado proceso, ste recibe el nombre de procesocclico; estos procesos se representan grficamente medianteuna lnea cerrada.

Por ltimo, un proceso se llama infinitesimal cuando lasvariables de estado del sistema slo experimentan cambioselementales (infinitesimales) durante la realizacin delmismo.

1.4. Interacciones termodinmicas. Clasificacinde los sistemas termodinmicos.- La interaccin entre el sistema y su entornoest caracterizada por los intercambios de energa en sus diversas formas.

Los tipos de interacciones que un sistema puede experimentar con su entornodependen de la naturaleza de sus paredes. Estas pueden ser de las siguientes clases:

(1) Paredes permeable o impermeables, segn que permitan o impidan elintercambio de materia entre el sistema y su entorno.(2) Paredes aislantes, que no permiten ningn tipo de intercambio energticodel sistema con sus alrededores, salvo intercambios gravitacionales (quepodrn despreciarse cuando el sistema tenga unas dimensiones suficiente-mente pequeas).

8 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

(3) Paredes mviles o deformables, que permiten un intercambio energticopor efectos mecnicos, que ms adelante identificaremos con el trabajo. Porel contrario, las paredes fijas y rgidas impiden dicho intercambio energtico.(4) Paredes adiabticas; esto es, paredes que impiden la interaccin delsistema con su entorno mediante efectos no mecnicos. En otras palabras, lasparedes adiabticas impiden el intercambio energtico en la forma que msadelante definiremos como calor. Las paredes que permiten el intercambiode energa en forma de calor (i.e., las no adiabticas) se denominan paredesdiatrmanas.Atendiendo a las diferentes formas de interaccin de un sistema con su

entorno, los sistemas termodinmicos se clasifican de la forma siguiente:a) Sistemas cerrados; son aqullos cuyos lmites son impermeables al flujode materia.b) Sistemas abiertos; son aqullos cuyas paredes son permeables osemipermeables al flujo de materia.c) Sistemas aislados; son los sistemas delimitados por paredes aislantes. Estoes, no permiten ningn tipo de intercambio energtico.En cuanto a los tipos de interaccin entre dos sistemas termodinmicos, existen

tres tipos de interacciones puras, que pueden presentarse separadamente o combina-das.

a) Interaccin msica; cuando entre los dos sistemas existe un intercambiode materia, pero no de energa. La pared deber ser permeable o semiper-meable, fija y adiabtica.b) Interaccin mecnica; cuando entre los dos sistemas se establece unintercambio energtico por efectos mecnicos, sin intercambio de materia.La pared separadora de ambos sistemas deber ser mvil o deformable,impermeable y adiabtica.c) Interaccin trmica; cuando entre los dos sistemas se establece unintercambio energtico por efectos no-mecnicos, sin que haya intercambiode materia. En otras palabras, y abusando del lenguaje, cuando tiene lugarentre ambos sistemas un intercambio de calor, pero no de trabajo, ni demateria. La pared que separa entre s a los dos sistemas ser diatrmana, fijay rgida e impermeable.Los sistemas termodinmicos tambin pueden clasificarse atendiendo a otros

aspectos. As, teniendo en cuenta su composicin, se clasifican en monocomponentesy multicomponentes, segn que estn integrados por una o varias sustancias oespecies qumicas. Atendiendo a su constitucin, pueden clasificarse en homogneosy heterogneos, siendo los primeros aqullos cuyas propiedades fsicas y qumicasno varan al trasladarnos de una parte a otra del sistema (v.g., una mezcla de doslquidos totalmente miscibles); por el contrario, en los sistemas heterogneos sepresentan cambios en las propiedades fsicas o qumicas al pasar de un punto a otrodel sistema (v.g., una mezcla de hielo y agua).

1.5. Equilibrio trmico. El principio cero de la termodinmica y latemperatura.- La nocin de temperatura surge de la percepcin sensorial que nospermite distinguir los cuerpos fros de los cuerpos calientes. Decimos que la

1.5.- Equilibrio trmico. El principio cero de la termodinmica y la temperatura. 9

"temperatura" de los primeros es ms baja que la de los segundos. Pero, evidente-mente, la sensacin fisiolgica de fro y caliente no es suficiente para la determina-cin precisa de la temperatura de un cuerpo y ciertamente no resulta til para finescientficos. Hemos de llegar al concepto de temperatura mediante un mtodooperacional. Sin embargo, la sensacin trmica tctil sugiere dos hechos experimen-tales:

1) Cuando dos o ms cuerpos se ponen en contacto durante un tiemposuficientemente largo, la sensacin tctil respecto de todos ellos es la misma.2) Hay cuerpos buenos conductores del calor y otros malos conductores.El primer hecho experimental conduce al concepto de equilibrio trmico, no slo

para los cuerpos en contacto (conduccin trmica), sino tambin para los sistemasseparados por un fluido (conveccin trmica) e incluso separados por el vaco(radiacin trmica).

Un sistema encerrado en un recinto de paredes aislantes no interacciona con suentorno y, aun cuando inicialmente sus parmetros puedan variar en el transcurso deltiempo, llega un momento en el que se alcanza una situacin en la que no seproducen cambios observables; i.e.,

PRINCIPIO GENERAL DE LA TERMODINMICA.- Un sistema aisladoevoluciona hacia un estado de equilibrio que no podr abandonarespontneamente.

Consideremos dos sistemas, A y B, que, aislados

Figura 1.4.- Sistemas en equilibriomutuo.

independientemente, han alcanzado sus respectivosestados de equilibrio. Supongamos que ambos siste-mas se ponen en contacto trmico a travs de unapared diatrmana, fija, rgida e impermeable (i.e., queslo permite una interaccin trmica entre ambossistemas), estando el conjunto A+B aislado de susalrededores (Figura 1.4). Transcurrido un tiemposuficientemente largo, los parmetros de estado decada unos de los dos sistemas, A y B, alcanzarn unvalor estacionario, de modo que los dos sistemas seencontrarn en un estado de equilibrio trmicomutuo. Si de nuevo los separamos y aislamos, susestados no cambiarn en el transcurso del tiempo. En

Figura 1.5.- Principio Cero de laTermodinmica.

estas condiciones, decimos que los dos sistemas poseen la misma temperatura.Supongamos que repetimos la experiencia anterior utilizando ahora tres sistemas

(A, B y C), de modo que pondremos los siste-mas A y B (aislados entre s) en contacto trmi-co con el sistema C, como se ilustra en laFigura 1.5. Al cabo de un cierto tiempo, lossistemas A y B alcanzarn el equilibrio trmicocon el sistema C, y no habr cambio posterioren los estados de los sistemas A y B cuandoestos se pongan en contacto trmico entre s. Deesta observaciones se infiere el llamado...

10 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

PRINCIPIO CERO DE LA TERMODINMICA.- Si dos sistemas estnen equilibrio trmico con un tercero, estn en equilibrio trmicoentre s.

Llamamos temperatura (t) a una magnitud que caracteriza el equilibrio trmicoy, por definicin, establecemos que en tal equilibrio se cumple

[1.1]tA tB tC

Este nuevo parmetro caracteriza el estado interno del sistema y es independientede la cantidad de materia del mismo (i.e., un parmetro interno e intensivo) y, envirtud de los intercambios energticos con los otros sistemas (como consecuencia dela interaccin trmica), adquiere el mismo valor en todos ellos, permaneciendoconstante una vez alcanzado el equilibrio.

