LES0407 ESTATÍSTICA APLICADA II Prof. Dr. Vitor Ozaki

LES0407

ESTATÍSTICA APLICADA II

Prof. Dr. Vitor Ozaki

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

• Iniciaremos a aula sobre variáveis aleatórias discretas com o exemplo das duas extrações, sem reposição, de uma urna contendo duas bolas cinzas e três verdes.

• Definimos a variável aleatória v.a. X como sendo número de bolas verdes obtidas nas duas extrações.

2/5

3/5

1/4

3/4

2/4

2/4


Extrações sem reposição de uma urna com duas bolas cinzas e três verdes.

Resultados Probabilidades XCC 2/5 x 1/4 = 2/20 0CV 2/5 x 3/4 = 6/20 1VC 3/5 x 2/4 = 6/20 1VV 3/5 x 2/4 = 6/20 2

Total 1


• Note que cada resultado do experimento está associado a um valor da v.a. X: 0, 1 ou 2;

• X = 0, com probabilidade 1/10, pois X = 0 ↔ CC;

• X = 1, com probabilidade 6/10, pois X = 1 ↔ CV ou VC;

• X = 2, com probabilidade 3/10, pois X = 2 ↔ VV;


• Resumindo:

– P(0) = P (X = 0) = P(CC) = 1/10;

– P(1) = P (X = 1) = P(VC ou CV) = 6/10;

– P(2) = P (X = 2) = P(VV) = 3/10;


• A distribuição de probabilidades da v.a. X será:

x P(x)0 1/101 6/102 3/10


• Outro exemplo: Lançamento de uma moeda duas vezes:

• Seja a v.a. Y = número de caras obtidas nos dois lançamentos.


• P(0) = P(Y = 0) = P(CC) = 1/4;

• P(1) = P(Y = 1) = P(CK ou KC) = ¼ + ¼ = 1/2;

• P(2) = P(Y = 2) = P(KK) = 1/4;


• Lançamento de duas moedas

Resultados Probabilidades YCC ¼ 2CK ¼ 1KC ¼ 1KK ¼ 0

Total 1


1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2


http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.casadamoeda.com.br/images/!10cent-.gif&imgrefurl=http://www.casadamoeda.com.br/sobrecmb/moeda.htm&h=148&w=192&sz=18&hl=pt-BR&start=42&sig2=fwwCdo3gBngeNNb9aadjNw&tbnid=WsuvjswycFxKKM:&tbnh=79&tbnw=103&ei=YCieRq_kBKWSeJ3T4f8E&prev=/images?q=10+centavos&start=36&gbv=2&ndsp=18&svnum=10&hl=pt-BR&sa=N






• A distribuição de probabilidades da v.a. Y será:

x P(x)0 ¼1 ½2 ¼


• Note que a cada ponto do espaço amostral, a variável em questão associa um valor numérico;

• Essa associação é chamada em Matemática de “função”;

• Mais precisamente, chamaremos por função de probabilidade a função definida no espaço amostral Ω e que assume valores reais;


• Em outras palavras funções de probabilidade são funções que associam números reais aos eventos de um espaço amostral;

– mapeiam o espaço amostral na reta real;


• O uso de variáveis aleatórias equivale a descrever os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras;

– apresenta a vantagem de possibilitar melhor tratamento matemático;


X:

A

X(A)

X:

A

X(A)


• Ex. Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro para fins industriais.

• As partes são adquiridas em fábricas diferentes (F1 e F2) e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las.


• O produto final deverá ter o comprimento (cilindro) e a espessura (esfera) dentro de certos limites, verificado após a montagem. Quer se verificar a viabilidade econômica desse projeto;

• Cada componente pode ser classificado como bom (B), longo (L) ou curto (C), com relação a medida padrão;


• Ademais, o fabricante forneceu o preço de cada componente ($ 5,00) e as probabilidades de produção de cada componente com as características B, L e C.


• Distribuição da produção das fábricas 1 e 2.

Produto F1 (cilindro) F2 (esfera)Dentro das especif. (B) 0,80 0,70

Maior que as especif. (L) 0,10 0,20Menor que as especif. (C) 0,10 0,10


• Caso o produto final apresente algum componente com as características C, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata por $ 5,00;

• Cada componente L será recuperado ao custo de adicional de $ 5,00;


• Se o preço de venda de cada unidade for $ 25,00, qual será a distribuição de X: lucro por conjunto montado?

• Inicialmente, pensaremos no espaço amostral dos conjuntos de acordo com as características de cada componente e suas probabilidades;


• Como os componentes vêm de fábricas diferentes, suporemos que a classificação dos cilindros e das esferas sejam independentes;

• A distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens será:


• Distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens (cilindro-esfera).

