p1
p3
p4
p5
p6
p7
p8 p2
K
t8
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t1
t9
Serge HADDADLAMSADE - CNRS
Université Paris-Dauphine
Les réseaux de Petristochastiques
modèles et méthodes
1. Introductiondécembre 2003
Patrice MOREAUXLAMSADE &
LERI-RESYCOM - URCA
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 2Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
PLAN
• Rappels sur les processus stochastiques
• Réseaux de Petri
• Sémantique(s) stochastique(s) d’un RdP
• RdPS à lois exponentielles (SPN) et GSPN
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 3Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
1. Rappels sur les processus stochastiques
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 4Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Un processus stochastiqueà événements discrets
�������������
� ������ ���������������������
������
������������������
�������
��
��
�
�!�
�!���
����
�"���
����!�
���"
�!��
����
�"��
" ��!� � ���� # ��"�
�� ������������ ��������������������������
�� ������� �������� �! �∞�� �∞ �����������
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 5Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Comportement d’un processus
• Comportement transitoire– Probabilité d’être en s à l’instant t : πt(s)
– Nombre moyen de visites à s entre t et t’
• Comportement stationnaire– Existence d’un comportement stationnaire
∃? π(s) = lim t->inf πt(s) tel que Σπ(s) = 1
– Calcul du comportement stationnaire
�$�������������%��������
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 6Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Théorie du renouvellement• Existence d’indices aléatoires d’événements
(i1,…,ik,…) tels que le processus après l’événement eik soit une réplique probabiliste du processus après l’événement ei1.
�
����
���! ���
�� ����������������� ��
π�������������&��������������������������τ�����������������������'�������� ��()*τ
����������
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 7Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Chaînes de Markovà temps discret
• Comportement transitoire– πn+1 = πn . P (en appliquant les probabilités
conditionnelles)
– πn = π0 . Pn - πn+m = πm . Pn
– nbn = π0 .(I+P+…+ Pn)
� �
����π�(!��� �����������
���� ��������������������������
���������������������������
+ ���������������� ��� +��� ��!
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 8Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Analyse stationnaire d'une CMTD
Conclusion : un comportement stationnaire π existe et π est l’unique solution de :
X.P = X (lim n->inf πn+1 = lim n->inf πn . P) et Xt.1 = 1
�
�,
� � �!"���#�������������
$ ��������������������� ��������*�* ��� �����% ���
$ ����������% ��������& � �� ����*�*�
$ � ����������� ������#��������%����
$ ����� �����∃ �� ∀�'�� π���,����� ��������������������������
� ��� ������
π����≠�
������
�, �,
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 9Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Chaînes de Markov à temps continu
• Un processus équivalent – génère des événements à un taux λ >
Max(|Qs,s|)– à l’occurrence d’un événement, applique
une probabilité de passage à l’état courant :– Ps,s’ = (µs,s’ / λ) et Ps,s = 1 - Σs’¹s Ps,s’
– Observation : P = I + λ-1 . Q
� �
µ���
���δ→� π�(δ �� ������(δ ��µ���
����#���������������������
������������������������
- ������������%����������-��� � µ��� �-��� ��. ��≠� -���
� �+���
λ
+���
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 10Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Analyse d'une CMTC
�����������������������
) * ����! � �!"��������������+,-.&
) /�� �� ���������� �����π #���) π ���������� ���� ����*- ����� ������������������� ���*� ��!