Podemos afirmar que el Principio Cero posibilita la introduccin de un nuevoparmetro termodinmico (la temperatura) que, junto con los parmetros termodin-micos externos, permite especificar el estado del sistema. En otras palabras, los par-metros termodinmicos externos no son suficientes para determinar el estado de unsistema termodinmico, pues, como se ha puesto de manifiesto en las experienciasconsideradas anteriormente, pueden tener lugar cambios en los estados de lossistemas sin que se modifiquen los parmetros externos de los mismos.

Por otra parte, debemos observar que el tratamiento operacional que hemosutilizado no describe la temperatura en su sentido fsico, limitndose a definir laigualdad de temperaturas; es decir, expresa simplemente la idea fundamental de quela temperatura de un sistema es una propiedad que acaba por alcanzar el mismo valorque la de otros sistemas cuando todos ellos se ponen en contacto. Este conceptocoincide con la idea ordinaria (fisiolgica) que tenemos de la temperatura como unamedida de la sensacin de calor o de fro que experimentamos al ponernos encontacto con un cuerpo, ya que, hasta el punto en que podemos confiar en nuestrosentido del tacto, la sensacin de "calor" de todos los cuerpos se iguala despus dehaber permanecido todos ellos en contacto durante un tiempo suficientemente largo.

El Principio Cero nos permite comparar las temperaturas de dos sistemas (A yB) con ayuda de un tercer sistema (C) y afirmar que tA=tB sin necesidad de poner Aen contacto con B. El sistema C es un termmetro; cuando obtenemos lecturasiguales con l, al utilizarlo en dos cuerpos distintos, tenemos la indicacin de queambos se encuentran a la misma temperatura, ya que en cada caso se alcanz elequilibrio con el mismo sistema de referencia.

1.6. Escalas de temperatura.- Definida la igualdad de temperaturas, estamosahora interesados en la medida de temperaturas con una escala arbitraria.

En el epgrafe anterior hemos introducido el concepto de termmetro como unsistema indicador del equilibrio trmico entre l mismo y los restantes sistemas. Lalectura del termmetro es la temperatura de todos los sistemas en equilibrio trmicocon l.

La temperatura slo puede medirse por mtodos indirectos, correspondiendo lamedida directa al cambio que produce la variacin de temperatura en algunapropiedad macroscpica del termmetro. Las propiedades que experimentan cambios

1.6.- Escalas de temperatura. 11

con la temperatura se denominan propiedades termomtricas. Entre ellas podemoscitar el volumen de un lquido, la longitud de una varilla, la resistencia elctrica deun conductor, la f.e.m. termoelctrica, el color de un filamento incandescente, lapresin de un gas que se mantiene a volumen constante, el volumen de un gas apresin constante, etc. ..., pudindose emplear cualquiera de esta propiedadestermomtricas para construir un termmetro, previo establecimiento de una escalaparticular de temperaturas.

Las propiedades termomtricas deben satisfacer las siguientes condiciones:a) Condicin de invarianza. Los valores de las propiedades termomtricasslo deben ser funcin de la temperatura.b) Condicin de uniformidad. Debe existir una relacin biunvoca entre elvalor de la propiedad termomtrica y el valor asignado a la temperatura.c) Condicin de equilibrio. El termmetro utilizado debe ser de tamaoreducido, a fin de no perturbar significativamente al sistema, produciendocambios en la temperatura del mismo.d) Condicin de reproducibilidad. Distintos termmetros que empleen lamisma propiedad termomtrica, y en las mismas condiciones, debern indicarla misma temperatura.e) Condicin de inercia. Las propiedades termomtricas no deberncomportar inercias significativas en sus variaciones; i.e., las variaciones detemperatura que experimente el sistema han de repercutir rpidamente en lasvariaciones de la propiedad termomtrica asociada.f) Condicin de amplitud. El intervalo de utilizacin de un termmetrodeber ser suficientemente amplio.La eleccin de una escala termomtrica deber hacerse escogiendo una sustancia

termomtrica especial y una propiedad termomtrica especial de esa sustancia. Acontinuacin, deberemos especificar la relacin existente entre los valores exhibidospor la propiedad termomtrica escogida y los valores de la temperatura a ellosasociados. Este relacin deber ser montonamente continua. As, por ejemplo, lasustancia termomtrica podra ser un lquido contenido en un depsito unido a untubo capilar de vidrio (termmetro ordinario de mercurio, alcohol, ...) y la propiedadtermomtrica la dilatacin del lquido termomtrico que se medir a partir de lalongitud de la columna lquida en el tubo capilar; o bien, la sustancia termomtricapodra ser un gas encerrado en un depsito a volumen constante (termmetro de gasa volumen constante) y la propiedad termomtrica la presin de dicho gas; ...

Debemos reparar en que cada eleccin de una sustancia y de una propiedadtermomtrica concretas, conjuntamente con la relacin que definamos entre lapropiedad termomtrica y la temperatura, conduce a una escala especial detemperaturas, cuyas mediciones, que dan lugar a la llamada temperatura emprica,no coincidir forzosamente con las mediciones hechas con cualquier otra escala detemperaturas definida independientemente.

Este aparente caos en la definicin de una escala de temperaturas se eliminamediante un convenio universal, dentro de la comunidad cientfica, por el que seutiliza una cierta sustancia termomtrica, una cierta propiedad termomtrica y unacierta relacin funcional entre dicha propiedad y la temperatura; de este modo seobtiene una escala de temperaturas universalmente aceptada. Cualquier otra escala

12 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

termomtrica, definida de cualquier otra forma, deber contrastarse con la escalauniversalmente aceptada.

1.6.a. Escalas de temperaturas con dos puntos fijos.- Una relacin lineal entre elvalor de la propiedad termomtrica (x) y de la temperatura emprica (t) define unaescala termomtrica lineal. En su forma general es del tipo

[1.2]t ax b

donde a y b son constantes arbitrarias cuyos valores quedan determinados al asignarvalores numricos a dos temperaturas dadas cualesquiera (i.e., las temperaturascorrespondientes a la fusin del hielo y a la ebullicin del agua, a presin atmosfricanormal). Si xh y xv designan, respectivamente, los valores de una propiedadtermomtrica de una sustancia en equilibrio trmico con hielo fundente y con vaporde agua a presiones atmosfricas normales, y si th y tv denotan los valores arbitrariosasignados a las temperaturas correspondientes a esos estados de equilibrio, de acuerdocon la expresin [1.2] se tendr

[1.3]th axh b tv axv b

esto es, un sistema de dos ecuaciones que nos permitir

Figura 1.6.- Definicin de laescala Celsius.

determinar los valores de las constantes a y b en laexpresin [1.2].

Si hacemos tv-th=100, la escala que as establecemosse llama escala centgrada. En la escala Celsius, seasigna el valor 0 (cero) al punto del hielo fundente y elvalor 100 al del vapor de agua (Figura 1.6), de modo que,al obtener los valores de a y b a partir de las ecuaciones[1.3] y tras sustituir dichos valores en la expresin [1.2],tendremos la siguiente expresin para la temperatura:

Figura 1.7.- Definicin de laescala de Fahrenheit.

[1.4][1.4] t 100x xh

xv

xh

En la escala Fahrenheit, se asigna el valor 32 a la temperatu-ra del punto de hielo y el valor 212 al punto de vapor, de modoque existen 180 grados en el intervalo de los puntos fijos.Procediendo como antes (Figura 1.7), obtendremos la siguienteexpresin para la temperatura:

[1.5]t 32 180x xh

xv

xh

1.6.b. Escalas de temperaturas con un punto fijo.- La eleccin de una escalatermomtrica de la forma

[1.6]t ax

resulta particularmente sencilla, ya que slo interviene una constante arbitraria (a),

1.6.b.- Escalas de temperaturas con un punto fijo. 13

que deberemos determinar.En las escalas definidas por las expresiones

Figura 1.8. Escala termomtrica linealcon un nico punto fijo.

