Lecture 3 : TEORI ANTRIAN - dinus.ac.· dapat dijabarkan dengan distribusi poisson. • Asumsi bahwa

Embed Size (px)

Text of Lecture 3 : TEORI ANTRIAN - dinus.ac.· dapat dijabarkan dengan distribusi poisson. • Asumsi bahwa

Lecture 3 : TEORI ANTRIAN (Queuing Theory)

Hanna Lestari, ST, M.Eng

pendahuluan

Analisis antrian pertama kali diperkenalkan oleh A.K. Erlang (1913).

Untuk mempelajari fluktuasi permintaan fasilitas telepon dan keterlambatan pelayanannya.

Saat ini analisis antrian banyak diterapkan pada bidang bisnis (bank, supermarket), industri pelayanan (mesin otomatis), transportasi (pelabuhan udara, pelabuhan laut, jasa-jasa pos) dan lain-lain.

Lanjutan

Analisis antrian memberikan informasi probabilitas yang dinamakan operation characteristics.

Operasi ini dapat membantu pengambil keputusan dalam merancang fasilitas pelayanan antrian untuk mengatasi permintaan pelayanan yang fluktuatif secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya menunggu.

4

Capacity problems are very common in industry and one of the main drivers of process redesign Need to balance the cost of increased capacity against the gains

of increased productivity and service

Queuing and waiting time analysis is particularly important in service systems Large costs of waiting and of lost sales due to waiting

Prototype Example ER at County Hospital Patients arrive by ambulance or by their own accord

One doctor is always on duty

More and more patients seeks help longer waiting times

Question: Should another MD position be instated?

Why is Queuing Analysis Important?

5

Process capacity

Cost

Cost of waiting

Cost of

service

Total

cost

A Cost/Capacity Tradeoff Model

Lanjutan

Kriteria evaluasi keputusan dari model ini adalah total expected cost.

Hubungan variable keputusan (tingkat pelayanan) dengan kriteria evaluasi ( total expected cost ) ditunjukkan pada gambar.

Terlihat bahwa total expected cost merupakan jumlah dari dua biaya yang berlainan yaitu: (1) biaya pelayanan

(2) biaya menunggu.

6

Lanjutan

tingkat pelayanan yang disarankan adalah yang menyebabkan total expected cost terendah.

Namun, ini tidak berarti analisis ini dapat menentukan biaya total terendah secara tepat sebab operating characteristic yang diperoleh hanya merupakan angka rata-rata dan sehingga tidak pasti.

Dengan demikian analisis antrian bukanlah suatu teknik optimisasi melainkan hanya penyedia informasi.

7

Jenis-Jenis Biaya

Biaya Pelayanan Suatu supermarket yang ingin menambah checkout counter perlu

membiayai seluruh perlengkapan counter tambahan dan menggaji pelayan baru. Ini berarti jika tingkat pelayanan diperbaiki, biaya pelayanan akan bertambah.

Biaya pelayanan dapat juga dilihat dari sisi pandang yang lain. Jika tingkat pelayanan bertambah, waktu menganggur pelayan diperkirakan juga bertambah, yang berarti suatu kenaikan dalam opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke kegiatan produktif yang lain.

Cara yang digunakan untuk menghitung biaya pelayanan dapat berbeda untuk kasus yang berbeda. Cara apapun yang dipakai seharusnya memberikan jumlah yang sama.

8

Jenis-Jenis Biaya

Biaya Menunggu Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat

pelayanan dan waktu menunggu. Namun terkadang sulit menyatakan secara ekspilit biaya menunggu per unit waktu.

Biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya turunnya produktivitas bagi pekerja. Ini berarti serupa dengan biaya pelayanan, dimana penentuannya dapat berbeda dari satu kasus ke kasus lain.

9

Formula Matematis

( C ) = total expected cost untuk tingkat pelayanan tertentu I = waktu nganggur pelayan yang diharapkan Ci = biaya nganggur pelayan per unit waktu W = waktu menunggu yang diharapkan untuk semua kedatangan Cw = biaya menunggu pengantri per unit waktu.