Comportement transitoire • Analyse du processus équivalent• Probabilité d’être en s à l’instant t conditionnée par le
nombre d’événements entre 0 et t :• πt = π0 .Σ n=0 à inf (e-λ.t (λ .t)n / n!) . Pn
• Série « rapidement » convergente d’où approximation possible
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 11Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Processus semi-markovien
• Hypothèses similaires• Conclusion : un comportement stationnaire π existe• π(s) = [E(Ts) . X(s) / å E(Ts’) . X(s') ]• où X est une solution de : X.P = X
� �
������������
*��!������� ���&
�� ��0����������� ����� �%�#�
+������(!����������
����������1 ��������� ���������
�����������������������
����������������������
+ ���������������� �
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 12Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Processus de Markov régénératif
• ps*,z* = retour(s*,z*,inf) • durée(s*,s) = � visite(s*,z*,t).dt• durée(s*) = Σ durée(s*,s) • π(s) = [Σ X(s*).durée(s*,s) ] / [Σ X(s*).durée(s*) ] • où X est une solution de : X.P = X
�,
/,
������
���������� �
�� �� ��������� ���������������
�������������������� ��������,
%�������,�����) �� ����������0����
) ������������
) ���"��� ���������,
��������,�0,���) �� ������������ ����� ����0,�
) �������������������� �
) �� ����������������
) ���"��� ���������,
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 13Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
2. Réseaux de PetriRappels ultra rapides !
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 14Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Modèle de la concurrence et de la synchronisation des SED
p11 p21
p12 p22
p26
t1
t11t21
p14p13
2.p11 + 4.p21+ 3.p21
t1
1.p11 + 3.p21+ 1.p12 + 1.p22
+ 3.p21
1.p11 + 3.p21+ 1.p13 +1.p14+ 1.p22 + 3.p21
t11t21
t1
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 15Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Où est le temps ?
• Durée ou délai de franchissement ?
• durée nulle - délai non nul (SPN)– marquage du RdP = état « visible »
• durée non nulle - délai nul (TPN)– marquage du RdP = état « éphémère »
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 16Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
3. Sémantiques stochastiquesdes RdP
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 17Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Sémantique stochastiqued’un RdP
• Définition de trois politiques– Politique de choix
prochaine transition à franchir
– Politique de serviceinfluence du degré de franchissement
– Politique de mémoireinfluence du franchissement sur les franchissements suivants
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 18Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de choix
�! ��!� �" ��"��� ����
Présélection Tirages multiplesChoix probabiliste : 2�!& ��& �"3→ 2π!& π�& π"3
Tirage du délai choisi �� �1�
��
Réalisation : 2�!&��&�"3→ 21!& 1�& 1"3
-���21�3�atteint au moins deux fois ?
Choix probabiliste (postsélection) : 2��!& ���3→ 2π!& π�3
Oui Non
Choix de ����correspondant à 1���
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 19Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de service
�� ��� �
���
��
t3 considérée comme un serveur de franchissements :• serveur non réentrant (single-server)
réalisation : 21!& 1�& 1"3• serveur réentrant (infinite-server)
réalisation : 21!& 1�& 1"& 1"& 1"23• serveur à degré de réentrance borné (multiple-server)(par exemple t3 de degré 2)
réalisation : 21!& 1�& 1"& 1"3
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 20Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de mémoire (1)
Quelle est l’influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3 ?
1. Aucune influence "resampling memory"- un nouveau choix de franchissement conduit à denouveaux tirages
�! ��!� �" ��"��� ����
1!�4����2 1�& 1"3�
�! ��!� �" ��"��� ����
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 21Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de mémoire (2)
Quelle est l’influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3 ?
2. Influence sur les transitions encore franchissables "enablingmemory" (e.g. time-out)- nouveau tirage lorsque t2 sera à nouveau franchissable- tirage conservé et décrémenté pour t3 : x3 - x1
�! ��!� �" ��"��� ����
1!�4����2 1�& 1"3�
�! ��!� �" ��"��� ����
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 22Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de mémoire (3)
Quelle est l’influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3 ?