Produto Probabilidade Lucro por montagem

BB 0,56 15

BL 0,16 10

BC 0,08 -5

LB 0,07 10

LL 0,02 5

LC 0,01 -5

CB 0,07 -5

CL 0,02 -5

CC 0,01 -5


• Pela tabela nota-se que X pode assumir um dos seguintes valores:– 15, se ocorrer o evento A1 = {BB}

– 10, se ocorrer o evento A2 = {BL, LB}

– 5, se ocorrer o evento A3 = {LL}

– - 5, se ocorrer o evento A4 = {BC, LC, CB, CL, CC}

• Cada um dos eventos tem uma probabilidade associada;


• As probabilidades são:– P(A1) = 0,56;

– P(A2) = 0,23; (0,16 + 0,07)

– P(A3) = 0,02;

– P(A4) = 0,19; (0,08 + 0,01 + 0,07 + 0,02 + 0,01)

• Conhecendo as probabilidades é possível escrever a função (x, P(x)), que representa a distribuição de probabilidade da v.a. X


• Distribuição da v.a. X.

x P(x)15 0,5610 0,235 0,02

- 5 0,19total 1,00


• Com respeito ao exemplo do empresário e sua fábrica de componentes agrícolas, uma pergunta imediata seria: qual o lucro médio (LM) por conjunto montado que ele espera conseguir?

• Pela tabela observamos que:

LM = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5)

LM = 9,85.


• Definição: dada a v.a. discreta, assumindo valores x1, x2, …, xn, chamamos valor médio ou esperança matemática de X:

• Para simplificar a notação: P(X = xi) = pi

n

xii xx

1

)P(XE(X)

n

xiix

1

pE(X)


• Definição: dada a v.a. discreta, assumindo valores x1, x2, …, xn, chamamos de variância da v.a. X, o valor:

n

xii

n

xii xxx

1

2

1

2 pE(X)]-[)P(XE(X)]-[V(X)


• Calcule a variância do exemplo anterior.

• V(X) = 57,23• DP(X) = 7,57

-5 0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distribuição da v.a. X: lucro por montagem


• Dada a v.a. discreta X e a respectiva função de probabilidade p(x), a esperança matemática da função h(X) é dada por:

E[h(X)] = ∑ h(xi)p(xi)

• Ainda:

E(aX + b) = aE(X) + b

V(aX + b) = a2V(X)


• Outra forma de cálculo da variância é dada por:

• V(X) = E(X2) – E2(X)

• Ex. Calcule a V(X) no exemplo do empresário.

• De forma geral, denotaremos E(X) por μ e V(X) por σ2.


• Função de Distribuição Acumulada

• Definição: Dada a v.a. X, chamaremos de função de distribuição acumulada (f.d.a.), ou simplesmente, função de distribuição (f.d.) F(x) à função:

F(x) = P(X ≤ x)


• Note que o domínio de F é todo o conjunto dos números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo [0,1].

• Voltando ao exemplo do empresário e usando a função de probabilidade de X, a f.d.a. de X será dada por:


151

151044,0

10521,0

5519,0

5,0

)(

xse

xse

xse

xse

xse

xF

x P(x)15 0,5610 0,235 0,02

- 5 0,19total 1,00

Figura 6.8


• Ex. 3.5 (ML, pg. 63): uma população de 1000 crianças foi analisada em um estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra HPV;

• No estudo, as adolescentes recebiam as doses de vacina e, após um mês, passavam por um novo teste;


• Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina;

• Ao fim de 5 doses todas foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão mostrados abaixo:


Doses 1 2 3 4 5

Freq. 245 288 256 145 66

• Supondo que uma adolescente dessa população é sorteada ao acaso, qual será a probabilidade dela ter recebido 2 doses?

• A função de probabilidade da variável aleatória “número de doses recebidas” é:

Doses 1 2 3 4 5

pi 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066


• A resposta da pregunta é: p2 = 0,288.

• Suponha que agora desejemos calcular a probabilidade da criança ter recebido até duas vacinas.

• Note que o que precisamos saber é a função de distribuição no ponto 2, ou seja, calculamos a probabilidade acumulada de ocorrência de valores menores ou iguais a 2. Assim:


F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,533

• Observe que a variável só assume valores inteiros. Portanto, F(2) fica inalterado no intervalo [2,3). Ou seja, F(2,1), F(2,65) tem todos os mesmos valores.

• Por essa razão escrevemos:

F(x) = P(X ≤ 2) = 0,533, para 2 ≤ x < 3.


• Os valores completos da função de distribuição são os seguintes:

51

54934,0

43789,0

32533,0

21245,0

1,0

)(

xse

xse

xse

xse

xse

xse

xF

Figura 3.2 (ML, pg 65)


• Exercícios: • ex. 3.6 (ML, pg65)• ex. 10, 11 (BM, pg 139)


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