Terminale S AE 11_Approche des lois de Newton

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LES LOIS DE NEWTON AUX JEUX OLYMPIQUES

Objectifs : - Vérifier et appréhender vectoriellement la première loi de Newton. - Approcher la deuxième loi de Newton.

Document 1 : Le principe d’inertie (Newton, 1666)

" Tout système isolé ou pseudo-isolé persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme." Rq : * Un système isolé n’est soumis à aucune force.

Un système pseudo-isolé est soumis à des forces dont la résultante (= la somme) est nulle.

Document 2 : Quelques sports olympiques

Le curling

Le curling trouverait ses origines vers le XVIème siècle en Ecosse, notamment en raison des conditions climatiques hivernales favorisant la formation d'une couche de glace permettant la pratique de ce sport. Maintenant répandu à travers le monde, ce sport est olympique depuis les Jeux Olympiques d'hiver de 1998 à Nagano au Japon. Le but est de lancer une "pierre" à travers une patinoire pour l'amener le plus près possible du centre d’une cible. Le mouvement de la pierre peut être considéré sans frottement sur une durée relativement courte.

L'enregistrement n°1 donné en annexe donne les positions d’une pierre à intervalles de temps régulier.

La luge

La luge est un sport olympique de vitesse, consistant à descendre une piste verglacée sans frein et en un minimum de temps. Elle se pratique en position allongée sur le dos, seul ou à deux personnes. Les spécialistes peuvent atteindre des vitesses proches des 120 km.h-1. Lors d'une descente, un lugeur lancé à pleine vitesse, dans sa deuxième moitié de descente, a une vitesse constante comprise entre 110 et 120 km.h-1. Attaquant un virage dont le rayon de courbure vaut environ 25 m, ce lugeur est soumis à une accélération très importante. Les efforts que ce lugeur doit fournir pour maintenir son corps droit et gainé sur la luge sont alors considérables.

L'enregistrement n°2 de l'annexe donne différentes positions du lugeur dans un virage de la piste de luge.

Le basket

Le basket-ball ou basketball, fréquemment désigné en français par son apocope basket, est un sport collectif opposant deux équipes de cinq joueurs sur un terrain rectangulaire. L'objectif de chaque équipe est de faire passer un ballon au sein d'un arceau de 46 cm de diamètre, fixé à un panneau et placé à 3,05 m du sol : le panier. L’équipe de France féminine est vice-championne olympique depuis les JO de Londres de 2012. L’équipe masculine avait aussi réussi à décrocher une médaille d’argent aux JO de Sydney en 2000, battus eux-aussi par les USA.

La vidéo « TPSecondeProjectile.avi » (fichier à ouvrir sous LatisPro®) permet d’étudier le mouvement d’un ballon de basket.

Le saut à ski

Le saut à ski, discipline olympique également, a pour but de parcourir le maximum de distance dans les airs. Afin d’acquérir le maximum de vitesse, le sauteur se laisse glisser sur un tremplin constitué de deux parties : - une partie plane et fortement inclinée permettant de gagner en vitesse. - une partie incurvée permettant au sauteur de prendre idéalement son envol.

En repérant par rapport à la piste inclinée et à intervalle de temps réguliers, la position du centre de gravité du sauteur lors de sa prise d'élan (départ arrêté), on obtient alors l'enregistrement n°3 donné en annexe.

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Document 3 : Le vecteur-vitesse 𝒗𝑮

Soient G(t) la position du centre d’inertie G d’un système

à l’instant t et G(t+ t) celle à l'instant t+t

* Le vecteur-vitesse moyenne 𝒗𝒎𝒐𝒚 𝑮 du système entre ces deux

positions par : 𝑣𝑚𝑜𝑦 𝐺 =𝐺(𝑡)𝐺(𝑡+𝛥𝑡)

(𝑡+𝛥𝑡)− 𝑡=

𝐺(𝑡)𝐺(𝑡+𝛥𝑡)

𝛥𝑡

* Si l’on souhaite approchée le vecteur-vitesse instantanée 𝒗𝑮 , c’est-à-dire à un moment donné, l’intervalle de

temps t doit être le plus petit possible et tendre vers « 0 » :

𝒗𝑮 = lim𝛥𝑡→0

𝑣𝑚𝑜𝑦 𝐺 = lim𝛥𝑡→0

𝐺(𝑡)𝐺(𝑡+𝛥𝑡)

𝛥𝑡=

𝑑𝑂𝐺

𝑑𝑡

Le vecteur-vitesse instantanée 𝒗𝑮 correspond donc à la dérivée du vecteur-position 𝑶𝑮 par rapport au temps.

