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Legalización y disolución de uniones consensúales: u n ejemplo del uso de modelos log-lineales para estimar modelos de riesgos en competencia

José Gómez de León*

El trabajo que presentamos aquí es principalmente metodológico y consiste en hacer una generalización de los llamados modelos de riesgos proporcionales a los casos en donde intervienen múltiples riesgos y cuando éstos operan en competencia. Como veremos, los modelos de riesgos proporcionales son una extensión de la metodología implícita en el cálculo de una tabla de mortalidad, en donde la función de riesgo de la tabla se hace depender de algunas variables (covariables) a modo de modelo de regresión. Huelga decir que la metodología de la tabla de vida ha sido desde su origen en el siglo XVII (Ha-lley, 1693) un instrumento esencial del cálculo y del análisis demográfico. El énfasis de este trabajo consiste en mostrar la utilidad de estos adelantos metodológicos, producidos más bien en el terreno de la bioestadística y de la ingeniería de sistemas, en el análisis de datos demográficos.

Introducción

L a mayor parte de los eventos de que se o c u p a la demografía p u e d e n ser vistos - y de h e c h o , es u n a dimensión que s i empre subyace e n e l análisis- c o m o riesgos o probab i l idades en competenc ia . E l caso que a m o d o i lustrat ivo h e m o s d e c i d i d o ana l i zar aquí, l a legalización de u n i o n e s consensúales, es u n b u e n e j e m p l o de esto: u n a unión c o n sensual puede t e r m i n a r c o m o tal , p r i m e r o , p o r a lguna f o r m a de legalización o, segundo, p o r a lguna f o r m a de separación. E n t r e las legal i zaciones podemos considerar las diversas combinac iones de formas de m a t r i m o n i o , y entre las separaciones debemos cons iderar l a v iudez o la disolución de la unión. Puesto que todas estas opciones son excluyen-tes se dice que están "en competencia" . Así, para estimar las probabi l idades de legalización (l ibres d e l efecto p e r t u r b a d o r que in t roduce , p o r e j e m p l o , l a v iudez ) es necesar io c o n s i d e r a r e l f e n ó m e n o c o m o expuesto a dos procesos de d e c r e m e n t o . O t r o s f enómenos demográfi cos, c o m o la m o r t a l i d a d vista p o r causas, s u p o n e n la acción de múltiples procesos ( independientes) de decremento .

* Coordinador nacional del Programa de Educación, Salud y Alimentación (Progresa) .

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586 ESTUDIOS DEMOGRÁFICOS Y URBANOS

A l análisis de riesgos e n competenc ia , los mode los de riesgos p r o porc iona les añaden u n a dimensión, l a de l a d e p e n d e n c i a de los r iesgos de otras variables que e n p r i n c i p i o " e x p l i c a n " las d i f erenc ias e n los n ive les de r iesgo . A n t e s de esta extensión ( la de los m o d e l o s de riesgos proporc iona les ) u n p r o c e d i m i e n t o c o m ú n p a r a estudiar di ferenc ia les de riesgos, consistía e n c a l c u l a r tablas de m o r t a l i d a d p a r a cada c ombinac i ón de los factores de r iesgo y luego c o m p a r a r las ta blas entre sí. Este p r o c e d i m i e n t o , p a r a p r o d u c i r resultados s igni f i cat i vos, requ iere de poblac iones m u y numerosas y es factible sólo p a r a u n n ú m e r o m u y l i m i t a d o de factores de r iesgo. L o s m o d e l o s de riesgos proporc i ona les están or ientados jus tamente a superar estas l i m i t a c i o nes y otras igua lmente restrictivas, c o m o es e l análisis de datos t r u n c a dos (censored data).

E l trabajo está organizado c o m o sigue. E n la p r i m e r a parte se descr ibe " L a naturaleza de los mode los de sobrevivencia" (o mode los de m o r t a l i d a d , si se qu iere ) , se d a n algunas def in ic iones , y se establece l a n o m e n c l a t u r a .

E n l a segunda y tercera secciones ( "Modelos de regresión" y " M o delos l og - l inea les p a r a datos categor ia les" ) se des c r ibe , respec t iva mente , l a f o r m a genera l de los mode los de regresión para e l análisis de riesgos s imples , y su representación y manipulación c o m o m o d e los log- l ineales . E n e l s iguiente apartado se i n t r o d u c e n los " M o d e l o s de riesgos e n c o m p e t e n c i a c o n covariables" . P o s t e r i o r m e n t e , se d a n a l g u n o s e l e m e n t o s p a r a l a est imación y l a interpretac ión de éstos ("Estimación y p r u e b a de hipótesis"). P o r último, se hace u n análisis, med iante los métodos propuestos, de los determinantes de l a " L e g a l i zación de un iones consensúales en México" .

La naturaleza de los modelos de sobrevivencia

Notación y definiciones de base

L a información básica para constru i r o estimar cua lqu ie r m o d e l o de sobrevivencia consiste en d i sponer de u n a serie de observaciones sobre e l tiempo (tiempo-duración) que tarda en o c u r r i r u n evento dado , c o m o p u e d e ser l a m u e r t e , c a m b i a r de r e s i d e n c i a , l a d iso luc ión de u n a unión, etc. Ese tiempo es en r e a l i d a d e l t i empo de sobrevivencia al evento e n cuestión dada u n a condic ión part i cu lar , la de n o haber suf r ido e l evento y estar expuesto a l riesgo de sufr ir lo .

LEGALIZACIÓN Y DISOLUCIÓN D E UNIONES CONSENSÚALES 587

E n e l caso típico, se r e q u i e r e n los datos de sobrevivencia de n i n d i v i d u o s ( i n d e p e n d i e n t e s ) observados d u r a n t e u n c i e r t o l apso de t i e m p o . C o n s i d e r e m o s a h o r a u n a var iab le a leator ia c o n t i n u a T que r e p r e s e n t a los t i e m p o s de sobrev ivenc ia de esos i n d i v i d u o s , q u e de ahora e n adelante vamos a cons iderar c o m o si hub iesen sido seleccionados a leator iamente de u n a población homogénea .

L a función de sobrevivencia p a r a cua lqu ier m o m e n t o t se def ine c omo l a p r o b a b i l i d a d de que T sea a l menos tan grande c o m o t, es decir ,

S ( t ) = P r ( T > t ) , t > 0 [1]

que i n d i c a l a p r o b a b i l i d a d de que u n i n d i v i d u o sobreviva hasta e l m o mento t.

L a p r o b a b i l i d a d de q u e u n i n d i v i d u o m u e r a (no s o b r e v i v a a l evento e n cuestión) e n e l intervalo de t i empo ( t , t + A t ) (no i m p o r t a cuan pequeño sea At) se def ine c o m o :

lím P r ( t < T < t + A t ) roí f ( t ) = L J

v ; A t - , 0 A t

que es l a función de dens idad probabi l i s t i ca (f.d.p.) de l a variable T . P o r ú l t imo , l a p r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a l de q u e u n i n d i v i d u o

m u e r a e n e l intervalo ( t , t + A t ) , dado que ya sobrevivió hasta e l m o m e n t o t, se def ine como :

h ( t ) r lím P r ( t < T < t + A t l T > t ) A t ^ O A t

f ( t )

~ S ( t ) [3]

que es l a función de riesgo, también l l a m a d a tasa instantánea de m o r ta l idad .

