LEKTION 23fy.chalmers.se/~lklfalk/FY2400/Brev 23.pdfI Maxwell-Boltzmann statistik däremot skulle för T = 0 alla partiklar befinna sig i grundtillståndet. Detta är inte möjligt

GÖTEBORGS UNIVERSITETFysiska institutionen april 1983Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993FY 2400 mars 1998Distanskurs

LEKTION 23

Delkurs 4

STATISTISK MEKANIKTRANSPORTFENOMEN

I detta häfte ingår övningsuppgiftersom Du skall lösaoch sända in för rättning. Lösningar till uppgifterna

A-F 18.5 och Ö 11.19 skall vara kursledarentillhanda senast

2004-04-14

2 (14)

FY2400, Distanskurs, brev 23

Kapitel 17 Statistisk mekanik

Detta brev omfattar "bara" två kapitel i läroboken, vilket kanske är en lättnad efter allt som kom medi det förra. Därutöver tillkommer en utvidgning om kvantstatistik och något lite extra omvärmeledningsekvationen. Strålningslagarna återkommer vi till lite längre fram i delkursen!

17.1 IntroduktionLäs igenom.

17.2 Statistisk jämviktBetrakta ett isolerat system med ett stort antal partiklar N i vilket varje partikel har möjlighet tillflera energitillstånd E1, E2, E3, ....

Vid en viss tidpunkt har n1 partiklar energin E1, n2 partiklar har energin E2 etc. Totala antalet par-tiklar är

N n n n nn jj

= + + + = ∑1 2 ... (17.1)

Systemets totala energi U är

U n E n E n E n Ej jj

= + + + = ∑1 1 2 2 3 3 ... (17.2)

Detta förutsätter att partiklarna inte växelverkar, vilket i sin tur betyder att varje partikels energiendast beror på dess läge.

Om systemet är isolerat blir U konstant.

Om man har givna fysikaliska villkor för ett partikelsystem (dvs antalet partiklar, totala energin etc.)så finns det en viss fördelning som är mest sannolik. Vid denna fördelning har man statistiskjämvikt.

Den statistiska mekaniken går ut på att finna denna, mest sannolika, fördelning.

Räkna igenom exempel 17.1

17.3 Maxwell-Boltzmann fördelningen.Läs igenom sidorna 436-437 som på ett enkelt sätt beskriver hur man statistiskt kan behandla etttänkt system bestående av identiska partiklar.

Den s.k. tillståndssumman Z definieras i ekvation (17.4) på sidan 438:

3 (14)


Z = g i

i∑ e −βE i (17.4)

där gi = degenerationsgraden, som beskriver att energitillstånden har olika inre sannolikheter.

Storheten i ekvationen har, som vi kommer att se i kapitel 17.4, med temperaturen hos partikel-systemet att göra. Du kommer till slut fram till den s.k. Maxwell-Boltzmann fördelningen, dvs

nNZ

g ei iEi= −

(17.5)

Uttrycket för medelenergin hos en partikel är också viktigt, dvs

Edd

Zave = − (ln )(17.8)

Läs igenom exemplen 17.2 och Not. 17.1 så att Du får en känsla för hur den bakomliggande fysikenfungerar.

17.4 Statistisk definition av temperaturenI detta kapitel definieras den absoluta temperaturen hos ett partikelsystem i jämvikt utgående frånMaxwell-Boltzmanns fördelningslag. Vi utgår från definitionen av medelenergi hos en partikel iförra avsnittet:

E ave =

U

N= −

d

dβlnZ( ) (17.8)

Efter en kort diskussion kommer boken fram till att en lämplig definition av absolut temperatur börvara

= 1kT (17.9)

Detta betyder, att Maxwell-Boltzmanns fördelningslag kan skrivas

n i =

N

Zg ie

− EikT (17.10)

och differentiering av (17.9) ger

dkT

dT= − 12

vilket medför, att

4 (14)


E ave = −

d

dβlnZ( ) = kT 2 d

dTlnZ( ) (17.13)

Lägg märke till hur Maxwell-Boltzmannfördelningskurvan ändras för olika temperaturer (figur17.3)!