Dans la pratique, pour approcher la valeur de ce vecteur-vitesse instantanée au

temps t, on considère les points juste avant et juste après pour calculer la valeur

du vecteur-vitesse moyenne sur le plus petit intervalle de temps possible :

Document 4 : Le vecteur-accélération 𝒂𝑮

Comme pour le vecteur-vitesse on peut définir un vecteur-accélération 𝒂𝑮 du centre d’inertie G du système :

* Le vecteur-accélération moyenne 𝒂𝒎𝒐𝒚 𝑮 se définit par : 𝑎𝑚𝑜𝑦 𝐺 =𝑣𝐺 (𝑡+𝛥𝑡)− 𝑣𝐺 (𝑡)

𝛥𝑡=

𝛥𝑣𝐺

𝛥𝑡

* Le vecteur-accélération instantanée 𝒂𝑮 (𝑡)

se définit par : 𝒂𝑮 (𝑡)

=𝑑𝑣𝐺

𝑑𝑡 avec a en m.s-2

Dans la pratique, pour tracer le vecteur-accélération instantanée,

on procède comme pour la vitesse sur un intervalle de temps minimal : 𝒂𝑮 (𝑡𝑖)

=𝑑𝑣𝐺

𝑑𝑡 ≈

𝛥𝑣𝐺 (𝑡)

𝛥𝑡=

𝑣𝐺 (𝑡+1)− 𝑣𝐺 (𝑡−1)

𝛥𝑡

I. « Le mouvement de la pierre de curling vérifie-t-il le principe d’inertie ? »

1 – Dans quel référentiel est étudié le mouvement de la pierre de curling ?

2 – Faire le bilan des forces s’exerçant sur le système et exprimer la résultante des forces « ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 ».

3 – a. Comment évolue la vitesse du mobile au cours du temps ?

b. Calculer la valeur du vecteur-vitesse 𝒗𝟑 puis tracer le vecteur-vitesse 𝒗𝟑 au point G3 en

précisant l’échelle choisie.

c. Sans faire de calcul, tracer les vecteurs-vitesse 𝒗𝟔 & 𝒗𝟖 aux points G6 & G8.

4 – Que peut-on dire du vecteur-variation de vitesse 𝜟�� et donc du vecteur-accélération �� ?

5 – Qualifier la nature du mouvement suivi par la pierre de curling. Attention : il y a toujours deux

caractéristiques à préciser pour déterminer la nature d’un mouvement.

6 – Préciser si la première loi de Newton est vérifiée et proposer un énoncé vectoriel de cette loi.

O

G(t)

G(t+t)

sens du mouvement

trajectoire de l'objet

𝐎𝐆 (𝒕)

𝐎𝐆 (𝒕+𝜟𝒕)

𝐆(𝐭)𝐆(𝐭+𝚫𝐭)

𝒗𝑮 (𝑡) ≈𝐺𝑡−1 𝐺𝑡+1

(𝑡+ 1) − (𝑡− 1)

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II. Vers la deuxième loi de Newton …

1. Etude du mouvement du lugeur.

1. Etablir le bilan des forces s’exerçant sur le système après avoir précisé le référentiel d’étude.

2. Tracer les vecteurs-vitesse 𝒗𝟓 & 𝒗𝟕 aux points G5 & G7.

3. Construire alors le vecteur-variation de vitesse 𝜟𝒗𝟔 au point G6.

4. Tracer le vecteur-accélération 𝒂𝟔 au point G6 en précisant l’échelle choisie.

5. Exploitation des résultats :

a. Comment évolue la vitesse du mobile au cours du temps ?

b. En déduire la nature du mouvement.

c. Comparer la direction et le sens du vecteur-accélération �� avec ceux de la résultante des

forces ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 .