Las tres func iones f ( t ) , S ( t ) , y h ( t ) caracterizan de m o d o equ i valente a T , en términos de eventos, de sobrevivientes, y de p r o b a b i l i dades cond i c i ona les . A l g u n a s re lac iones matemáticas entre ellas son c o m o sigue:


h ( t ) = -d l o g S ( t ) [4]

dt

S ( t ) = e x p ( - J 0 h ( x ) d x ) , c o n S ( o ) = l [5]

f ( t ) = h ( t ) e x p - J o h ( x ) d x [6]

L a s e x p r e s i o n e s [1] a [6] se c u m p l e n también p a r a e l caso e n que T sea u n a variable a leator ia discreta , y que tome sólo los valores t ! , t 2 , . . . ( con 0< 12 , t 2<,.--)« E n este caso, l a función de riesgo se de -

E n e l resto de este trabajo , l a m o r t a l i d a d va a ser carac te r i zada p o r l a función de r iesgo h ( t ) e n e l sent ido de que las expres iones [5] y [6] nos p e r m i t e n der ivar las series de sobrevivientes y de decesos.

Modelos de mortalidad

E l mode lo paramétrico más sencillo de mortal idad es el h(t) = h , que especifica u n a tasa de mortal idad constante. A este modelo se le l lama exponencial pues impl i ca que f ( t ) = h exp ( - h t ) y S ( t ) = exp ( - ht ). Pese a su s i m p l i s m o , med iante algunas adaptaciones, este m o d e l o es e x t r e m a d a m e n t e útil e n demograf ía ; de h e c h o , e n l a construcc ión convenc i ona l de u n a tabla de m o r t a l i d a d se asume que h (t) = h k d o n de k son los intervalos de u n a función e x p o n e n c i a l escalonada de sobrevivencia ( C h i a n g , 1984).

O t r o s mode los paramétricos de m o r t a l i d a d se basan en m o d e l a r a l g u n a de las func iones [4] - [6] mediante d istr ibuc iones probabilísti-cas típicas, c o m o l a W e i b u l l , l a L o g - n o r m a l , la G a m m a , l a Logística, etc. P a r a e l caso que nos o c u p a n o es necesario revisar n i n g u n a de es

fine c o m o :

h ( t k ) = P r ( T = t k I T > t k )

f ( t k ) , k=l ,2 ( . . .

S ( t k )

= l - ( S ( t k + 1 ) / S ( t k ) )


tas d i s t r ibuc iones ; e l l ec tor interesado puede consul tar K a l b f l e i s c h y Prent i ce (1980).

N u e s t r o interés se r e s t r i n g e también a m o d e l o s paramétr i cos pues queremos prec isamente caracterizar (mediante di ferentes va lo res e n los parámetros) l a sobrevivencia de pob lac iones heterogéneas. L o s e n f o q u e s n o paramétr icos más c o m u n e s , c o m o l a es t imac ión "producto - l ímite" de l a func i ón de s o b r e v i v e n c i a ( K a p l a n y M e i e r , 1958) s u p o n e n u n a población homogénea .

Modelos de regresión

L o s m o d e l o s de regresión son candidatos naturales p a r a est imar los "efectos" que t i e n e n sobre l a m o r t a l i d a d diversos factores de r iesgo. E n efecto, supongamos que p a r a cada i n d i v i d u o j , además d e l t i e m p o de sobrev ivenc ia , se t iene también información sobre p covar ia -bles Z j = ( z 1 j , . . . , z p j ) . E n este caso, u n m o d e l o en d o n d e los riesgos h ( t ) d e p e n d a n de las covariabíes z p u e d e f o rmularse c o m o ( G l a -sser, 1967):

h ( t , z ) = h e x p ( z B ) [7]

que n o es más que u n análogo d e l m o d e l o e x p o n e n c i a l antes descri to, d o n d e B es u n vector de coeficientes de regresión.

E n palabras, e l m o d e l o [7] especif ica que e l l ogar i tmo de la f u n ción de riesgo es u n a función l i n e a l de las covariabíes Z , es dec i r , e l m o d e l o [7] es u n m o d e l o log- l ineal .

U n m o d e l o más genera l que [7] (del que [7] es u n caso par t i cu lar) es e l propuesto p o r C o x (1972):

h ( t , z ) = h G ( t ) e x p ( z B ) [8]

d o n d e h Q ( t ) es u n a función de base (arbitraria) caracterizada cuando z = 0 o B = 0.

G r a n parte de la flexibilidad (y la uti l idad) de l mode lo [8] reside en c ó m o especif icar l a función h 0 ( t ) . Más adelante tocaremos de nue vo este p u n t o . P o r l o p r o n t o , podemos notar que l a función de riesgo h ( t ) es p r o p o r c i o n a l a l a función de riesgo de base h 0 ( t ) , de ahí que a l m o d e l o [8] se le l lame de riesgos proporcionales. Así, la razón de


las func iones de riesgo de dos ind iv iduos c o n covariables z x y z 2 es i n d e p e n d i e n t e d e l t iempo-duración t y p o r l o tanto es u n a constante . E n la notación de [8] tenemos que:

h ( t ' - l ) - e x p [ B ( z r z 2 ) ] = V [9] h ( t , z 2 )

d o n d e \|/ es e l riesgo relativo de m o r i r para u n i n d i v i d u o c o n covaria-bles z x c o m p a r a d o c o n u n i n d i v i d u o c o n covariables z 2 ( M e n k e n et al, 1981; S c h l e s s e l m a n , 1982) . Es obv io e n l a expres ión [8] que e l riesgo relativo \|/ depende sólo de los factores de riesgo e n los que d i fieren los dos ind iv iduos .

E n p r i n c i p i o , l a función h o ( t ) puede ser mode lada p o r cualquier distribución paramétrica que convenga. S i n embargo, para emparentar e l m o d e l o [8] c o n el m o d e l o clásico de l a tabla de m o r t a l i d a d (al menos, tal c o m o se les usa comúnmente e n demografía) es conveniente def in ir a h o ( t ) c o m o u n a función escalonada de la forma:

h o ( t ) = h k ; t k < t < t k + W k

d o n d e k = 1, 2,... , K se refiere a los intervalos I k = ( t k , t k + w ^) (cada u n o de duración w k ) que p a r t i c i o n a n a t. E l m o d e l o de sobrevivencia que resulta es entonces:

exp (z B ) S ( t k l z ) = S o ( t k ) [10]

d o n d e S ( t k I z) exp l i c i ta que l a función de sobrevivencia es escalonad a y depende de z , y d o n d e So ( t k ) es l a función de sobrevivencia de base.