[1.2] y [1.6], dado el carcter lineal de las mis-mas, queda establecido que a diferencias igualesde temperatura corresponden cambios iguales dela propiedad termomtrica x. As, esto significaque cada vez que la longitud de la columna demercurio (en el termmetro de mercurio envidrio) cambia una unidad, la temperatura varauna cantidad fija determinada, independiente-mente de cual sea la temperatura inicial.

Para la escala definida por la expresin [1.6],se deduce tambin que dos temperaturasmedidas con el mismo termmetro estn en lamisma relacin que los correspondientes valores x de la propiedad termomtrica; i.e.,

[1.7]t1t2

x1

x2

Para determinar el valor de la constante a de la expresin [1.6], bastar especificar

Figura 1.9.- Sir William THOMSON(1824-1907) Lord Kelvin of Largs.

un nico punto fijo. En el ao 1854, KELVIN2 indic como tal punto fijo el puntotriple del agua (slido, lquido y vapor coexistiendo en equilibrio). Este punto fueadoptado por la X CONFERENCIA INTERNACIONAL DE PESAS Y MEDIDAS (PARS,1954), debido a la gran exactitud con que puede determinarse, conviniendo enasignarle a la temperatura correspondiente unvalor de 273.16 K (kelvin). La presin corres-pondiente al punto triple del agua es de4.58 Torr (mmHg).

Si x3 designa el valor de la propiedadtermomtrica en el punto triple del agua, alservirnos de la relacin [1.7], tendremos

[1.8]tt3

x

x3

que, de acuerdo con el convenio indicado en elprrafo anterior, se transforma en

[1.9]t 273.16 xx3

La temperatura determinada con una escala

2 Sir William THOMSON (1824-1907), Lord KELVIN OF LARGS desde 1892. Fsico britnicoconsiderado como uno de los fundadores de la Termodinmica Clsica. Defini los conceptos detemperatura absoluta y de muerte trmica y aplic los Principios de la Termodinmica a losfenmenos elctricos, magnticos y elsticos.

14 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

de este tipo recibe el nombre de temperatura Kelvin, y la representaremos en losucesivo por T. De acuerdo con la expresin [1.9], cuando la propiedad termomtricatoma un valor x, se obtendr la temperatura en kelvins sustituyendo en [1.9] losvalores de x y x3.

Ahora podemos aplicar la expresin [1.9] a varios tipos de termmetros. As, para untermmetro de mercurio en vidrio, la propiedad termomtrica es la longitud L de la columna demercurio, y se sigue

[1.10]T(L) 273.16 LL3

Para un termmetro de resistencia de platino, la propiedad termomtrica es la resistencia R,y tenemos

[1.11]T(R) 273.16 RR3

Para un termmetro de gas a volumen constante, la propiedad termomtrica es la presin p delgas, y ser

[1.12]T(p) 273.16

pp3 V

Supongamos ahora que empleamos dos termmetros distintos, que utilizan dospropiedades termomtricas distintas, cuyos valores designaremos por X e Y. Comoresulta evidente, ambos termmetros coincidirn en el punto triple de agua; pero paraque tambin coincidan para cualquier otra temperatura, es necesario que

[1.13]XX3

YY3

lo que supone que X e Y sean proporcionales entre s; pero esto no ocurre jams. Porotra parte, dos termmetros distintos que utilicen la misma propiedad termomtricadarn medidas diferentes para la temperatura de un sistema dado. As, por ejemplo,la dilatacin del mercurio no es exactamente proporcional a la dilatacin del alcohol,por lo que un termmetro de mercurio y otro de alcohol darn la misma indicacinen el punto triple del agua, pero indicarn temperaturas distintas al colocarlos en otrorecinto isotrmico cualquiera.

Para poder comparar las medidas suministradas por los diferentes tipos determmetros, se ha convenido en elegir un termmetro patrn respecto al cual secalibran los dems. La eleccin del termmetro patrn no se ha hecho guiados poruna conveniencia experimental, sino tratando de conseguir que la escala detemperaturas definida por medio de este termmetro especial sea til en laformulacin de las leyes de la Fsica.

Es un hecho experimental bien comprobado que la mnima discrepancia entre laslecturas de termmetros diversos se consigue cuando se utilizan termmetros de gasa volumen constante. Adems, las discrepancias entre termmetros de dicho tipo queutilicen diferentes gases disminuyen cuando se reducen las cantidades de gasesempleados (i.e., cuando se reduce la presin de los mismos).

1.7.- Termmetro de gas a volumen constante. Escala de temperaturas del gas ideal. 15

1.7. Termmetro de gas a volumen constante. Escala de temperaturas

Figura 1.10.- Termmetro de gas avolumen constante.

del gas ideal.- El termmetro de gas a volumen constante emplea la presin del gascomo propiedad termomtrica. Est basado en el hecho de que la presin de un gasaumenta cuando se eleva su temperatura, mantenindose constante el volumenocupado por el gas. Un termmetro de este tipo3 est esquematizado en la Figura 1.10;un gas, cuya cantidad puede disminuirse aspirndolo mediante una trompa de vaco(V) conectada convenientemente a travs de una llave en T, est contenido en unbulbo de vidrio (A). Para distintas cantidades degas, se mantiene constante el volumen del mismoajustando el nivel del mercurio en la rama izquierda(B) del manmetro, de manera que enrase con unamarca fija de referencia (E); para ello, se subir obajar convenientemente la rama derecha (C) delmanmetro. La temperatura del gas es la del recinto(R) en el que se encuentra el bulbo (A).

La presin del gas contenido en el bulbo semide por la diferencia de alturas (h, en mmHg) quealcanza el mercurio en sendas ramas manomtricas.As obtendremos la presin manomtrica del gas;la presin del mismo ser

[1.14]p pa

h ( Torr)siendo pa la presin atmosfrica (expresada enTorr), pudiendo ser h positivo o negativo.

El termmetro de gas a volumen constante nospermite definir la llamada escala de los gasesperfectos, que coincide con la escala termodinmica o escala absoluta, basada en elSegundo Principio de la Termodinmica. Sean p3 y p las presiones ejercidas por elgas contenido en el bulbo del termmetro correspondientes a la temperatura del puntotriple del agua (273.16 K) y a la temperatura T que se desea medir. Supongamos queextraemos del bulbo sucesivas porciones de gas, de manera que la presin del mismodisminuya respecto de los valores iniciales en el punto triple y a la temperatura quese desea medir. De este modo iremos obteniendo un conjunto de pares de valores(p,p3), (p,p3), ... que, de acuerdo con la expresin [1.12], nos conducirn adeterminar unas temperaturas tales que

[1.15]T 273.16

pp3 V

T 273.16

pp3 V

donde el subndice V indica que el volumen del gas utilizado es el mismo en todaslas determinaciones. Cuando representamos grficamente las temperaturas T, T,...

3 Prcticas de Laboratorio de Fsica General; M. R. Ortega.Prctica 16.- Termmetro de gas a volumen constante.

16 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

en funcin de las correspondientes presiones p3, p3,... obtenemos una curva quepuede extrapolarse hasta que corte al eje de ordenadas, determinando la temperaturacorrespondiente para p3 0.