2. Etude du mouvement d’un ballon de basket.

On s’intéresse au mouvement d’un ballon de basket. A l’aide du logiciel LatisPro®, en vous servant de l’outil

de pointage, repérer la trajectoire du ballon y(x).

Cliquer sur « Transférer vers les vecteurs » pour obtenir la trajectoire ainsi que le vecteur-vitesse �� et le

vecteur-accélération �� en déplaçant la souris sur les différentes positions obtenues.

1. Recopier l’allure de la trajectoire y(x) et représenter les vecteurs �� et �� en quelques points.

Attention : on donnera une direction « moyenne » pour le vecteur-accélération.

2. Exploitation des résultats :

a. Indiquer la direction du vecteur-vitesse �� par rapport à la trajectoire.

b. L’expression vectorielle de la deuxième loi de Newton est ∑ �� 𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ��

Justifier que la direction et le sens du vecteur-accélération �� sont en accord avec la seconde loi

de Newton. Donner la valeur théorique de l’accélération et la comparer à celle trouvée par la

simulation vidéo.

3. Etude du mouvement du skieur.

1. Etablir le bilan des forces s’exerçant sur le système après avoir précisé le référentiel d’étude.

2. Tracer les vecteurs-vitesse aux points G4 , G6 , G8 et G10.

3. Construire alors les vecteurs-variation de vitesse 𝜟𝒗𝟓 et 𝜟𝒗𝟗 au point G5 et G9.

4. Tracer les vecteurs-accélération 𝒂𝟓 et 𝒂𝟗 au point G5 et G9 en précisant l’échelle choisie.

5. Exploitation des résultats :

a. Comment évolue la vitesse du mobile au cours du temps ?

b. En déduire la nature du mouvement.

c. Comparer la direction et le sens du vecteur-accélération �� avec ceux de la résultante des

forces ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 .

Pour le plaisir … : « Du sauteur à ski et du lugeur, lequel est soumis à l’accélération la plus forte ? »

« Quelle différence majeure voyez-vous entre ces deux types d’accélération ? Les qualifier. »

avec m est la masse de

l’objet en mouvement.

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ANNEXE

Enregistrement n°1 : 1 cm correspond à 10 cm sur la piste de curling. Intervalle de temps entre deux positions consécutives : t = 100 ms

G0

G1 G

2 G

3 G

4 G

5 G

6

G

7 G

8 G

9 G

10 G

11

Sens du mouvement

Enregistrement n°2 : 1 cm correspond à 4 m sur la piste de luge. Intervalle de temps entre deux positions consécutives : t = 270 ms

G0

G3

G2

G1

G5

G4

G8

G7

G6

G9

G10

G

11

Enregistrement n°3 : 1 cm correspond à 1 m sur la piste d'élan de saut à ski. Intervalle de temps entre deux positions consécutives : t = 200 ms

G0G

1G

2 G

3 G

4 G

5 G

6

G

7 G

8 G

9 G

10 G

11

Sens du mouvement

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CORRECTION : LES LOIS DE NEWTON AUX JEUX OLYMPIQUES

Objectifs : - Vérifier la première loi de Newton et voir sa définition vectorielle.

- Découvrir la deuxième loi de Newton.

I. « Le mouvement de la pierre de curling vérifie-t-il le principe d’inertie ? »

Système {pierre de curling}

1 – Le mouvement du curling est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen, la glace par exemple.

2 – Bilan des forces :

- poids de la pierre �� = 𝒎. �� (point d’application : centre de gravité ;

direction : verticale ; sens : vers le centre de la Terre) ;

- la réaction du sol �� (point d’application : centre de la surface de contact ;

direction : verticale ; sens : du sol vers le solide) ;

Les forces agissent verticalement. Or, le mobile n’a aucun mouvement vertical donc les forces qui

s’exercent sur le système se compensent : ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 = �� + �� = ��

=> Les forces se compensent donc.