Las dos incógnitas d e l m o d e l o [8] (o d e l m o d e l o [10]) que re q u i e r e n ser est imada son: los parámetros de regresión B , y l a función de riesgo h o ( t ) . U n enfoque para estimar estas incógnitas es e l p ro puesto p o r C o x (1975) . E n lugar de m a x i m i z a r l a función de veros i m i l i t u d de [8] simultáneamente c o n respecto a B y a h o ( t ) ( como se haría e n u n p r o b l e m a convenc iona l de estimación mediante máximo de v e r o s i m i l i t u d ) , C o x p r o p o n e es t imar p r i m e r o B ( m a x i m i z a n d o u n a función de v e r o s i m i l i t u d " p a r c i a l " , que n o d e p e n d e de h o ( t ) ) p a r a después est imar h o ( t ) a par t i r de B . Bajo este enfoque, que es

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e l que seguimos aquí y se detal la u n poco más adelante, l a estimación de los parámetros B trae c o m o s u b p r o d u c t o l a estimación de l a f u n ción de base h o ( t ) , es dec i r , de l a tabla de m o r t a l i d a d s in distinción de factores de riesgo.

U n último p u n t o antes de dejar esta sección es e l s iguiente. Es obvio e n [8] que las covariables z n o d e p e n d e n de l a durac ión t; p o r el lo a esta formulación se le d e n o m i n a de riesgos proporc i ona les . E n caso de que e l efecto de algún (os) factor (es) de riesgo d e p e n d a de t, e l m o d e l o [8] puede ampl iarse c o m o sigue:

h [ t , z ( t ) ] = h o ( t ) e x p [ z ( t ) B ] [11]

c o n l o c u a l [11] de ja de ser u n m o d e l o de riesgos p r o p o r c i o n a l e s . C o x (1975) y K a l b f l e i s c h y P r e n t i c e (1980) m u e s t r a n q u e e l e n f o que de " v e r o s i m i l i t u d p a r c i a l " p r o p u e s t o p o r C o x (1972) p a r a esti m a r m o d e l o s de riesgos p r o p o r c i o n a l e s sigue s i endo válido p a r a est i m a r c a s o s c o m o e l d e l m o d e l o [ 1 1 ] , l o c u a l p e r m i t e p r o b a r d i r e c t a m e n t e sobre e l m o d e l o [8] (es d e c i r , s in r e q u e r i r p r o c e d i m i e n t o s de estimación d i ferentes ) si a l gunos factores de r iesgo sat is facen l a hipótesis de p r o p o r c i o n a l i d a d o n o .

Modelos log-lineales para datos categoriales

Bajo e l supuesto de que las covariables estén medidas categóricamente, e l m o d e l o [9] puede rescribirse c omo :

l o g h ( t k , z ) = l o g h k + ( z B ) ; t k < t < t k + W k [12]

que def ine , c o m o di j imos , u n m o d e l o log- l ineal (en las z).

E l m o d e l o [12] puede a su vez rescribirse, u t i l i zando la notación usua l p a r a m o d e l o s log- l ineales , c o m o B i s h o p et al (1975) y L a i r d y O l i v i e r , (1981):

l o g h ( t i o , z ) = l o g 0 i o i i i p .

. u + u 0 ( i o ) + u 1 ( i i ) + . . . + u p ( i p ) + ra

+ U 0 1 ( i o i 1 ) + -


+ u 0 1 . . . p ( i o i r . . i p )

d o n d e i 0 se refiere a los K intervalos de t i empo , e i j ( con j = 1,... , p) se ref iere a las categorías de cada u n a de l a p covariables. E l m o d e l o [13] está sujeto a las restr icc iones A N O V A habituales.

E n e l resto de esta sección, p a r a s i m p l i f i c a r l a notación, se hace caso o m i s o de los índices i e n e l e n t e n d i d o de que se c onoce e l núm e r o de categorías de cada var iable ( i n c l u i d a l a participación de t) . T a m b i é n p a r a s i m p l i f i c a r vamos a c o n s i d e r a r u n caso e n e l q u e l a " m o r t a l i d a d " se ve afectada sólo p o r dos factores de riesgo: 1 y 2.

L a notación de [13] es par t i cu larmente útil para f o r m u l a r m o d e los de d iversa c o m p l e j i d a d . E n e l caso de nues t ro e j e m p l o , a lgunos m o d e l o s de l n 0 ( cuya p e r t i n e n c i a habría q u e p r o b a r estadísticamente) p u e d e n ser los que s iguen:

[I] U m u+u0

[m] U + U o + U ! [N] U + U o + U i + U g [v] U + U o + U i + U g + U ^ [vi] U + U o + U ^ U g + U o i + U o g [va] U + U o + U i + U g + U o i + U o g + U ^ + U

d o n d e U es s i m p l e m e n t e u n a constante ; U 0 se re f iere a los valores que t o m a la función-base de riesgo (ho ( t ) e n cont inuo ) en los K i n tervalos de t i empo ; U j y U 2 se re f ieren a los efectos de las covariables 1 y 2 respect ivamente; y U 1 2 se ref iere al efecto " con junto " que ejercen las variables 1 y 2 sobre e l l ogar i tmo de 0 i Q i 1 i .

E l m o d e l o [I] sería s implemente u n m o d e l o de sobrevivencia exp o n e n c i a l en e l cua l n o hay covariables; si esta condic ión n o se satisface y se requ iere u n a función de riesgo escalonada, e l m o d e l o se convierte entonces en e l m o d e l o [II], E l resto de los m o d e l o s especi f ica di ferentes c o m b i n a c i o n e s de factores de riesgo. D e b e m o s n o t a r que los m o d e l o s [III] a [V] e spec i f i can riesgos p r o p o r c i o n a l e s , m i e n t r a s que los mode los [VI] y [VII] i m p l i c a n riesgos n o proporc ionales puesto que los factores de riesgo 1 y 2 "interactúan" c o n el t i empo (la variable i n d i c a d a c o n cero en nuestra notac ión) . A l m o d e l o [VII] se le den o m i n a saturado pues c o n t i e n e tantos parámetros c o m o e l n ú m e r o celdas i 0 x i 1 x i 2 que def inen los datos. E n la selección de u n mode lo se busca que éste r e p l i q u e l o más acertadamente posible l a i n f o r m a -


ción c o n t e n i d a e n los datos, u t i l i zando para e l lo e l m e n o r número de parámetros posible. Se busca pues que los modelos sean parsimónicos, sobre todo p o r q u e l a interpretación de m o d e l o s s imples es re lat iva mente sencil la. Así, si b i en los modelos saturados rep l i can exactamente los datos, desde e l p u n t o de vista estadístico n o son in format ivos pues lo h a c e n a l costo de ut i l i zar tantos parámetros c o m o datos ( r e d u c i e n do los grados de l iber tad a cero ) .