En la Figura 1.11 se presentan

Figura 1.11.- Determinacin de la temperatura deebullicin del agua con el termmetro de gas a

volumen constante.

varias curvas, obtenidas por el pro-cedimiento anteriormente descrito,para la determinacin de la tempera-tura de ebullicin normal del agua,utilizando diferentes gases. Estascurvas ponen de manifiesto la dis-crepancia entre las medidas de unamisma temperatura cuando usamosdiferentes gases a las presionesordinarias. Sin embargo, cuandoreducimos las cantidades de gasesutilizados, i.e., cuando la presin delos mismos decrece, las lecturas quenos proporcionan los diferentestermmetros de gas a volumenconstante convergen a un valor

comn. Por consiguiente, podemos afirmar que

el valor extrapolado de la temperatura para p3 0 es independiente de lanaturaleza del gas que utilicemos como sustancia termomtrica.

Si el gas empleado cumpliese exactamente las condiciones del gas perfecto, seobtendra una recta horizontal que pasara por el mismo punto comn. En general,la temperatura del sistema en equilibrio trmico con el termmetro de gas vendrdada por

[1.16]T 273.16 lmp30

pp3 V

En particular, para el punto de ebullicin del agua tenemos una temperatura absolutaT=373.15 K.

Como vemos, la escala de temperaturas as definida no depende de la eleccinde la sustancia termomtrica, siempre que extrapolemos a presiones nulas; i.e.,cuando no hay gas, por lo que el termmetro de gas ideal no contiene gas, de modoque se trata de una entelequia. No obstante, el termmetro de gas, con muy poco gas,se comporta prcticamente como un termmetro ideal y por eso se emplea paracalibrar otros tipos de termmetros.

Antes de la adopcin del punto triple del agua como nico punto fijo, se determinaban lastemperaturas con una escala centgrada referida al termmetro de gas en el que se considerabancomo puntos fijos los correspondientes al punto del hielo y al de vapor de agua. A continuacinestudiaremos esta situacin.

Supongamos que una determinada cantidad de gas (v.g., aire) se introduce en el bulbo de untermmetro de gas a volumen constante; sean pv y ph las presiones absolutas del gas, indicadas porla diferencia de niveles alcanzadas por el lquido manomtrico en ambas ramas, cuando el bulbo

1.7.- Termmetro de gas a volumen constante. Escala de temperaturas del gas ideal. 17

del termmetro se mantiene a la temperatura

Figura 1.12.- Calibrado del termmetro de gas avolumen constante con dos puntos fijos.

de ebullicin normal del agua y a la tempe-ratura de hielo fundente, respectivamente.Repitamos la experiencia utilizando cada vezuna cantidad menor de gas en el bulbo. Acontinuacin, representaremos los valores delos cocientes (pv/ph)V en funcin de la presinph. De este modo obtendremos una lneaprcticamente recta que, extrapolada parapresiones nulas (ph 0), corta al eje de orde-nadas en el punto 1.366 10, como se muestraen la Figura 1.12. As, tenemos

[1.17]lmph0

pv

ph V1.366 10 0.000 04

Si repitisemos las medidas en igualescircunstancias, pero empleando otros gases, se obtendran otras lneas rectas de distintasinclinaciones a la anterior, pero que presentaran la misma ordenada en el origen. Esto es, alextrapolar para ph 0 se obtiene siempre el mismo valor del cociente (pv/ph)V, con independenciade la naturaleza del gas utilizado; en estas condiciones, todos los termmetros de gas marcan igualen los mismos estados.

Para poder asignar un valor a la temperatura, se admite que

[1.18]TvTh

lmph0

pv

ph V1.366 10 T

vTh 100

de modo que, a partir de estas dos ecuaciones, se deduce

[1.19]Th 273.15 K Tv 373.15 K

La temperatura de cualquier otro sistema se determinar con el termmetro de gas por mediode la presin (p) indicada por el manmetro y utilizando la expresin

[1.20]T 273.15 lmph0

pph V

Al igual que antes, la extrapolacin para ph 0 sera innecesaria si pudiese utilizarse un gasideal, ya que entonces el cociente (p/ph)V exhibira un valor constante.

Aunque la escala de temperaturas del gas ideal es independiente de laspropiedades de cualquier gas particular, si que depende de las propiedades generalesde los gases. Para medir temperaturas muy bajas es preciso la utilizacin de un gasque no se licue a esas temperaturas. La temperatura ms baja que se puede medir conun termmetro de gas es de aproximadamente 1 K, utilizando helio a muy bajapresin. La temperatura de 0 K queda sin definir por ahora.

En un tema posterior se describir la escala termodinmica, absoluta o Kelvin, que ya ha sidomencionada anteriormente que, como se ver, es independiente de las propiedades de cualquiersustancia en particular. Puede demostrarse que, en el intervalo de temperaturas en que sonutilizables los termmetros de gases, la escala del gas ideal y la de Kelvin coinciden. Anticipndo-nos a este resultado, hemos empleado el smbolo K (kelvin) detrs del nmero que expresa latemperatura medida con un termmetro de gas. Hasta que no definamos la escala absoluta o deKelvin, la expresin "cero absoluto de temperaturas" carecer de significado.

18 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

1.8. Las escalas Celsius, Fahrenheit y Rankine.- La escala Celsius4, queya se ha mencionado anteriormente, posee una magnitud de grado que discrepaligeramente del grado de la escala de los gases perfectos. Con el fin de eliminar estadiferencia, se redefine la escala Celsius de modo que la temperatura del punto tripledel agua sea 0.01 C; as, la relacin existente5 entre ambas escalas es

[1.21]tC T 273.15

donde tC expresa la temperatura Celsius.

La escala Fahrenheit6, de uso corriente en los pases anglosajones (excepto en Inglaterra,

Figura 1.13.- Anders CELSIUS(1701-1744).

Figura 1.14.- Comparacin de las escalas termomtricasinternacionales y anglosajonas.

desde 1964), tambin ha sido definida anteriormente. De la comparacin de las ec. [1.4] y [1.5],designando por tF la temperatura Fahrenheit, se infiere la siguiente relacin entre las temperaturasCelsius y Fahrenheit:

[1.22]tC5

tF 329

En los pases anglosajones se utiliza una escala absoluta, llamada escala Rankine, que asignaal punto triple del agua un valor de 491.69 R (grados Rankine); al punto de hielo fundente lecorresponden 491.67 R. La relacin entre las escalas absolutas de Kelvin y de Rankine se obtiene

4 Anders CELSIUS (1701-1744); astrnomo sueco. Fue el primero que propuso el termmetrocentgrado. Fue profesor de astronoma en la Universidad de Uppsala (Suecia), construy elObservatorio de esta ciudad y fue director del mismo. Form parte de la expedicin francesa de1737 encargada de medir un grado de latitud en las regiones polares.

5 Esta relacin puede ser obtenida directamente de la escala de los gases perfectos con dospuntos fijos, sin ms que tener en cuenta la ec. [1.4] con x=p y tomar lmites en el numerador ydenominador cuando ph 0, habida cuenta de las expresiones [1.18] y [1.20].

6 Gabriel Daniel FAHRENHEIT (1686-1736); fsico alemn, nacido en Danzig (actualmenteGdansk, Polonia). En 1714 construy el primer termmetro con mercurio, en vez de alcohol, yconcibi la escala de temperaturas que lleva su nombre.

1.8.- Las escalas Celsius, Fahrenheit y Rankine. 19

a partir de la ec. [1.8]. En efecto, basta recordar que la temperatura del punto triple del agua es273.16 K para obtener la relacin:

[1.23]T(K)T(R)

273.16491.69

100180

59

1.9. Escala Prctica Internacional de Temperaturas.- La medida precisade un punto de fusin o de ebullicin con ayuda de un termmetro de gas requiereun laborioso y cuidado trabajo de laboratorio, as como de clculo matemtico. Estasmedidas slo son posibles en laboratorios especialmente equipados, donde se midencon una precisin continuamente mejorada las temperaturas correspondientes a ciertosestados de equilibrio reproducibles que constituyen los puntos fijos de una escala detemperaturas aceptada internacionalmente (E.P.I.T.). Esta escala de temperaturas sebasa en las especificaciones de los puntos fijos aludidos, as como en la calibracinde instrumentos estndar con dichos puntos fijos. En la Tabla 1.1 indicamos los puntosfijos de la E.P.I.T., en la versin del ao 1968.