Räkna igenom exempel 17.3 och 17.4. Lägg vikt vid Not 17.2, som visar hur man kan beräknavärmekapacitiviteten hos ett kristallint ämne (en metall) utgående från Maxwell-Boltzmannfördel-ningen!

17.5 Energi- och hastighetsfördelning hos molekylerna i en ideal gasStudera detta avsnitt noga, och lägg på minnet hur man får fram ekvationerna (17.14) och (17.15)Du skall också kunna genomföra härledningar som i exempel (17.5) och (17.6) samt dessutom

härledningen av v rms = v 2 Eftersom boken inte tar upp denna, härleds den nedan:

Beräkning av v rms = v2

Enligt definition är

< v2 >=

1

Nv 2

0

∞

∫ dn

För en ideal gas är dessutom

E = 12 mv 2

dvs

< v2 >=

2

m

1

NE

0

∞

∫ dn =2

mE ave

Enligt exempel 17.6 är

E ave = 32 kT

dvs

< v2 >=

2

mEave =

2

m

3

2kT =

3kT

moch

v rms = v2 =

3kT

m= 1,225 ⋅ vmp

5 (14)


Vi skall nu gå igenom lösningarna till problemen 17.11 och 17.15 i läroboken, men gör gärna ettförsök själv först!

10.13:a) Beräkna v rms , v ave och v mp hos syremolekyler vid temperaturen 300 K.

b) beräkna v mp för syremolekyler vid följande temperaturer: 100, 200, 1000 och 10000 K.

Lösning:Enligt bokens och våra härledningar gäller, med sedvanliga beteckningar

v rms =

3kT

m= 1,225 ⋅ vmp

v ave =

8kT

πm= 1,13 ⋅ vmp

v mp =

2kT

m

a)Temperaturen T = 300 KMolvikten M = 2·16 = 32 kg/kmol. I formlerna ovan ingår istället massan m hos en enda molekyl,och vi skall nu beräkna denna:

m =

m ′N

=M

NA

=M ⋅ k

R(man kan naturligtvis räkna på andra sätt också!)

dvs

v mp =2kT

m=

2kTMk

R=

2RT

M=

2 ⋅ 8, 31 ⋅103 ⋅ 300

32= 395 m/s

och v ave = 1,13 ⋅ vmp = 1,13 ⋅ 395 = 446 m/s

v rms = 1, 225 ⋅v mp = 1,225 ⋅ 395 = 484 m/s

b) v mp =

2RT

M=

2 ⋅8 ,31 ⋅103

32⋅ T = 22 ,8 ⋅ T

T = 100 K ger v mp = 22, 8 ⋅ T = 22,8 ⋅ 100 = 228 m/s

T = 300 K ger v mp = 22, 8 ⋅ T = 22,8 ⋅ 300 = 395 m/s

T = 1000 K ger v mp = 22, 8 ⋅ T = 22,8 ⋅ 1000 = 721 m/s

T = 10000 K ger v mp = 22, 8 ⋅ T = 22,8 ⋅ 10000 = 2280 m/s

6 (14)


10.17Beräkna den andel av molekylerna i en ideal gas som har hastigheter mellan vave och 1,2vave utgå-ende från ekvation (17.15), a) genom att sätta v vave= och dv vave= ⋅0 2, och b) genom att sättav vave= ⋅1 1, och dv vave= ⋅0 2,

Lösning:Vi utgår från ekvation (17.15):

dn = 4πN

m

2πkT

32

v2 ⋅e−

mv 2

2kT dv

a)Det vi söker är:

dn

N= 4π

m

2πkT

32

v ave2 ⋅ e

−mv ave

2

2 kT ⋅ 0,2 ⋅ v ave = 4πm

2πkT

32

v ave3 ⋅e

−mv ave

2

2kT ⋅0 ,2

och vi vet sedan tidigare, att

v ave =

8kT

πm

Insättning i ekvationen ovan, ger

dn

N= 4π

m

2πkT

32 8kT

πm

32

⋅ e−

m

2 kT⋅8 kT

π m ⋅ 0 ,2

dn

N= 4π

4

π2

32

⋅ e−

4

π ⋅ 0, 2 =32

π2 ⋅ 0, 280 ⋅ 0, 2 = 0 ,182

b)I detta fall gäller istället, att v = 1,1 ⋅ v ave och dv = 0, 2 ⋅v ave vilket medför, att

