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Serge HADDADLAMSADE - CNRS

Université Paris-Dauphine

Les réseaux de Petristochastiques

modèles et méthodes

1. Introductiondécembre 2003

Patrice MOREAUXLAMSADE &

LERI-RESYCOM - URCA

Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 2Serge HADDAD, Patrice MOREAUX

PLAN

• Rappels sur les processus stochastiques

• Réseaux de Petri

• Sémantique(s) stochastique(s) d’un RdP

• RdPS à lois exponentielles (SPN) et GSPN


1. Rappels sur les processus stochastiques


Un processus stochastiqueà événements discrets

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Comportement d’un processus

• Comportement transitoire– Probabilité d’être en s à l’instant t : πt(s)

– Nombre moyen de visites à s entre t et t’

• Comportement stationnaire– Existence d’un comportement stationnaire

∃? π(s) = lim t->inf πt(s) tel que Σπ(s) = 1

– Calcul du comportement stationnaire

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Théorie du renouvellement• Existence d’indices aléatoires d’événements

(i1,…,ik,…) tels que le processus après l’événement eik soit une réplique probabiliste du processus après l’événement ei1.

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π��&��τ��'�� ()*τ

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Chaînes de Markovà temps discret

• Comportement transitoire– πn+1 = πn . P (en appliquant les probabilités

conditionnelles)

– πn = π0 . Pn - πn+m = πm . Pn

– nbn = π0 .(I+P+…+ Pn)

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��

+ �� +�� !


Analyse stationnaire d'une CMTD

Conclusion : un comportement stationnaire π existe et π est l’unique solution de :

X.P = X (lim n->inf πn+1 = lim n->inf πn . P) et Xt.1 = 1

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Chaînes de Markov à temps continu

• Un processus équivalent – génère des événements à un taux λ >

Max(|Qs,s|)– à l’occurrence d’un événement, applique

une probabilité de passage à l’état courant :– Ps,s’ = (µs,s’ / λ) et Ps,s = 1 - Σs’¹s Ps,s’

– Observation : P = I + λ-1 . Q

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Analyse d'une CMTC

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Comportement transitoire • Analyse du processus équivalent• Probabilité d’être en s à l’instant t conditionnée par le

nombre d’événements entre 0 et t :• πt = π0 .Σ n=0 à inf (e-λ.t (λ .t)n / n!) . Pn

• Série « rapidement » convergente d’où approximation possible


Processus semi-markovien

• Hypothèses similaires• Conclusion : un comportement stationnaire π existe• π(s) = [E(Ts) . X(s) / å E(Ts’) . X(s') ]• où X est une solution de : X.P = X

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Processus de Markov régénératif

• ps*,z* = retour(s*,z*,inf) • durée(s*,s) = � visite(s*,z*,t).dt• durée(s*) = Σ durée(s*,s) • π(s) = [Σ X(s*).durée(s*,s) ] / [Σ X(s*).durée(s*) ] • où X est une solution de : X.P = X

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2. Réseaux de PetriRappels ultra rapides !


Modèle de la concurrence et de la synchronisation des SED

p11 p21

p12 p22

p26

t1

t11t21

p14p13

2.p11 + 4.p21+ 3.p21

t1

1.p11 + 3.p21+ 1.p12 + 1.p22

+ 3.p21

1.p11 + 3.p21+ 1.p13 +1.p14+ 1.p22 + 3.p21

t11t21

t1


Où est le temps ?

• Durée ou délai de franchissement ?

• durée nulle - délai non nul (SPN)– marquage du RdP = état « visible »

• durée non nulle - délai nul (TPN)– marquage du RdP = état « éphémère »


3. Sémantiques stochastiquesdes RdP


Sémantique stochastiqued’un RdP

• Définition de trois politiques– Politique de choix

prochaine transition à franchir

– Politique de serviceinfluence du degré de franchissement

– Politique de mémoireinfluence du franchissement sur les franchissements suivants


Politique de choix

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Présélection Tirages multiplesChoix probabiliste : 2�!& ��& �"3→ 2π!& π�& π"3

Tirage du délai choisi �� 1�

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Réalisation : 2�!&��&�"3→ 21!& 1�& 1"3

-��21�3�atteint au moins deux fois ?