L a teoría de estimación estadística y de p r u e b a de hipótesis de mode los log-l ineales c o m o [13] se e n c u e n t r a descrita e n B i s h o p et al. (1975) , F i e n b e r g (1977) y H a b e r m a n (1978) , entre otros . A su vez, H o l f o r d (1980) y L a i r d y O l i v i e r (1981) m u e s t r a n c ó m o , c o n l a so la restricción de que las covariables se m o d e l e n c o m o variables catego-riales, e l m a r c o analítico y los p roced imientos convencionales de estimación de mode los log-l ineales p u e d e n aplicarse para anal i zar y m o d e l a r da tos de s o b r e v i v e n c i a . E l p u n t o c e n t r a l de sus r e s u l t a d o s consiste en p r o b a r que l a estimación vía máximo de v e r o s i m i l i t u d de los parámetros B en cua lqu ie r m o d e l o de sobrevivencia e x p o n e n c i a l o Po isson es equivalente a l a estimación, vía máximo de v e r o s i m i l i t u d , de mode los log- l ineales. E n par t i cu lar , L a i r d y O l i v i e r u t i l i z a n L O G L I N

( O l i v i e r y Nef f , 1976) u n paquete de c ó m p u t o basado e n e l a logari t -m o de ajuste i n t e r a c t i v o p r o p o r c i o n a l ( A I P ) , d iseñado p a r a e s t i m a r mode los log-l ineales ( D a r r o c h y Ratcli f f , 1972) pero que es fácilmente adaptable para estimar modelos de sobrevivencia c omo [13]. A i t k i n y C layton (1980), ut i l i zando resultados semejantes, describen e l uso de otro paquete de c ó m p u t o , G L I M (Baker y N e l d e r , 1978), p a r a est imar mode los de sobrevivencia basados en l a distribución e x p o n e n c i a l , en la W e i b u l l , y en la distribución de valores extremos. E n la sección "Est i mación y prueba de hipótesis" mostramos c ó m o L O G L I N puede util izarse también para estimar modelos de riesgos en competenc ia con covariables, u t i l i zando u n a extensión sugerida p o r L a i r d y Ol iv i er (1981).

Modelos de riesgos en competencia con covariables

Notación y definiciones

L a teoría de r iesgos de c o m p e t e n c i a se e n c u e n t r a e x c e l e n t e m e n t e descrita en textos c o m o C h i a n g (1968, 1980), B i r n b a u m (1978), y D a v i d y Moeschberger (1978). E n demografía, las apl icaciones más usuales se r e f i e r e n a l a construcción de tablas de decrementos múltiples


c o m o p u e d e n ser las tablas de m o r t a l i d a d p o r causas (Preston, Keyfitz y S h o e n , 1972) o b i e n las tablas de f enómenos "a l estado p u r o " , d o n de se corr ige e l efecto de f enómenos "per turbadores" (Pressat, 1969).

E n esta sección, e n lugar de cons iderar u n solo dec remento h ( t ) c o m o e n las secciones anteriores , vamos a suponer que los ind iv iduos bajo estudio están sujetos a J "causas de m u e r t e " de tal f o r m a que cada u n a def ine u n riesgo i n d e p e n d i e n t e h j ( t ) , c o n j = 1, 2,. . . , J .

L a teoría c o r respond iente a este caso está descr i ta e n K a l b f l e i s c h y P r e n t i c e ( 1 9 8 0 ) , P r e n t i c e et al ( 1 9 7 8 ) , H o l t ( 1 9 7 8 ) , L a w l e s s (1982), y L a r s o n (1983), entre otros. Aquí n o hacemos más que pre sentar los aspectos q u e c r e e m o s son más re levantes p a r a e l t i p o de aplicación que p r o p o n e m o s .

E n este caso s u p o n e m o s que p a r a cada i n d i v i d u o se d i s p o n e de u n a tríada de información (C, T , z ) , d o n d e T y z son, c o m o antes, e l t i empo de sobrevivencia t (que puede ser par t ido en K intervalos discretos) y u n v e c t o r de P c o v a r i a b l e s , y C se r e f i e r e a una causa de muerte , l a j , entre J causas posibles. A nuestras def in ic iones anteriores estamos añadiendo pues u n a dimensión más, la correspondiente a l a causa de muerte j . Así, las de f in ic iones [1], [2] y [3] resultan ahora :

S j ( t ) = P r ( T > t , C = j ) , t > 0

d S j ( t ) f j ( t ) = -

d t

[1']

[2']

h j ( t > K m P r ( t < T < t + A t ; C = j l T > t )

A t->0 A t

S ( t ) [3']

d o n d e h j ( t ) es l a función de riesgo específica para la causa j , e n presencia (competencia) de todas las demás causas.

L a nueva definición [3'] satisface l a relación j

h ( t ) = i h ¡ ( t )


de t a l f o r m a q u e S ( t ) r e t i e n e su sent ido o r i g i n a l , es dec i r , c o m o l a p r o b a b i l i d a d de sobrev iv i r , hasta e l m o m e n t o t, a las J causas d e m u e r t e :

S ( t ) = e x p [ - í o h ( u ) d u ]

Modelos discretos con covariables

A q u í s u p o n e m o s q u e : a) l a d i m e n s i ó n t i e m p o - d u r a c i ó n d e c a d a f u n c i ó n de r i e s g o h j ( t ) p u e d e p a r t i r s e e n K i n t e r v a l o s f i j os d e t i e m p o ( t k , t k + W k ) (de duración w k a rb i t rar ia ) ; y b) las covariables z están med idas categóricamente. C o n estos supuestos, e l m o d e l o d e riesgos proporc i ona les puede rescribirse c o m o :

h ( j , t k l z > h 0 ( j , t k ) e x p z B j [14]

e n d o n d e los c o m p o n e n t e s son básicamente los m i s m o s que i n t e r v i e n e n e n [8] y e n [10] , excepto que a h o r a tanto l a función de base n o ( j > *k) c o m o l ° s coeficientes de regresión B j se les permite var iar arb i t rar iamente según las J causas de muerte . Las ecuaciones de vero s i m i l i t u d de [14] así c ó m o diversos aspectos tocantes a l a estimación de los parámetros Z se e n c u e n t r a n descritos en Kalb f le i sch y Prent i ce (1980). L a r s o n (1983) muestra a su vez c ó m o , mediante ciertas adaptac i ones , los p r o c e d i m i e n t o s p a r a e s t i m a r m o d e l o s l o g - l i n e a l e s se pres tan p a r a es t imar m o d e l o s de l a f o r m a g e n e r a l de [14] . E n este trabajo hacemos uso de los resultados de estos autores s in entrar e n e l detalle de sus derivaciones.

La formulación log-lineal

Para s impl i f i car l a notación vamos a suponer que el vector z se r e d u ce a u n a sola covariable, Z ,con lo cua l las variables que se i n c l u y e n e n e l m o d e l o [14] resultan entonces: l a causa de muerte C ; e l t i empo de sobrevivencia T ; y u n a covariable Z. L o s índices de estas variables son , respect ivamente, j , k y 1. L a conf igurac ión tota l de los datos va a estar d a d a entonces p o r u n a tab la de J x K x L d i m e n s i o n e s , d o n d e J , K y L i n d i c a n e l n ú m e r o m á x i m o de categorías de c a d a var iab l e respect iva .