dn

N= 4π

4

π2

32

⋅1,13 ⋅e−

4

π⋅1 ,1

2

⋅ 0,2 =32

π 2 ⋅1,331 ⋅ 0, 214 ⋅ 0, 2 = 0 ,185

Andelen molekyler inom det angivna hastighetsintervallet påverkas alltså något!

17.6 Experimentell bekräftelse på Maxwell-Boltzmanns fördelningslagLäs igenom.

7 (14)


17.7 Termisk jämviktLäs igenom kursivt. Lägg dock termodynamikens nollte huvudsats på minnet, dvs det spärradestycket på sidan 451. Läs också Not 17.3 Statistisk analys av arbete och värme

17.8 EntropiDetta är ett viktigt avsnitt, men bara kvalitativt behandlat. Lägg formel (17.16) på minnet och ävendess tolkning i ord!

17.9 EntropilagenÄven detta är ett mycket viktigt, om än bara kvalitativt, avsnitt. Räkna igenom exempel 17.7 så attDu förstår principen bakom räkningarna.

Läs också igenom Not 17.4 System långt från jämvikt. Den ger intressanta inblickar i varför det intealltid är möjligt att förutsäga framtiden oavsett hur stor datorkraft som står till buds. Det är inte barastora, komplexa system som uppträder oförutsägbart!

Försök att hinna med att öva på ett par exempel ur övningskompendiet (termodynamik, statistiskmekanik) t.ex. Ö 11.3, 11.18, 11.19 Det sista talet är en insändningsuppgift.

KvantstatistikSom Du redan sett på sidan 436 behandlar författarna inte statistiktyperna Fermi- och Bose-Einsteinstatistik. De är viktiga och en genomgång av dem i stora drag följer här.

Fermi-Diracs fördelningslagVi betraktar ett system av identiska partiklar som är omöjliga att skilja åt. Partiklarna följer därtillPaulis uteslutningsprincip (mer om denna senare). Sådana partiklar kallas fermioner (efter EnricoFermi, 1901-1954) och beskrivs av antisymmetriska vågfunktioner (mer om sådana längre fram).Alla elementarpartiklar med spin 1/2 är fermioner.

För dessa partiklar kommer den inneboende (intrinsiska) sannolikheten (degenerationsgraden) gi attange det största antalet partiklar som kan befinna sig på en och samma energinivå utan att stridamot Pauliprincipen.

Om man skall placera ut ni partiklar på energinivån Ei så kan man lägga ut den första på gi olika sätt.Den andra partikeln kan hamna på någon av de återstående gi-1 ställena osv. Totala antalet olika sättatt placera ut partiklarna blir då

8 (14)


g g g g ni i i i i( )( ) ( )− − − +1 2 1K

som kan skrivas

gg n

i

i i

!( )!−

Eftersom partiklarna är omöjliga att skilja åt kommer alla de konfigurationer som uppstår genom attpermutera de ni partiklarna mellan deras inbördes lägen att vara likvärdiga. Permuteringarna kan skepå ni ! olika sätt. Antalet olikvärdiga fördelningar av de ni identiska partiklarna på de gi olikanivåerna med energin Ei blir därför mindre, dvs

gn g n

i

i i i

!!( )!−

Vi kan nu beräkna totala antalet icke likvärdiga sätt att fördela n1 , n2 , n3K partiklar blandenerginivåerna E1 , E2 , E3K genom att multiplicera motsvarande uttryck med varandra.Partitionssannolikheten blir alltså

Pg

n g ng

n g ng

n g ng

n g ni

i i ii

=−

⋅−

⋅−

⋅ =−∏1

1 1 1

2

2 2 2

3

3 3 3

!!( )!

