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LES PLANS D’EXPÉRIENCES
1 Avenue des Olympiades91744 MASSY CEDEX
FranceTel : 33 1 69 93 50 27Fax : 33 1 69 93 51 74
E-mail : danzart @ ensia.fr
Marc DANZART
LA DÉMARCHE STATISTIQUE
Résultats probables
Résultats improbables
ModèleExpérience
Résultatexpérimental
Hypothèse
Risques
LES PLANS D’EXPÉRIENCES
Résultats probables
Résultats improbables
ModèleExpérience
Résultatexpérimental
HypothèseContraintes
Risques
LES PLANS D’EXPÉRIENCES
Satisfaire des contraintes
De coûtDe tempsD'organisation...
LES DANGERS
Pdt1
Pdt2
Pdt3
Pdt4
Pdt5
Pdt6
Pdt7
Pdt8
Sujet n° 1
Sujet n° 2
Sujet n° 3
Sujet n° 4
Sujet n° 5
Sujet n° 6
Sujet n° 7
Sujet n° 8
Sujet n° 9
Sujet n° 10
La confusion d'effets
OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE
On étudie l’effet du temps decuisson sur le rendement
50 100 150 20045
50
55
60
65
70
75
Temps de cuisson (mn)
Ren
dem
ent
topt = 123.6 mn
On fixe donc t à 125 mn puis onétudie l’effet de la température
200 210 220 230 240 250 26020
30
40
50
60
70
80
Température (°C)
Ren
dem
ent
Temps de cuisson (min)
Tem
péra
ture
(°C
)
50 100 150 200200
210
220
230
240
250
260
255 ° C
55 min
Optimum apparent73.4
Optimum réel91.2
Rendement = 70
Rendement = 80
Rendement = 90
OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE
LA PESÉE … Version 1
0
0
1
0
0
2
3
Pesée del'objet n° 2
m2
Tarage dela balance
m0
Pesée del'objet n° 1
m1
Pesée del'objet n° 3
m3
LA PESÉE … Version 2
0
0
1
0
0
2
3
1 2 3 1 3
Pesée n° 3
P2
Pesée n° 1
P0
1 2
Pesée n° 4
P3
2 3
Pesée n° 2
P1
LA PESÉE : LE CALCUL DES POIDS …
VERSION 1 VERSION 2
1
2
3
OBJET
m1
m2
m3
P + P - P - P0 1 2 3
4m1 =
P + P - P - P0 2 1 3
4m2 =
P + P - P - P0 3 1 2
4m3 =
la pesée ... calcul des poids
LA PESÉE : LES PRÉCISIONS …
VERSION 1 VERSION 2
1
2
3
OBJET
2σ2
2σ2
2σ2 σ 24
σ 24
σ 24
La pesée ... les précisionsLa pesée "originale" conduit à une précision près de
3 fois supérieure à celle de la pesée traditionnelle
LES DANGERS
y = a + b x + ε
Var ( y(x) ) = σ (1 + + )1n
(x-x.) 2
Σ (x -x.)2
i
2^
La précision de la réponse du modèle au point x est calculable a priori :
LE MODÈLE LINÉAIRE
Y = X θ + E
Vecteur desrésultats Matrice du
plan d'experienceVecteur desparamètres
Vecteur deserreurs
θ = (X'X) X'Y-1
θ = (X'X+H'H) X'Y-1
^
^
Si X'X est inversible
Si X'X n'est pas inversibleH représente la matrice des contraintes
LE MODÈLE LINÉAIRE
θ = (X'X) X'Y-1^
Var( θ )= σ (X'X) -1^ 2
La corrélation entre les paramètres est prévisible àl'avance et dépend de la structure expérimentale
Un bon plan minimise la matrice (X'X)-1
Minimisation du déterminant D-optimalité
LES PRINCIPALES CLASSES DE PLANSD’EXPÉRIENCES EN INDUSTRIE ALIMENTAIRE
Détecter les facteurs influents
Optimiser un process
Optimiser un mélange
Comparer un grand nombre de produits
Plans de Plackett-BurmanMéthode Taguchi...
Plans Central compositePlans de Box-Benhken...
Plans de SchefféExtreme vertices designs...
Blocs incomplets équilibrés...