La E.P.I.T. utiliza las temperaturas prcticas internacionales en kelvins (T68) y

Tabla 1.1.- Puntos fijos que definen la Escala Prctica Internacional de Temperaturas.(versin de 1968).

ESTADOS DE EQUILIBRIO T68 (K) t68 (C)

punto triple del hidrgeno 13.81 -259.34punto de ebullicin del hidrgeno (250 Torr) 17.042 -256.108punto de ebullicin del hidrgeno 20.28 -252.87punto de ebullicin del nen 27.102 -246.048punto triple del oxgeno 54.361 -218.789punto triple del argn 83.798 -189.352punto de ebullicin del oxgeno 90.188 -182.962punto triple del agua 273.16 0.01punto de ebullicin del agua 373.15 100.000punto de fusin del estao 505.1181 231.9681punto de fusin del zinc 692.73 419.58punto fusin de la plata 1235.08 961.93punto de fusin del oro 1337.58 1064.43

Excepto para los puntos triples y el punto 17.042 del hidrgeno, la presin es siempre de 1 atmsfera.

Celsius (t68), siendo la relacin entre ambas la misma que existe entre las temperatu-ras Kelvin y Celsius. Sus unidades son, asimismo, el kelvin (K) y el grado Celsius(C).

Al realizar una medida cualquiera de temperatura, hay que tener en cuenta queel termmetro que utilicemos mide temperaturas en su propia escala, por lo que elresultado depende de la naturaleza del termmetro, del diseo del mismo, as comode la escala termomtrica empleada. Por tanto, es necesario asegurarse de que la

20 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

discrepancia entre una escala emprica particular y la E.P.I.T. sea aceptable paranuestros propsitos. As, para cubrir un amplio intervalo de temperaturas puede sernecesario el empleo de varios termmetros, cada uno de ellos basado en una

Figura 1.15.- Intervalos de utilizacin de los diversos tipos de termmetros de uso ms frecuente.

propiedad termomtrica diferente. En la Figura 1.15 se muestra el intervalo aproximadode utilizacin de los distintos tipos de termmetros de uso ms frecuente.

Para la interpolacin de temperaturas en la E.P.I.T., se divide sta en tresintervalos. En cada uno de ellos se emplean ecuaciones de interpolacin de modo quesus resultados se ajusten lo mejor posible a las medidas del termmetro de gas. Lastemperaturas comprendidas en el intervalo de -59.34 C y 630.57 C se miden conlos termmetros de resistencia de platino de gran pureza; las frmulas de interpola-cin son diferentes segn se opere por encima o por debajo de 0 C. Para la medidade temperaturas comprendidas entre 630.75 C y 1064.43 C se emplean parestermoelctricos de platino/platino-rodio. Por encima de 1064.43 C, la temperaturase mide, a partir del espectro de la radiacin emitida por el cuerpo cuya temperaturase requiere, con ayuda de un dispositivo llamado pirmetro ptico.

1.10. Termmetros.- Adems del termmetro de gas, considerado con detalleanteriormente, en la prctica se utilizan otros tipos de termmetros; a continuacindescribiremos los de uso ms corriente.

1.10.a. Termmetros de lquidos.- La propiedad termomtrica que se utiliza en lostermmetros de lquidos es la variacin del volumen de un lquido encerrado en unrecipiente transparente constituido por un depsito comunicado con un tubo capilarde seccin uniforme. De esta manera, variaciones iguales del volumen produceniguales desplazamientos del nivel del lquido a lo largo del tubo.

Para el calibrado de estos termmetros en la escala Celsius, en el intervalo de0 C a 100 C, se procede tal como se apunt a raz de los comentarios acerca de lasexpresiones [1.2]-[1.4], correspondiendo la magnitud x a la longitud de la columna delquido dentro del tubo; xh y xv corresponden al punto del hielo y al de vapor de

1.10.- Termmetros. 21

agua, respectivamente. El grado Celsius viene representado, obviamente, por lacentsima parte de la longitud xv-xh. El cero de estos termmetros puede experimentarun corrimiento en el transcurso del tiempo, por lo que es preciso verificarlo de vezen cuando.

Como lquido termomtrico se emplea frecuentemente el mercurio, en virtud del

Tabla 1.2.- Algunas temperaturas representativas (K).

Reaccin termonuclear del carbono 5 108

Reaccin termonuclear del helio 108

Interior del Sol 107

Corona solar 106

Onda de choque en el aire (Mach 20) 2.5 104Nebulosa luminosas 104

Superficie solar 6 103

Fusin del wolframio 3.6 103

Fusin del plomo 6.0 102

Solidificacin del agua 2.7 102

Ebullicin del oxgeno (1 atm) 9.0 101Ebullicin del hidrgeno (1 atm) 2.0 101Ebullicin del 4He (1 atm) 4.2Ebullicin de 3He a muy bajas presiones 3.0 10-1Desmagnetizacin adiabtica de sales paramagnticas 10-3

Desmagnetizacin adiabtica de ncleos 10-6

alto valor que tiene su coeficiente de dilatacin. El intervalo de utilizacin de estostermmetros corresponde al intervalo de temperaturas en el que el mercurio seencuentra en el estado lquido; i.e., desde -39 C (punto de solidificacin) hasta360 C (punto de ebullicin). Introduciendo un gas inerte a presin en la parte vacadel capilar, que en estas condiciones deber ser de cuarzo, se pueden medirtemperaturas de hasta 700 C.

Cuando deseamos hacer medidas de precisin con estos termmetros, es precisoefectuar algunas correcciones: a) Correccin para tener en cuenta la dilatacin delrecinto termomtrico (depsito y tubo), que es del orden de la dcima de grado;b) correccin de la columna emergente, para tener en cuenta las diferentesdilataciones a lo largo de la columna, debido a la diferencia de temperaturas entre elsistema y el ambiente; esta correccin puede alcanzar valores entre 0.7 C y 0.8 C,por lo que es conveniente reducir en lo posible la longitud de la columna emergente;c) correccin de escala, debida a que las lecturas en el termmetro de mercuriodifieren ligeramente de las dadas por un termmetro de gas.

Cuando el lquido termomtrico es alcohol o tolueno, el margen de utilizacindel termmetro es de -120 C hasta 700 C; con termmetros de pentano se puedellegar a medir temperaturas de hasta -200 C.

Los llamados termmetros de mxima poseen un estrangulamiento en la

Figura 1.16.-Fundamento del

termmetroclnico.

parte del capilar prxima al depsito (Figura 1.16), de modo que, cuando la

22 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

temperatura aumenta, el obstculo es fcilmente superado por la dilatacin del mercurio; mientrasque, cuando disminuye la temperatura, la columna de mercurio, al contraerse, se rompe en elestrangulamiento, posibilitando la lectura de la temperatura mxima alcanzada. El termmetroclnico es un termmetro de este tipo, graduado en dcimas de grado entre 35 y 43 C, una decuyas caras es prismtica para facilitar la lectura.

El termmetro de mnima es un termmetro de alcohol provisto de un pequeo ndice metlico

Figura 1.17.- Termmetro de mxima ymnima.

ubicado en el interior del capilar, que es arrastrado por el menisco de alcohol cuando este secontrae, pero que no es empujado por aqul al dilatarse.El desplazamiento del ndice, para la puesta a punto, selleva a cabo por medio de un pequeo imn exterior.