!!( )!

!!( )!

!!( )!

K

Man erhåller den mest sannolika fördelningen genom att söka maximum för ln(P). Om man gördetta, så erhåller man Fermi-Diracs fördelningslag:

ng

ei

iE=

++ 1 1

Parametern β har samma betydelse som i Maxwell-Boltzmannstatistik, dvs

kT = 1

Den andra parametern, α, bestäms av att n Nii

=∑ , och är för det mesta negativ. Man brukar de-

finiera den s.k. Fermienergin som

F kT= −

vilket, insatt i ekvationen ovan ger Fermi-Diracfomeln

9 (14)


ng

ei

iE kTi F

=+−( )/ 1

Fermienergin är för det mesta positiv och i stort settoberoende av temperaturen. Ekvationen visar, att förT = 0 är alla energitillstånd upp till E F= besatta(n gi i= ) medan alla tillstånd med E F> är tomma(ni = 0 ) Orsaken till detta är (jämför figuren), att

limT → 0

e (E −ε F )/ kT =0 för (E − εF )/ kT < 0

∞ för (E − εF)/ kT > 0

I Maxwell-Boltzmann statistik däremot skulle för T = 0 alla partiklar befinna sig i grundtillståndet.Detta är inte möjligt i Fermi-Diracstatistik pga Pauliprincipen, och vid T = 0 är alla tillgängliga låganivåer upp till fermienergin F besatta. Vid högre temperaturer börjar tillstånd med energier högreän fermienergin att bli besatta genom att partiklar övergår från lägre nivåer. För temperaturer sådanaatt kT F<< är det i stort sett bara tillstånd med energier mycket nära F som påverkas.

ElektrongasenDet mest typiska systemet som består avfermioner är ledningselektronerna i enmetall. De uppför sig på ett sätt sompåminner om en "elektrongas". Man kanvisa, att antalet dn/dE av fria elektroner perenergienhet är

dn

dE=

8πV(2m 3)1

2

h 3

E12

e (E −ε F )/ kT + 1

Figuren visar en graf över denna ekvationför olika temperaturer. Eftersom integralen av denna funktion över alla energier skall ge totalaantalet elektroner N i ledningsbandet kan man beräkna fermienergin för T = 0 :

εF =

h 2

8m

3N

πV

23

Man kan experimentellt bestämma antalet ledningselektroner per volymsenhet, N/V, och ur dettaresultat och formeln ovan kan man beräkna fermienergin. Några sådana värden finns i nedanståendetabell:

10 (14)


Bose-Einsteins fördelningslagDet finns också system av identiska partiklar som inte går att skilja från varandra och som inte följerPauliprincipen. I dessa finns ingen gräns för hur många partiklar som kan befinna sig i sammakvanttillstånd. Vågfunktionen som beskriver sådana system är symmetrisk (mer om detta senare).Sådana partiklar kallas bosoner Alla elementarpartiklar med spin 0 eller 1 är bosoner, likaså He4 ochH2 molekyler, trots att t.ex. He4 består av 4 fermioner.

Om man gör motsvarande överläggning som förfermionerna tidigare så kommer man så småningomfram till att den mest sannolika fördelningen är

ng

ei

iEi

=−+ 1

Bose-Einsteins fördelningslag. Som Du ser av figu-ren t.h. påminner fördelningsfunktionen ytligt omFermi-Diracfördelningen, men förändringen från ettplus- till ett minustecken i nämnaren har stor bety-delse för tolkningen av formeln. Konstanten β harsamma betydelse som där, dvs

kT = 1

Även denna gång bestäms konstanten α av villkoret n Nii

=∑ men den har ingen särskild fysikalisk

tolkning. Fördelningsfunktionen är uppritad i figuren för två olika temperaturer. Bose-Einsteinstatistiken betonar de lägre energinivåerna mera än vad Maxwell-Boltzmannstatistiken gör.