On choisi une échelle de représentation des vecteurs vitesses 1 cm 1 m.s-1. On représente les vecteurs vitesses par des segments fléchés de 1,5 cm.

3 – a. Les points sont équidistants et alignés donc la vitesse est constante en direction, sens et valeur.

b. v3 = 𝐺2𝐺4

𝑡4− 𝑡2 =

𝐺2𝐺4

2.∆𝑡 =

3 × 10.10−2

2 0,100 = 1,50 m.s-1

Représentation des vecteurs : On utilise la proportionnalité avec l’échelle { 1 cm 100 cm.s-1 }

Le vecteur-vitesse est représenté par une flèche de 1,5 cm.

c. Les vecteurs-vitesse 𝒗𝟔 & 𝒗𝟖 ont même direction, même sens et même intensité que 𝒗𝟑 car la vitesse ne varie pas.

4 – Le vecteur-variation de vitesse 𝜟�� est donc nul tout comme le vecteur-accélération �� puisque le vecteur-vitesse ne varie pas.

5 – La vitesse est constante, la trajectoire est une droite donc le mouvement est uniforme et rectiligne.

6 – Le mouvement est uniforme rectiligne et la somme des forces est nulle donc la première loi de Newton est

vérifiée.

Dans un référentiel galiléen : ∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0 <=> ∆𝑣𝐺 = 0

𝑉𝐺3 𝑉𝐺6

𝑉𝐺8

Enregistrement n°1 : 1 cm correspond à 10 cm sur la piste de curling. Intervalle de temps entre deux positions consécutives : t = 100 ms

G0

G1 G

2 G

3 G

4 G

5 G

6

G

7 G

8 G

9 G

10 G

11

Sens du mouvement

ATTENTION A L’ECHELLE :

Schéma Réel

1,0 cm ↔ 10 cm

3,0 cm ↔ G2G4 = 3,0 10 / 1,0 = 30 cm

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II. Vers la deuxième loi de Newton …

1. Etude du mouvement du lugeur.

Système {lugeur}

1. Le mouvement du lugeur est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen, la piste.

Bilan des forces :

- Poids �� = 𝒎. �� ;

- la réaction de la piste �� .

2. Pour tracer les vecteurs-vitesse 𝒗𝟓 & 𝒗𝟕 , il faut d’abord calculer leur valeur :

v7 = 𝐺8𝐺6

2.∆𝑡 =

4,3×4

0,54 = 32 m.s-1 représenté par un segment fléché de 3,2 cm (échelle : 1 cm 10 m.s-1 )

v5 = 𝐺4𝐺6

2.∆𝑡 =

4,3×4

0,54 = 32 m.s-1 représenté par un segment fléché de 3,2 cm (échelle : 1 cm 10 m.s-1 )

3. On construit géométriquement le vecteur-variation de vitesse 𝜟𝒗𝟔 = 𝒗𝟕 − 𝒗𝟓 .

4. Pour tracer le vecteur-accélération 𝒂𝟔 :

a6 = ∆v6

2.∆𝑡 La norme de ∆v6 est déterminée par construction en mesurant le vecteur.

a6 = ∆v6

2.∆𝑡=

2,4×10

0,54 = 44 m.s-2 représenté par un segment fléché de 4,4 cm (échelle : 1 cm 10 m.s-2 )

5. Exploitation des résultats :

a. Les points sont équidistants donc la valeur de la vitesse est constante.

b. La trajectoire est un arc de cercle, la vitesse est constante : le mouvement est circulaire uniforme.

c. Le vecteur-accélération �� a la même direction (radiale) et le même sens (centripète) que la

résultante des forces ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 .

Enregistrement n°2 :

1 cm correspond à 4 m sur la piste de luge.