El termmetro de mxima y mnima funciona de unmodo parecido. Este termmetro est constituido por uncapilar doblado (Figura 1.17), en el que la columna termo-mtrica, que es de alcohol, est cortada por otra demercurio en cuyos extremos se han colocado sendosndices metlicos que sealan los valores mximo ymnimo de la temperatura durante un determinadointervalo de tiempo.

1.10.b. Termmetros de resistencia.- En estostermmetros, la propiedad termomtrica es la resistencia elctrica de una determinadasustancia. Describiremos dos tipos de estos termmetros.

(i) RESISTENCIA DE PLATINO.- Estos termmetros estn basados en el hecho deque, en la mayor parte de los conductores, la resistividad elctrica vara con latemperatura de acuerdo con la expresin:

[1.24] 0 (1 t t 2 ...)donde t representa la temperatura Celsius, 0 es la resistividad a 0 C y , , ... sonconstantes caractersticas de cada sustancia. En particular, el coeficiente sedenomina coeficiente de resistividad con la temperatura; sus valores tpicos oscilanalrededor del valor del coeficiente de dilatacin de los gases perfectos (1/273.15 K-1).

Evidentemente, puesto que la resistencia de un conductor es proporcional a suresistividad, aqulla variar con la temperatura de la misma forma que sta; es decir

[1.25]R R0 (1 at bt 2 ...)donde R0 es la resistencia a 0 C.

En muchos conductores es un hecho experimental que R vara linealmente conla temperatura, por lo que se puede prescindir de los trminos de orden superior alprimero en la expresin [1.25]. Para otros muchos conductores, la variacin de laresistencia con la temperatura es de tipo cuadrtico, siendo necesario considerar hastalos trminos de segundo orden.

La utilizacin de una resistencia como termmetro requiere el calibrado previode la misma7; esto es, la determinacin de las constantes R0, a, b, ... Una vezconocidos los valores de estos parmetros, se puede determinar la temperatura t

7 Prcticas de Laboratorio de Fsica General; M. R. Ortega.Prctica 27.- Termmetro de resistencia.

1.10.- Termmetros. 23

mediante una medida de la resistencia R, utilizando la expresin [1.25]. En el intervalode temperaturas de 0 C a 630 C, la dependencia entre R y t suele ser de tipocuadrtico, de modo que los valores de los parmetros R0, a y b debern determinarsemidiendo las resistencias correspondientes a tres puntos fijos, tales como el puntotriple del agua, el punto de ebullicin del agua y el punto de fusin del estao. Paratemperaturas inferiores a 0 C es conveniente considerar hasta trminos de tercerorden.

El metal que se utiliza ms corrientemente en este tipo de termmetros es elplatino puro que, en forma de hilo muy fino, se arrolla sobre una armadura de micay se encierra en un tubo de plata de paredes delgadas, que le sirve de proteccin.Este tubo se introduce en el recinto en el que se desea medir la temperatura,determinndose sta midiendo la resistencia mediante un puente de Wheatstone8. Eltermmetro de resistencia de platino puede emplearse para la medida de temperaturasen un amplio intervalo (desde -250 C hasta 1000 C, aproximadamente). Paratemperaturas inferiores a unos 300 C, tambin pueden utilizarse resistencias denquel.

(ii) TERMISTOR.- Un termistor es un material semiconductor formado por mezclasespecialmente tratadas de arcilla y carbn, cuya resistencia elctrica es extraordina-riamente sensible a los cambios de temperatura, de modo que su utilizacin permiteapreciar cambios de temperatura de hasta 0.510-3C. La resistencia R de estassustancias vara con la temperatura de acuerdo con la expresin

[1.26]R A e (B/T)

donde T representa la temperatura en kelvins y A y B son constantes cuyos valoresdependen de las caractersticas del termistor, exhibiendo unos valores tpicos de0.05 y 800 K, respectivamente. El calibrado del termistor requiere la determinacinde los valores de los dos parmetros A y B, para lo que ser necesario medir laresistencia del termistor correspondiente a dos puntos fijos convenientementeelegidos. Una vez calibrado, podemos utilizar el termistor como un termmetro; elvalor de la temperatura T se obtendr midiendo con gran precisin la resistencia Ry utilizando la expresin [1.26].

El coeficiente de temperatura del termistor, que designaremos por , se define como

[1.27] 1R

dRdT

BT 2

y es siempre negativo (CTN), expresando la sensibilidad del termistor en la medida detemperaturas.

1.10.c. Termopares.- Los termopares9 tiene como fundamento un efecto termo-elctrico llamado efecto Seebeck. Consideremos una unin bimetlica ABA formada

8 Prcticas de Laboratorio de Fsica General; M. R. Ortega.Prctica 26.- Puente de Wheatstone.

9 Prcticas de Laboratorio de Fsica General; M. R. Ortega.Prctica 33.- Calibrado de un termopar.

24 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

por la unin (soldadura) de dos metales diferentes, A y B, cuyos extremos libres (M

Tabla 1.3. Metales y aleaciones de uso corriente en la preparacin de termopares.

TERMOPAR RANGO SENSIBILIDAD

platino / platino-rodio 10% 0 a 1700 C 6 a 12 V/Ccromel / alumel 0 a 1300 C 50 V/Ccromel / constantn 0 a 1400 C 80 V/C

hierro / constantn -100 a 800 C 35 a 60 V/Ccobre / constantn -200 a 400 C 20 a 60 V/Cplatino- rodio 10% /hierro-cromel 10%

1 a 500 K 15 V/K

y N) se mantienen a la temperatura ambiente (t0). Cuando las dos soldaduras seencuentran a temperaturas diferentes tR (temperatura de referencia) y t (temperaturavariable), siendo t>tR, aparece una f.e.m. entre los extremos libres del par termoelc-trico; dicha f.e.m. podr medirse con un voltmetro de alta resolucin y gran impe-dancia de entrada (de modo que la intensidad de corriente sea prcticamente nula),tal como se muestra en la Figura 1.18.

La f.e.m. generada en el par termoelctrico es

Figura 1.18.- Medida detemperaturas con un termopar.

funcin de la diferencia de temperaturas (t=t-tR)entre ambas soldaduras y de la naturaleza de losmetales empleados. En general, la f.e.m. varasegn una ley de la forma

[1.28]a bt c (t)2 ...que se reduce a

[1.29]a bt ct 2 ...

cuando la temperatura de la soldadura de referenciaes tR=0 C. Normalmente, la forma cuadrtica de la expresin anterior es suficientedentro de un amplio intervalo de temperaturas.

El poder termoelctrico de un termopar o coeficiente Seebeck se define como la variacin dela f.e.m. por unidad de variacin en la diferencia de temperaturas entre las dos soldaduras; i.e.,

[1.30]P ddt

b 2ct

Podra pensarse que en las uniones de los metales del termopar con los cables de conexin alvoltmetro y en los mismos bornes de ste deberan aparecer unas f.e.m. parsitas, dada la distintanaturaleza de estos metales. Sin embargo, debido a que la temperatura en todas estas uniones esla misma (temperatura ambiente), hay una compensacin entre todas estas f.e.m. parsitas, porrazones de simetra, de modo que las observaciones obedecen al tratamiento que les hemos dadoanteriormente.

Los metales y aleaciones de uso corriente en la preparacin de termopares, as

1.10.- Termmetros. 25

como sus caractersticas ms importantes, se indican en la Tabla 1.3. Cuando la f.e.m.es insuficiente, se recurre al montaje de varios termopares en serie; de ese modo,utilizando un nmero suficientemente grande de soldaduras (v.g., 100) se llegan amedir diferencias de temperaturas del orden de 10-5C.