10

Minimumkan ( C ) = I Ci + W Cw

11

Commercial Queuing Systems Commercial organizations serving external customers

Ex. Dentist, bank, ATM, gas stations, plumber, garage

Transportation service systems Vehicles are customers or servers

Ex. Vehicles waiting at toll stations and traffic lights, trucks or ships waiting to be loaded, taxi cabs, fire engines, elevators, buses

Business-internal service systems Customers receiving service are internal to the organization providing

the service

Ex. Inspection stations, conveyor belts, computer support

Social service systems Ex. Judicial process, the ER at a hospital, waiting lists for organ

transplants or student dorm rooms

Examples of Real World Queuing Systems?

12

Components of a Basic Queuing Process

Calling Population

Queue Service

Mechanism

Input Source The Queuing System

Jobs

Arrival Process

Queue Configuration

Queue Discipline

Served Jobs

Service Process

leave the system

13

The calling population The population from which customers/jobs originate

The size can be finite or infinite (the latter is most common)

Can be homogeneous (only one type of customers/ jobs) or heterogeneous (several different kinds of customers/jobs)

The Arrival Process Determines how, when and where customer/jobs arrive

to the system

Important characteristic is the customers/jobs inter-arrival times

To correctly specify the arrival process requires data collection of interarrival times and statistical analysis.

Components of a Basic Queuing Process

14

The queue configuration Specifies the number of queues

Single or multiple lines to a number of service stations

Their location

Their effect on customer behavior

Balking and reneging

Their maximum size (# of jobs the queue can hold)

Distinction between infinite and finite capacity

Components of a Basic Queuing Process

15

Example Two Queue Configurations

Servers

Multiple Queues

Servers

Single Queue

Notes

Components of a Queuing System: A queuing system is characterised by three Components:

- Arrival process

- Service mechanism

- Queue discipline.

Components of a Queuing System

Arrival Process : Kedatangan Entitas

Service Mechanism : Jumlah Server yang tersedia

Queue Discipline : Aturan yang dibuat oleh server

Contoh : FIFO Customers are served on a first-in first-out basis.

LIFO - Customers are served in a last-in first-out manner.

Priority - Customers are served in order of their importance on the basis of their service requirements.

18

1. The service provided can be differentiated Ex. Supermarket express lanes

2. Labor specialization possible

3. Customer has more flexibility

4. Balking behavior may be deterred Several medium-length lines are

less intimidating than one very long line

1. Guarantees fairness

FIFO applied to all arrivals

2. No customer anxiety regarding choice of queue

3. Avoids cutting in problems

4. The most efficient set up for minimizing time in the queue

5. Jockeying (line switching) is avoided

Multiple v.s. Single Customer Queue Configuration

Multiple Line Advantages Single Line Advantages

Operating Characteristics

Ciri-ciri operasi antrian yang akan dipelajari adalah:

Pn = probabilitas (n) pengantri dalam sistem L = rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem Lq = rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian W = rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan) Po atau I = proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri)

lanjutan

Ciri-ciri operasi menjelaskan bekerjanya sistem dalam bentuk ukuran-ukuran :

misalnya rata-rata waktu menunggu, waktu nganggur pelayanan dan lain-lain.

Namun ukuran prestasi sistem sesungguhnya hanya input dalam suatu kerangka konsep yang lebih luas.

Struktur Dasar proses Antrian

Satu Saluran Satu tahap

Banyak Saluran Satu Tahap

Cont

Satu Saluran Banyak tahap

Banyak Saluran Banyak tahap

Asumsi Asumsi Teori Antrian

1. Distribusi Kedatangan 2. Distribusi Waktu Pelayanan 3. Disiplin Antri 4. Sistem Antri Steady State dan

Transient 5. Tingkat Kedatangan dan tingkat

pelayanan 6. Proses Kelahiran Murni dan

kematian murni 7. Model kelahiran Murni 8. Model kematian murni

Distribusi Kedatangan

Model antrian adalah model probabilistik (Stokastik)

Unsur-unsur tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random

Variabel random digambarkan dengan distribusi probabilitas. Baik kedatangan maupun waktu pelayanan dalam proses antrian.

1

Cont

Asumsi yang digunakan dalam distribusi kedatangan (banyaknya kedatangan per unit waktu) adalah distribusi poisson.

RUMUS distribusi poisson :

Cont

Distribusi poisson adalah distribusi diskrit dengan rata-rata sama dengan varians.

Jika banyaknya kedatangan per satuan waktu mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata tingkat kedatangan ,

maka waktu antar kedatangan

(inter arrival time) akan mengikuti distribusi exponensial negatif dengan rata-rata 1/

Distribusi Waktu Pelayanan 2

Waktu Pelayanan dal