LES PLANS FACTORIELS COMPLETS
111111222222333333
111222111222111222
123123123123123123
Exp. n° 1Exp. n° 2Exp. n° 3Exp. n° 4Exp. n° 5Exp. n° 6Exp. n° 7Exp. n° 8Exp. n° 9Exp. n° 10Exp. n° 11Exp. n° 12Exp. n° 13Exp. n° 14Exp. n° 15Exp. n° 16Exp. n° 17Exp. n° 18
Facteurn° 1
Facteurn° 2
Facteurn° 3
TOUTES LES COMBINAISONS DES
NIVEAUXDES FACTEURS SONT
TESTÉES
LE NOMBRE D'EXPÉRIENCES EST
DONC ÉGALAU PRODUIT DES
NOMBRES DES NIVEAUX
Ici n = 3 x 2 x 3 = 18 essais
LES PLANS FRACTIONNÉS
CONSTATATION : DIFFICULTÉ A INTERPRÊTER LES INTERACTIONS D'ORDRE ÉLEVÉ
IDÉE : EN PROFITER POUR MINIMISERLE NOMBRE D'ESSAIS
DANGER : LA CONFUSION D'EFFETS
LES MATRICES DE HADAMARD (1)
Pour chacun des facteurs étudiés on choisit deux valeursappelées respectivement
niveau bas noté -niveau haut noté +
Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveauxSi le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies
dans la plage de variation du facteur
LES MATRICES DE HADAMARD (2)
Facte
ur n
° 1Fa
cteur
n° 2
Facte
ur n
° 3Fa
cteur
n° 4
Facte
ur n
° 5Fa
cteur
n° 6
Facte
ur n
° 7
essai n° 1
essai n° 2
essai n° 3
essai n° 4
essai n° 5
essai n° 6
essai n° 7
essai n° 8
LES MATRICES DE HADAMARD (3)
Facteurn° 1
Variable étudiée
Niveau - Niveau +
δ1
LES MATRICES DE HADAMARD (4)
Facteurn° 2
Variable étudiée
Niveau - Niveau +
δ2
Erreur due à la non linéarité de l'influence du facteur étudié
LES MATRICES DE HADAMARD (5)
Le nombre d'expériences est toujours un multiple de 4
n = 4n = 8n = 12n = 16n = 20
Hadamard (5)
Création d’un nouveau produit :Le chewing-gum light
Nouveau procédé : extrusionNouvelle composition : les polyols
remplacent les sucres
11 paramètres à optimiser simultanémentType de vis de l’extrudeurVitesse de rotation de la visTempérature de la gomme...Pourcentage de XylitolPourcentage de Mannitol...
Le chewing-gum
LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k
Lorsque les facteurs étudiés sont des facteurs à 3 niveaux,on étudie des fractions du plan complet 3p.
1 11 21 32 12 22 33 13 23 3
Facteurde base
n° 1
Facteurde base
n° 2
Pour cela on construit d’abord un plancomplet à 2 facteurs. Ce plan comporte9 essais (3x3). Il est bien sûr orthogonal !
Si l’on souhaite étudier plus de 2 facteursil faut ajouter des colonnes équilibrées(3 expériences au niveau 1, 3 au niveau 2et 3 au niveau 3) qui doivent être orthogonalesaux précédentes
A cet effet on étudie la famille des carrés latinsorthogonaux 3x3.
LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k
CL1 CL2
1 11 21 32 12 22 33 13 23 3
Facteurde base
n° 1
Facteurde base
n° 2
1 12 33 22 23 11 33 31 22 1
Facteurn° 3
Facteurn° 41 2 3
2 3 13 1 2
1 2 33 1 22 3 1
Chacun des deux carrés latinssert à construire une colonne !
Il n’est pas possible d’étudier plus de 4 facteurs avec 9 essais ! …car il n’existe pas d’autre carré latin orthogonal aux deux carrés existants.Il faudra alors au moins 27 essais !!
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 1 )
OBJECTIF : TROUVER UN OPTIMUM
MODÈLE ASSOCIÉ : SURFACES DE RÉPONSE
CONTRAINTES : VARIABLES QUANTITATIVES
PROPRIÉTÉS : D-OPTIMALITÉ, ROTATABILITÉet ISOVARIANCE PAR ROTATION
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 2 )
2 points de l'hypercubep
2p points du parallèlotopeétoilé
2 points centrauxFacteurn° 2
Soit n = 2 + 2.p + 2essais au total
p
Chaque facteur est utilisé à5 valeurs différentes
Facteurn° 1
Chaque facteur est étudiéà 5 niveaux
La valeur minimum minLa 1ère valeur intermédiaire V1La valeur moyenne moy.La 1ère valeur intermédiaire V3La valeur maximum Max
Plan Central compositeà 3 facteurs
moy.moy.moy.moy.moy.moy.minMaxV1V1V1V1V3V3V3V3
moy.moy.moy.moy.minMaxmoy.moy.
V1V1V3V3V1V1V3V3
moy.moy.minMaxmoy.moy.moy.moy.