1.10.d. Pirmetros pticos.- Para medir temperaturas superiores a las correspon-

Figura 1.19.- Pirmetro ptico.

dientes a los intervalos de utilizacin de los termopares y de los termmetros deresistencia, se emplean los pirmetros pticos. Estos dispositivos utilizan comopropiedad termomtrica la radiacin visible que emiten los cuerpos que se encuentrana temperaturas muy elevadas.

En esencia, el fundamento de la utiliza-cin de los pirmetros pticos consiste enla igualacin del brillo del filamento (F)incandescente de una lmpara con el delobjeto incandescente (O) cuya temperaturase quiere medir y que acta como fondo(Figura 1.19). La observacin se realiza atravs de un conjunto de lentes (L1 y L2) yde filtros (f). El brillo del filamento de lalmpara se controla con ayuda de un reos-tato (R) que regula la intensidad suministrada por la fuente de alimentacin. Unampermetro nos indicar la intensidad de la corriente a travs del filamento, de talmodo que, si ste se ha calibrado previamente con temperaturas conocidas, se podrleer directamente en su escala la temperatura que se desea conocer.

Estos termmetros son los nicos que son capaces de medir temperaturas superio-res a 1800 C, dado que no requieren estar en contacto con el cuerpo caliente, y sonlos nicos utilizables para la medida de las temperaturas elevadas de cuerposinaccesibles, tales como las estrellas.

1.10.e. Mtodos espectroscpicos. Ensanchamiento de Doppler.- Como veremosms adelante (10.4), la temperatura es una medida de la energa cintica de lostomos o molculas de un cuerpo; cuanto mayor es la energa cintica, mayor es latemperatura.

Las colisiones entre los tomos favorece la excitacin de stos a estados ener-

Figura 1.20.- Ensanchamiento Doppler de laradiacin emitida por los tomos.

gticos ms elevados (estados excitados),ms o menos inestables. La desexcitacinde dichos tomos, que regresan a su estadoenergtico fundamental, se produce median-te la emisin de radiacin electromagntica,con una distribucin discreta de longitudesde onda (espectro de emisin), caractersticade la sustancia que lo emite, correspon-dientes a las transiciones radiativas entre losdiversos niveles energticos.

Cuando observamos la radiacin elec-tromagntica emitida por un tomo enmovimiento, la longitud de onda observada

26 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

depende de su velocidad en la direccin de la observacin (efecto Doppler). As,cuando un tomo se mueve hacia el observador, se recibe una longitud de ondamenor que cuando el tomo est en reposo; por el contrario, cuando el tomo se alejadel observador, la longitud de onda recibida es mayor.

Los tomos o molculas de un gas incandescente tienen sus velocidades distri-buidas segn la ley de Maxwell (10.3) y se mueven en todas direcciones. En conse-cuencia, el espectro de emisin presenta un ensanchamiento en las lneas o bandasespectrales (Figura 1.20), tanto mayor cuanto ms alta sea la temperatura del gas, loque posibilita la medida de sta.

El ensanchamiento de Doppler se utiliza para la medida de temperaturas de gasesincandescentes y de plasmas y en la estimacin de las temperaturas estelares.

1.11. Ecuacin trmica de estado. Coeficientes trmicos.- El PrincipioCero de la Termodinmica nos ha puesto de manifiesto que los parmetros externosno son suficientes para especificar el estado de un sistema, siendo necesario elconcurso de un parmetro interno al que hemos llamado temperatura. Por tanto,cualquier otro parmetro interno ser funcin de los parmetros externos y de latemperatura; as, para un sistema genrico escribiremos

[1.31]Yi Yi (X1, X2, ... Xn, T)donde Xj representa los parmetros externos independientes, en tanto que Yirepresenta un parmetro interno cualquiera. Las ecuaciones [1.31] reciben el nombrede ecuaciones trmicas de estado del sistema.

Para un sistema simple, que posee solamente dos grados de libertad, podemostomar como uno de stos la temperatura y como el otro el parmetro externo X queexpresa el acoplamiento del sistema con sus alrededores; entonces, cualquier otroparmetro interno Y vendr dado por una ecuacin del tipo

[1.32]Y Y(X,T)As, por ejemplo, si se trata de un gas confinado, sometido a una presin p, utilizamos el

volumen V ocupado por el mismo como parmetro externo, y la ecuacin trmica de estado [1.32]ser de la forma

[1.33]p p(V,T)Si consideramos un hilo sometido a una traccin , el parmetro externo que expresa el aco-

plamiento del sistema con su entorno es la longitud l del hilo, y la ecuacin trmica de estado es

[1.34] (l,T)Si se trata de una lmina lquida, escribimos

[1.35] (S,T)siendo la tensin superficial y S el rea de la lmina.

Cuando en un sistema termodinmico se altera alguna de las variables que sirvenpara especificar su estado, esa variacin afecta, en general, a las dems variables deestado. As, para un proceso elemental que tenga su asiento en un sistema simple

1.11.- Ecuacin trmica de estado. Coeficientes trmicos. 27

gobernado por la ec. [1.32], se sigue que si X experimenta una variacin dX y T unavariacin dT, la variable Y experimentar un cambio dY, dado por

]]]dY

YX T

dX

YT X

dT

Naturalmente, pueden escribirse ecuaciones similares para X y T, considerandorespectivamente a (Y,T) y (X,T) como variables independientes.

As pues, podemos hablar de las velocidades de cambio de unas variablesrespecto de las otras, que se expresan mediante los llamados coeficientes trmicos delsistema.

Para el caso de un sistema gobernado por las variables (p,V,T), estos coeficientestrmicos se definen del modo siguiente.

Coeficiente de dilatacin trmica, de dilatacin isobrica o,simplemente, de dilatacin, que se define como la razn entre elincremento unitario del volumen y el incremento de la temperatura,en tanto que permanece constante la presin.

Se suele representar por la letra y su definicin se traduce en la expresin

[1.37] 1V

VT p

1

T p

siendo la densidad. Este coeficiente se mide en C-1 o K-1. Es poco sensible a loscambios de presin, pero vara acusadamente con la temperatura, disminuyendo consta de tal forma que 0 cuando T 0 K. Su valor para los slidos es del ordende 10-5 K-1, para los lquidos es del orden de 10-4 K-1 y para los gases 10-3 K-1.

Coeficiente piezotrmico, que se define como el cociente entre elincremento unitario de la presin y el incremento de la temperatura,permaneciendo constante el volumen.

Se representa por la letra y se expresa por

[1.38] 1p

pT V

Este coeficiente se mide en C-1 o K-1. En la prctica, este coeficiente es pocoutilizado, ya que es ms fcil la determinacin experimental de las variaciones devolumen, bien sea con la temperatura o con la presin, que las variaciones de presincon las dems variables termodinmicas.

Coeficiente de compresibilidad isotermo, que se define como larazn, cambiada de signo, del incremento unitario del volumen y elincremento de la presin, cuando permanece constante la temperatu-ra.

Se representa por la letra y su expresin es

28 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

[1.39]T1V

Vp T

1

p T

Se incluye el signo negativo con la finalidad de que T sea un nmero positivo,ya que, en general, un incremento de presin va acompaado de una disminucin devolumen. Las dimensiones de este coeficiente corresponden a la inversa de unapresin. Al igual que , vara con la temperatura y con la presin, aunque en el casode slidos y lquidos esta variacin es muy pequea, de modo que suele considerr-sele constante, con un valor igual al valor medio en el intervalo de temperaturas yde presiones que se considere. Su valor es del orden de 10-7 atm-1.