3. Influence sur toutes les transitions "age memory" (e.g.suspension d'un travail)- tirage décrémenté et gelé jusqu'à la prochainefranchissabilité pour t2 : x2 - x1
- tirage conservé et décrémenté pour t3 : x3 - x1
�! ��!� �" ��"��� ����
1!�4����2 1�& 1"3�
�! ��!� �" ��"��� ����
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 23Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de mémoire (4)
Quel délai de t1 supprimer ?- le dernier "arrivé" (dernier tirage)- le premier "arrivé"- le plus long délai
--- Attention à l'impact sur les techniques d'analyse ---
�! ��!� �� ����
"
Réalisation (éventuellement antérieure): {x2, x1, x1’, x1"} avec x2 < min{ x1, x1’, x1"}
�! ��!� �� ����
�
Définition de la politique par paire de transitions (t,t')Interaction avec la politique de service
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 24Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Politique de mémoire (5)
- Premptive ReSume = age memory- Premptive Repeat Different = enabling memory- Premptive Repeat Identical = pas de correspondance
Liaison avec les politiques des réseaux de file d’attente
ST1
tE tD tRE tF
ST2
PRD
ST1
tE tD tRE tF
ST2=ST1
PRI
ST1
tE tD tRE tF
PRS
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 25Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
4. RdPS à lois exponentiels et GSPN
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 26Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
RdPS à lois exponentielles (1)
• Xti de densité fti(t) = e-wi.t , wi est le taux de la loi
• Comportement du processus en mode single-server. Soit m un marquage et t1,…,tk les transitions franchissables:
- la durée de séjour en m est une loi exponentielle de taux �wi
- la probabilité que xi soit la réalisation minimale est wi / �wi
- la distribution du temps résiduel xi – t sachant qu'aucunetransition n'est franchie avant t est identique à la distributioninitiale (lois sans mémoire)
- la distribution du temps résiduel xi – xj sachant que tj estfranchie est identique à la distribution initiale
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 27Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
RdPS à lois exponentielles (2)
) Le comportement futur du processus ne dépend que dumarquage courant
• La loi exponentielle donne la même sémantique pour lesdifférentes politiques de mémoire et service
• Une loi à support continu R+ est à postsélection automatique
•- Donc : tout est « simple » !
Le processus stochastique est une chaîne de Markovisomorphe au graphe d'accessibilité (ti → wi)
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 28Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
RdPS généralisés (1)�!
�
�
�
�� �"
�� ��
�3
�!
��
�� ��
�"
�" �"
��
��
���� ��
�� �3
�� ��
états tangibles
états évanescents
• t2 , t3 transitions à délai nul : transitions immédiates- toujours franchies avant les transitions exponentielles- nécessitent une postsélection
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 29Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
�!�
�
�
�� �"
�� ��
�3
�!
��
�� ��
�"
�" �"
��
��
���� ��
�� �3
�� ��
états tangibles
états évanescents
• t2 , t3 transitions immédiates – présélection:- tables de distribution par sous-ensemble T‘- poids pi normalisés lors du choix
RdPS généralisés (2)
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 30Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
• Le processus de marquage est un processus semi-markovien
- dont les états évanescents ont une probabilité stationnairenulle
• On s’intéresse en général aux états tangibles
• On peut s’intéresser aux fréquences de tir des transitionsimmédiates
Analyse des RdPSG (1)
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 31Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Principe de l’analyse
0. processus -> DTMC
1. DTMC -> DTMC des tangibles (DTMC-T)- résolution de la DTMC-T - pondération par les temps de séjour
(équivalent: DTMC -> CTMC des tangibles, résolution de laCTMC)
Analyse des RdPSG (2)
Les réseaux de Petri stochastiques – modèles et méthodes – 1. Introduction -- 32Serge HADDAD, Patrice MOREAUX
Analyse des RdPSG (3)
!
��
�� ��
�"
�" �"
!
!
���� !
!!
�����
���*�"
!
!
���� !
!!
��"��
�
�
�*����� �*��"�
��*��*�"
�*4�����(��*��*�"5
�*4��"��(��*��*�"5
�&6!
�*�����&6�
�*��"��&6�
�*��*�"�&�6�(6��
�*4�����(��*��*�"5&6�
�*4��"��(��*��*�"5�&6�
�&63
processus semi-markovien dont les états évanescents ont une probabilité stationnaire nulle
�*+ �������*� ��!
������������(
� ���������'�
+'��
+��(+�7 �� +77)�+7�
�
+��(+�7�877�. +77�.!+7�
�'*+'����'��
�'�*� ��!
���������'���(
� �������'��'