C o n esta notac ión e l m o d e l o sa turado c o r r e s p o n d i e n t e a [14] puede escribirse c o m o :

l o g h ( j , t k I Z ) = l o g e j k l [15]

=u+u C ( j )+u T ( k )+u Z ( 1 )

+

+ U C T ( j k ) + U C Z ( j l ) + U T Z ( k l ) +

+ U C T Z ( j k l )

que n o es s ino u n a modif icación de [13] , d o n d e l a p r i m e r a var iable se ref iere a la causa de muerte e n lugar de a la dimensión t iempo . C o m o de cos tumbre , para evitar sobreparametrización, e l m o d e l o [15] debe satisfacer las restr icc iones A N O V A habituales (B i shop et ai, 1975; F i e n b e r g , 1977). E n lo sucesivo, salvo que l a notación lo requ iera , vamos a obviar también los subíndices j , k, 1.

C U A D R O 1 Diversas especificaciones del modelo [15], indicadas por las variables a que se refieren los términos U del modelo (las variables subrayadas constituyen la clase generadora del modelo)

[a] C [b] QT W C,Z [d] C J L Z [e] C .T .CT ra C . Z C Z [g] C .T .Z .CT M c, nz.cz [i] C . T . Z . T Z tfl C T . Z , C T . C Z M C T . Z . C T . T Z ra C , T , Z , C Z 1 T Z [m] C .T .Z .CT. C Z . T Z [n] C . T . Z C T , C Z T Z . C T Z

E n e l c u a d r o 1 señalamos todas las posibles espec i f i cac iones de mode los jerárquicos que c o r r e s p o n d e n a eventuales s impl i f i cac iones de [15]. Tres clases generales de términos U son identi f icables en este cuadro : los que se re f ieren sólo a los riesgos de base (es dec i r d o n de n o interv iene Z) ; los que se ref ieren a los efectos de Z considerados

http://nz.cz


c o m o independ ientes de T ; y los efectos que i n d i c a n d e p e n d e n c i a de Z c o n respecto a los intervalos de t i e m p o T . L o s m o d e l o s [a] , [b] y [e] se re f ieren a l a p r i m e r a clase; en part i cu lar [a] especif ica sobrevi venc ia e x p o n e n c i a l p a r a cada causa j , mientras que [e] especif ica n o p r o p o r c i o n a l i d a d de los riesgos de base.

T o d o s los términos Z y C Z r e p r e s e n t a n efectos p r o p o r c i o n a les; los p r i m e r o s o p e r a n p a r a todos los i n t e r v a l o s y p a r a todas las causas, m i e n t r a s que los segundos son específ icos p a r a cada causa. D e m o d o s i m i l a r , todos los términos T Z y C T Z i n d i c a n que los efectos de las covar iab les c a m b i a n según los in terva los de t i e m p o ; p a r a todas las causas los p r i m e r o s , y especí f icamente p o r causa los segundos .

Las diferencias que existen entre los modelos del cuadro 1 se refieren al número de términos que se suponen nulos. P o r ejemplo, la diferencia entre los modelos [m] y [j] reside en la hipótesis de que U £ = 0, por en c ima de los términos nulos que especifica [m]: U Q >J % = 0. (Puesto que [m] cont iene a [j], se dice que [j] está anidado en [m] y ambos hacen u n a jerarquía). L a selección de u n mode lo está or ientada pues, además de por ciertos criterios como pueden ser la preferencia por alguna f o r m a func iona l particular o consideraciones de l diseño muestral, por la prueba de hipótesis sobre la significancia estadística de sus términos, dentro de u n a jerarquía de modelos anidados. Las dos estrategias más sencillas de selección consisten en ir añadiendo términos al modelo nu lo , o b ien , i r descartando términos a part ir de l mode lo saturado; en cada paso se j u z g a l a b o n d a d de ajuste d e l m o d e l o que resulta y l a s igni f i canc ia de los términos que se añaden o q u i t a n . N o existe s in embargo n i n g u n a " r u t i n a " para l a selección d e l "me jor " m o d e l o pues , e n c u a l q u i e r caso, e l p r o c e s o de s e l e c c i ó n d e p e n d e de l a j e r a r q u í a de m o d e l o s que se escoja. B i s h o p et al. (1975) y F i e n b e r g (1977) t o can e n de tal le esta d i f i c u l t a d y d a n sugerenc ias de c ó m o g u i a r e l proceso de se lecc ión de u n m o d e l o . E n n u e s t r o caso, c o m o se verá e n l a secc ión "Legalización y terminación de u n i o n e s consensúales e n México", pre fer imos par t i r de u n m o d e l o comple jo , e fectuando la s i m p l i f i cac ión p o r pasos según las s i g u i e n t e s categorías : a) in teracc ión entre las covariables; b) d e p e n d e n c i a de las covariables c o n el t i e m p o según causas específicas; c) d e p e n d e n c i a g e n e r a l de las covariables c o n e l t i e m p o , s in distinción de causas; d) asociación de las covar iables c o n e l t ipo de causa.

A n t e s d a m o s a l g u n a s a c l a r a c i o n e s sobre e l m o d o de e s t i m a c ión.


Estimación y prueba de hipótesis

L a estimación de mode los de sobrevivencia med iante métodos l og - l i -neales para e l análisis de tablas de c o n t i n g e n c i a es factible , c o m o d i j i mos, gracias a l a verificación de dos re lac iones ( L a i r d y O l i v i e r , 1980) : 1) que los mode los log-l ineales d e l número esperado de casos genera dos p o r u n proceso Po isson e n l a realización de u n a tabla de c o n t i n g e n c i a son equiva lentes a los m o d e l o s log - l ineales de sobrev ivenc ia c o m o [8] c u a n d o l a función de riesgo-base es e x p o n e n c i a l y las cova-r iables son discretas; y 2) que las ecuaciones de v e r o s i m i l i t u d de a m bos casos ( con datos de sobrev ivenc ia de u n a e x p o n e n c i a l esca lonad a , y datos de u n a tab la de c o n t i n g e n c i a Po isson) son equ iva lentes también. L a r s o n (1983) p r u e b a estas dos re lac iones para e l caso más g e n e r a l de riesgos e n c o m p e t e n c i a y muestra que los est imadores de máxima v e r o s i m i l i t u d de [15] son:

l o g ©j k i=log Dj k l - l o g E k l j = 1,2,... J

d o n d e E k l es e l t i e m p o de exposición al riesgo (sin d i s t inguir la causa o e l m e c a n i s m o que truncó l a expos ic ión) y f)j k l son los decesos esti mados que resultan a su vez de Dj k ¡ = E k j exp (mode lo log- l ineal reten ido ) . P a r a fines prácticos, l a tabla E k { se cons idera c o m o u n a constante, y sirve c o m o valor i n i c i a l de las D ( D j k } = E k } ) en el a lgor i tmo A I P m e d i a n t e e l que se es t iman los términos U d e l m o d e l o l og - l inea l re ten ido .