Si particularizamos la ec. [1.36] para un sistema (p,V,T) e involucramos loscoeficientes trmicos, tendremos

[1.40]dp

pV T

dV

pT V

dT 1VT

dV p dT

[1.41]dV

Vp T

dp

VT p

dT TV dp V dT

[1.42]dT

TV p

dV

Tp V

dp 1V

dV 1p dp

A veces conviene considerar el mdulo de compresibilidad del sistema, quedesignaremos por K, definido mediante la expresin

[1.43]K V dpdV

y, que de acuerdo con la ec. [1.41], puede expresarse como

[1.44]K1

T dTdp

En los slidos y en los lquidos, los cambios de presin producen cambiosdespreciables en la temperatura, i.e., (dT/dp)0, de modo que puede considerarseK1/T, por lo que el mdulo de compresibilidad es prcticamente igual al valorinverso del coeficiente de compresibilidad; no es as para los gases.

Entre los valores de los coeficientes , y T existe una relacin sencilla (videApndice A); sta es

[1.45]

VT p

Vp T

pT V

de donde se obtiene inmediatamente

[1.46] T p

1.11.- Ecuacin trmica de estado. Coeficientes trmicos. 29

Ejemplo I.- Determinar el cambio de temperatura experimentado por un fluido cuando su volumenaumenta desde V1 a V2 y la presin vara de p1 a p2. Supngase que en los intervalos consideradospermanecen constantes los coeficientes trmicos y T.

Teniendo en cuenta la expr. [1.46], la expr. [1.42] se transforma en

[1.47]dT dV V

T

dp

Integrando esta ecuacin entre los lmites establecidos en el enunciado, y teniendo en cuenta laconstancia de y de T, se sigue

[1.48][1.48] T 1

lnV2V1

T

(p2 p1)

Ejemplo II.- El coeficiente de dilatacin lineal de un hilo elstico se define como

[1.49] 1l

lT

siendo l la longitud del hilo y la tensin a la que est sometido. Por otra parte, el mdulo deYoung (E) viene dado por

[1.50]E lS

l T

donde S es la seccin recta del hilo. a) Expresar la variacin de longitud dl que experimentar elhilo para unas variaciones dT y d en la temperatura y en la tensin, en funcin de los coeficientes e E. b) Experimentalmente se comprueba que

[1.51]E 2 l2

S(l 2 l 20)

l 20 l 2

2 l 2T

donde l0 es una constante. Por integracin de la ecuacin obtenida anteriormente, deducir laecuacin trmica de estado del hilo. Se supondr que la seccin del hilo (S) permanece constante.

a) La ecuacin trmica de estado para este sistema es de la forma l=l(,T), que diferenciadanos conduce a

[1.52]dl

l T

d

lT

dT lSE

d l dT

donde se ha tenido en cuenta las definiciones dadas para e E.b) Sustituyendo en la ecuacin anterior las expresiones experimentales de los coeficientes

e E, se obtiene

[1.53]dll 2 l 202 l

dl 20 l 2

2 lTdT

de modo que, separando variables, queda la expresin

30 lec. 1.- Conceptos previos. Temperatura y dilatacin.

[1.54]2 l dll 2 l 20

d

dTT

que nos conduce, por integracin, a

[1.55]ln C (l 2 l 20) ln ln T

siendo C una constante de integracin. Tomando antilogaritmos, se obtiene finalmente

[1.56] C T (l 2 l 20)

que es la ecuacin trmica de estado pedida.

1.12. Dilatacin de slidos.- Salvo pocas excepciones, el volumen de loscuerpos aumenta al elevarse su temperatura, si permanece constante la presinejercida sobre ellos.

A nivel microscpico, la dilatacin trmica de los slidos sugiere un aumento en

Figura 1.21.- Energa potencial asociada a dostomos adyacentes en un slido.

la separacin media entre sus tomos y molculas constituyentes. La energapotencial asociada a dos tomos adyacentes, expresada en funcin de su separacinmutua, viene representada grficamente por una curva asimtrica, como la que semuestra en la Figura 1.21, en la que los segmentos horizontales, correspondientes adiferentes temperaturas del slido, indican los posibles valores de la separacin entredos tomos adyacentes. Para una energa de vibracin dada, i.e., para una temperaturade referencia (T0) dada, la separacin entre los tomos cambiar peridicamente entreunos valores mnimo y mximo y, en virtud de la asimetra de la curva de energa

potencial, la separacin media entre lostomos (r0) ser mayor que la correspon-diente al equilibrio (req). La amplitud deestas vibraciones es del orden de 10-9 m ysu frecuencia es del orden de 1013 Hz. Parauna energa de vibracin mayor, i.e., parauna temperatura superior (T), la separacinmedia entre los tomos (r) ser todava msgrande, lo que implica la dilatacin delslido a escala macroscpica. Si la curvaEp(r) de la Figura 1.21 fuese simtrica, laseparacin media entre los tomos seraigual a la correspondiente al equilibrio,cualquiera que fuese la amplitud de lasvibraciones de los tomos. Por consiguiente,

la dilatacin trmica es una consecuencia de la asimetra de la curvade energa potencial caracterstica del estado slido.

Podemos reescribir la expresin [1.37] para el coeficiente de dilatacin isobricaen la forma

1.12.- Dilatacin de slidos. 31

[1.57] 1V

dVdT

dVV

dT

en la que ya est implcita la condicin p=cte. Procedemos a la integracin de estaecuacin diferencial, en el intervalo (T0,T), para obtener

[1.58]ln VV0

(T T0) V V0 e (T T0)

que expresa el volumen del slido en funcin de la temperatura a la que se encuentra,cuando permanece constante la presin ejercida sobre el mismo.

En muchos casos de inters prctico, resulta suficiente utilizar unas expresionesaproximadas ms simples que las [1.57] y [1.58]. Ello es posible con tal que secumplan las condiciones siguientes: a) que el proceso sea isobrico, b) que elcoeficiente de dilatacin sea muy pequeo y permanezca prcticamente constante yc) que la variacin de volumen sea suficientemente pequea. En estas condiciones,los cambios infinitesimales dV y dT que aparecen en la expresin [1.57] puedensustituirse por los incrementos finitos V y T; i.e.,

[1.59] 1V0

VT

V V0 T V V0 (1 T)

con T=T-T0, siendo V0 y T0 el volumen y la temperatura iniciales o de referencia yV el volumen correspondiente a una temperatura genrica T. Dada la igualdad de losintervalos de temperatura en las escales de Kelvin y de Celsius, podemos sustituir Tpor t en las expresiones anteriores. Adems, si tomamos como temperatura inicialo de referencia la de 0C, ser t=t-0=t, y las expresiones anteriores puedenescribirse en funcin de la temperatura Celsius, t, del modo siguiente:

[1.60] 1V0

Vt

V V0 t V V0 (1 t)

Podemos escribir las expresiones anteriores en trminos de densidades; v.g.,

[1.61]0

1 T

Uno de los metales ms dilatables es el aluminio (=7510-6K-1, en tanto que el platino es unmetal muy poco dilatable (=2710-6K-1). El vidrio y el platino tienen aproximadamente el mismocoeficiente de dilatacin; por esta razn pueden hacerse buenas soldaduras entre ambos. El cuarzoy el vidrio Pirex tienen valores an ms bajos 1.510-6 y 910-6K-1, respectivamente; por eso, losrecipientes fabricados con estas sustancias no se rompen al ser sometidos a cambios bruscos detemperatura.

El cambio en las dim