V1V3V1V3V1V3V1V3
V1 moy. - (moy.-min)p
p=
V3p
p=
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 3 )
moy. + (moy.-min)
LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 4 )
Equation polynomiale du modèle :
Y = a0 + a1.Pv + a2.E/S + a3.(Pv)² + a4.(E/S)² + a5.Pv.E/S
-2
0
2
NETTOYAGE DE SALADE (1)
020 40 60 80 100
12 0140
4090
140200
4,64,8
55,25,45,65,8
6
Log CF
PvE/S
NETTOYAGE DE SALADE (2)
020 40 60 80 100
12 0140
4090
140200
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Log Rdt
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (3)
020 40 60 80 100
120140
4090
140200
1,31,41,51,61,71,81,9
22,12,2
Log CTh
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (4)
Log CF Log Rdt Log CTh
4050
0 20 40 60 80 100 120 140
60708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
400 20 40 60 80 100 120 140
5060708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
400 20 40 60 80 100 120 140
5060708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
NETTOYAGE DE SALADE (5)OPTIMISATION MULTIVARIABLE
0 20 40 60 80 100 120 140
5060708090100110120130140150160170180200
Pv
E/S
PLANS DE BOX BENHKEN
Plan de Box-Benhkenà 3 facteurs
Chaque facteur est étudiéà 3 niveaux
minimum minmoyenne moyMaximum Max
minminMaxMaxminminMaxMaxmoymoymoymoymoymoy
minMaxminMaxmoymoymoymoyminminMaxMaxmoymoy
moymoymoymoyminMaxminMaxminMaxminMaxmoymoy
Le nombre d’expériences est égal à 2p² - 2p + 2
LES PLANS DE MÉLANGE (1)
Produit n° 1
Produit n° 2 Produit n° 3
Réseau Simplex centre de Scheffé
PLANS DE MÉLANGE ( 2 )
y = a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1² + a5c2² + a6c3² + a7c1c2 + a8c1c3 + a9c2c3
L’équation habituelle
Ne peut être résolue (il faudrait estimer 10 paramètres avec seulement 7 expériences !)Ceci est dû à la contrainte c1 + c2 + c3 = 1 La somme totale des ingrédients fait 100 %
Il n’y a donc pasbesoin de constantea0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 = (a0+a1)c1 + (a0+a2)c2 + (a0+a3)c3
Il n’y a pas besoinDes termes carrésc1 (c1 + c2 + c3) = c1 c1² = c1- c1 c2 - c1 c3
y = a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1c2 + a5c1c3 + a6c2c3
On ajuste donc le modèle suivant :
OPTIMISATION D’UN VIN PARMÉLANGE DE CÉPAGES
Cépagen° 3
Cépagen° 1
Cépagen° 2
26
2224
20
20
1816
14
18
16
14
12
M.SergentD.Mathieu
R. Phan-Tan-Luu(1985)Cépages
LES PLANS DE MÉLANGE (3)
Ingrédientn° 3
Ingrédientn° 1
Ingrédientn° 2
Plans avec contraintes
LES PLANS D-OPTIMAUX
FACE A DES CAS PLUS DIFFICILES, ON SE RATTACHEAUX PROPRIÉTÉS DES MATRICES EXPÉRIMENTALES.
CERTAINS AUTEURS ONT PROPOSÉS DES ALGORITHMES DE CONSTRUCTION
DE PLANS D-OPTIMAUX
WYNNFEDOROVWHEELERMITCHELLWELCH
LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (1)
p produits sont étudiés avec un panel de s sujets.k est le nombre de produits testés par chaque sujetr est le nombre de répétitions par produits
(nombre de sujets testant un produit donné)
λ est le nombre de fois où un couple de produits est noté(nombre de sujets testant simultanément deux produits donnés)
p.r = s.k (*)
λ = (**)r.(k-1)p-1
On peut montrer queles deux conditionssuivantes sont nécessaires :
LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (2)
1 2 3 4 5Produits
6 7
Sujet 1
Sujet 2
Sujet 3
Sujet 4
Sujet 5
Sujet 6
Sujet 7
Traitement statistique des résultats des BIE
7 5 910 11 127 6 14
14 16 1514 11 17
16 15 1714 7 12
Produitn° 1
Produitn° 2
Produitn° 3
Produitn° 4
Produitn° 5
Produitn° 6
Produitn° 7
Sujetn° 1
Sujetn° 2
Sujetn° 3
Sujetn° 4
Sujetn° 5
Sujetn° 6
Sujetn° 7
24 33 39 42 30 33 488 11 13 14 10 11 16
Somme totale par produitmoyenne
Traitement statistique des résultats des BIE
7 5 910 11 127 6 14
14 16 1514 11 17
16 15 1714 7 12
Produitn° 1
Produitn° 2
Produitn° 3
Produitn° 4
Produitn° 5
Produitn° 6
Produitn° 7
Sujetn° 1
Sujetn° 2
Sujetn° 3
Sujetn° 4
Sujetn° 5
Sujetn° 6
Sujetn° 7
Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 1
La somme totale de ces notes T1 est égale à 81
7 5 910 11 127 6 14
14 16 1514 11 17
16 15 1714 7 12
Produitn° 1
Produitn° 2
Produitn° 3
Produitn° 4
Produitn° 5
Produitn° 6
Produitn° 7
Sujetn° 1
Sujetn° 2
Sujetann° 3
Sujetn° 4
Sujetn° 5
Sujetn° 6
Sujetn° 7
La somme totale de ces notes T2 est égale à 108
Par conséquent, les sommes par produitdoivent être corrigées pour obtenir des
comparaisons non biaisées !