Choix probabiliste (postsélection) : 2��!& ��3→ 2π!& π�3

Oui Non

Choix de ��correspondant à 1��


Politique de service

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t3 considérée comme un serveur de franchissements :• serveur non réentrant (single-server)

réalisation : 21!& 1�& 1"3• serveur réentrant (infinite-server)

réalisation : 21!& 1�& 1"& 1"& 1"23• serveur à degré de réentrance borné (multiple-server)(par exemple t3 de degré 2)

réalisation : 21!& 1�& 1"& 1"3


Politique de mémoire (1)

Quelle est l’influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3 ?

1. Aucune influence "resampling memory"- un nouveau choix de franchissement conduit à denouveaux tirages

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1!�4��2 1�& 1"3�

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2. Influence sur les transitions encore franchissables "enablingmemory" (e.g. time-out)- nouveau tirage lorsque t2 sera à nouveau franchissable- tirage conservé et décrémenté pour t3 : x3 - x1

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3. Influence sur toutes les transitions "age memory" (e.g.suspension d'un travail)- tirage décrémenté et gelé jusqu'à la prochainefranchissabilité pour t2 : x2 - x1

- tirage conservé et décrémenté pour t3 : x3 - x1

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Quel délai de t1 supprimer ?- le dernier "arrivé" (dernier tirage)- le premier "arrivé"- le plus long délai

--- Attention à l'impact sur les techniques d'analyse ---

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Réalisation (éventuellement antérieure): {x2, x1, x1’, x1"} avec x2 < min{ x1, x1’, x1"}

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Définition de la politique par paire de transitions (t,t')Interaction avec la politique de service



- Premptive ReSume = age memory- Premptive Repeat Different = enabling memory- Premptive Repeat Identical = pas de correspondance

Liaison avec les politiques des réseaux de file d’attente

ST1

tE tD tRE tF

ST2

PRD

ST1

tE tD tRE tF

ST2=ST1

PRI

ST1

tE tD tRE tF

PRS


4. RdPS à lois exponentiels et GSPN


RdPS à lois exponentielles (1)

• Xti de densité fti(t) = e-wi.t , wi est le taux de la loi

• Comportement du processus en mode single-server. Soit m un marquage et t1,…,tk les transitions franchissables:

- la durée de séjour en m est une loi exponentielle de taux �wi

- la probabilité que xi soit la réalisation minimale est wi / �wi

- la distribution du temps résiduel xi – t sachant qu'aucunetransition n'est franchie avant t est identique à la distributioninitiale (lois sans mémoire)

- la distribution du temps résiduel xi – xj sachant que tj estfranchie est identique à la distribution initiale


RdPS à lois exponentielles (2)

) Le comportement futur du processus ne dépend que dumarquage courant

• La loi exponentielle donne la même sémantique pour lesdifférentes politiques de mémoire et service

• Une loi à support continu R+ est à postsélection automatique

•- Donc : tout est « simple » !

Le processus stochastique est une chaîne de Markovisomorphe au graphe d'accessibilité (ti → wi)


RdPS généralisés (1)�!

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états tangibles

états évanescents

• t2 , t3 transitions à délai nul : transitions immédiates- toujours franchies avant les transitions exponentielles- nécessitent une postsélection


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états tangibles

états évanescents

• t2 , t3 transitions immédiates – présélection:- tables de distribution par sous-ensemble T‘- poids pi normalisés lors du choix

RdPS généralisés (2)


• Le processus de marquage est un processus semi-markovien

- dont les états évanescents ont une probabilité stationnairenulle

• On s’intéresse en général aux états tangibles

• On peut s’intéresser aux fréquences de tir des transitionsimmédiates

Analyse des RdPSG (1)


Principe de l’analyse

0. processus -> DTMC

1. DTMC -> DTMC des tangibles (DTMC-T)- résolution de la DTMC-T - pondération par les temps de séjour

(équivalent: DTMC -> CTMC des tangibles, résolution de laCTMC)




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processus semi-markovien dont les états évanescents ont une probabilité stationnaire nulle

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