L a s e s t i m a c i o n e s q u e h a c e m o s aquí se b a s a n e n e l p r o g r a m a L O G L I N q u e , c o m o d i j i m o s , u t i l i z a j u s t a m e n t e A I P c o m o a l g o r i t m o de maximización y p e r m i t e es t imar m o d e l o s de sobrev ivenc ia h a c i e n d o p ivo tear l a estimación de f)j k l sobre E k l .

L a configuración básica de los datos p a r a ut i l i zar L O G L I N debe ser c o m o sigue, p o r e jemplo para j = 2, k = 3, y 1 = 3.

Matriz de casos Matriz de exposición Z ] Z 2 Z 3 Z1 Z 2 Z 3


d o n d e la matr i z E k l debe repet irse J veces p a r a i gua lar l a c o n f i g u r a c ión d e l a m a t r i z D j k l . P o r supuesto , c u a n d o se i n c l u y e más de u n a covar iab le (nuestro e j e m p l o h a s ido t r iv ia l a este respecto) hay q u e añadir las c o r r e s p o n d i e n t e s d i m e n s i o n e s a l a m a t r i z de casos y a l a matr iz de exposic iones. L a última versión d i spon ib le de L O G L I N , l a versión 1.6, cont iene e l c o m a n d o Read Surv que permi te cons t ru i r d i re c tamente las matrices de casos y exposic iones a par t i r de u n arreglo de datos q u e g u a r d e c iertas características de f o r m a t o ( O l i v i e r y N e f f , 1981).

L O G L I N p r o p o r c i o n a también u n a ser ie de estadíst icos p a r a l a p r u e b a de b o n d a d de ajuste de los modelos . E n par t i cu lar p r o p o r c i o n a l a razón de verosimilitud G 2 (y sus correspondientes grados de l i be r tad) que se def ine c o m o :

G 2 = 2 X 0 - l o g ( 0 / E )

d o n d e 0 se ref iere a las f recuencias observadas e n cada ce lda , y E s o n los e s t imadores de máxima v e r o s i m i l i t u d de d i c h a s f r e cuenc ias . E l valor de G 2 se i n t e r p r e t a c o m o l a p r o b a b i l i d a d , e n u n a distribución X 2 , de que las d i ferenc ias entre las f recuenc ias observadas y las est i madas sean sólo aleatorias , bajo l a hipótesis n u l a de que e l m o d e l o sea correc to .

O t r o estadístico c o m ú n de b o n d a d de ajuste es l a X 2 de Pearson (1904)

o ( 0 - E ) 2

que se distribuye bajo e l supuesto de que l a hipótesis n u l a es correcta , c o m o X 2 , c o n sus correspondientes grados de l iber tad .

U n a ventaja de G 2 sobre % 2 es que permi te des componer la p r u e b a de u n m o d e l o en dos partes, c o m o se describe ahora . S u p o n g a m o s que tenemos dos modelos , 1 y 2, c o n grados de l iber tad v j y v 2 , y valores est imados E Y y E 2 , respect ivamente. Supongamos también que los términos U d e l m o d e l o 2 const i tuyen u n subcon junto de los términos d e l m o d e l o 1, es dec ir , 1 está an idado en 2. B i s h o p et al. (1975) mues t ran que , bajo e l supuesto de que e l m o d e l o 1 es correcto , e l co c iente de v e r o s i m i l i t u d de l a d i f e renc ia de los mode los , G 2 ( 2 / 1 ) = - 2 [ L ( E 2 ) - L ( E ! ] , s e distribuye c o m o u n a X 2 c o n V 2 - V ¡ grados de l iber tad , d o n d e L ( E 1 ) y L ( E 2 ) son las func iones de log-verosi-


m i l i t u d de los dos mode los , evaluados e n É x y É 2 . S i e l m o d e l o 1 es e l m o d e l o saturado, entonces G 2 ( 2 / 1 ) es s implemente l a razón de ver o s i m i l i t u d G 2 ( 2 ) d e l m o d e l o 2, puesto que e n este caso E x = 0. S i e l m o d e l o 1 n o es e l s a t u r a d o , l a p r u e b a G 2 ( 2 / 1 ) es e n t o n c e s u n a p r u e b a c o n d i c i o n a l , d o n d e las E j est imadas p o r 1 o p e r a n " c o m o si fuesen" los datos, es dec ir , c o m o frecuencias observadas.

P o r o t r o l a d o , B i s h o p et al. (1975) m u e s t r a n también q u e u n a p r u e b a d e l m o d e l o 2 puede descomponerse e n dos partes

G 2 ( 2 ) = G 2 ( 2 / 1 ) + G 2 ( 1 )

la p rueba cond i c i ona l G 2 ( 2 / 1 ) que acabamos de describir, y G 2 ( 1 ) que m i d e l a b o n d a d de ajuste d e l m o d e l o 1. L a p r i m e r a parte i n d i c a qué tan diferentes son las E 2 de l mode lo 2 c on respecto a las E x de l modelo 1. Si las diferencias son pequeñas, los términos U que el mode lo 1 añade al 2 son prescindibles; por e l contrario , si las diferencias son grandes, todos los términos de 1 son significativos. A la prueba G 2 ( 2 / 1 ) se le d e n o m i n a condicional mientras que G 2 ( 2 ) es u n a prueba marginal.

De lo anterior se desprende que, si e l mode lo 2 se rechaza, el lo seguramente se debe al incumpl imiento de cualquiera de las dos partes de la prueba. E l m o d o más útil de valerse de estos principios para la selección de u n mode lo consiste en asegurarse que el mode lo 1 se c u m p l a (es decir, que ajuste satisfactoriamente los datos); si j u n t o a esto, e l mode lo 2 se acepta, ello impl i ca que los términos que se excluyeron al pasar de 1 a 2 no son significativos. F ienberg sugiere i r excluyendo términos (en una je -rarquía de modelos anidados) hasta que la prueba marginal o la prueba condic ional sean significativas en u n nivel predeterminado (por ejemplo p < 0.05 ); e l m o d e l o que se se l e c c i ona es e l últ imo antes de que se c u m p l a esta condición. E n la siguiente sección uti l izamos precisamente este m o d o de proceder en la selección de l m o d e l o que nos parece más adecuado para los datos de nuestro e jemplo.