!
Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 2
Traitement statistique des résultats des BIE
La somme corrigée pourle produit i est égale à : gi Si - Ti
kg1 = 24 - 81/3 = - 3 pour le produit 1
g2 = 33 - 108/3 = - 3 pour le produit 2
=
giαi r E=
E = k(p-1) p(k-1)
La moyenne corrigée pourle produit i est égale à :
avec
E est appelé coefficient d’efficacité.
CONTRAINTES
UN GRAND NOMBRE DE PRODUITS Á ÉTUDIER 20 (environ)
UN NOMBRE LIMITÉ DE BOXES DE DÉGUSTATION 14 boxes
UNE TAILLE DE PANEL LIMITÉE 20 sujets au maximum
UN NOMBRE RESTREINT DE SESSIONS 15 demi-journées
UN NOMBRE LIMITÉ DE PRODUITS PAR SUJET 6 produit maximum / jour
.......
LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRESA DEUX ETAGES
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
Produits
Sujet 1
Sujet 2
Sujet 3
Sujet 4
Sujet 5
Sujet 6
Sujet 7
A D I J P R S
Produitspour une session donnée
BIE (3)
123456789101112131415161718192021222324252627282930
Sessions
PLANS POUR MAÎTRISER L’ORDRE DE PRÉSENTATIONDES PRODUITS ET LES ARRIÈRES-EFFETS
Ordre de présentationdes produits
A B C DAB CD
A BC DABCD
Sujet n° 1
Sujet n° 2
Sujet n° 3
Sujet n° 4
Carrés latins de Williams
Jour 1 Jour 2 Jour 3 Jour 4 Jour 5 Jour 6 Jour 7 Jour 8 Jour 9 Jour 10
Sujet 1 P1 P2 P10 P3 P9 P4 P8 P5 P7 P6
P2 P3 P4 P10 P5 P9 P6 P8 P7
P3 P4 P2 P5 P1 P6 P10 P7 P9 P8
P4 P5 P3 P6 P2 P7 P1 P8 P10 P9
P5 P6 P4 P7 P3 P8 P2 P9 P1 P10
P6 P7 P5 P8 P4 P9 P3 P10 P2 P1
P7 P8 P6 P9 P5 P10 P4 P1 P3 P2
P8 P9 P7 P10 P6 P1 P5 P2 P4 P3
P9 P10 P8 P1 P7 P2 P6 P3 P5 P4
P10 P1 P9 P2 P8 P3 P7 P4 P6 P5
P1Sujet 2
Sujet 3
Sujet 4
Sujet 5
Sujet 6
Sujet 7
Sujet 8
Sujet 9
Sujet 10
QUELQUES CONSEILS
• Faire les mesures plutôt aux bornes du domaine d'étude
• Eviter les confusions d'effet en recherchant l'orthogonalité entre les facteurs
• Utiliser les logiciels de construction de plans d'expériences quand cela est possible
• valider concrètement les résultats trouvésConseils
LA DEMARCHE EXPERIMENTALE
Clairement définir les objectifs
Lister les facteurs influents
Choisir le domaine de variation
Lister l’ensemble des contraintes
Construire le plan d’expériences
L’APPROCHE EXPERIMENTALE
Conjecture
Plan d’expériences
Expérimentation
Analyse des résultats
Conclusions
LES PLANS D’EXPERIENCES PERMETTENT
Précision
Efficacité
Flexibilité
BIBLIOGRAPHIE
BOX G.E.P, HUNTER W.G. & HUNTER J.S.Statistics for experimentersJohn Wiley & Sons 1978
KEMPTHORNE O.The design ans analysis of experimentsJohn Wiley & Sons 1952
CORNELL J.A.Experiments with mixturesJohn Wiley and Sons 1981
BARKER T.B.Quality by experimental designsMarcel Dekker 1985
DAVIES O.L.The design and analysis of industrial experimentsOliver & Boyd 1985
Gilles et Marie-Christine SADOLes plans d’expériencesAFNOR Technique
Yves TOURBIER, et AlLes plans d’expériencesPresses Romandes
Jacques GOUPYLes plans d’expériencesDUNOD