Intervalle de temps entre deux positions consécutives : t = 270 ms

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G G

G

𝑉𝐺5

𝑉𝐺7

𝑉𝐺7 −𝑉𝐺5

∆𝑉𝐺6

Les forces ne sont pas colinéaires, la

résultante est non nulle :

∑𝑭𝒆𝒙𝒕 = �� + 𝑃 ≠ 0

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2. Etude du mouvement d’un ballon de basket.

Système {ballon} Référentiel d’étude { le sol, supposé galiléen}

1.

2. Exploitation des résultats :

a. Le vecteur-vitesse �� est tangent à la trajectoire.

b. L’expression vectorielle de la deuxième loi de Newton est ∑ �� 𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ��

Bilan des forces : - poids de la pierre �� = 𝒎. ��

Il y a une seule force : ∑𝐹 𝑒𝑥𝑡 = ��

La résultante des forces est donc verticale et dirigée vers le bas.

* Or, d’après le pointage, le vecteur-accélération est verticale et dirigée vers le bas. => Le vecteur-accélération est colinéaire à la résultante des forces comme le montre la deuxième loi de Newton.

* Toujours d’après le pointage, le vecteur-accélération a une norme de 10 m.s-2.

D’après la deuxième loi de Newton : ∑𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 𝑚. 𝑎 𝑚.𝑔 = 𝑚. 𝑎 => 𝑔 = 𝑎

Donc la norme de l’accélération est : a = g = 9,8 m.s-2

=> On retrouve bien la valeur trouvée au cours de la simulation !

avec m est la masse de

l’objet en mouvement.

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3. Etude du mouvement du skieur.

Système {skieur}

1. Le mouvement du lugeur est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen, la piste.

2. Pour tracer les vecteurs-vitesse aux points G4 , G6 , G8 et G10 , on calcule leur valeur d’abord :

vG6 = 𝐺5𝐺7

2∆𝑡 =

3,3

0,400 = 8,3 m.s-1 représenté par un segment fléché de 4,1 cm (échelle 1cm 2 m.s-1 )

vG4 = 𝐺3𝐺5

2∆𝑡 =

2,3

0,400 = 5,8 m.s-1 représenté par un segment fléché de 2,9 cm (échelle 1cm 2 m.s-1 )

vG10 = 𝐺9𝐺11

2∆𝑡 =

5,6

0,400 = 14 m.s-1 représenté par un segment fléché de 7 cm (échelle 1cm 2 m.s-1 )

vG8 = 𝐺7𝐺9

2∆𝑡 =

4,6

0,400 = 11,5 m.s-1 représenté par un segment fléché de 5,8 cm (échelle 1cm 2 m.s-1 )

3. On trace les vecteurs-variation de vitesse 𝜟𝒗𝟓 et 𝜟𝒗𝟗 par construction : Δ𝑉𝐺5 = 𝑉𝐺6 − 𝑉𝐺4

Δ𝑉𝐺9 = 𝑉𝐺10 − 𝑉𝐺8

4. On trace les vecteurs-accélération 𝒂𝟓 et 𝒂𝟗 :

aG 5 = ∆ vG 5

2∆𝑡 aG5 =

2,5

0,400 = 6,3 m.s-2 (échelle 1cm 2 m.s-2 )

aG 9 = ∆ vG 9

2∆𝑡 aG9 =

2,5

0,400 = 6.3 m.s-2 (échelle 1cm 2 m.s-2 )

5. Exploitation des résultats :

a. La vitesse du skieur augmente au cours de son mouvement

b. La vitesse augmente, la trajectoire est une droite : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

c.

Bilan des forces :

- Poids du skieur �� ;

- la réaction de la piste sans frottement �� .

Le vecteur-accélération �� a la même direction et le même sens que la résultante des forces ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 .

Enregistrement n° 3 : 1 cm correspond à 1 m sur la piste d'élan de saut à ski. Intervalle de temps entre deux positions consécutives : t = 200 ms

G0G

1G

2 G

3 G

4 G

5 G

6

G

7 G

8 G

9 G

10 G

11

Sens du mouvement

𝑉𝐺6

−𝑉𝐺4 ∆𝑉𝐺5

𝑉𝐺10

−𝑉𝐺8 ∆𝑉𝐺9