Legalización y terminación de uniones consensúales en México

El ejemplo

Los métodos descritos aquí se i lustran c o n datos acerca de la legalizac ión y terminación de u n i o n e s consensúales proven ientes de l a E n cuesta M e x i c a n a de F e c u n d i d a d ( E M F ) , rea l izada entre j u l i o de 1976 y


marzo de 1977. L a E M F incluyó, e n e l cuest ionario i n d i v i d u a l , u n a his tor ia de un iones de todas las mujeres entrevistadas. F u e r o n elegibles para e l cues t i onar i o i n d i v i d u a l todas las mujeres (se lecc ionadas d e l cuest ionario de hogar) entre 20 y 49 años, y las mujeres entre 15 y 19 años que h u b i e r a n t en ido algún h i jo n a c i d o vivo, o que vivían e n a l g u n a f o r m a de unión . E l n ú m e r o total de mujeres entrevistadas fue de 7 310 mujeres . E n nuestro estudio anal izamos l a legalización o l a separación de 1 316 mujeres v iv iendo e n u n a p r i m e r a unión consen -sual. Las covariables que retuvimos c o m o factores de riesgo son ( junto c o n su n o m e n c l a t u r a y los valores de las categorías):

A = edad de l a m u j e r a l i n i c i o de l a unión ( < 17, > 17 ) E = años de educación (0-1, 2-5, 6 +) W = si trabaja o h a trabajado desde que se unió (sí, n o ) . Las otras variables d e l m o d e l o son: C = causa de terminación (legalización c iv i l o re l ig iosa o ambas,

separación o muer te d e l compañero ) T = tiempo-duración e n años (0-1, 1-2, 2-5, 5-10, 10-15, 15+) E l t i empo total de exposición observado fue 16 692.2 años perso

na , durante los cuales h u b o 655 legalizaciones y 332 separaciones. E n e l cuadro 2 se señala l a o c u r r e n c i a de estos eventos según la duración de la unión y según las covariables seleccionadas. C o m o puede observarse, l a mayor parte de las legal izac iones o c u r r e n e n e l p r i m e r año de duración de l a unión, mientras que las separaciones están más u n i f o rmemente distr ibuidas entre los 0 y los 10 años de duración. E n este cuadro n o se i n d i c a n las "exposiciones a l r iesgo", pero están contenidas en e l análisis que sigue.

L a p r i m e r a parte d e l análisis consistió en probar las interacc iones de segundo y tercer o r d e n entre las covariables A , E y W . N i n g u n a de éstas fue s igni f i cat iva y n o se r e p o r t a n aquí p a r a n o a b r u m a r l a pre sentación c o n resultados u n tanto irrelevantes. E l m o d e l o que resulta de ese análisis es e l m o d e l o I d e l c u a d r o 3, q u e p u e d e cons iderarse c o m o e l m o d e l o de par t ida para e l resto d e l análisis.

E n seguida p r o b a m o s si las covariables t i enen efectos que d e p e n d e n de los intervalos de tiempo-duración de u n m o d o específico p o r causa. E n e l cuadro 4 se muestra que n i n g u n a de las di ferencias entre los m o d e l o s 1.1, 1.2 y L 3 c o n e l m o d e l o I es s igni f icat iva, c o n lo c u a l c o n c l u i m o s que los efectos n o varían c o n la duración específicamente p o r causa.

L a siguiente p r u e b a consiste en inspecc ionar la misma dependen cia (entre los efectos de los factores y la duración) pero en general , n o


C U A D R O 2 Legalizaciones y separaciones según las variables retenidas para el análisis

C j = Legalizaciones

T A E W T < 17 > 17 0-1 2-5 6+ Sí No

0 - 1 153 144 103 99 95 47 250 1-2 45 36 24 40 17 16 65 2 - 5 71 44 44 41 30 22 93 5-10 43 41 30 34 20 19 65 10-15 24 14 20 13 5 10 28 15+ 26 14 21 15 4 8 32

C 2 = Separaciones

T A E W T < 17 > 17 0-1 2-5 6+ Sí No

0-1 32 44 21 35 20 36 40 1-2 28 22 14 22 14 15 35 2 - 5 61 35 38 32 26 38 58 5 -10 33 33 33 17 16 31 35 10-15 17 9 15 9 2 14 12 15+ 8 10 7 7 4 9 9

Nota: C = causa de terminación; T = tiempo-duración; A = edad a la unión; E = educación; W = trabajo.

específicamente p o r causa. Estos resultados se e n c u e n t r a n e n e l cuad r o 4 d o n d e se constrastan los mode los II. 1, II.2 y II.3 c o n II. L a edad al i n i c i o de l a unión parece tener u n efecto l i ge ramente d i f e r e n c i a l p o r duración, p e r o n o es lo suf i c ientemente signif icativo c o m o para aar le mayor consideración. ( U n a inspección de los términos U señala que las u n i o n e s de mujeres que e n t r a n e n conv ivenc ia e n edades j ó venes t i enen menos propensión a t e r m i n a r que las un iones de muje res que c o m i e n z a n e n edades adultas, y e l lo es más marcado a part i r de las d u r a c i o n e s mayores de c i n c o años.) E l resto de los contrastes de las variables inc lu idas en esta p r u e b a n o es significativo.

E l s igu iente paso d e l análisis se re f i ere a dos pruebas sobre los riesgos de base: investigar si son p r o p o r c i o n a l e s , y si son constantes. E n e l cuadro 4 se aprec ia que e l término U ^ ^ e s significativo, es dec ir , que los riegos de base n o son proporc iona les . P o r su parte, U - p es


a l tamente s igni f i cat ivo , l o c u a l c o n f i r m a que los riesgos de base n o son constantes (es dec i r , las t e r m i n a c i o n e s n o s iguen u n a ley expo nencia l ) .

E n e l cuadro 3 se constata que a l e x c l u i r los términos U j o U r j ^ l a b o n d a d de ajuste d e l m o d e l o de ja de ser aceptable , l o c u a l señala que ambos términos deben f o r m a r parte d e l m o d e l o final. D e hecho , podría cons iderarse que e l m o d e l o III p r o p o r c i o n a u n a representa ción adecuada de los datos, s in embargo , su elevado valor p ( = .34 ) invi ta a seguir exc luyendo términos U d e l mode l o .

E l s iguiente paso d e l análisis consiste e n p r o b a r si los efectos de las covariables t i enen a l g u n a espec i f i c idad p o r causa, lo c u a l se logra constrastando los mode los IV. 1, IV. 2 y IV. 3 c o n IV. E n e l c u a d r o 4 podemos ver que l a e d a d a la unión y l a educación n o afectan d i f e ren -

C U A D R O 3 Bondad de ajuste y nivel de significancia de diversos modelos

Modelo Clase generadora del m< odelo (f gl P

I C T A C T E C T W 80.66 84 .58 1.1 C A T A C T E C T W 82.98 89 .66 1.2 C E T E C T A C T W 93.14 94 .50 1.3 C W T W C T A C T E 85.45 89 .59

II C T C A C E C W T A T E T W 100.55 104 .58 II. 1 C T C A C E C W T E T W 111.68 109 .41 II.2 C T C A C E C W T A T W 113.67 114 .49 II.3 C T C A C E C W T A T E 104.86 109 .59

III C T C A C E C W 130.14 124 .34 III.1 T C A C E C W 181.46 129 .0016 III.2 C A C E C W 516.88 134 —

IV= III C T C A C E C W 130.14 124 .34 rv.i A C T C E C W 130.18 125 .36 IV. 2 E C T C A C W 130.55 126 .37 IV. 3 W C T C A C E 193.24 125 —

V A E C T C W 130.62 127 .39 V . l E C T C W 135.07 128 .32 V.2 A C T C W 154.03 129 .066

Nota: C = causa de terminación; T = tiempo-duración; A = edad a la unión; E = educación; W = trabajo.


