L’elettrone ha una massa molto piccola (9.1094 x 10-31

kg)

L’elettrone ha proprietà ondulatorie come la luce

All’elettrone si puo’ associare quindi un moto ondulatorio di

lunghezza d’onda correlata alla velocità e alla sua massa

da:

Ma l’elettrone non si muove come la luce, la quale si

muove di moto rettilineo e uniforme sotto forma

sinuisodale.

= h/mv

L’elettrone si muove in modo complicato !

Qunidi per descriverlo ci vuole funzioni matematiche

complesse che tengano di conto del campo di potenziale entro cui l’elettrone si muove

Equazione di Schrödinger

m

• m = massa dell’elettrone

• E = energia dell’elettrone

•V = energia potenziale. Per l’atomo di idrogeno:

V = –e2/r dove r è la distanza dell’elettrone dal nucleo

• Incognite sono sia E che (funzione d’onda).

•Il risultato sono infinite soluzioni, a ciascuna delle quali è associata una particolare i e un corrispondente valore di energia Ei.

+ + +x2y2z2h2

(E-V)

Derivate seconde parziali rispetto a x, y e z

Equazione di Schrödinger

• Può essere risolta esattamente per l’atomo di idrogeno e in modo approssimato per gli atomi polielettronici.

• Per l’atomo di idrogeno le energie Ei calcolate risolvendo l’eq. di Schrödinger coincidono con quelle sperimentali misurate dagli spettri di emissione dell’idrogeno che erano date da:

• A ogni stato ni di energia Ei dell’atomo di idrogeno

corrispondono ni2 funzioni i diverse.

2 2 4

2 2

21 k meE

n h

n = NUMERO QUANTICO PRICIPALE

Le funzioni d’onda n,l,ml• Sono caratterizzate da un primo numero quantico o numero quantico principale con simbolo n, che può assumere qualunque valore intero da 1 a infinito.

• Per ciascun valore di n, sono caratterizzate da un secondo numero quantico o numero quantico secondario con simbolo l, che può assumere tutti i valori interi compresi tra 0 e n-1.

• Per ogni valore di l, si hanno 2l+1 valori di un terzo numero quantico, ml, chiamato numero quantico magnetico, che varia da -l a +l.

• Le energie permesse dipendono solo da n!

• Funzioni d’onda associate ad una stessa energia si dicono degeneri.

n 1 numero quantico principale

0 l n-1 numero quantico secondario

-l ml l numero quantico magnetico

Le funzioni d’onda n,l,ml

Funzioni d’onda sono individuate con le lettere s, p, d, f a seconda dei valori rispettivamente 0, 1, 2, 3 che il numero quantico l assume in

queste funzioni.

Se n= 1, l = 0 in quanto 0 l n-1 quindi solo funzione s

Se n = 2, l = 0, 1 e quindi si ha una funzione s (l = 0) e tre funzioni p che corrispondono a l = 1 e differiscono l’una dall’altra per il valore di ml = -1, 0, 1

Se n = 3, l = 0, 1, 2 e si ha oltre a una funzione s e tre funzioni p, cinque funzioni d con differenti valori di ml = 2, 1, 0, -1, -2.

Esempi

n. Numero quantico principale. Definisce il livello energetico. Assume valori interi da 1 a infinito

L’ENERGIA DIPENDE SOLO DA n.

Per ogni valore di n esistono n2 funzioni con la stessa energia

n orbitali atomici

1 1

2 4

3 9

Le funzioni d’onda n,l,ml

Per poter discriminare tra diversi funzioni d’onda con la stessa energia, si introducono altri 2 numeri quantici.

l. Numero quantico secondario. Varia da 0 a n-1. Mi dice quanti tipi di funzioni (s, p, d, f) vi sono per ogni livello.

m. Numero quantico magnetico. Varia da –m a +m. Per ogni tipo di funzione (s, p, d, f) , individua quante diverse funzioni vi sono.

Le funzioni d’onda n,l,ml

n l ml orbitale Numero

Orbitali

1 0 0 1s 1

2 0 0 2s 1

2 1 -1, 0, 1 2p 3

3 0 0 3s 1

3 1 -1, 0, 1 3p 3

3 2 -2,-1,0,1,2 3d 5

4 0 0 4s 1

4 1 -1,0,1 4p 3

4 2 -2,-1,0,1,2 4d 5

4 3 -3,-2,-1,0,1,2,3

4f 7

1. Per ogni livello di energia sono possibili funzioni di diversi tipi.

2. Il numero ed il tipo di funzioni a disposizione aumenta con l’aumentare dell’energia

3. I numeri quantici definiscono le varie funzioni

Quali informazioni danno queste funzioni d’onda ?

Descrivono dove si trova l’elettrone nello spazio

intorno al nucleo?

Le funzioni che sono soluzioni dell’eq. di Schrödinger sono

chiamate orbitali atomici

Dalla equazione di Schroedinger agli orbitali

atomiciQuesti orbitali non permettono di localizzare la posizione dell’elettrone (non rappresentano quindi una traiettoria dell’elettrone nello spazio) ma consentono di valutare la probabilità di trovare l’elettrone in un piccolo volume d.

Da ogni orbitale deriva una diversa probabilità di trovare l’elettrone nello spazio

Gli orbitali atomici

Data una funzione d’onda , la probabilità di trovare un elettrone entro un certo volume, d, è data dal valore dell’integrale di 2 desteso a quella regione.

2 è definita come densità elettronica .

Come rappresentare graficamente questa probabilità di trovare

l’elettrone?

Si fa riferimento a superfici di contorno a valori costanti di 2

le quali racchiudono una certa probabilità di trovare l’elettrone

rVia via che mi allontano dal nucleo la probabilita’ di trovare l’elettrone tende a zero sempre, anche se in modo diverso a seconda del tipo di orbitali (c’è sempre un fattore e-r)

r

Superfici di contorno a 2 costante Superficie di contorno che

racchiude il 70% di densità elettronica

Superficie di contorno che racchiude il 90% di densità

elettronica

Orbitale atomico

Regione dello spazio intorno al nucleo delimitata da una superficie a 2

costante all’interno della quale c’e’ il 90% di probabilita’ di trovare

l’elettrone

Gli orbitali atomici. n=1. Orbitale 1s

Gli orbitali atomici. n=2. Orbitali 2s e 2p

Dimensioni del 2s maggiori del 1s perché per qualunque orbitale tanto maggiore n tanto più l’orbitale è esteso

Superficie o piano nodale = la funzione 2 è uguale a 0, quindi zero probabilità di trovare l’elettrone su quel piano

Gli orbitali atomici. n=3. Orbitali 3s e 3p e 3d

Numero quantico secondario l ci dà informazioni sulla forme degli orbitali, mentre ml sulle differenti

orientazioni degli assi degli orbitali rispetto al sistema di riferimento

Sezioni della

superfici a 2

costante

Gli orbitali atomici. n=4. Orbitali 3s, 3p, 3d e 3f

Al quarto livello energetico, a cui è associato la stssa energia

Vi sono 4 tipi di orbitali diversi (s,p,d,f). Ciascun tipo di orbitale ha una forma diversa

Ci sono 3 orbitali di tipo p, 5 orbitali di tipo d, e 7 orbitali di tipo f.

In totale, ci sono quindi 16 orbitali che possiedono esattamente la stessa energia.

2 2 4

2 2

21 k meE

n h

Orbitali f