Metall: Fermienergi (eV)

Li 4,72Na 3,12K 2,14Cu 7,04Ag 5,51Au 5,54

11 (14)


FotongasDen kanske mest betydelsefulla användningen av Bose-Einsteinstatistik är för analys avelektromagnetisk strålning i en kavitet som är i termisk jämvikt med hålrummets väggar, s.k.svartkroppsstrålning. Vid jämvikt har strålningens spektrum en väldefinierad energifördelning. Motvarje frekvens svarar en strålningsintensitet som beror av väggarnas temperatur men inte av dessmaterial.

Man finner att strålningen vid jämvikt uppträder som en fotongas. Antalet fotoner i "gasen" är dockinte konstant, eftersom de kan både absorberas och emitteras av väggarna. Detta får till följd attparametern α inte har någon innebörd utan kan ts bort från fördelningsfunktionen. Dessutom kanenergispektrum betraktas som kontinuerligt om kaviteten är stor i jämförelse med fotonernas(medel)våglängd.

Efter lite räkningar kommer man fram till en formel för energitätheten E(v), dvs energin pervolymsenhet som svarar mot strålning i frekvensintervallet v till v + dv

E(ν) =

8πhν3

c3

1

eh ν

kT −1

Detta är den välkända Plancks strålningslag. Eftersom denna stämmer utmärkt med experiment ärdetta ett mycket starkt stöd för teorin att fotonerna följer Bose-Einsteinstatistik.

Kapitel 18 Transportfenomen

18.1 IntroduktionLäs igenom

18.2 Molekylär diffusion. Fick`s lagLäs igenom noga och lägg ekvation (18.1) på minnet. Diffusionskoefficienten D är ofta (mer ellermindre) koncentrationsberoende. Den är dessutom temperaturberoende.

18.3 Stationär diffusionNär ett diffusionsförlopp fått pågå under lång tid, t.ex. i en stav, så inträder ett stationärt tillstånd.Om diffusionskoefficienten är konstant kommer då koncentrationen att variera linjärt längs staven(figur 18.4).

12 (14)


Räkna exempel 18.1 och 18.2 Det senare visar, att diffusionsekvationen inte bara kan tillämpas påmolekyler i t.ex. gaser och vätskor utan även på andra system, t.ex. termiska neutroner. Räkna ocksåett övningsexempel, 18.1

18.4 Värmeledning: Fouriers lag 18.5 Stationär värmeledningI en klassisk svensk fysikkurs på denna nivå brukar alltid ingå en ordentlig behandling avvärmeledningsekvationen med exempel på lösningar av olika specialfall. Som Du ser av lärobokengör författarna en annorlunda avvägning.

Studera avsnitten ordentligt, och lägg ekvation (18.3) på minnet. En annan viktig lag, Newtonsavkylningslag, förekommer bara implicit i texten, men har som Du ser i princip samma form somekvation (18.4).

Räkna igenom exempel 18.3 för att sätta Dig in i hur denna typ av beräkningar kan gå till. Här följeren lösning till ett annat värmeledningsproblem, som behandlar värmetransport genom isolationen tillett varmvattensrör: Du kan för Din del öva på ett par enklare problem, 18.4 och 18.5 (som är en avinsändningsuppgifterna).

Demonstrationsuppgift:I ett kopparrör med innerdiametern 9,0 mm och ytterdiametern 12,0 mm flyter 70-gradigt varm-vatten. Röret går genom en tank med 20-gradigt vatten. Värmeledningsförmågan för koppar är 400W/m·K.

a) Beräkna hur mycket effekt som avges till vattentanken per meter av röretb) Beräkna effektminskningen om röret omges av ett 0,5 mm tjockt skikt av PVC-plast medvärmeledningsförmågan 0,16 W/m·K

Lösning:a) Enligt ekvation (18.3) gäller

jdTdx

E = −

vilket kan skrivas, eftersom jE = P

A där P är effekten och A den yta som energin leds igenom

P AdTdx

= −

I detta fall har vi den extra komplikationen att värmeledningen sker radiellt, dvs ytan A beror avavståndet r från rörets mitt. Om vi inför detta och betraktar sträckan L av röret blir ekvationen

13 (14)