C U A D R O 4 Prueba de hipótesis para términos U selectos

Modelos comparados Término bajo prueba AG2 gl P

1.1-I C T A 2.32 5 NS 1.2-I C T E 12.48 10 NS 1.3-I C T W 4.79 5 NS

I I . l - I I T A 11.35 5 S? II.2 - II T E 13.12 10 NS II.3 - II T W 4.31 5 NS

I I I . l - I I I C T 51.32 5 S III.2 - III T 386.74 10 S

IV. 1 - I V C A 0.04 1 NS IV. 2 - IV C E 4.41 2 NS IV. 3 - IV C W 63.10 1 S

V . l - V A 4.45 1 NS V . 2 - V E 23.41 2 S

N o t a : C = causa de terminación; T = t iempo-duración; A = e d a d a la unión; E = educación; W = trabajo.

c ia lmente e l que la unión termine p o r legalización o p o r separación, mientras que la condic ión de act iv idad sí afecta signif icativamente e l t i p o d e causa de terminación. E l término U ^ ^ y debe ser i n c l u i d o pues e n e l m o d e l o final, mientras que U c A Y ^ C E P u e a < e n ser exc lu idos .

P o r último, probamos la i m p o r t a n c i a de las covariables e d a d a l a unión y educación en f o r m a aislada, p o r e n c i m a de las covariables ya retenidas c o m o significativas. E l contraste de los modelos V . l y V . 2 c o n V i n d i c a que l a covariable e d a d a l a unión es p r e s c i n d i b l e , mientras que l a covariable educación es signif icativa y debe ser r e t e n i d a en e l m o d e l o .

Tras este análisis, e l m o d e l o finalmente se lecc ionado es e l m o d e lo V . l que , e n términos U , se escribe c o m o

i og © = u + u c + u T + u E + u w + u C T + u c w

E l m o d e l o V . l i n d i c a , c o m o di j imos: a) que los riesgos de base n o son constantes n i son p r o p o r c i o n a l e s ; b) que l a cond i c i ón de act iv i d a d afecta e l t ipo de terminación de la unión, para todas las durac i o -

LEGALIZACIÓN Y DISOLUCIÓN DE UNIONES CONSENSÚALES 605

nes; y c) que las covariables educación y condic ión de act iv idad afectan p r o p o r c i o n a l m e n t e los riesgos de terminación de l a un ión , p a r a las dos f ormas de terminación, y p a r a todas las d u r a c i o n e s . E n p a r t i cu lar , e l m o d e l o V . l es u n m o d e l o de riesgos proporc i ona les (en las covariables) c o m o [14].

L o s efectos de todos los términos U d e l m o d e l o V . 1 están i n d i c a dos e n e l c u a d r o 5. A l g u n a s i n t e r p r e t a c i o n e s que p u e d e n extraerse de este cuadro son las siguientes:

1) Existe mayor propensión a t e r m i n a r u n a unión consensual p o r legalización que p o r separación (para cua lqu ier estatus en las covariables y para todas las durac iones ) .

2) E l h e c h o de que l a m u j e r trabaje o haya trabajado está asociado c o n mayores probab i l idades de terminación de l a convivenc ia (para cua lqu ie r t ipo de terminación y para todas las durac iones ) .

3) A mayor educación de las mujeres, mayor p r o b a b i l i d a d de terminación de l a conv ivenc ia (para todas las durac iones y para los dos tipos de terminación) .

4) L a propensión a l a terminación de l a unión (para ambos riesgos) está c oncent rada en las pr imeras durac iones ; d i sminuye paulat i n a m e n t e c o n l a d u r a c i ó n p a r a v o l v e r a a u m e n t a r e n l a d u r a c i ó n abierta (15 años o más).

5) Las propens iones a legalizar la unión o a separarse no son p r o porc ionales según la duración de l a unión. O c u r r e n m u c h o más legal izaciones que separaciones en e l p r i m e r año de duración; entre los 5 y 10 años de duración esta situación se invierte .

6) L a condic ión de act iv idad de las mujeres inf luye n o sólo en su propensión a t e r m i n a r la unión, s ino también en e l t ipo de t e r m i n a ción: las mujeres que trabajan t ienden a terminar por separación, m i e n tras las mujeres que no trabajan t ienden a terminar por legalización.

E n términos de su i m p o r t a n c i a relativa e n e l m o d e l o ( juzgada ya sea p o r la m a g n i t u d de los errores estándar, o p o r l a d i f erenc ia de los valores máx imo y m í n i m o e n los parámetros de los términos U ) las covariables o las interacc iones más importantes e n e l m o d e l o son:

U T > U C W > U C T > U E > U C > U E

Es de notar que , aparte de la dimensión tiempo-duración, que es u n a var iable que s i empre reviste l a mayor i m p o r t a n c i a e n e l análisis demográf ico , los c omponentes más informativos d e l m o d e l o son dos " interacc iones" : l a d e p e n d e n c i a d e l t ipo de terminación de l a unión


C U A D R O 5 Parámetros estimados para el modelo V . l

U c ( l ) = .17 U w ( l ) = .097 U E ( 1 ) = - . 1 9 3 ( 2 ) = - . 1 7 (2) =- .097 (2) =- .024

( 3 ) = .216 U x (1) = .869

(2) = .246 (3) = - .068 (4) = - .346 (5) =- .582 (6) =- .117

U * ( H ) - ( 2 1 ) = 1.114 U C W (11)-(21) =-0.25 (12) - (22) = 0.244 (12) - (22) = 0.93 (13) - (23) =-0.136 (14) - (24) =-0.692 (15) - (25) =-1.164 (16) - (26) =-0.234

* Los parámetros U ^ ^ y U ^ ^ incluyen la adición de los parámetros marginales U C ' U X Y Ü w donde corresponde.

según la condic ión de act iv idad de l a mujer , y la n o p r o p o r c i o n a l i d a d de los riesgos de t e r m i n a r p o r legalización o p o r separación. L a variable e d a d a l i n i c i o de l a unión , que es u n a var iable que a m e n u d o se u t i l i za y t iene cons iderab le i m p o r t a n c i a e n e l estudio de l a dinámica de un ion e s , parece tener aquí menos re levanc ia que las variables soc ioeconómicas que ut i l izamos en nuestro e jemplo .

Resta p o r último ins ist i r que este e j emplo n o constituye ningún análisis acabado d e l t ema que se p r o p u s o ; p re tende tan sólo i lustrar l a implementación de u n a f o r m a de análisis que creemos que se presta a l estudio de u n g r a n número de re lac iones demográficas d e n t r o de u n esquema de análisis estadístico mul t ivar iado .

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