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axial force element: force-displacement relationships
Force -displacement relationships for the complete framework
element will be
developed in section 4.5. First, however, the simple axial force
element (also
called the truss element) will be used for further demonstration
of concepts
and denitions.
Force-displacements are most commonl! written in either of two
forms:
sti"ness e#uatuions or $exibilit! e#uations.
axial elemento de fuer%a: las relaciones de
fuer%a-despla%amiento
Fuer%a relaciones -&espla%amiento para el elemento de marco
completo se
desarrollar'n en el apartado 4.5. n primer luar, sin embaro, el
elemento de
fuer%a axial sencilla (tambi*n llamado el elemento de armadura)
+e reali%ar'
una demostracin m's de los conceptos ! deniciones.
Fuer%a despla%amientos se escriben m's comnmente en cual#uiera
de dosformas: e#uatuions de riide% o ecuaciones de $exibilidad.
.4./ lement +ti"ness #uations
lement sti"ness e#uations are linear alebraic e#uations of the
form
0he matrix 1k2 is the element sti"ness matrix, and 3F and
3delta are element
force and displacement vector. n individual term of the 1k2
matrix, ki6, is an
element sti"ness coe"cient. 7f a displacement delta6 of unit
value is imposed
and all other deree of freedom are held xed aainst movement
..... the force
Fi is e#ual in value to ki6. 0he sprin constant of elementar!
mechanics is a
sti"ness coe8cient.
9onsider a simple truss member directed alon a local axis x and
havin a
know .... area , and oun;s modulus (Fiure .
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un elemento de riide% coe"cient. +i un delta6 despla%amiento de
valor unitario
se impone ! todos los dem's rado de libertad se mantiene 6a
contra el
movimiento ..... la fuer%a Fi es iual en valor a @i6. >a
constante de resorte de la
mec'nica elemental es un coeciente de riide%.
9onsidere un miembro de armadura simple diriido a lo laro de un
e6e x local
! #ue tiene un know .... 'rea , ! el mdulo de oun (Fiura .
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interpretacin se puede colocar en la seunda columna de la matri%
elemento
de riide% (v*ase la ura .
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when extracted, enable a more concise description of the element
sti"ness
properties (see dection 4.4).
0ena en cuenta #ue la ecuacin de e#uilibrio pertinente es
----, ! #ue esto
resulta en una suma cero de los t*rminos en cada columna de la
matri% de
riide%. >a matri% tambi*n es sim*trica. sto es una
consecuencia de la
necesaria reciprocidad de los despla%amientos, las le!es de los
cuales ser'n
discutidos en la seccin 4.E.
?n con6unto completo de ecuaciones de riide% de un elemento,
como por
e6emplo la ecuacin .E, se asocia a todas las fuer%as nodo de
punto ecaces
con todos los rados de libertad. atem'ticamente, la matri% de
riide% es
sinular. >a ra%n es #ue, fCsicamente, los rados de libertad
inclu!en t*rminos-
cuerpo-movimiento rCido. Aor e6emplo, en la denicin de la
primera columna
de esta matri% de riide%, el miembro fue restrinido en el nodo
mediante la
supresin del despla%amiento en el punto de 0G0 (ura .os
despla%amientos suprimidas asociadas con
tales condiciones de apo!o son un con6unto de despla%amientos
asociados con
el movimiento del cuerpo rCido. 0ales rados de libertad, cuando
se extrae,
permiten una descripcin m's concisa de las propiedades de
elemento de
riide% (ver dection 4.4).
.4. lement Flexibilit! #uations
lement $exibilit! e#uations express, for elements supported in a
stable
manner, the 6oint displacements, 3delta f1 , as a function of
the koint forces,
3Ff:
----
where 1d2 is the element $exibilit! matrix. n element $exibilit!
coe8cient, di6,
is the value of the displacement --- caused b! a unit value of
the forces F6. 0he
subcript -- on the force and displacement vectors refers to the
derees of
freedom that are free to displace. 7t is used to emphasi%e the
fact that -- thesevector exclude components related to the support
conditions, that is, that the
constrained derees of freedom are ansent from #uation .4.
Flexibilit! relationships can be writeen onl! for elements
supported in a stable
manner because riid bod! motion of undetermined manitude
would
otherwise result from application of applied forces. 0he! can be
applied in as
man! wa!s as there are stable and staticall! determinate support
conditions. 7n
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constrast to the sti"ness matrix of #uation ., the $exibilit!
matrix is not
uni#ue. 0he di"erence is that, in compilin the element sti"ness
matrix,
displacements are specifed (s!mbolicall!), and therefore riid
bod! motion
presents no problem of denition.
Flexibilit! relationships can also be derived for elements
supported in a
staticall! indeterminate manner but the! would not be fe eneral
use since,
with certain exceptions, the! could not be combined with other
elements in the
representation of a complex structure. (see section 4.4./)
.4. lemento Flexibilidad cuaciones
ecuaciones elemento de $exibilidad expresan, para los elementos
soportados
de una manera estable, los despla%amientos con6untos, delta 3f
1, en funcin
de las fuer%as koint, 3Ff:
----
donde 1d2 es la matri% elemento de $exibilidad. ?n coeciente de
$exibilidad
del elemento, di6, es el valor del despla%amiento --- causada
por un valor
unitario de la F6 fuer%as. l subcript - en los vectores de
fuer%a !
despla%amiento se reere a los rados de libertad #ue est'n libres
para
despla%ar. +e utili%a para enfati%ar el hecho de #ue - estos
vectores exclu!e
componentes relacionados con las condiciones de apo!o, es decir,
#ue los
rados de libertad restrinidos se ansent partir de la ecuacin
.4.
relaciones $exibilidad puede ser writeen slo para elementos
soportados de
una manera estable debido a movimiento del cuerpo rCido de
manitud
indeterminada, de otro modo resultar de la aplicacin de fuer%as
aplicadas.Aueden ser aplicados en todas las formas #ue existen
condiciones estables de
apo!o ! est'ticamente determinadas. n constrast a la matri% de
riide% de la
ecuacin ., la matri% de $exibilidad no es nica. >a diferencia
es #ue, en la
elaboracin de la matri% de riide% elemento, despla%amientos
est'n
especicadas en un (simblicamente), ! por lo tanto el movimiento
del cuerpo
rCido no presenta ninn problema de denicin.
relaciones de $exibilidad tambi*n se pueden derivar de los
elementos
compatibles de forma est'ticamente indeterminada, pero #ue no
serCa el uso
eneral Fe, !a #ue, con ciertas excepciones, no podCan ser
combinados con
otros elementos en la representacin de una estructura comple6a.
(ver seccin
4.4./)
For the axial force member, the $exibilit! relationships assume
the simple
forms associated either with a pinned support at node (ure .
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or a pinned support at node / (ure . FI=9
>D0-J>IK> +07FFD++ L?07ID+
Dormall! the simplest wa! to form the lobal sti"ness e#uations
for the
anal!sis of a structure is to start with element sti"ness
e#uations in convenient
local coordinates-relationships such as #uation .E- and then to
transform
them to lobal axes b! methods to be developed in section 5./.
athematical
transformations are not essential, however. lement sti"ness
e#uations in
arbitrar! coordinates-either local or lobal-can be developed
from basic
principles. 9onsider the axial force member in ure .M, wich is
identical to
the member in Fiure .
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