P rLdTdr

= − ⋅2 (värmeledningen sker i r-led)

Separation av variablerna ger

PL

drr

dT= −2

Om vi antar att rörets inner- och ytterradier är R1 resp R2 och motsvarande temperaturer T1 och T2 fårvi lösningen genom att integrera:

PL

RR

T Tln ( )2

11 22= −

Den sökta effekten per längdenhet blir alltså

PL

T TRR

= − = ⋅ − = ⋅2 2 400 70 206 04 5

4 4 101 2

2

1

5( )

ln

( )

ln,,

, W / m

vilket är en hel del! (Vi har antagit att tillflödet av värme till rörets innersida och avflödet från dessyttersida är så stort att temperaturerna hos ytorna är desamma som i vätskorna.)

b)Om röret omges av ett plasthölje med låg värmeledningsförmåga kommer förstås värmeförlusternaatt minska betydligt. Om temperaturen i gränsytan koppar-plast är T2 och gränsytan plast-vattenbeskrivs av T3 och R3 så kan man ställa upp lösningen för värmetransporten genom de två skikten

PL

RR

T Tbcln ( )2

11 22= −

resp.PL

RR

T Tbpln ( )3

22 32= −

Eftersom flera av data i dessa två ekvationer är gemensamma kan vi med fördel dividera dem medvarandra

PL

RR

PL

RR

T TT T

RRRR

T TT T

b

b

c

p

c

p

ln

ln

( )( )

ln

ln

( )( )

2

1

3

2

1 2

2 3

2

1

3

2

1 2

2 3

22

= −−

= −−

förenklat

14 (14)


eller, efter en del räkningar

TT

RR

TRR

RR

RR

c p

c p

2

13

23

2

1

3

2

2

1

400 3436 56 0

0 16 2936 04 5

4006 56 0

0 166 04 5

342 9=+

+=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅=

ln ln

ln ln

ln,,

, ln,,

ln,,

, ln,,

, K

som naturligtvis är en alldeles för hög siffernoggrannhet, men den visar ett viktigt resultat: Nästanhela temperaturfallet hamnar i plasthöljet, eftersom det är i detta som värmeflödet hindras mest.Effektförlusten per längdenhet kan beräknas med vilken som helst av ekvationerna, och vi tar denför plasthöljet

Pb

L=

2πκp (T2 − T3 )

lnR3

R2

=2π⋅ 0,16(343 − 293)

ln7 , 5

6,0

= 22, 5 Wm

En kraftig minskning, eller hur?

18.6 ViskositetTill skillnad från värmeledningsfenomenet brukar viskositeten få dålig plats i en fysikkurs, trots attden matematiska behandlingen är likvärdig. Vi kommer inte att genomföra några stora kvantitativaberäkningar här heller, men Du skall ha god kännedom om fenomenets fysikaliska bakgrund. Läsigenom avsnittet. Räkna igenom exempel 18.4 och studera figur 18.15

Det kan också vara lämpligt att räkna ett övningsexempel, 18.8. Poiseuilles lag, som används där, ärviktig att känna till och kunna använda!

18.7 Fria medelväglängden och kollisionsfrekvensenStudera avsnittet, även Not 18.1 Samband mellan fria medelväglängden och molekylernas radie i engas. Du skall känna till betydelsen av dessa begrepp och även kunna räkna fram (18.10)

18.8 Molekylär teori för transportfenomenDetta är ett principiellt viktigt avsnitt, som tyvärr inte fått plats i denna kurs. Läs igenom kursivt.Not 18.2 Transport genom konvektion och turbulens beskriver de transportprocesser som domineraröver t.ex. diffusion i de flesta fall.

Insändningsuppgifter till detta brev är A-F 18.5 och Ö 11.19 som skall vara kursledaren tillhandasenast det datum som står på försättsbladet.

Documents

LEKTION 23fy.chalmers.se/~lklfalk/FY2400/Brev 23.pdfI Maxwell-Boltzmann statistik däremot skulle för T = 0 alla partiklar befinna sig i grundtillståndet. Detta är inte möjligt